自主招生讲义

那么两个切点的连线方程为
自主招生讲义
解析几何
解析几何
• 一、直线和圆锥曲线 • 二、圆锥曲线的参数方程 • 三、统一定义和极坐标方程 • 四、圆锥曲线的切线 • 五、解析几何综合题目
解析几何
一、直线和圆锥曲线
1. 直线和圆锥曲线的综合问题，通常会用到韦达定理. 2. 两条直线的角：设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，那 么l1旋转到l2的角度正切值 tan k2 k1 .
2
3
2，
所以三角形的最小面积为
1 2 2 ( 3 1) 3 2
2
2
解析几何
例2 已知等腰三角形的底边过点P(2,1)，两腰所在直线分别为x+y-2=0和
7x-y+4=0，求底边所在直线方程.
解：设所求直线的斜率为k，根据斜率角度公式有
k 1
1 k
7k 1 7k
解得
1 k
或-3，
3
直线方程为x-3y+1=0和3x+y-7=0，
证明：如图建立直角坐标系，x轴为l1、l2角平分线，
设l1倾斜角为 θ，OA=m， OB=n，那么
A、B两点坐标为 A(m cos , m sin ), B(n cos , n sin )
1
S OAB
mn sin 2
2
c
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例4 (2012北大保送生) 从O点发出两条射线l1、l2，已知直线交l1、l2于AB
但是，x-3y +1=0与题中直线截得线段上没有(2,1)点，
而是在其延长线上，所以只有唯一一组解3x+y-7=0.
解析几何
例3 已知圆C的方程是 x 2 y2 Dx Ey F 0 ，求经过圆上点P(x0,y0)
的切线方程.
解：把点P(x0,y0)看成半径为0的圆 (x x0 )2 ( y y0 )2 0，
解析几何
三、统一定义和极坐标方程
1. 圆锥曲线的统一定义(第二定义)：平面上到定点和定直线 的距离之比是常数e的点的轨迹. 其中定点称为焦点，定直 线称为准线，e称为离心率.
第二定义的基本应用：圆锥曲线上任意一点到焦点的距离 （也就是焦半径），可以通过离心率转化为到准线的距离.
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三、统一定义和极坐标方程
Ax2 Cy2 Dx Ey F 0
上一点，那么以P为切点的切线方程为：
Ax0 x Cy0 y
D
x x0 2
E
y y0 2
F
0
四、圆锥曲线的切线
解析几何
3. 切点弦：设 M ( x0 , y0 )是圆锥曲线
Ax2 Cy2 Dx Ey F 0
外的一点，如果过M可以作圆锥曲线的两条切线，
极坐标方程常用在涉及焦半径或角度的问题中.
解析几何
例5 (2015清华) 在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有( ).
A.
1
sin cos
B. 1 2 sin
1
C. 2 cos
1
D. 1 2 sin
解析几何
解：A选项容易判断是直线，C选项根据统一方程可以看出是椭圆.
2. 极坐标方程：以圆锥曲线的焦点(椭圆左焦点、双曲线右 焦点)为极点，焦点到对应准线的垂线段的反向延长线为极 轴建立极坐标系，那么圆锥曲线的极坐标统一方程为
ep
1 e cos
其中e是离心率，p是焦点到对应准线的距离，一般称为焦 准距.
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三、统一定义和极坐标方程
3. 极坐标方程的说明：通常在极坐标中，ρ取非负数，那么 统一方程对双曲线来说只对应右支，如果允许ρ取所有实数， 那么统一方程对应左右两支双曲线.
分析B选项
1
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1 2 sin
1
2 1 sin
ep
1 e cos(
)
2
2
与直角坐标系的“左加右减”类似，这里的
说明这个图形
2
是由 ep 向负方向(即顺时针方向)旋转四分之一圈得到，因
1 e cos
此还是椭圆.
同理D选项是双曲线.
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四、圆锥曲线的切线
1. 标准圆锥曲线切线方程：设 P( x0 , y0 )是圆锥曲线上一点， 那么以P为切点的切线方程如下：
椭圆：x 2
a2
y2 b2
1
切线为
x0 x a2
y0 y b2
1
双曲线：x2 y2 1
a2 b2
切线为 x0 x y0 y 1
a2
b2
抛物线：y2 2 px
切线为 y0 y p( x x0 )
四、圆锥曲线的切线
解析几何
2. 圆锥曲线统一切线方程：设 P( x0 , y0 )是圆锥曲线
5. 根轴的方程：两个圆的一般方程直接相减消掉平方 项，得到的一次方程就是根轴的直线方程.
解析几何
例1 (2012北约) 已知A(-2,0)，B(0,2)，点C是圆 x 2 y2 2 x 0 上的动
点，则 ABC 面积的最小值为_____.
解：直线AB的方程为x-y+2=0，圆心到直线的距离为 所以圆上的点到直线的最短距离为 3 1，
圆：
x y
a b
r r
cos sin
双曲线：
x y
a b
sec tan
椭圆：
x y
a b
cos sin
抛物线： x 2 pt 2
y 2 pt
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例4 (2012北大保送生) 从O点发出两条射线l1、l2，已知直线交l1、l2于AB
两点，且三角形ABO的面积是定值c，记AB的中点为X，求证：X的轨迹 是双曲线.
1 k1k2
3. 根轴：到两个圆（不是同心圆）的幂相等的点恰好 构成一条直线，这条直线称为这两个圆的根轴. 根轴 垂直于两圆连心线.
解析几何
一、直线和圆锥曲线
4. 根轴的主要性质： 两圆相交，根轴就是公共弦所在直线； 两圆相切，根轴就是公切线； 三个圆之间每两个圆有一条根轴，那么三条根轴三线共点.
切线就是两圆的根轴，其方程由两圆方程相减得
(D 2 x0 ) x (E 2 y0 ) y F x02 y02 0
因为P点在圆上，所以 x02 y02 Dx0 Ey0 F，
代入得切线方程为
x0 x
y0 y
D(x0 2
x)
E( y0 2
y)
F
0.
二、圆锥曲线的参数方程
解析几何
两点，且三角形ABO的面积是定值c，记AB的中点为X，求证：X的轨迹
是双曲线.
设X点坐标为 (x0 , y0 ) ，那么
x0
mn 2 cos , y0
m n sin 2
x02 y02 mn 2c
c
cos2 sin2
sin 2 sin cos
x02 y02 1 ，因此X点轨迹是双曲线. c cot c tan