概率论习题

解：首先求出 ，
又因为
所以有， 。
同理， 。
所以，
因为，0.1578<0.5,所以， ，故
查表得，
所以，联立
即
已知录取率为：155、526=0.2947.
因为0.2119<0.2947(录取率)，所以此人可以被录取。
第19题100件产品中，90件是一等品，10件二等品，随机去两件装在机器上，若一个机器有i(i=0,1,2)各二等品，则此设备的使用寿命服从参数为 的指数分布。
(1)试求设备寿命超过1的概率；
(2)假如设备寿命超过1，求装备在机器上的两件是一等品的概率。
解：设Bi(i=0,1,2)表示事件“一台设备中有i个二等品”，A表示事件“设备寿命超过1”，所以：
所以，有全概率公式得：
(2)
第20题设随机变量X的密度函数为：
求Y=2x+3的密度函数。
解：有Y=2x+3，有x=(y-3)/2.
第三节 条件概率和事件的独立性
第16题已知
求(1) ；
(2) ；
第12题 某种产品共有30件，其中次品7件，从中任取5件，试求被取出的5件恰好有2件次品的概率。
解：
第13题 某口袋有4只白球，2只红球，从袋中取球两次，每次随机取一只，考虑两种取球方式，(a)有放回取球；(2)无放回取球；试就上面两种情况求：
应走第二条路。
(2)
所以，应走第一条路。
第9题设顾客排队等待服务的时间服X服从 的指数分布，某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要去等待服务5次，以Y表示一个月内未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和 。
解：
则
第10题设随机变量X的概率密度 ，求随机变量 的概率密度。
解：当y<0时，Y的分布函数：
1
3/10
1/10
2/5
pj
3/5
2/5
(3)
(4)由于 ，所以二者不相互独立。
第4题二维随机变量(X,Y)的分布律为：
X Y
0
1
0
7/15
7/30
1
7/30
1/15
(1)求Y的边缘分布律；
(2)求 ， ；
(3)判断X与Y是否独立。
解：(1)
(2)
(3)已知 而
因为 ，所以不相互独立。
第5题设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数。
第一章随机事件及其概率
第一节 随机事件
第1题 设A,B,C为三个随机事件，试用A,B,C的运算关系表示下列事件；
(1)D=“A,B,C至少有一个发生”；
(2)E=“A发生,而B,C都不发生”；
(3)F=“A,B,C中恰有一个发生”；
(4)G=“A,B,C中恰有两个发生”；
(5)H=“A,B,C中至少有两个不发生”；
当 ,
故Y的概率密度为：
第11题设随机变量X的分布函数为：
(1)试确定F(x)中的常数a,b,c,d的值。(2)求 .
解：(1)因F(x)在x=1，x=e,处右连续，所以， 。
又有分布函数的性质，有：
得：
于是得：
(2)
第12题已知随机变量X的分布律为：
X
p
0.2
0.7
0.3
求随机变量Y=sinx的分布律。
第8题对于随机事件A和B，有P(A-B)等于(C).
;
;
第9题设A、B、C是三个随机事件，且P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(C)=0.6, P(AC)=P(BC)=P(AB)=0.25,P(ABC)=0.2,试求下列各事件的概率：
(1)“三个事件中至少有一个发生”记为D1;
(2)“三个事件中至少有两个发生”记为D2;
，求事件A,BC全不发生的概率。
第13题从1到9的9个整数中又放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除。
分析：因为只有个位数为0的数才能被10整除，这样取出的3个数中只要有5有偶数，它们的积必能被10整除。
第14题在1500个产品中有400个次品、1100个正品，任取200个。
第2题 设
都是 中的集合，试求下列各集合。
； 。
第3题 化简
第4题 证明：
第5题 设A,B,C为3个随机事件，与A互斥的事件是(D)。
(A) (B) (C) (D)
第6题 对于任意2事件A和B,与 ，不等价的是(D)。
第二节 随机事件的概率
第7题 设随机事件A、B、C互不相容，且P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.4,则 等于( )。
(1)求恰有90个次品的概率；
(2)求至少有2个次品的概率。
第15题设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任取3件(分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回，拿3次；每次拿1件，取后不放回，拿3次)，试求：
(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率；
(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。
(4)当 时，
当 时，
第3题袋中有2各白球，3个黑球，不放回连取两次，每次取一个球，设随机变量X,Y分别为第一此和第二次渠道白球的个数，试求：
解：(1)(2)(X,Y)的所有可能组合为（0，0）（0,1）（1,0）（1,1），用古典概率求联合分布概率及边缘分布律。
X
Y
0
1
pi
0
3/10
3/10
3/5
所以，
第21题随机变量X的密度函数为：
求随机变量 的分布函数与密度函数。
解：X的取值范围为(-1,1),则Y的取值范围是[1,2].
当 时，
从而Y的分布函数为：
Y的密度函数为，
(完)
第三章 多维随机变量及其分布
第1题设X和Y是相互独立的随机变量，其密度函数分别是：
其中 是常数，试求：
(1)条件密度函数： ；
(1)取到的两个球都是白球的概率；(2)取到的两个球颜色相同的概率；
第14题某种产品共10件，其中有4件不合格品，从中取2件。已知所取的2件中有1件不合格，求另一件也是不合格品的概率。
第15题 某人忘记电话号码的最后一位，于是随机拨号，求下列事件概率：(1)恰好第三次拨通；(2)3次内拨通；
第16题 设有甲乙丙三个小朋友，甲得病的概率是0.05，甲得病条件下乙得病的概率是0.40，在甲乙两人均得病条件下，丙得病的概率是0.8，试求甲乙丙3人均得病的概率。
(2)饮用水量介于600-900吨之间概率。
解：(1)先求X的分布函数，
当 时，F(x)=0;
当 时， ；
第17题已知X的概率密度为，
计算 。
解：
第18题某单位招聘155人，按成绩录用，共有526人报名，成绩服从 ，已知90分以上12人，60分以下83人，从高分到低分录取，某人成绩为78分，问此人是否被录取？
1/20
1/20
3/20
1/20
1/20
1/10
0
1/20
0
1/20
1/4
则Z=X+Y的分布律为：
Z
-1
0
1
2
3
4
p
1/5
1/10
3/20
1/4
1/20
1/4
第7题设随机变量(X,Y)的概率密度为：
(2)引入随机变量 ,求Z的分布律。
解：
(1)因为X，Y相互独立，故
当Y>0时，
(2)
所以得Z的分布律为：
第2题设随机变量(X,Y)的联合密度函数为：
(1)确定常数k；
(2)求出X,Y的边缘密度函数；
(3)判断X,Y是否相互独立；
(4)求条件概率密度函数。
解：(1)
(2)
所以，
(3)因为 ，所以X,Y相互独立。
第21题
(1)设A,B,C是三个事件，且
P(A)=P(B)=P(C)=1/4;P(AB)=P(BC)=0; P(AC)=1/8;求A,B,C至少有一个发生的概率。
(2)已知P(A)=1/2；P(B)=1/3; P(C)=1/5; P(AB)=1/10;P(AC)=1/15;P(BC)=1/20; P(ABC)=1/30,
解：由已知得：
因为二者相互独立，所以联合密度函数为：
。
第6题设(X,Y)的联合分布律为：
Y
X
-2
-1
0
11Biblioteka 1/51/201/20
3/20
2
1/20
1/20
1/10
0
3
1/20
0
1/20
1/4
试求Z=X+Y的分布律。
解：
所以，X+Y的所有可能取值及其概率分别为：
X+Y
-1
0
1
2
0
1
2
3
1
2
3
4
P
1/5
解： ，
设车门高度为xcm，则
第8题某人去火车站有两条路，第一条短，但拥挤，它需要时间服从正态分布N(40,102)；第二条路长，但阻塞少，所需时间服从N(50,42)。求：
(1)若动身时要60分钟到火车站，应走哪条路？
(2)如果是45分钟，应走哪条路？
解：(1)设X,Y分别为该人走第一、二条路的所需时间， ， ，哪条路到达火车站的可能性大走哪条路。
保险公司应付出20000X，要使公司亏本，有
所以公司亏本，
(2)
第14题一台总机有300台分机，总计拥有13条外线，每台分机向总机要外线的概率为0.03，试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数。