2018.3.27极坐标系
极坐标系
• 例 4. 化ρ=-4sinθ+cosθ 为直角坐标方程 θ θ
• 例 4. 化ρ=-4sinθ+cosθ 为直角坐标方程 θ θ 注意整体替代。把原极坐标方程两边同乘ρ 注意整体替代。把原极坐标方程两边同乘ρ • ρ2 =-4 ρsinθ + ρcosθ ， ρ2 =x2+y2 ， θ θ • ρcosθ = x， ρsinθ = y，它的直角坐标方程 θ ， θ ， 1 17 2+y2=-4y+x ⇒ (x- —)2+(y+2)2= —— • 是x 2 4 • 在直角坐标系 在直角坐标系xoy中,方程表示的是以 1 ，-2) 方程表示的是以(—， 中 方程表示的是以 2 y √17 为半径的圆。 为圆心 ，— 为半径的圆。 2 o
· O ·
、 、 的位置关系。
·
x
·
一般地，如果 是一个点的极坐 标，那么 、 都可以 作为它的极坐标 。 如果限定 ， ，那么 除极点外，平面内的点和极坐标可以一 一对应。 不作特殊说明时，认为 。
极坐标
二、极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标 系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标； 同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角 坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在 一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的 方程。
一.极坐标系和点的极坐标 1、引入
y
•
M y x
5π 6
3π 4
2π 3
π
2
π
3
π
4
π
6
O x N
π
7π 6 5π 4 4π 3
·M o
x
3π 2
7π 5π 4 3
极坐标系径向速度与横向速度
v
r(t
t
e
)Cr1 re2
B
er
r
er
O
r(t )
A
极轴
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运动学方程 r r(t) (t)
轨道方程
r r( )
=常量
r =常量
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第二章 质点运动学
§2.7.2 径向速度与横向速度
1. 位移 若位矢的原点与极坐标的极点重合
位移：
Δt很 小
Δr Δr1
横向位移
时
r1 r e
Δr2 Δrer
Δr2
径向位移
r (t
O
t
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第二章 质点运动学
§2.7.1 极坐标系
如图，极点O，极轴Ox，幅角，
规定自极轴逆时转为正，反之为负.
质点的极坐标(r,).
O
r
e
er
P(r,)
x
这里 r 是坐标不是位矢，当位矢的原点取在极点上
时，两者数字相同.
径 向单 位矢量 er 横向单位矢量 e
er e 不是常矢量
e
r2
)C r1
e
B
er
r
er
r (t )
A
极轴
OA=OC
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第二章 质点运动学
2.
速度
v lim
r
t0 t
lim
t 0
r t
er
lim r
t 0
t
e
dr dt
er
r
d
dt
e
v vr er v e vr
径向速度
极坐标系
极坐标系：
1、概念：取平面内一定点O 引一射线Ox ，选定长度单位、角度单位及计 算角度的正方向，便建立了一个极坐标系。
2、相关概念：定点O 称为极点；射线Ox 称为极轴；平面内某点P 与极 点距离OP 称为P 点的极径，以ρ表示；以极轴为始边、射线OP 为终边的xOP ∠称为P 点的极角，以θ表示；有序数对(,)ρθ称为P 点的极坐标。
3
4、极坐标系示意图：
5、极坐标系与直角坐标系互化： （1）互化前提：极点与原点重合；极轴与x 轴正半轴重合；两种坐标系长
度单位相同。
极坐标中(,)P ρθ，直角坐标系中(,)P x y 。
（2）极化直坐标公式：cos x ρθ=；sin y ρθ=；
（3）直化极坐标公式：222x y ρ=+，tan (0)y x x
θ=≠；
注1：通常取ρ>0；
注2：θ由tan y x θ=及点(,)x y 所在象限取最小正角； 注3：当0x =时：(0,0)(0,)()R θθ⇒∈；(0,)(0,)(2y y π⇒>0)；3(0,)(0,)(2
y y π⇒<0)； 注4：极点与原点不重合但极轴与x 轴正半轴平行，设极点为'O ，其在直角坐标系中
坐标为：00(,)x y 。
则极化直坐标公式：0cos x x ρθ=+；0sin y y ρθ=+；
直化极：22200()()x x y y ρ=-+-；000
t a n ()y y x x x x θ-=≠-。
极坐标系 课件
(2)ρ＝ 22＋－2 32＝4，tan θ＝－22 3＝－ 3， θ∈[0,2π)，由于点(2，－2 3)
在第四象限，所以 θ＝53π，所以直角坐标(2，－2 3)化为极坐标为4，53π.
(3)ρ ＝
－ 23π2＋－32π2 ＝
【例题 2】 写出下列各点的直角坐标．
(1)4，23π；(2)2，56π；(3)4，－π3.
思维导引：由公式yx＝＝ρρscions
θ， θ
结合点的极坐标(ρ，θ)求解．
解析：(1)由x＝4cos23π＝4×－12＝－2， y＝4sin23π＝4× 23＝2 3，
得4，23π的直角坐标为(－2,2 3)．
(2)由x＝2cos56π＝2×－ 23＝－ 3， y＝2sin56π＝2×12＝1，
得2，56π的直角坐标为(－ 3，1)． (3)由yx＝＝44scions－－π3π3＝＝44××12－＝223，＝－2 3， 得4，－π3的直角坐标为(2，－2 3)．
•考点三 将点的直角坐标化为极坐标
• (1)牢记将直角坐标化为极坐标的公式； • (2)注意极径和极角的取值范围．
1＋4－4×cosπ3＝ 3.
【例题 3】 分别将下列各点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)(－2,2)；(2)(2，－2 3)；(3)－ 23π，－32π.
借助ρ＝ x2＋y2求ρ 思维导引：由已知―由―t―an―θ―＝―yx―x≠―0―求―θ→转化为极坐标． 解析：(1)ρ＝ －22＋22＝2 2，tan θ＝－22＝－1，θ∈[0,2π)，由于点(－2,2)在第 二象限，
【例题 1】 在极坐标系中，设点 A4，π6，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，
极坐标坐标轴名称
极坐标坐标轴名称什么是极坐标在笛卡尔坐标系中，我们通常使用直角坐标系表示平面上的点，通过x轴和y轴的坐标来确定一个点的位置。
而在某些情况下，直角坐标系并不适用，或者使用直角坐标系进行计算较为繁琐。
这时，我们可以考虑使用极坐标系。
极坐标系也是二维坐标系，但与直角坐标系不同的是，极坐标系使用极轴和极角来确定一个点的位置。
极坐标系的原点称为极点，极轴则是从极点出发指向某个方向的射线。
点的位置由射线与极轴的夹角和射线的长度（即极径）来确定。
极坐标系的坐标轴名称在极坐标系中，主要有两条坐标轴：极轴和极角轴。
•极轴：极轴是从极点出发的一条直线，它的方向与初等圆相切，并且无具体的数值，只起到定位的作用。
在极坐标系中，极轴通常以直线或半直线表示。
•极角轴：极角轴是以极点为原点画的一条射线。
极角轴从极点出发，按照逆时针方向旋转。
极角通常用弧度（radians）或度数（degrees）来表示。
在一次完整的旋转中，极角轴回到初始位置，极角的定义范围为0到360度或0到2π弧度。
在表示点的位置时，极坐标系统使用一个坐标点（r,θ）来表示，其中r表示与极点的距离，也即极径；θ表示射线与极轴的夹角，即极角。
极坐标系的优势和应用极坐标系相对于直角坐标系有一些独特的优势，尤其在描述圆形和周期性现象时非常有用。
以下是极坐标系的一些优势和应用：1.易于描述圆形和周期性现象：在极坐标系中，圆形可以简单地用一个方程表示，而在直角坐标系中则需要使用二次方程。
对于周期性现象，如电流的正弦波，则可以方便地用极坐标系描述。
2.简化复杂计算：在某些数学和物理问题中，使用极坐标系可以简化复杂的计算。
例如，极坐标系可以简化计算连续介质的动量和角动量。
3.可视化方便：在绘图和数据可视化中，极坐标系可以提供更直观的可视化效果。
特别是对于圆形或环形数据的可视化，使用极坐标系能够更好地展示分布特征。
4.几何问题的求解：在解决几何问题（尤其是与圆形相关的问题）时，极坐标系经常是一种非常有用的工具。
极坐标系定义
极坐标系定义
极坐标系是一种用来描述平面上点的坐标系统。
它由两个数
值组成，分别是极径和极角。
在极坐标系中，每个点可以通过一个有序对(r,θ)来表示，其
中r表示点到原点的距离，即极径，θ表示点与正向极轴的夹角，即极角。
极径是一个非负数，它可以是实数或者正无穷大。
而极角是
一个弧度数，它的取值范围通常是[0,2π)或者(π,π]。
极轴是极坐标系中一个特殊的直线，通常与正x轴重合。
在极坐标系中，一个点的坐标可以有不同的表示方法，例如(r,θ)，(r,θ+2kπ)，(r,θ+360°)，其中k是整数。
这是因为极角的定义具有周期性。
极坐标系的优点是可以方便地描述环形结构和对称性。
例如，圆的方程在极坐标系中变为简单的r=constant的形式，而直
线在极坐标系中通常会变为一个斜线。
在极坐标系中，坐标变换与直角坐标系相比较复杂，因此在
实际应用中，一般会选择最方便的坐标系来描述问题。
但对于
一些特殊的情况，如天文学中描述星体的运动轨迹、电力工程
中描述电场分布等，极坐标系仍然是一种重要的工具。
二、极坐标系
O
θ
x
P•
•P
•P
x
Q•
三、极坐标与直角坐标的互化 以原点为极点, x轴的正半轴为极轴， 取相同长度单位，M直角坐标是(x,y), 极坐标是(ρ, θ), 则
x=ρcosθ, y= ρsinθ
•M
ρ θ
•M
极坐标直角坐标互化的前提条件: (1)极点与直角坐标系的原点重合 (2)极轴与x轴正半轴重合
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正
方向（通常取逆时针
方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，
用 表示线段OM的长度，
用 表示从OX到OM 的
M
角度， 叫做点M的极径，
二、极坐标系
一人来到了泰安 高铁站广场东
笑园公寓在什么位置？
以高铁站原点 以灵山大街为x轴...
脑子 进水了？
从这向南直走1500米。我知道了。
从这向南直走1500米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一 点的位置。这种用方向和距离表示平面上一 点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
叫做点M的极角，有序
数对（，）就叫做M的
极坐标。
O X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表 示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
比较直角坐标系与极坐标系相关概念：
练习：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
极坐标系的概念 课件
4．点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与__(ρ_， ___θ_＋__2_k_π_)_(k_∈__Z__)表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为 (0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有 无数 种表示． 如果规定 ρ＞0， 0≤θ＜2π ，那么除 极点 外，平面内的点可用 唯一 的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一 确定的．
极坐标系的概念
1．平面内点的位置 在平面直角坐标系中，点的位置用有序实数对确定，平面内的点的位置也可以用距离 和角度确定． 2．极坐标系 如图所示，在平面内取一个 定点 O，叫作极点，自极点 O 引一条 射线 Ox，叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取 逆时针 方向)，这样就建立了一个极坐标系．
2．设点 A2，π3，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点 A 关于极轴， 直线 l，极点的对称点的极坐标(限定 ρ＞0，－π＜θ≤π)． 解析：如图所示，
C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π. 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆上．
D300
2，34π，E(300，π)，F150
2，34π.…………………………………12 分
[规律探究] 在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同， 点的极坐标的表示也会不同，只有在 ρ≥0，θ∈[0,2π)的限定条件下，点的极坐 标才是唯一的．
3．极坐标 设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫作点 M 的 极径 ，记为 ρ；以极
轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫作点 M 的 极角 ，记为 θ.有序数对_(_ρ_，__θ_)_ 叫作点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ． 一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ ≥ 0，θ 可取 任意实数 ． 特别地，当点 M 在极点时，它的极坐标为 (0，θ) ，θ 可以取 任意实数 ．
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引入新课 用方向和角度确定点的位置 例1练习写极坐标
极坐标概念
例2适当建系写坐标
直角坐标与极坐标互化
练习及作业
极坐标系
生活中经常会有人问我们路 , 你怎样描述 ?阅 读课本第 9 页思考. 下面这句话，告诉了问路人什么？ 从这向东偏北方向走 300 米！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点 的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位 置的方法，有时它比直角坐标更方便,如航空、航 海、测量、台风预报中就主要采用这种方法。
4 D 3 5G 3
在 极 坐标 平面 内确 定 唯一的一点 M ( , ) . 但给定平面上一点 M ，
有无数个极坐标与之对应. 规定:极点 O 的极坐标为 (0, ) , 为任意角
例 2、如图，用点 A、B、C、D、E、F 分别表示教学楼， 体育馆，图书馆，试验楼，办公楼的位置，建立适当的极 y 坐标系，写出各点的极坐标.
y
5 (10, ) 例 4.将点 M 的直角坐标 (5, 5 3) 化为极坐标. 3
练习:
作业:课本第 12 页第 3、4、5 题.
1.在极坐标系中,已知 A(2, )、B(6, ) , O 为极点, 6 6 6 则 OA OB ________. 2. 在极坐标系中 , 点 (3, ) 关于射线 所在 6 4 2 (3, ) 的直线对称的点的极坐标是_________. 3 3.在极坐标系中,已知点 A(2, )、B(3, ) , 6 2 7 则 AB =_________. 一般地，在极坐标系中点 P1 ( 1 ,1 )、P2 ( 2 ,2 ) ， 2 2 1 2 2 1 2 cos( 则 P P ________________ . 1 2 )
1 2
思考:如图:是某校园的平面示意图， 假设某同学在教 学楼 A 处，请回答下列问题： (1) 他向东偏北 6 0 度方向走 120m 后到达什么位 置？该位置唯一确定吗？ (2) 如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如 何描述？ D实验楼 C图书馆
(1) 图书馆 D ,唯一确定
(2) 向 东 走 60m 到达体育馆
如果规定 ≥ 0, 0, 2 ,那么除极点外,平面 内的点 M 与极坐标 ( , ) 有一一对应关系.
M ( , )
例 1.如图说出下图中各点的极坐标(其中最小圆为单位圆， 逐个圆半径递增 1). 答: A(3,0), B(6, 2 ), 4 2 C (3, ), D(5, ), 4 3 4 5 5 6 E (3, ), F (4, ), C 6 E 5 G (6, ) A B 3 F x O 注:给定 ( , ) ,就可以
把直角坐标系的原点作为极点, x M 轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系 中取相同的长度单位. y M 是平面内任意一点,它的直角 坐标是 ( x, y) ,极坐标是 ( , ) . 2 2 2 xN O x y x x cos 则 及 y y sin tan ( x 0) x 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 2 (1, 3) 例 3.将点 M 的极坐标 (2, ) 化为直角坐标. 3
办公楼E
50m 120m
向北偏西 45 走 50m 到达办公楼
45
60
60m
B体育馆
教学楼A
极坐标系定义: 在平面内取一个定点 O ，叫做极点.
引一条射线 Ox ，叫做极轴.
再选定一个长度单位和 ─ 极径 角度单位及它的正方向 ─极角 (通常取逆时针方向). x 这样就建立了一个极坐标系. O 用 表示线段 OM 的长度， 用 设 M 是平面内一点, 表示从极轴 Ox 到射线 OM 的角度 , 叫做点 M 有序数对 ( , ) 叫点 的极径， 叫做点 M 的极角， M 的极坐标. 注:一般地,不作特别说明, ≥ 0, R
解:以 A 为极点,射线 AB 为极轴 D (单位长度为 1m ,单位角度为 1rad )
∴ A(0,0), B(60, 0), C (120, ), D(60 3, ), 3 2 3 E (50, ), 4
E 50m
C120m45源自A60(O) 60m
B
x
思考:在平面内也可以以 A 为原点,以直线 AB 为 x 轴,以 直线 AD 为 y 轴,单位长度仍为 1m 建直角坐标系， 写出各点的 直角坐标,那么同一点的极坐标与直角坐标有什么关系呢?