§6++随机变量函数及其分布

2020/5/10
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( 2 )m a x X ,Y 的 分 布 列 .
(X ,Y )( 1 , 2 )( 1 , 1 )( 1 ,0 )(1 , 2 )(1 , 1 )(1 ,0 )(3 , 2 )(3 , 1 )(3 ,0 )
概
222
率 P 1 /1 21 /1 21 /41 /61 /1 2 0 1 /6 01 /6
率
论 与
解 ： ( X , Y ) 的 联 合 分 布 列 也 可 以 表 示 为 ：
数
理 统
(X ,Y )( 1 , 2 )( 1 , 1 )( 1 ,0 )(1 , 2 )(1 , 1 )(1 ,0 )(3 , 2 )(3 , 1 )(3 ,0 ) 222
计 P 1 /1 21 /1 21 /41 /61 /1 2 0 1 /6 01 /6
y
1
f ( y) Y
y2
,
0 ,
y 1 其他
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例 3 . X ～ N ( 1 0 , 2 2 ) , 求 Y 3 X 5 的 密 度 函 数 ；
解 ： 显 然 y g ( x ) 3 x 5 满 足 定 理 条 件 .
概 率
且xh(y)y5, h '( y ) 1 .
X: N(,2) YX: N(0,1).
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2、分布函数法 ——g(x)为任意形式 Yg(X)
万能法
（1）先确定Y的可能取值范围，如 ： ayb.
概
率 （2）在Y的可能取值范围内，求出其分布函数。
论
与 数
FY(y)P(Yy)P (g(X )y) 利 用 X 的 分 布 FY ( y).
3
例1 已知X的分布列如下：
X 1 0 1 2 2.5
概 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
率 论
求 X 1 , 2 X ,X 2 的 分 布 列 .
与
数 解：
X 1 0 1 2 2 . 5
理
X1 2 1 0 1 1 . 5
统
计
2X 20 2 4 5
X 2 10 1 4 6 . 2 5
与 一 维 离 散 随 机 变 量 函 数 分 布 类 似 ， 把 (X,Y)换 成
X Y 和 m a x X ,Y ， 概率不变，再 整 理 可 得 .
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(1 )X Y 的 分 布 列 :
(X ,Y )( 1 , 2 )( 1 , 1 )( 1 ,0 )(1 , 2 )(1 , 1 )(1 ,0 )(3 , 2 )(3 , 1 )(3 ,0 )
与 则 Y g ( X ) 的 密 度 函 数 为 ：
数
理 统 计
pY(y) pX[h (y)0 ]h'(y),,
ayb 其 他
其 中 ， a m i n g ( ) , g ( ) , b m a x g ( ) , g ( ) .
注意该定理的适用条件。
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补充说明:
若 X 服 从 正 态 分 布 ， 则 其 线 性 函 数 也 服 从 正 态 分 布 .
概 率
即有：
论
与
X: N(,2), Ya X b Y :N (a b ,a 22 ).
数 理 统
特 别 地 ， 取 a 1,b Y:N (0,1).
计 即 得 到 一 般 的 正 态 分 布 的 标 准 化 公 式 ：
y
概 由 0 x z y 1 ,y 0
yz
率
论
与 0 y 且 z 1 y z .
yz1
数 理
01
z
统 计
0,z 0;
pZ(z)
z1eydy 1ez,0 z 1;
0
z 1eydy (e1)ez,z 1;
z1
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2、分布函数法 （万能法）
例5 设X的密度函数是fX(x)，Y=4X-1,求Y的密度函数.
解 ： 先 求 Y 的 分 布 函 数 ：
概 F Y (y)P (Y y)P (4X 1y) P(X y1)
率 论 与
FX
(
y
4
1)
4
数 所 以 Y 的 密 度 函 数 为
理 统 计
fY(y)FY(y) F X (y4 1)fX(y4 1)1 4
y
z
xz
1
与
数
理
统
0
1x
0
1x
计
0,
z 0;
pZ(z)
z1e(zx)dx 1 ez,
0
0z1;
11e(zx)dx(e1)ez, z 1. 0
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解 法 二 ： 利 用 公 式 p Z ( z ) p X ( z y ) p Y ( y ) d y
概 当 0y1时 ，
率
论 P Y (y)P (Yy)P(X2 y)
fX (x ) 1 ,(0 x 1 )
与
y
数 P(0X y) 1d x
理
0
统
计
y FY(y)
fY ( y)
dFY dy
1 2y
.
即得：fY(y)
1 2 y
,0
y
1;
0 , 其他.
2020/5/Y ) : f ( x , y ) , Z g ( X , Y ) , 求 Z 的 密 度 函 数 f Z ( z ) .
概 ( 1 )确 定 Z 的 可 能 取 值 范 围 .
率
论 ( 2 ) 在 Z 的 可 能 取 值 范 围 内 计 算 分 布 函 数 F Z ( z ) .
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解 法 一 ： 利 用 公 式 p Z ( z ) p X ( x ) p Y ( z x ) d x
0 x 1 ,0 y . zxy yzx
概 率 论
(X ,Z )的 联 合 取 值 范 围 ： 0 x 1 ,z x 0 .
求Z＝X+Y的密度函数。
解：X和Y的密度函数分别是
概
率 论 与
1, 0x1;
ey, y 0;
pX(x)0, 其他.
pY
(
y)
0,
其他.
数 Z X Y 的 可 能 取 值 范 围 是 ： y
理
统
0z .
计 (X ,Y ) 的 联 合 取 值 范 围 是 ：
0 x 1 ,0 y .
0
1x
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定理的证明: p Y ( y ) p X [ h ( y ) ] h ' ( y ) ,a y b .
假设g(x)g'(x)0h(y) , h'(y)0.
概 记 a g ( ) ,b g ( ) ,则 y g ( x )在 ( a ,b ) 内 取 值 .
3
3
论 与 数 理
x y .
p Y (y )p X [h (y )]h '(y )
pX(x)2
1 (x10)2 e 24
2
统 计
1
1 (y/35/310)2 e 24
1
(y35)2
e 236 ,y.
22
3 62
即Y: N(35,62).
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例 2 设 X ~ E x p () ， 求 Y e X 的 密 度 函 数 f(y ) Y 解QX ~Exp()， X的密度函数为
概 率
ex,
f X
(x)
0 ,
x 0 其他
论
与 函数yex为一个单调增加且具有一阶连续导数的函数，
数 理
反函数为xh(y)lny,xh(y)1，且y1
统
计
所以Y的密度函数为
概 第四章 随机变量的函数及其分布
率
论
与
数 理
教材P49-54
统
计
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概
率 论
第一节 一维随机变量的函数及其分布
与
数
理
统
计
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一、离散随机变量函数的分布
设随机变量X的分布列为
概
X x1
x2 L xn L
率 论
P P (x1) P (x2)L P (xn) L
统
计
X2 0 1 4 6.25
P 0.1 0.3 0.3 0.3
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二、连续随机变量函数的分布
1、公式法 ——g(x)严格单调
概 定 理 ： 设 连 续 型 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 p X ( x ) ,
率 论
yg (x )严 格 单 调 ， 且 其 反 函 数 h ( y ) 有 连 续 导 数 .
理 统
的分布有着必然的联系。
计
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例 1 . 设 ( X ,Y ) 的 联 合 分 布 列 为 X 1Y 1/ 122
1 1 / 12
0 1/4
求 : (1 )X Y 的 分 布 列 ； 1 / 2 1 / 6 1 / 12 0