基本不等式
基本不等式全部公式
基本不等式全部公式1.三角不等式：对于任意实数a和b，有，a+b，≤，a，+，b2. Cauchy-Schwarz 不等式：对于任意实数 a1, a2,...,an 和 b1, b2,...,bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + an²)(b₁² + b₂² + ... + bn²)3. 二次平均不等式：对于任意非负实数 x1, x2,...,xn，有√((x₁² + x₂² + ... + xn²)/n) ≥ ((x₁ + x₂ + ... + xn)/n)4. 广义平均不等式：对于任意非负实数 x1, x2,...,xn 和实数 p ≠ 0，有(x₁ᵖ + x₂ᵖ + ... + xnᵖ)/n ≥ ((x₁ + x₂ + ... + xn)/n)ᵖ5. AM-GM 不等式：对于任意非负实数 x₁, x₂,...,xn，有(x₁x₂...xn)^(1/n) ≤ (x₁ + x₂ + ... + xn)/n6. Jensen 不等式：设 f 是凸函数，则对于非负实数 x₁, x₂, (x)和非负实数权重 w₁, w₂,...,wn，有f(w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wnxn) ≥ w₁f(x₁) + w₂f(x₂) + ... +wnfn(xn)7. Hessemberg 不等式：对于非负实数 x₁, x₂,...,xn，有(x₁ + t)ⁿ ≤ x₁ⁿ + nx₁ⁿ⁻¹t + n(n-1)x₁ⁿ⁻²t²/2 + ... + tⁿ8. Bernoulli 不等式：对于实数x ≥ -1 和正整数 n，有(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx9. Muirhead 不等式：对于非负实数 a₁, a₂,...,an 和 b₁,b₂,...,bn 满足 a₁ + a₂ + ... + an = b₁ + b₂ + ... + bn，有a₁ᵖ₁a₂ᵖ₂...anᵖₙ + permutations ≥ b₁ᵖ₁b₂ᵖ₂...bnᵖₙ + permutations10. 反柯西不等式：对于任意非负实数 a₁, a₂,...,an，有(a₁/a₂ + a₂/a₃ + ... + an-₁/an + an/a₁) ≥ n以上是一些常见的基本不等式公式。
基本不等式
、柯西不等式等。
优化问题
02
在优化问题中，幂平均不等式可以用于寻找最优解或确定最优
解的范围。
统计学应用
03
在统计学中，幂平均不等式可以用于分析数据的分布和离散程
度。
24
06
排序原理与切比雪夫（ Chebyshev）不等式
2024/1/26
25
排序原理简介
2024/1/26
01
排序原理是一种基本的数学原理，用于比较和排列一组数的大 小。
2024/1/26
因式分解法
将一元二次不等式因式分解，然后利用不等式的性质进行求解。
14
一元二次不等式组解法
2024/1/26
分别求解法
分别求出每个不等式的解集，然 后取它们的交集作为不等式组的 解集。
图像法
在同一坐标系中画出每个不等式 的图像，然后找出满足所有不等 式的区域作为不等式组的解集。
15
17
算术平均值-几何平均值（AM-GM）不等式
对于所有非负实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$，有
$frac{a_1 + a_2 + cdots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$当且仅当 $a_1 = a_2 = ldots = a_n$ 时取等号。
2024/1/26
加权平均值不等式是AM-GM不等式的推广，具有更广泛的应用范围。
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柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式
对于任意实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$ 和 $b_1, b_2, ldots, b_n$，有
2024/1/26
$(a_1^2 + a_2^2 + cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + cdots + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n)^2$当且仅当 $a_i = kb_i (i = 1, 2, ldots, n)$ 时取等号，其中 $k$ 为常数。
基本不等式
基本不等式一、 基本不等式的依据由于无论x ，y 取何值，都有()20x y -≥成立，则必有222x y xy +≥，显然当x y =时()2x y -有最小值0，于是我们得到：”成立时，“当且仅当==≥+∈∀y x xy y x R y x ,2,,22同样的，当x y ==”成立时，“当且仅当==≥+>>∀b a ab b a b a ,2,0,0，我们称之为基本不等式基本不等式的公示变形：()()210,0,20,0,22a b a b a b a b ab ++⎛⎫>>≥>>≤ ⎪⎝⎭变形变形， ※ 其中2ba +叫做a ，b 的算术平均数，ab 称作a ，b 的几何平均数二、 几何意义如右图所示：显然2a b +DE 的一半DC由于ADC ∆∽DBC,∆则2DC AC BC =⋅,即DC =.即,任意圆的半径都不小于圆内的任何一条弦长的一半三、 例题1．10,x x x>+已知求的最小值110,0,2x x x x >>+≥=因为则，则当11x x x==±时，即，而0x >， 所以当11x x x=+时，有最小值2 2．已知01x <<,求函数()1y x x =-的最大值因为01x <<，则0,10x x >->，则()211124x x y x x +-⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭ 即当()1x x =-时，12x =时，y 有最大值14总结：基本不等式的作用可以用来求函数的最值以及式子的范围，但基本不等式的应用需要条件注意：先要验证是否满足基本不等式的前提条件：,x y 均大于零然后，验证式子是否存在,x y xy +其中一个是固定的值，则另一个必有最值 最后，则要求出取得最值时的x ，y 的值，x ，y 的值必须满足第一个条件我们称利用基本不等式时，要满足：一正，二定，三相等，缺一不可，依次递推四、 基本不等式的常见题型1. 积时定值，和有最值例1：已知1x >，求11y x x =+-的最值 分析：显然第一个条件满足，而第二个积不是定值，不能使用，可以进行变形为1111y x x =-++-，即可求出例2：已知0x <，求1y x x=+的最值 分析：第一个条件10,0x x<<不成立，所以无法直接利用基本不等式，需要进行简单变形：()1y x x ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,这时10,0x x ->->,12x x ⎛⎫-+-≥= ⎪⎝⎭ 即1[]2y x x ⎛⎫=--+-≤- ⎪⎝⎭,当且仅当1x x -=-时, 1x =±,又因为0x <, 则1x =-时,函数y 有最大值-2练习:112,33y x x x =+>-求时的最小值512,42445x y x x <=-+-求函数的最大值2313,0x x y x x++=>求时的最小值24)y x R =∈求的最小值2. 和是定值,积有最值例:当302x <<,求()32y x x =⋅-的最值 分析:第一个条件满足.而和不是定值,故需要适当变形: ()()1322322y x x x x =⋅-=⋅⋅- 这样就可以求出函数的最值了()()2112329322322228x x y x x x x +-⎛⎫=⋅-=⋅⋅-≤= ⎪⎝⎭, 当且仅当()232x x =-时,即34x =时,函数y 有最大值98练习: 104(82)x y x x <<=-当时，求的最大值22111x y x -≤≤=-，求函数的最大值33.利用条件化为1，借助1进行代换810,0,1,2x y x y x y>>+=+例：已知且求的最小值 分析: ()()811621282x yx y x y x y y x ⎛⎫+⋅=+⋅+=+++ ⎪⎝⎭,显然就可以求出最值了练习:141,,2,x y R x y x y+∈+=+已知求的最小值<2>已知0,0,a b >>a+b=2，则14y a b=+的最小值<3>若正数x ，y 满足35x y xy +=，求3x+4y 的最小值4.利用基本不等式转化成不等式求解,,3,xy x y x y R xy x y +∈=+++例：已知求，的范围练习：10,0,80,xy x y x y xy >>++-=已知求的最大值20,0,228,2x y x y xy x y >>++=+求的最小值<3>若对于任意的正数x ，231x a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围5.扩展21,112a b a b x y a b +≤≤≤=+若都是正数，则时成立33332,,,3,,,,,3a b c R a b c abc a b c a b c R a b c a b c a b c abc a b c ++∈++≥==∈++≥==++⎛⎫≤== ⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立当且仅当时，等号成立当且仅当时，等号成立例题:29104x y x x>=+当时，求的最小值2320(32)2x y x x <<=-当时，求的最大值22233332019,,1,1111(2)()()()24a b c abc a b c a b ca b b c a c =⎡⎤⎣⎦++≤+++++++≥全国均为正数，且证明：（）6.实际应用：<1>某工厂要建造一个长方体的无盖存水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低?最低造价是多少？<2>十九大提出中国的电动汽车革命早已展开，通过新能源汽车替代汽油车，中国正大力实施一项计划，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，当生产量为x（百辆）时，需另外投入成本C（x）万元，且210100,040()10000501,40x x xC xx xx⎧+<<⎪=⎨+≥⎪⎩，由市场调研可知，每辆车的售价为5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求今年的利润()L x（万元）关于生产量x（百辆）的函数关系式（2）今年生产量为多少百辆时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润.。
基本不等式
第三节 基本不等式
目
录
1
高考引航
2
必备知识
3
关键能力
高考引航
必备知识
知识清单
一 基本不等式 ≤
+
2
(1)基本不等式成立的条件:
a>0,b>0
(2)等号成立的条件:当且仅当ຫໍສະໝຸດ a=b..
二 几个重要的不等式
(1)a2+b2≥
(2) + ≥
(3)ab≤
(4)
2ab
2
(a,b∈R);
通道,如图.设矩形温室的室内长为 x(单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为
S(单位:m2).
(1)求 S 关于 x 的函数关系式;
(2)求 S 的最大值.
解析
【解析】(1)由题设,得 S=(x-8)
900
7200
-2 =-2x-
+916,x∈(8,450).
(2)因为 8<x<450,
时,等号成立.
答案
解析
关键能力
题型归纳
题型一
利用基本不等式求最值
1
1
【例 1】(1)已知 a,b∈R,且 a-3b+6=0,则 2a+8 的最小值为 4
(2)(2020 届南昌市模拟)已知函数 y=x+
-2
的值为
4
.
(x>2)的最小值为 6,则正数 m
.
(3)(2020 届安徽天长模拟)已知正数 a、b 满足 a2+b2=6,则 b 2 + 4的最
大值为
5
.
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式完整版
基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。
2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。
3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
基本不等式的四种形式
基本不等式的四种形式基本不等式是数学中常用的一种关系式，它可以帮助我们解决各种问题。
本文将介绍基本不等式的四种形式，并通过具体例子进行说明。
第一种形式：a≥b这个不等式表示a大于等于b，即a可以是b或者大于b。
我们可以通过这个不等式来比较两个数的大小关系。
例如，我们要比较两个数a=5和b=3的大小关系。
根据基本不等式的第一种形式，我们可以得出结论：5大于等于3，即5≥3。
第二种形式：a≤b这个不等式表示a小于等于b，即a可以是b或者小于b。
同样地，我们可以通过这个不等式来比较两个数的大小关系。
例如，我们要比较两个数a=2和b=4的大小关系。
根据基本不等式的第二种形式，我们可以得出结论：2小于等于4，即2≤4。
第三种形式：a>b这个不等式表示a大于b，即a一定大于b。
我们可以通过这个不等式来判断两个数的大小关系。
例如，我们要比较两个数a=7和b=6的大小关系。
根据基本不等式的第三种形式，我们可以得出结论：7大于6，即7>6。
第四种形式：a<b这个不等式表示a小于b，即a一定小于b。
同样地，我们可以通过这个不等式来判断两个数的大小关系。
例如，我们要比较两个数a=1和b=8的大小关系。
根据基本不等式的第四种形式，我们可以得出结论：1小于8，即1<8。
基本不等式的四种形式可以帮助我们解决各种实际问题。
例如，在购物时，我们可以通过比较不同商品的价格来判断哪个商品更便宜。
假设商品A的价格是a，商品B的价格是b，根据基本不等式的四种形式，我们可以得出以下结论：1. 如果a≥b，则商品A的价格大于等于商品B的价格，即商品A 更贵。
2. 如果a≤b，则商品A的价格小于等于商品B的价格，即商品A 更便宜。
3. 如果a>b，则商品A的价格大于商品B的价格，即商品A更贵。
4. 如果a<b，则商品A的价格小于商品B的价格，即商品A更便宜。
通过基本不等式，我们可以更准确地比较两个数的大小关系，从而做出更合理的选择。
基本不等式
基本不等式一、基础知识☐基本不等式：在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式．☐平均值不等式：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a 、b ，有2a b ab ，且等号当且仅当a b 时成立.证明：对于正数a 、b ，要证明定理所述之平均值不等式，只要证明2a bab ，即20a b ab.由22a b aba b.上式显然成立，且只有当ab 时，原不等式两边才相等.☐常用不等式：对于任意的正数a 、b ，有22a bab ，且等号当且仅当a b 时成立.☐三角不等式：对于任意的实数a 、b ，有a b a b ，且等号当且仅当0ab 时成立.证明：为证明a ba b ，只需证明22a ba b，即222222aab b a ab b ，也即22ab ab ，这是显然的，且等号当且仅当a 、b 同号，即0ab时成立.二、拓展知识☐基本不等式：如果a ，b ，c R ，那么3333a b c abc （当且仅当a b c 时取“”）证明：33333223333a b c abca bc a b ab abc223a b ca ba b c c ab a b c22223a b c a ab b ac bc c ab 222a b c a b c ab bc ac 22212a bc a ba cbca ，b ，cR ，222102a b c a b a cb c从而3333ab c abc☐推论：如果a ，b ，c R ，那么33a b c abc （当且仅当a b c 时取“”）☐基本不等式：1212nn a a a a a a n，*n N ，ia R ，1in .证明可用数学归纳法，二项式定理证明，这里证明省略； ☐柯西不等式：222222211221212n nn n a b a b a b a a a b b b,1,2,,i i a b R i n ，等号当且仅当120na a a 或i ib ka 时成立（k 为常数，1,2,,i n ）证明：构造二次函数2221122n nf xa xb a x b a x b2222222121122122n n n n a a a xa b a b a b xb b b222120n aa a又0f x 恒成立222222211221212440n nn n a b a b a b a a a b b b即222222211221212n nn n a b a b a b a a a b b b当且仅当0i i a x b x（1,2,,i n ）即1212nna a ab bb 时等号成立. ☑一个重要的不等式链：2112a b a b+≤≤≤+． ☑函数()()0,0bf x ax a b x =+>>图象及性质 （1）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象大致如下图（xx x f 1)(+=）所示：（2）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：()2,ab,⎡-∞-+∞⎣；②单调递增区间：,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调递减区间：0,,0⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎪⎝⎣⎭．三、最值常见类型注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”； （2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 类型一：积定和最小；重点：利用好“一正，二定，三相等”，凑积为定值； 例1、已知1->x ，求221xx 的最小值【解析】求和的最小值，去找积的定值，这里面发现2x 与21x 的积没有关系，但是能够注意到题目中有1->x ，从而01>+x ，且可以将2x 出来1x 让分母抵消，故有222221222122111xx x x x x ，当且仅当2211x x 即0x 时取等号；注意：在使用积定和最小时，第一要注意两个式子是正还是负（一正）；第二要注意两个式子乘起来是不是定值，如果是定值，结束，如果不是定值要注意进行变形，凑成乘起来是定值的式子（二定）；第三是要注意进行验证，是否可以取等（三取等）；注意：三取等一定要关注，一个是为了验证等号，第二个是因为有的不等式是会进行多次应用基本不等式（多次放缩），如果多次应用中等号不一致，是不可以进行取等的； 例2、已知0xy ，1xy ，求yx y x -+22的最小值及相应的y x ,的值。
基本不等式
基本不等式基本不等式是数学中一个重要的概念。
其中，重要不等式指的是a²＋b²≥2ab，当且仅当a=b时等号成立。
而基本不等式则是指a＋b≥2√(ab)，当且仅当a=b时等号成立。
此外，还有一条基本不等式是任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
在利用基本不等式求函数的最大值、最小值时，需要注意函数式中各项必须都是正数，含变数的各项的积或者必须是常数，等号成立条件必须存在。
举例来说，如果0<a<b且a＋b＝1，则a²＋b²＞2ab，a＋b≥2√(ab)，2ab＜2(1/2-a)²，a²＋b²＞(1/2-a)²＋(1/2-b)²，因此b 最大。
又如，如果a、b、c都是正数，则(a＋b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9，即a/b+b/a+b/c+c/b+c/a+a/c≥6，证明过程中利用了基本不等式。
例3、已知$a,b,c$为不等正实数，且$abc=1$。
求证：$a+b+c<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$。
证明：根据柯西不等式，$(1+1+1)(a+b+c)\geq(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$，即$3(a+b+c)\geq(a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca})$。
因为$abc=1$，所以$2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}=2\sqrt{abc}(1/\sqrt{a}+1/\sqrt {b}+1/\sqrt{c})\leq3\sqrt[3]{abc}\cdot3=9$。
所以$3(a+b+c)\geq(a+b+c+9)$，即$2(a+b+c)\geq9$，即$a+b+c\geq\frac{9}{2}$。
又因为$a,b,c$不全相等，所以$a+b+c>\frac{9}{2}$。
基本不等式高中数学
基本不等式高中数学
基本不等式是高中数学中常见的一个重要概念。
不等式是比较两个数大小关系的数学表达式，而基本不等式则是一些常用的不等式模式，可以帮助我们简化和解决复杂的不等式问题。
以下是几个常见的基本不等式：
1. 加法不等式：对于任意实数a、b和c，有a < b，则a + c < b + c。
2. 减法不等式：对于任意实数a、b和c，有a < b，则a - c < b - c。
3. 乘法不等式：对于任意正实数a、b和c，有a < b，则ac < bc；对于任意负实数a、b和c，有a < b，则ac > bc。
需要注意的是，当a、b和c中存在0时，乘法不等式的性质会有所不同。
4. 平方不等式：对于任意实数a，有a² ≥ 0。
这个不等式告诉我们，任何实数的平方都大于等于0。
5. 绝对值不等式：对于任意实数a，有|a| ≥ 0。
绝对值不等式告诉我们，任何实数的绝对值都大于等于0。
这些基本不等式可以作为解决不等式问题的基础，可以通过运用它们来简化和推导更复杂的不等式，进而求解不等式方程。
在解决不等式问题时，还需要注意不等式的性质和特殊情况的处理，例如分段函数、绝对值函数等。
基本不等式
感谢观看
证明
算术证明
Байду номын сангаас
几何证明
当时，两边开平方得 即当且仅当a=b时， 当且仅当a=b时，不等式取等号。
在△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，AE为高，设BE=a，EC=b 由 射 影 定 理 ， 得 A E ²= a b ∴AE= ∵在△ABC中，点D为斜边BC的中点 ∴ ∵在Rt△ADE中，AD≥AE △ABC∴当且仅当AD与AE重合，即a=b时等号成立
基本不等式
数学术语
01 概念
03 证明 05 应用
目录
02 公式 04 推广 06 技巧
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等 于它们的几何平均数。
在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。“一正”就是指两个式子都为正数， “二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。
概念
两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。
公式
原型
变形 二元均值不等式
（a＞0，b＞0） 注：当且仅当a=b时取等 其中称为的算术平均数，称为的几何平均数。
1、（当且仅当时取等号）（a＞0，b＞0） 2、 3、
（调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值）当且仅当a=b时等号成立
技巧
“1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这 个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为 常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数， 这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
基本不等式6个公式
基本不等式6个公式
基本不等式是初中数学中常见的一类不等式，包括以下6个公式：
1. 两个非负实数的平均数大于等于它们的几何平均数：(a+b)/2≥√ab
这个公式表明，对于两个非负实数a和b，它们的平均数不会小于它们的几何平均数。
2. 两个非负实数的平方和大于等于它们的算术平均数的平方：a²+b²≥(a+b)²/4
这个公式表明，对于两个非负实数a和b，它们的平方和不会小于它们的算术平均数的平方。
3. 两个正实数的积大于等于它们的几何平均数的平方：ab≥(a+b)²/4
这个公式表明，对于两个正实数a和b，它们的积不会小于它们的几何平均数的平方。
4. 两个正实数的积大于等于它们的调和平均数的平方：ab≥4/(1/a+1/b)²
这个公式表明，对于两个正实数a和b，它们的积不会小于它们的调和平均数的
平方。
5. n个正实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数：(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)
这个公式表明，对于n个正实数a1、a2、...、an，它们的算术平均数不会小于它们的几何平均数。
6. n个正实数的调和平均数大于等于它们的算术平均数：n/(1/a1+1/a2+...+1/an)≥(a1+a2+...+an)/n
这个公式表明，对于n个正实数a1、a2、...、an，它们的调和平均数不会小于它们的算术平均数。
基本不等式大全
基本不等式大全基本不等式是数学中的一个重要概念，有许多种不同的形式和用途。
以下是一些常见的基本不等式：1.均值不等式：a+b≥2\sqrt{ab} ，当且仅当a=b 时等号成立。
2.柯西不等式：如果a_i > 0, i=1,2,...,n, 则\sum_{i=1}^{n} a_i * b_i≥(\sum_{i=1}^{n} a_i)(\sum_{i=1}^{n} b_i)。
3.伯努利不等式：如果x > 0, n > 0, 则(1 + x)^n ≥1 + nx。
4.赫尔德不等式：如果f(x) 是[a, b] 上的非负连续函数，则对于所有满足a ≤x ≤b 的x，有\int_{a}^{b} f(x) dx ≤(b-a) * f(a) + f(b)。
5.琴声不等式：如果a_i > 0, i=1,2,...,n, 则\sum_{i=1}^{n} a_i^n ≥(\sum_{i=1}^{n} a_i)^n。
6.杨氏不等式：对于任意的实数a, b，都有a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立。
7.三角不等式：对于任意的实数x, y，都有|x+y|≤|x|+|y|，当且仅当x与y同号时等号成立。
8.绝对值不等式：对于任意的实数x, y，都有|x-y|≤|x|+|y|，当且仅当x与y异号时等号成立。
9.权方和不等式：如果a_i > 0, i=1,2,...,n, 则\sum_{i=1}^{n} a_i *\frac{b_i}{a_i} ≥(\sum_{i=1}^{n} b_i)(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i})。
以上这些基本不等式在数学学习和应用中都非常重要，希望能帮助到你。
数学基本不等式
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
知识点一 重要不等式 a2＋b2≥____2_a_b____(a，b∈R)(当且仅当___a_＝__b____时等号成立)． 知识点二 基本不等式 ab≤a＋2 b(均值定理) (1)基本不等式成立的条件：__a_>_0_，__b_>_0_； (2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b____时等号成立； (3)其中a＋2 b叫做正数 a，b 的_算__术__平__均__数__， ab叫做正数 a，b 的__几__何__平__均__数__.
方法总结：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，
变式 1、已知 a 0,b 0 ，若不等式 3 1 ≥ m 恒成立，则 m 的最大值为________． a b a 3b
变式 2、（1）已知函数 f x x2 ax 11(a R) ，若对于任意 x N* ， f x≥ 3 恒成立，则 a 的取值范围
mn mn
mn
mn
当且仅当
n m
2m n
，即
n
2m 时等号成立，
所以
1 m
1 n
的最小值为
3
2
2 ，故选 A。
3、（2020·湖南雅礼中学期中）（多选题）给出下面四个推断，其中正确的为（ ）. A．若 a,b (0, ) ，则 b a 2 ；
ab
B．若 x, y (0, ) 则 lg x lg y 2 lg x lg y ；
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a，b>0 当且仅当 a＝b 时取等号)．
基本不等式
§1.4 基本不等式考试要求 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)其中a ＋b2称为a ，b 的算术平均值，ab 称为a ，b 的几何平均值．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．利用基本不等式求最值(1)若x ＋y ＝s (s 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (p 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p . 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．( × )(2)y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.( √ ) (4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( × )教材改编题1．若正实数a ，b 满足a ＋4b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 答案 A解析 因为正实数a ，b 满足a ＋4b ＝ab ， 所以ab ＝a ＋4b ≥24ab ＝4ab ， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝4b ，即a ＝8，b ＝2时等号成立． 2．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________．答案 1解析 因为x ≥0，所以x ＋1>0，1x ＋1>0， 利用基本不等式得y ＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立．所以函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为1.3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10， ∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，等号成立， ∴y max ＝25，即矩形场地的最大面积是25 m 2.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法例1 (1)已知x >2，则函数y ＝x ＋12(x －2)的最小值是( )A ．2 2B ．22＋2C ．2 D.2＋2答案 D解析 由题意可知，x －2>0， ∴y ＝(x －2)＋12(x －2)＋2≥2(x －2)·12(x －2)＋2＝2＋2，当且仅当x ＝2＋22时，等号成立，∴函数y ＝x ＋12(x －2)(x >2)的最小值为2＋2.(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．答案 92解析 ∵0<x <32，∴3－2x >0，y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. 命题点2 常数代换法例2 已知x >0，y >0，且4x ＋2y －xy ＝0，则2x ＋y 的最小值为( ) A ．16 B ．8＋4 2 C ．12 D ．6＋4 2答案 A解析 由题意可知2x ＋4y＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫2x ＋4y ＝8x y ＋2yx ＋8≥28x y ·2yx＋8＝16， 当且仅当8x y ＝2yx ，即x ＝4，y ＝8时，等号成立，则2x ＋y 的最小值为16. 命题点3 消元法例3 (2023·烟台模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 6解析 方法一 (换元消元法)由已知得9－(x ＋3y )＝xy ＝13·x ·3y ≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号． 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y ，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23(1＋y )·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.延伸探究 本例条件不变，求xy 的最大值． 解 9－xy ＝x ＋3y ≥23xy ， ∴9－xy ≥23xy ，令xy ＝t ， ∴t >0， ∴9－t 2≥23t ， 即t 2＋23t －9≤0， 解得0<t ≤3， ∴xy ≤3，∴xy ≤3，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号， ∴xy 的最大值为3.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)(多选)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列说法错误的是( ) A ．ab 有最小值14B ．8a ＋8b 有最大值8 2 C.1a ＋1b有最小值4 D ．a 2＋b 2有最小值22答案 AD解析 由1＝a ＋b ≥2ab ⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 得ab ≤14，故ab 有最大值14，故A 错误；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋214＝2⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 则a ＋b ≤2，则8a ＋8b 有最大值82，故B 正确； 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 故1a ＋1b有最小值4，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥12⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 所以a 2＋b 2有最小值12，故D 错误．(2)已知x >1，则y ＝x －1x 2＋3的最大值为________．答案 16解析 令t ＝x －1，∴x ＝t ＋1， ∵x >1，∴t >0，∴y ＝t (t ＋1)2＋3＝t t 2＋2t ＋4＝1t ＋4t ＋2≤124＋2＝16，当且仅当t ＝4t ，t ＝2，即x ＝3时，等号成立，∴当x ＝3时，y max ＝16.题型二 基本不等式的常见变形应用例4 (1)若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．b >a ＋b 2>a >abB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ， ∴b >a ＋b 2>ab .∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a . 故b >a ＋b 2>ab >a .(2) (2023·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D解析 由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得， CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12(a 2＋b 2)， ∵CF ≥OF ， ∴12(a 2＋b 2)≥12(a ＋b )(a >0，b >0)． 思维升华 基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.(2)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 跟踪训练2 (2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( ) A.2a ＋b B.1a ＋1b C.2abD.2a 2＋b 2答案 B解析 ∵a ，b 为互不相等的正实数， ∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b<22ab ＝1ab <2ab ， 2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b.题型三 基本不等式的实际应用例5 中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 解 (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)， 供货单价为50＋105＝52(元)，总利润为5×(100－52)＝240(万元)．(2)设售价为x 元，则销售量为(15－0.1x )万套，供货单价为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋1015－0.1x 元， 单套利润为x －50－1015－0.1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －50－100150－x 元，因为15－0.1x >0，所以0<x <150.所以单套利润为y ＝x －50－100150－x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(150－x )＋100150－x ＋100≤100－2(150－x )·100150－x＝80，当且仅当150－x ＝10，即x ＝140时取等号，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．思维升华 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 跟踪训练3 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD ，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm 2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__________ cm 时，用纸量最少(即矩形ABCD 的面积最小)．答案 12 5解析 设直角梯形的高为x cm ，∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm 2， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm ， ∴海报宽AD ＝x ＋4，海报长DC ＝1 440x ＋8，故S矩形ABCD＝AD ·DC ＝(x ＋4)⎝⎛⎭⎫1 440x ＋8＝8x ＋5 760x＋1 472≥28x ·5 760x＋1 472＝1925＋1 472，当且仅当8x ＝5 760x ，即x ＝125时，等号成立．∴当直角梯形的高为12 5 cm 时，用纸量最少．课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( ) A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 答案 C解析 当x <0时，y ＝x ＋2x <0，故A 错误；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＝－1时取等号，又x 2≠－1，故B 错误； y ＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时取等号，故C 正确； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ∈(0,1)， y ＝sin x ＋1sin x≥2， 当且仅当sin x ＝1sin x ，即sin x ＝1时取等号， 因为sin x ∈(0,1)，故D 错误．2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则lg a ＋lg b 的最大值为( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 A解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝2， ∴lg a ＋lg b ＝lg ab ≤lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝0， 当且仅当a ＝b ＝1时，取等号． ∴lg a ＋lg b 的最大值为0.3．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A ．13B ．12C ．9D ．6答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立．所以|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.4．(2023·太原模拟)已知a ，b 为正实数，a ＋b ＝3，则1a ＋1＋1b ＋2的最小值为( ) A.23 B.56 C.12D ．4 答案 A解析 因为a ＋b ＝3，所以1a ＋1＋1b ＋2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋2(a ＋1＋b ＋2)＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2a ＋1＋a ＋1b ＋2＋2≥16⎝⎛⎭⎪⎪⎫2b ＋2a ＋1·a ＋1b ＋2＋2＝23， 当且仅当b ＋2a ＋1＝a ＋1b ＋2，即a ＝2，b ＝1时，等号成立． 所以1a ＋1＋1b ＋2的最小值为23. 5．(多选)(2022·衡阳模拟)设a ＝log 23，b ＝log 243，则下列关系正确的是( ) A ．ab >a ＋b 2B ．ab <a ＋b 2 C.a ＋b 2>b aD ．ab >b a 答案 BCD解析 易知a >0，b >0，a ＋b 2＝1，a ≠b ，ab <(a ＋b )24＝1，ab >b a⇔a >1，显然成立． 所以a ＋b 2>ab >b a. 6．(多选)(2023·黄冈模拟)若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．0<1ab ≤14B.1a ＋1b ≥1 C ．log 2a ＋log 2b <2D.1a 2＋b 2≤18答案 BD 解析 因为a >0，b >0，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立， 则ab ≤⎝⎛⎭⎫422＝4或⎝⎛⎭⎫422≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，则1ab ≥14，a 2＋b 2≥8，1a 2＋b 2≤18， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，则log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 24＝2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故A ，C 不恒成立，D 恒成立；对于B 选项，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥4×14＝1， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故B 恒成立．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________． 答案 0解析 因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)， 所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立．所以y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为0. 8．(2023·娄底质检)已知a ，b 为正实数，且2a ＋b ＝1，则2a ＋a 2b的最小值为________． 答案 6解析 由已知条件得，2a ＋a 2b ＝4a ＋2b a ＋a 2b＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋4≥22b a ·a 2b＋4＝6， 当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝25，b ＝15时，取等号．所以2a ＋a 2b的最小值为6. 9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)已知0<x <2，求函数y ＝x 4－x 2的最大值．解 (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x ≥2 3－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时，取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以4－x 2>0， 则y ＝x 4－x 2＝x 2·(4－x 2)≤x 2＋(4－x 2)2＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号，所以y ＝x 4－x 2的最大值为2.10．某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x (千部)手机，需另投入成本R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋100x ，0<x <40，701x ＋10 000x －9 450，x ≥40，通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．(1)求出今年的利润W (x )(万元)关于年产量x (千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；(2)今年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解 (1)当0<x <40时，W (x )＝700x －(10x 2＋100x )－300＝－10x 2＋600x －300，当x ≥40时，W (x )＝700x －⎝⎛⎭⎫701x ＋10 000x －9 450－300＝－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 150，∴W (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋600x －300，0<x <40，－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 150，x ≥40. (2)若0<x <40，W (x )＝－10(x －30)2＋8 700，当x ＝30时，W (x )max ＝8 700(万元)．若x ≥40，W (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 150≤9 150－210 000＝8 950， 当且仅当x ＝10 000x时，即x ＝100时，取等号． ∴W (x )max ＝8 950(万元)．∴今年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8 950万元．11. (2023·湘潭模拟)已知α，β为锐角，且tan α－tan β＋2tan αtan 2β＝0，则tan α的最大值为( )A.24B.23C.22D. 2 答案 A解析 因为β为锐角，所以tan β>0，由题意可得tan α＝tan β1＋2tan 2β＝12tan β＋1tan β≤122＝24， 当且仅当tan β＝22时取等号， 故tan α的最大值为24. 12．(2022·天津模拟)若a >0，b >0，则(a ＋b )2＋1ab的最小值为________． 答案 4解析 若a >0，b >0，则(a ＋b )2＋1ab ≥(2ab )2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，4ab ＝1ab ， 即a ＝b ＝22时取等号，故所求的最小值为 4.13.《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≤ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)D.a 2＋b 22≥a＋b 2(a >0，b >0)答案 C解析 根据图形，利用射影定理得CD 2＝DE ·OD ，又OD ＝12AB ＝12(a ＋b )，CD 2＝AC ·CB ＝ab ，所以DE ＝CD 2OD ＝aba ＋b 2，由于OD ≥CD ，所以a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)．由于CD ≥DE ， 所以ab ≥2aba ＋b ＝21a ＋1b(a >0，b >0)．14．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则() A ．x ＋y ≤1 B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案 BC解析 因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )， 由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x ＋y )2－1＝3xy ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x 2＋y 2)－1＝xy ≤x 2＋y 22， 解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确；因为x 2＋y 2－xy ＝1可变形为⎝⎛⎭⎫x －y 22＋34y 2＝1， 设x －y 2＝cos θ，32y ＝sin θ， 所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ， 因此x 2＋y 2＝cos 2θ＋53sin 2θ＋233sin θcos θ＝1＋33sin 2θ－13cos 2θ＋13 ＝43＋23sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6∈⎣⎡⎦⎤23，2，所以D 错误．。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面).(精选)知识框架】1、基本不等式原始形式若a,b∈R，则a2+b2≥2ab2）若a,b∈R，则ab≤(a+b)2/42、基本不等式一般形式（均值不等式）若a,b∈R*，则a+b≥2ab3、基本不等式的两个重要变形1）若a,b∈R*，则a+b/2≥√(ab)2）若a,b∈R，则ab≤(a2+b2)/2总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1）若x>1，则x+1/x≥2(当且仅当x=1时取“=”）2）若x<1，则x+1/x≤-2(当且仅当x=-1时取“=”）3）若ab>0，则a+b/2≥√(ab)(当且仅当a=b时取“=”）4）若a,b∈R，则ab≤(a2+b2)/25）若a,b∈R*，则a+b/2≤√(ab)≤(a+b)/2≤√(a2+b2)/26、柯西不等式1）若a,b,c,d∈R，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)22）若a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R，则有：(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)23）设a1,a2,…,an与b1,b2,…,bn是两组实数，则有(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)2/4题目2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2>ab+bc+ca题目3、已知a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3题目4、已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc题目5、已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≤abc/8题目6：设$a,b,c$均为正数，且$a+b+c=1$，证明：frac{1}{a^2b^2c^2}\geq\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{1}{3abc}$$ 题型二：利用不等式求函数值域题目1：求下列函数的值域1）$y=3x^2+\frac{1}{2x^2}$2）$y=x(4-x)$3）$y=x+\frac{11}{x}$，其中$x>0$4）$y=x+\frac{1}{x}$，其中$x\neq 0$题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知$x>2$，求函数$y=2x-4+\frac{4}{x}$的最小值；变式1：已知$x>2$，求函数$y=2x+\frac{4}{x}$的最小值；变式2：已知$x<2$，求函数$y=2x+\frac{4}{x}$的最大值；变式3：已知$x<2$，求函数$y=2x+\frac{4x}{2-x}$的最大值；练：1、已知$x>\frac{5}{4}$，求函数$y=4x-2+\frac{4}{4x-5}$的最小值；题目2、已知$x<\frac{5}{4}$，求函数$y=4x-2+\frac{4}{4x-5}$的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目1：当$0<x<4$时，求$y=x(8-2x)$的最大值；变式1：当$0<x<4$时，求$y=4x(8-2x)$的最大值；变式2：设$0<x<\frac{3}{2}$，求函数$y=4x(3-2x)$的最大值。
四个基本不等式
叫做平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数
1.平方平均数：
又名均方根（Root Mean Square），英文缩写为RMS。
它是2次方的广义平均数的表达式，也可称为2次幂平均数。
英文名为，一般缩写成RMS。
2.算术平均数：
又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。
它主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。
3.几何平均数：
是对各变量值的连乘积开项数次方根。
求几何平均数的方法叫做几何平均法。
如果总水平、总成果等于所有阶段、所有环节水平、成果的连乘积总和时，求各阶段、各环节的一般水平、一般成果，要使用几何平均法计算几何平均数，而不能使用算术平均法计算算术平均数。
4.调和平均数：
是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。
调和平均数是平均数的一种。
但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。
基本不等式
A．m>nB．m<nC．m＝nD．m≤n
A[∵m＝(a－2)＋ ＋2≥2 ＋2＝4，n＝22－x2<22＝4.∴m>n.]
3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()
A．1≤ab≤ B．ab<1< C．ab< <1D. <ab<1
(2)已知x,y∈(0, ),如果积xy是定值P,那么当x=y时,和和x+y有最小值2
以上两条可简记作:和一定,相等时,积最大;积一定,相等时,和最小.条件满足:“一正、二定、三相等”
利用基本不等式求最小值需要注意的问题：（一正、二定、三相等）
(1）函数式中各项必须都是正数;
(2)函数式中含变数的各项的积或者必须是常数；
B[∵ab≤ 2，a≠b，∴ab<1，又∵ > ＝1，∴ >1，∴ab<1< .]
4．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈ 恒成立，则a的最小值为()
A．0B．－2C．－ D．－3
B[x2＋ax＋1≥0在x∈ 上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥ max
∵x＋ ≥2，∴－ ≤－2，∴a≥－2.]
5．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么()
A．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
A[∵a＋b≥2 ，∴ab≤ 2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．c＋d≥2 ，∴c＋d≥2 ＝4，当且仅当c＝d＝2时取等号．故c＋d≥ab，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时取等号．]
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复习（27）—基本不等式
一．ab b a 222≥+（R b a ∈, 当且仅当b a =时取等号）
常用变形：
1．ab b a 4)(2≥+ （ … ）
2．2()2
a b ab +≥ （ … ） 3．2222()()a b a b +≥+ （ … ）
4．222()22
a b a b ++≥ （ … ） 5．222
2
)(b a b a +≤+（ … ） 6．222||a b ab +≥（R b a ∈, 当且仅当||||a b =时取等号） 二．
ab b a ≥+2
（ +∈R b a ,，当且仅当b a =时取等号） 常用变形：
1．2≥+a b b a （ 0>ab … ） 2．b a a
b b a +≥+2
2 （ +∈R b a , … ） 3．12a a
+
≥（0a >，1a =取等号） 4．12a a +≤-（0a <，1a =-取等号） 三．3333a b c abc ++≥（,,a b c R +∈ 当且仅当a b c ==时取等号）
注：当0a b c ++≥ 不等式成立 四．33
abc c b a ≥++ （ +∈R c b a ,,，当且仅当c b a ==时取等号） 五．均值不等式
+∈R a a a n ,,21 ，n n n a a a n
a a a 2121≥+++ 六．柯西不等式：
1：（二维形式的柯西不等式）（柯西不等式的代数形式）
设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，
其中等号当且仅当bc ad =时成立。
变式：（1）22222()()()a b c d ad bc ++≥+，当且仅当ac bd =时取等号
（2||ac bd +，当且仅当bc ad =时取等号
（3||||ac bd +，当且仅当||||ad bc =时取等号 2：（柯西不等式的向量形式）
设,αβ为平面上的两个向量，则||||||αβαβ⋅≥⋅，当且仅当0β=或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立。
（即两个向量共线）时成立。
3：（二维形式的三角不等式）
设1122,,,x y x y ≥当且仅当1122(,)(,)x y x y λ=(0)λ≤或220x y ==时成立。
变式1：设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：
231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 当且仅当存在0λ≤使1313((),())x x y y --=2323((),())x x y y λ--，或
2323()()0x x y y -=-=成立。
变式2：设R d c b a ∈,,,，求证：222222)()(d b c a d c b a +++≥+++
变式3：设γβα,,为平面上的向量，则||||||γαγββα-≥-+-。
由变式1：
231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 得 ||||||γαγββα-≥-+-
推广：
（1）三维形式的柯西不等式
设123123,,,,,a a a b b b 为任意实数，则：
2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
当且仅当0(1,2,3)i b i ==或存在一个数k ，使得(1,2,3)i i a kb i ==时，等号成立。
（2）柯西不等式的向量形式
设,αβ为空间的两个向量，则||||||αβαβ⋅≥⋅，当且仅当0β=或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立。
（即两个向量共线）时成立。
（3）三维形式的三角不等式
设111222,,,,,x y z x y z 为任意实数，则：
当且仅当111222(,,)(,,)x y z x y z λ=(0)λ≤或2220x y z ===时成立。
变式：设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：
231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 当且仅当存在0λ≤使1313((),())x x y y --=2323((),())x x y y λ--或
2323()()0x x y y -=-=成立。
注：柯西不等式的三种形式给出了不等式的三种证明方法：比较法、向量法、数形结合。
（4）n 维形式的柯西不等式
设1212,,,,,,,n n a a a b b b 为任意实数，则：
222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++
当且仅当0(1,2,
,)i b i n ==或存在一个数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n ==时，等号成立。
七．排序不等式：
设12n a a a ≤≤≤，12n b b b ≤≤≤为两组实数，12,,,n c c c 为12,,,n b b b 的任一排列，
称1122n n S a c a c a c =+++为这两个实数组的乱序积之和，简称乱序和 称11211n n n S a b a b a b -=+++为这两个实数组的反序积之和，简称反序和 称21122n n S a b a b a b =+++为这两个实数组的顺序积之和，简称顺序和
一般地，设有两组实数：12,,
,n a a a ，与12,,,n b b b ，且它们满足：
12n a a a ≤≤≤，12n b b b ≤≤≤，若12,,,n c c c 是12n b b b ≤≤≤的任意一个排列，
则1211n n n a b a b a b -+++1122n n a c a c a c ≤+++1122n n a b a b a b ≤+++ 等号当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时，反序和等于顺序和。