数学模型与数学建模ppt课件

sk+1=sk +(-1)dkk
~状态转移律
多步决 策问题
求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律
由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).
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S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
D={(u , v) u+v=1, 2}
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态转移律，建立多步决策模型，
数学建模的全过程
表述
现 现实对象的信息
数学模型
数
实
(归纳)
学
世
验证
求解 (演绎) 世
界
界
现实对象的解答
数学模型的解答
解释
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题
模型求解 穷举法 ~ 编程上机
y
图 解
状态s=(x,y) ~ 16个格点
3
法 允许状态S ~ 10个 点
允许决策D ~ 移动1或2格;
2
s1
d1
k奇,左下移; k偶,右上移.
1
d1, d11给出安全渡河方案
d11
评注和思考
规格化方法, 易于推广
0
sn+1
1
2
3x
考虑4名商人各带一随从的情况
适当地设置状态和决策，确定状
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
地图、电路图、分子结构图… …
~ 符号模型
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我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
地图、电路图、分子结构图… …
~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、 抽象、提炼出来的原型的替代物，集中反映了原型中 人们需要的那一部分特征。
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
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模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
设水池的总容量为1。两台抽水机同时工作所需要时
间为
1 ＝2.4 1＋1
（小时）
46 11
A
弧度制是对角大小的另一种度量
方式，弧度制的基本原理与平面
A
相似形有关。
1
扇形 AOB 相似于扇形 AOB

O
B
B
AB OA
AB OA
AB AB OA OA
因此，可以用扇形弧长与半径之比来确定圆心角。
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几个数学建模示例
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例1 椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
型 假
• 地面高度连续变化，任何方向都不会出现
设 间断，即地面可视为数学上的连续曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三
只脚同时着地。 23
可得

y

5 3
(20

x)
z

2
(100

x)
3
这是一个不完全方程组的求整数解问题——丢番图问题。
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那些我们所熟知的数学模型
“点”、“面”、“线”——抽象化的数学模型
哥尼斯堡七桥问题
1726年，瑞士数学家欧拉（1701－1783）受聘于沙俄科学院，后来 出任数学部主任。1736年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯 堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请 教的是下面一个问题。
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模型的分类
模型
物质模型（形象模型）
直观模型 物理模型
理想模型（抽象模型）
思维模型 符号模型 数学模型
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那些我们所熟知的数学模型
“1”是最简单的数学模型。
例 两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如果第
一台抽水机单独工作，4小时可以将水池注满；如果第二 台抽水机单独工作，6小时可以将水池注满。现在由两台 抽水机同时工作，需要多长时间注满水池？
布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校 园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后， 学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。
有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通 过一次呢？
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哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前 哨达四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格勒， 成为前苏联最大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之 间，加里宁格勒现仍属俄罗斯。
模型构成
用数学语言把椅子位置和四 只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 B ´ B A ´
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
距离是 的函数
C
四个距离
两个距离
(四只脚) 正方形
C´
对称性
A
O
x
D´ D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f( ) B,D 两脚与地面距离之和 ~ g( )
——著名数学家 华罗庚
任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，就会立即 显现出解决问题的清晰途径和通向胜利的一线曙光。
马克思教导我们： 一门学科只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步6 ！
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
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我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x =20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
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航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出必要的简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）； • 回答原问题（船速每小时20千米/小时）； • 验证上述结果（用实际现象进行验证）。
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那些我们所熟知的数学模型
“3x＋1＝10” 方程是表现等量关系的数学模型
例 一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一 块。问大马、小马、马仔各几何。
解 设大马，小马，马仔分别为
x y z 100

分别消去
3x

2
y

1 2
z

100
x, y, z z和 y
匹，应有
就杀人越货.
小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决定. 3名商人
商人们怎样才能安全过河?
3名随从
问题分析
多步决策过程
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员
要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经
有限步使全体人员过河
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模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数
店主桥
铁匠桥
木桥
普雷盖 尔河
内福夫岛
蜜桥
绿桥
“馋嘴” 吉布莱茨桥
高桥
新河道 旧河道
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B
欧拉在草纸上勾画出示意图。在他
看来，问题是否有可行的方案，与
岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头
的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将
D
A
半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将 各个小桥代之以线。
现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点”A、B、C、D
数学模型与数学建模
1
主要内容
• 1.什么是数学模型？
——1.1基本概念 ——1.2特点和分类
• 2.如何数学建模？
——2.1方法和步骤 ——2.2示例
• 3.为什么数学建模？
—— 3.1现实意义 —— 3.2个人收获
2
1.什么是数学模型？
• 数学 • 模型 • 数学模型
3
1、圆形蜘蛛网是一个简单漂 亮的数学创造
全局勘察、信号处理、图象处理、
数据采掘
社
应急用储备物资的管理 复杂网络的稳定性
运筹学、最优化理论 逻辑、计算机科学、组合学
会
机密和完整性
数论、密码学/组合学
离
大气和海洋的建模
小波、统计学、数值分析
敏捷制造、自动制造、可视化、机器人 过程质量控制中的几何学、控制论
不
设计和训练
开
人类基因组分析 合理的药物设计
C
之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而不出现
线路重复呢？
类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。
作为一笔画过程，应该只有一个起点和一个终点，并且起点和终点应该是 奇节点，而其它点都是通过点，并只能是偶节点．
图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行 的一笔画问题。
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什么是数学模型、数学建模
正方形ABCD 绕O点旋转 24
模型构成
用数学语言把椅子位置和四 只脚着地的关系表示出来
地面为连续曲面
椅子在任意位置 至少三只脚着地
f() , g()是连续函数
对任意, f(), g()
至少一个为0