三角形的内角和

11.2.1三角形的内角和
基础知识
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角中最多有一个锐角;
B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个直角;
D.三角形的内角都大于60°
答案：C
2.(2012 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将ABC △沿着DE 折叠压平，A 与A '重合，若A ∠=75，则∠1+∠2=（ ）
（A ）150 （B ）210 （C ）105 （D ）75
答案：A
3. (2012 山东省滨州市) 一个三角形的三个内角的度数之比为372∶∶，则这个三角形一定是（ ）
（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）钝角三角形 答案：D
4. (2012 云南省昆明市) 如图，在ABC △中，
6733B C ==∠°，∠°，AD 是ABC △的角平分线，则CAD ∠的度数为（ ）．
（A ）40° （B ）45° （C ）50° （D ）55°
答案：A
5. (2012 福建省漳州市) 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
（A ）45o （B ）60o （C ）75o （D ）90
o
答案：C 6. (2012 四川省绵阳市) 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（ ）．
A ．225︒
B ．235︒
C ．270︒
D ．与虚线的位置有关
答案：C
7. (2012 广西来宾市) 如图，在△ABC 中，已知∠A ＝80°，∠B ＝60°，DE ∥BC ，那么∠CED 的大小是 （ ）
A ．40°
B ．60°
C ．120°
D ．140°
答案：D 8. (2012 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ）
（A ）75° （B ）90° （C ）105° （D ）120°
答案：C
9.如图，ABCDE 是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 为（ ）度．
A ．180
B ．270
C ．360
D ．540
答案：A
10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
答案：C
11.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB=（ ）
A ．40°
B ．30°
C ．20°
D ．10°
1 2
答案：D
12．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ）
A ．∠A-∠B=∠C
B ．∠A=3∠
C ，∠B=2∠C
C ．∠A=∠B=2∠C
D ．∠A=∠B=2
1∠C 答案：C
13.如图，在三角形ABC 中，已知∠ABC=70º,∠ACB=60º,BE ⊥AC 于E,CF ⊥AB 于F,H 是BE 和CF 的交点，则∠EHF=( )
A. 100º
B. 110º
C. 120º
D.130º
答案：D
14．如图所示，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图 中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）
A ．180°
B ．270°
C ．360°
D ．无法确定
答案：C
二、填空题
1.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.
答案：40°
2.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形.
答案：直角；钝角
3.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度.
答案：84°
4.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________.
2
1D
C B
A
答案：80° 5.（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α
称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 .
答案：30º 6. (2012 内蒙古呼和浩特市) 如图，在ABC △中，47B ∠，三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠=____________．
答案：66.5°
7. (2012 江苏省徐州市) 将一副直角三角板如图放置．若AE ∥BC ，则∠AFD = °．
答案：75°
8.如图，AB∥CD，∠A=32°，∠AEB=100°，则∠C 的度数是 度．
答案：48º
9.△ABC 中，∠A=∠B+∠C，则∠A= 度．
F
E
D C B
A
（第15题）
答案：90 10．在△ABC 中，已知∠A=21∠B=3
1∠C，则三角形的形状是 三角形． 答案：直角三角形
11．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A 的度数为 度．
答案：120
8．如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BOC=120°，则∠A= .
答案：60º
12．
如图，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B=58°，∠C=36°，∠EAD= .
答案：11º
13.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD ⊥BC,DE ⊥AB,∠AFD=150°, 则∠
EDF=________度.
F
E
D C B A
答案：60°
14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
答案：360°
三、解答题
1.在△ABC 中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.
设∠A=x °,则∠B=(x+5)°, ∠C=(x+25)°可列方程
X+x+5+x+25=180
解得：x=50°
所以∠A=50°,∠B=55°, ∠C=75°
2.已知：如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ．求证：∠P=90°．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°．
又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ， ∴∠PEF=
21∠BEF，∠PFE=2
1∠DFE， ∴∠PEF+∠PFE=21（∠BEF+∠DFE）=90°． ∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，
∴∠P=90°．
3.如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．
（1）求∠DCE 的度数；
（2）试写出∠DCE 与∠A 、∠B 的之间的关系式．（不必证明）
答案：(1)在⊿ABC 中，∠ACB=180º-∠A-∠B=68º,
∵CD 是∠ACB 的角平分线
∴∠BCD=2
1∠ACB=34º ∵CE ⊥AB,∠B=72º
∴∠BCE=18º
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=34º-18º=16º.
(2)∠DCE=2
1(∠B-∠A). 4.如图，已知在三角形ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数．
解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°， ∴∠A=36°．
则∠C=∠ABC=2∠A=72°．
又BD 是AC 边上的高，
则∠DBC=90°-∠C=18°．
5.如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA 的度数.
解：∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°， ∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°， ∴∠XBA+∠XCA=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=140°-90°=50°．
6．如图，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ．
（1）若∠ABC=45°，∠ACB=55°，则∠BOC 的度数是 ；
（2）若∠A=80°，求∠BOC 的度数；
（3）若∠A=α，∠BO C=β，请猜想α与β之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于点O ，
∴∠DBC=21∠ABC，∠ECB=2
1∠ACB，又∠ABC=45°，∠ACB=55°， ∴∠DBC=22.5°，∠ECB=27.5°，
∴∠BOC=180°-∠DBC -∠ECB=180°-22.5°-27.5°=130°，
故答案为：130°；
（2）∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
又∠ABC 和∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于点O ，
∴∠DBC=21∠ABC，∠ECB=2
1∠ACB， ∴∠DBC+∠ECB=
21（∠ABC+∠ACB）=50°， 则∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-50°=130°；
（3）β=90+21α，
理由如下：∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ，
∴∠OBC=21∠ABC、∠0CB=2
1∠ACB， ∴∠OBC+∠0CB= 21∠ABC+21∠ACB=2
1（180°-α）=90°-21α， ∴β=180°-（∠OBC+∠0CB）=180°-（90°-21α）=90°+21α．
7．如图，在△ABC 中，∠B=40°，∠C=60°，AD⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，DF⊥AE 于F ，求∠ADF 的度数．
解：∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=80°．
∵AE 平分∠BAC 交BC 于E ，
∴∠BAE=2
1∠BAC=40°， ∴∠AED=∠B+∠BAE=80°．
∵AD⊥BC，
∴∠DAE=90°-80°=10°
∵DF⊥AE，
∴∠ADF=90°-10°=80．
能力提升
1.如图，已知:∠1= ∠2， ∠3= ∠4， ∠C=32°, ∠D=28°,求∠P 的度数。

答案：
∵∠AED=∠BEP
∴∠1+∠D=∠3+∠P
∴∠D-∠P=∠3-∠1
∵∠AFP=∠BFC
∴∠2+∠P=∠4+∠C
∴∠P-∠C=∠4-∠2
∵∠1=∠2， ∠3=∠4
∴∠D-∠P=∠P-∠C
∴∠P=2
1(∠C+∠D)=30º 2.如图所示,将△ABC 沿EF 折叠,使点C 落到点C ′处,试探求∠1,∠2与∠C 的关系.
21C '
F E
C
B A
解:∵∠1=180°-2∠CEF,∠2=180°-2∠CFE,
∴∠1+∠2=360°-2(∠CEF+ ∠CFE)
=360°-2(180°-∠C)
=360°-360°+2∠C=2∠C. 3．将一块直角三角板DEF 放置在△ABC 上，使得该三角板的两条直角边DE 、DF 恰好分别经过点B 、C ．
（1）如图1，当∠A=45°时，∠ABC+∠ACB= 度，∠DBC+∠DCB= 度；
（2）如图2，改变直角三角板DEF 的位置，使该三角板的两条直角边DE 、DF 仍然分别经过点B 、C ，那么∠ABD+∠ACD 的大小是否发生变化？若变化，请举例说明；若没有变化，请探究∠ABD+∠ACD 与∠A 的关系．
解：（1）在△ABC 中，∵∠A=45°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°， 在△DBC 中，∵∠DBC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°； 故答案135，90．
（2）不变．理由如下：
∵90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°， ∴（∠ABD+∠ACD）+∠A=90°， ∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A．。