大学物理_机械振动和机械波资料
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T
注意
弹簧振子周期 T 2π m
k
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
简谐运动中，x 和 v
之间不存在一一对应的 关系.
x
A
o
A
v v
T 2
x t 曲线
v T t
x Acos(t )
v A sin(t )
3 相位 (位相,周相) t 1）t (x, v) 存在一一对应的关系;
2
a a t图
a A 2 cos(t ) A 2
o
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
简谐运动的描述和特征
1）物体受线性回复力作用 F kx 平衡位置 x 0
2）简谐运动的动力学描述 d2 x 2 x 0
dt 2
3）简谐运动的运动学描述 x Acos(t ) v A sin(t )
例4-2 如图所示，一边长为L的立方体木块浮于静
水中，浸入水中部分的高度为b。今用手将木块压
下去，放手让其开始运动。若忽略水对木块的黏
性阻力，并且水面开阔，不因木块运动而使水面
高度变化，证明木块作谐振动。
F浮
证明：以水面为原点建立坐标OX
b
x
d2x dt 2
g b
x
0
mg X
d2x dt 2
2x
2
x Acos(t π )
2
x
A
o
A
v
x
o
Tt
T 2
例4-1 一轻弹簧,下挂质量为10g 的重物时,伸 长4.9cm.用它和质量80g小球构成弹簧振子. 将小球由平衡位置向下拉1.0cm 后,给向上初 速度v=5.0cm/s.求振动周期及振动表达式.
解: 取向下为x轴正向.
5s1
振动方程为 x=0.0141cos(5t+ π/4) (SI)
v A sin(t )
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
sin2 (t
)
Ep
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
)
2 k /m
E
Ek
Ep
1 2
k A2
A（2 振幅的动力学意义）
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒
x, v
简谐运动能量图
xt 0
o
t x Acost
T v t v A sint
能量
o T T T 3T 42 4
E 1 kA2 2
Ep
1 2
k A2
cos2 t
t Ek
1 2
m 2 A2
sin2 t
第二篇 机械振动和机械波
教学基本要求
一 掌握描述简谐运动的各个物理量 （特别是相位）的物理意义及各量间的关系.
二 掌握描述简谐运动的旋转矢量法， 并会用于简谐运动规律的讨论和分析.
三 掌握简谐运动的基本特征，能建立 一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初 始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理 解其物理意义.
3 相位 (位相,周相) t x Acos(t )
1） t ( x, v) 存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态 月相: 新月, 娥眉月, 上弦月, 满月, 下弦月, 残月等
娥眉月
上弦月
满月
下弦月
3 相位 (位相,周相) t x Acos(t ) 1） t ( x, I d2
dt 2
令 2 mgl
I
d2 2 0
dt 2 动力学判据
m cos(t )
运动学判据
o 转动正向
l
*C
P
（ C点为质心）
二 谐振动的速度和加速度
x xt图
x Acos(t )
A
o
t
T
取 0
A
v vt 图
v A sin(t ) A
o
Tt
A cos(t π ) A
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态； 相差 2nπ (n为整数)质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π] 或 [0 2π] )
四 常数 A和 的确定
x Acos(t ) v A sin(t )
四 理解同方向、同频率简谐运动的合 成规律，了解拍的特点.
五 了解阻尼振动、受迫振动和共振的 发生条件及规律.
本章重点
相位概念的理解及掌握简谐振动的基本规律。 同方向同频率简谐振动的合成。
本章难点
相位概念的理解。
引言
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为 振动.
机械振动 物体围绕一固定位置往复运动. 其运动形式有直线、平面和空间振动. 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以 及晶体中原子的振动等.
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质 决定，振幅和初相由初始条件决定.
讨论
已知 t 0, x 0, v 0求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
sin 0 取 π
4）加速度与位移成正比而方向相反 a 2 x
弹簧振子 k m 单摆 g l
复摆
mgl I
三 描述简谐振动的物理量(三要素)
1 振幅
A xmax
2 周期、频率
x Acos(t )
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
频率
1
T 2π
圆频率 2π 2π
周期和非周期振动
简谐振动 最简单、最基本的振动.
简谐振动
合成 分解
复杂振动
谐振子 作简谐振动的物体.
§4-1 简谐振动
一 简谐振动的特征方程 1 弹簧振子
l0 k
A
平衡位置
m x0 F 0
x
o
A
Fm
ox
x
F kx ma x Acos(t )
令 2 k
m
a 2x
积分常数，根据初始条件确定
0
解决简谐运动方程问题的一般步骤: 1) 找到振动平衡位置,此时合力为零,选平衡位 置为原点,建立坐标系 2) 设振子离开原点x处,分析受力情况. 3) 应用牛顿定律. 4) 根据初始条件确定A和.
5) 写出振动表达式.
另外一个方法: 能量法
§4-2 谐振动的能量
以弹簧振子为例
F kx x Acos(t )
v dx A sin(t )
dt
d2x 2x 0
dt 2
a
d2x dt 2
A 2
cos(t
)
2 单摆 mg sin mat
ml
ml
d 2
••
ml
dt 2
••
g
sin
0
l
5 时 ,sin
令2 g
l
••
2 0
m cos(t )
转动
A
正向
l
Fm
o
mg
3 复摆(物理摆)
注意
弹簧振子周期 T 2π m
k
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
简谐运动中，x 和 v
之间不存在一一对应的 关系.
x
A
o
A
v v
T 2
x t 曲线
v T t
x Acos(t )
v A sin(t )
3 相位 (位相,周相) t 1）t (x, v) 存在一一对应的关系;
2
a a t图
a A 2 cos(t ) A 2
o
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
简谐运动的描述和特征
1）物体受线性回复力作用 F kx 平衡位置 x 0
2）简谐运动的动力学描述 d2 x 2 x 0
dt 2
3）简谐运动的运动学描述 x Acos(t ) v A sin(t )
例4-2 如图所示，一边长为L的立方体木块浮于静
水中，浸入水中部分的高度为b。今用手将木块压
下去，放手让其开始运动。若忽略水对木块的黏
性阻力，并且水面开阔，不因木块运动而使水面
高度变化，证明木块作谐振动。
F浮
证明：以水面为原点建立坐标OX
b
x
d2x dt 2
g b
x
0
mg X
d2x dt 2
2x
2
x Acos(t π )
2
x
A
o
A
v
x
o
Tt
T 2
例4-1 一轻弹簧,下挂质量为10g 的重物时,伸 长4.9cm.用它和质量80g小球构成弹簧振子. 将小球由平衡位置向下拉1.0cm 后,给向上初 速度v=5.0cm/s.求振动周期及振动表达式.
解: 取向下为x轴正向.
5s1
振动方程为 x=0.0141cos(5t+ π/4) (SI)
v A sin(t )
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
sin2 (t
)
Ep
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
)
2 k /m
E
Ek
Ep
1 2
k A2
A（2 振幅的动力学意义）
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒
x, v
简谐运动能量图
xt 0
o
t x Acost
T v t v A sint
能量
o T T T 3T 42 4
E 1 kA2 2
Ep
1 2
k A2
cos2 t
t Ek
1 2
m 2 A2
sin2 t
第二篇 机械振动和机械波
教学基本要求
一 掌握描述简谐运动的各个物理量 （特别是相位）的物理意义及各量间的关系.
二 掌握描述简谐运动的旋转矢量法， 并会用于简谐运动规律的讨论和分析.
三 掌握简谐运动的基本特征，能建立 一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初 始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理 解其物理意义.
3 相位 (位相,周相) t x Acos(t )
1） t ( x, v) 存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态 月相: 新月, 娥眉月, 上弦月, 满月, 下弦月, 残月等
娥眉月
上弦月
满月
下弦月
3 相位 (位相,周相) t x Acos(t ) 1） t ( x, I d2
dt 2
令 2 mgl
I
d2 2 0
dt 2 动力学判据
m cos(t )
运动学判据
o 转动正向
l
*C
P
（ C点为质心）
二 谐振动的速度和加速度
x xt图
x Acos(t )
A
o
t
T
取 0
A
v vt 图
v A sin(t ) A
o
Tt
A cos(t π ) A
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态； 相差 2nπ (n为整数)质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π] 或 [0 2π] )
四 常数 A和 的确定
x Acos(t ) v A sin(t )
四 理解同方向、同频率简谐运动的合 成规律，了解拍的特点.
五 了解阻尼振动、受迫振动和共振的 发生条件及规律.
本章重点
相位概念的理解及掌握简谐振动的基本规律。 同方向同频率简谐振动的合成。
本章难点
相位概念的理解。
引言
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为 振动.
机械振动 物体围绕一固定位置往复运动. 其运动形式有直线、平面和空间振动. 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以 及晶体中原子的振动等.
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质 决定，振幅和初相由初始条件决定.
讨论
已知 t 0, x 0, v 0求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
sin 0 取 π
4）加速度与位移成正比而方向相反 a 2 x
弹簧振子 k m 单摆 g l
复摆
mgl I
三 描述简谐振动的物理量(三要素)
1 振幅
A xmax
2 周期、频率
x Acos(t )
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
频率
1
T 2π
圆频率 2π 2π
周期和非周期振动
简谐振动 最简单、最基本的振动.
简谐振动
合成 分解
复杂振动
谐振子 作简谐振动的物体.
§4-1 简谐振动
一 简谐振动的特征方程 1 弹簧振子
l0 k
A
平衡位置
m x0 F 0
x
o
A
Fm
ox
x
F kx ma x Acos(t )
令 2 k
m
a 2x
积分常数，根据初始条件确定
0
解决简谐运动方程问题的一般步骤: 1) 找到振动平衡位置,此时合力为零,选平衡位 置为原点,建立坐标系 2) 设振子离开原点x处,分析受力情况. 3) 应用牛顿定律. 4) 根据初始条件确定A和.
5) 写出振动表达式.
另外一个方法: 能量法
§4-2 谐振动的能量
以弹簧振子为例
F kx x Acos(t )
v dx A sin(t )
dt
d2x 2x 0
dt 2
a
d2x dt 2
A 2
cos(t
)
2 单摆 mg sin mat
ml
ml
d 2
••
ml
dt 2
••
g
sin
0
l
5 时 ,sin
令2 g
l
••
2 0
m cos(t )
转动
A
正向
l
Fm
o
mg
3 复摆(物理摆)