事故树概率分析

顶上事件发生概率的计算
有了各基本事件的发生概率，就可计算顶上事件的发生概率。

1 利用最小割集计算顶上事件的发生概率。

（1）在事故树的定性分析中，给出了最小割集的求法，以及用最小割集表示的事故树等效图。

等效图的标准结构形式是顶上事件T 与最小割集Ei的连接为或门，每个最小割集Ei与其基本事件Xi的连接为与门。

如下图：
如果各最小割集中没有重复的基本事件，则顶上事件g的概率可按下式计算：
k
g = ∏·∏q i
r=1 x i∈k r
式中i —基本事件的序数；r —最小割集的序数；k —最
小割集的个数
x i∈k r—第i个基本事件属于第r个最小割集；
∏—求概率积；∏—求概率和。

此事故树4个最小割集彼此没有重复事件，故可用上式计算顶上事件发生的概率：
k
g = ∏·∏q i = 1-（1-q1q2）（1-q3q4）（1-q5q6）（1-q7q8）
r=1 x i∈kr
式中，q1……q8，分别为各基本事件X1……X8的发生概率。

由此，我们得出结论，在事故树各最小割集没有重复事件的情况下，顶上事件的发生概率等于各最小割集的概率和，即：
g = 1-（1-qk1）（1-qk2）（1-qk3）（1-qk4）
式中，qk1……qk4，分别为各最小割集的发生概率。

（2）如果事故树各最小割集有重复事件，则应这样计算。

例某事故树有3个最小割集：K1={X1，X3}，K2={X2，X3}，K3={X3，X4}，则该事故树的结构函数式为：T = K1 + K2 + K3，则概率 g=1-（1-qk1）（1-qk2）（1-qk3）=qk1+qk2+qk3 -（qk1qk2+qk1qk3+qk2qk3）+ qk1qk2qk3
对于qk1qk2，它是K1、K2交集的概率，即X1·X3·X2·X3，根据布尔代数幂等律，
X1·X3·X2·X3 = X1·X2·X3，
故qk1qk2 = qk1qk2qk3，同理qk2qk3 = qk2qk3qk3，qk1qk3= qk1qk3qk4，
qk1qk2qk3= qk1qk2qk3qk4
因此，遇到有最小割集彼此有重复事件时，就必须消去每个概率
积的重复因子，按下式计算：
k k
g = ∑∏q i - ∑∏q i + … + （-1）k-1∏q i
r=1 x i∈k r 1≤r< s≤k x1∈k r uk s r=1 x i∈k r
例设某事故的最小割集为{X1，X2}，{X1，X3}，{X2，X4，X5}，其发
生概率分别为：q1=0.01，
q2 = 0.02，q3 = 0.03，q4 = 0.04，q5 = 0.05，求顶上事件的发
生概率。

解 K1 = {X1，X2}，K2 = {X1，X3}，K3 = {X2，X4, X5}
g = 1-（1-qk1）（1-qk2）（1-qk3）=qk1+qk2+qk3 -
（qk1qk2+qk1qk3+qk2qk3）+ qk1qk2qk3
=（q1q2+ q1q3+ q2q4q5）-（q1q2q3+q1q2q4q5+q1q2q3q4q5）+ q1q2q3q4q5
= q1q2 + q1q3 + q2q4q5 - q1q2q3 - q1q2q4q5 = 0.0005336
事故树概率重要度分析
结构重要度是从事故树的结构上分析各基本事件的重要程度。

如
果进一步考虑各基本事件发生概率的变化会给顶上事件发生概率以
多大影响，就要分析基本事件的概率重要度。

我们利用顶上事件发生
概率g函数是一个多重线性函数这一性质，只要对自变量q i求一次偏导，就可得到该基本事件的概率重要系数，即：
Ig（i）= δg/δq i
当我们利用上式求出各基本事件的概率重要系数后，就可以了解，诸多基本事件，减少哪个基本事件的发生概率可以有效地降低顶上事件的发生概率。

例设某事故树最小割集为{X1，X3}，{X1，X5}，{X3，X4}，{X2，X4，X5}，各基本事件发生概率分别为，q1=0.01, q2=0.02, q3=0.03, q4=0.04, q5=0.05。

求各基本事件达到概率重要系数。

解：顶上事件发生概率g函数为：
g=（q1q3+q1q5+q3q4+q2q4q5）-（q1q3q4+q1q3q5+q1q2q3q4q5+q1q3q4q5+q1q2q4q5+q2q3q4q5）
+ （q1q3q4q5+q1q2q3q4q5+q1q2q3q4q5+q1q2q3q4q5）- q1q2q3q4q5
= q1q3 + q1q5 + q3q4 + q2q4q5 - q1q3q4 - q1q3q5 - q1q2q4q5 - q2q3q4q5 + q1q2q3q4q5
这样，我们就可以计算出各基本事件的的概率：
Ig（1）= δg/δq1 = q3 + q5 + 0+ 0 - q3q4 - q3q5 - q2q4q5 – 0 + q2q3q4q5 = 0.773
Ig（2）= δg/δq2= 0+ 0 + q4q5- 0- 0- q1q4q5 - q3q4q5 + q1q3q4q5 = 0.0019
Ig（3）= δg/δq3= q1+ 0+ q4 + 0 - q1q4 - q1q5 - 0- q2q4q5 + q1q2q4q5 = 0.049
Ig（4）= δg/δq4 = 0+ 0+ q3+ q2q5 - q1q3 - 0- q1q2q5 - q2q3q5 + q1q2q3q5=0.031
Ig（5）= δg/δq5 = 0+ q1+ 0 + q2q4 - 0- q1q3 - q1q2q4 - q2q3q4 + q1q2q3q4=0.010
这就是说,缩小基本事件X1的发生概率,能使顶上事件的发生概率下降速度较快,它比以同样数值缩小其它任何基本事件的发生概率都有效.其次是X3、X4、X5，最不敏感的是X2。

从概率重要系数的求取，可以看到这样的事实，一个基本事件的概率重要度大小，并不取决于它本身的概率值大小，而取决于它所在最小割集中其他基本事件的概率积的大小。