【学案导学备课精选】2015年高中数学 4.1.1导数与函数的单调性同步练习(含解析)北师大版选修1-1

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导数与函数单调性上课用学案教案.doc

导数与函数单调性【课标要求】1．掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．【核心扫描】1．利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．(重点) 2．利用导数证明一些简单不等式．(难点) 3．常与不等式、方程等结合命题教学过程：一、复习引入、回顾思考 1.导数的几何意义: 2.常见函数的导数公式：3.求导法则：4.思考：（1）到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？（2）函数单调性的定义是什么？怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（3）由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？（4）还有没有其它方法？那如果遇到函数：我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？有没有捷径？ 5．探究活动、观察与表达通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？填表（表格1）填表（表格2）32()233616f x x x x =--+二、建构数学探究1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y =f (x )的切线的斜率就是函数y =f (x )的导数. 从函数342+-=x x y 的图象可以看到：探究2. 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系结论：一般地,设函数y ＝f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间注：三、数学运用命题角度1 求不含参数的函数的单调区间例1：求函数f(x)=2x 3-6x 2+7的单调区间.思考与感悟：用导数法求函数单调区间的一般步骤：（1）（2）（3）（4）例2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 2－ln x ；(2)f(x)＝1-x e x；题组训练：求下列函数单调区间(1) y ＝e x －x ＋1. （2）f (x )＝3x 2－2ln x);,0(,sin )( )3(π∈-=x x x x f 32(4) ()2324 1.f x x x x =+-+;ln )5(x x y =命题角度2 应用导数信息确定函数大致图象例3已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状. (选讲)命题角度3利用导数判断函数的单调性例4 证明：函数f(x)＝ln xx在区间(0，e)上是增函数．四、巩固训练五、课堂小结：通常对于哪些函数我们用“导数法”来判断它们的单调性比较简便？六、课后作业：教案精品文档。

1.1 导数与函数的单调性(一)学案(含答案)

1.1 导数与函数的单调性(一)学案（含答案）1函数的单调性与极值11导数与函数的单调性一学习目标1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点函数的单调性与导数思考1已知函数1y2x1，2y3x，3y2x，请判断它们的导数的正负与它们的单调性之间的关系答案1y20，y2x1是增函数；2y30，y3x是减函数；3y2xln20，y2x是增函数思考2观察图中函数fx，填写下表导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性00锐角上升增加的00钝角下降减少的梳理函数的单调性与导数符号的关系导数符号单调性在某个区间内，fx0在这个区间内，函数yfx是增加的在某个区间内，fx0在这个区间内，函数yfx是减少的1函数fx在定义域上都有fx0，则函数fx在定义域上是减少的2函数fx在某区间内是增加的，则一定有fx0.3函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大类型一函数与导数的图像间的关系例11fx是函数yfx的导函数，若yfx的图像如图所示，则函数yfx的图像可能是考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数图像确定原函数图像答案D解析由导函数的图像可知，当x0时，fx0，即函数fx为增函数；当0x2时，fx0，即fx为减函数；当x2时，fx0，即函数fx为增函数观察选项易知D正确2设函数fx在定义域内可导，yfx的图像如图所示，则导函数yfx的图像可能为考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图像确定导函数的图像答案D解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图像反思与感悟函数图像的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图像上升；符号为负，图像下降看导函数图像时，主要是看图像在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性解决问题时，一定要分清是函数图像还是其导函数图像跟踪训练1在同一坐标系中作出三次函数fxax3bx2cxda0及其导函数的图像，下列一定不正确的序号是ABCD考点题点答案C解析当fx0时，yfx是增加的；当fx0时，yfx是减少的故可得，中函数图像的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误类型二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间1yx2lnx；2yxb0考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间解1函数yx2lnx的定义域为0，，又y.若y0，即解得x1；若y0，即解得0x1.故函数yx2lnx的单调增区间为1，；单调减区间为0,12函数fx的定义域为，00，，fx1，令fx0，则xx0，所以x或x.所以函数的单调增区间为，，，令fx0，则xx0，所以x且x0.所以函数的单调减区间为，0，0，反思与感悟求函数yfx的单调区间的步骤1确定函数yfx的定义域2求导数yfx3解不等式fx0，函数在解集所表示的定义域内为增函数4解不等式fx0，函数在解集所表示的定义域内为减函数跟踪训练2函数fxx22xexxR的单调减区间为____________考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案2，2解析由fxx24x2ex0，即x24x20，解得2x2.所以fxx22xexxR的单调减区间为2，2例3讨论函数fxax2xa1lnxa0的单调性考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间解函数fx的定义域为0，，fxax1.当a0时，fx，由fx0，得x1，由fx0，得0x1.fx在0,1内为减函数，在1，内为增函数当a0时，fx，a0，0.由fx0，得x1，由fx0，得0x1.fx在0,1内为减函数，在1，内为增函数综上所述，当a0时，fx在0,1内为减函数，在1，内为增函数反思与感悟1 讨论参数要全面，做到不重不漏2解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解跟踪训练3设函数fxexax2，求fx的单调区间考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间解fx的定义域为，，fxexa.若a0，则fx0，所以fx在，上是增加的若a0，则当x，lna时，fx0；当xlna，时，fx0.所以fx在，lna上是减少的，在lna，上是增加的综上所述，当a0时，函数fx在，上是增加的；当a0时，fx在，lna上是减少的，在lna，上是增加的.1函数yxlnx，x0,1A在区间0,1上是增加的B在区间0,1上是减少的C在上是减少的，在上是增加的D在上是增加的，在上是减少的考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案C解析ylnx1，当0x时，y0，函数yxlnx是减少的；当x1时，y0，函数yxlnx是增加的2若函数fx的图像如图所示，则导函数fx的图像可能为考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图像确定导函数图像答案C解析由fx的图像可知，函数fx的单调增区间为1,4，单调减区间为，1和4，，因此，当x1,4时，fx0，当x，1和x4，时，fx0，结合选项知选C.3函数fxx3ex的递增区间是A，2B0,3C1,4D2，考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案D解析fxx3exx3exx2ex，令fx0，解得x2，故选D.4若函数fxx3bx2cxd的单调减区间为1,2，则b________，c________.考点利用导数求函数的单调区间题点已知单调区间求参数值答案6解析fx3x22bxc，由题意知，fx0即3x22bxc0的两根为1和2.由得5试求函数fxkxlnx的单调区间考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间解函数fxkxlnx 的定义域为0，，fxk.当k0时，kx10，fx0，则fx在0，上是减少的当k0时，由fx0，即0，解得0x；由fx0，即0，解得x.当k0时，fx的单调减区间为，单调增区间为.综上所述，当k0时，fx的单调减区间为0，；当k0时，fx的单调减区间为，单调增区间为.1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数fx的单调区间的一般步骤1确定函数fx的定义域；2求导数fx；3在函数fx的定义域内解不等式fx0和fx0；4根据3的结果确定函数fx的单调区间。

高二文科数学4.1.1导数与函数的单调性导学案设计

§ 4.1.1导数与函数的单调性学习目标1•正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2•掌握利用导数判断函数单调性的方法学习过程一、课前准备(预习教材，找出疑惑之处) 复习1:以前，我们用定义来判断函数的单调性。

对于任意的两个自变量 X 1, X 2^ I ,当X !< X 2时，都有f(Xj ：:： f(X 2)，那么函数f(X )在区间I 上单调递增。

当X 1 < X 2时，都有f(Xj ・f(X 2)，那么函数f(X )在区间I 上单调递减。

复习 2： C ，=0 ; (x n )' = nx n ，； (sinx)'=cosx ； (cosx)'=_sinx ； (in x)' = 1 ;X 1X X X X(log a X)' ； (e )' =e ； (a )' =a in a ； xln a复习3:[f(x)_ g(x)]'二 f(x)_g(x)[ f (x)Lg (x)]' = f (x)_g( x)g (x) _f (x)[f (x)^ f (x) Lg(x) - g (x)_f (X)g(x)g (x)探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线y = f (x)在点x o 的切线的斜率就是函数 y = f (x)在该点的导数f (x o )。

从函数y =x 2「4x - 3的图像来观察其关系：在区间(2,•::)内，切线的斜率为 k>0( y 大而增大，即, 0时，函数y =f(x)在区间(2,•)内为 ___________ 函数;在区间(-：：，2)内，切线的斜率为 ________________ (y 、0)，函数y 二f(x)的值随着x 的增大而 ________ ，即y ，：：0时，函数y =f(x)在区间(-：：，2)内为 _______________ 。

高中数学同步练习导数与函数的单调性

第3章 §1 第1课时导数与函数的单调性A 级基础巩固一、选择题1．在下列结论中,正确的有( A ) (1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的,则原函数也是单调的． A ．0个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 分别举反例：(1)y ＝lnx,(2)y ＝1x (x>0),(3)y ＝2x,(4)y ＝x 2,故选A.2．若函数f(x)＝kx －lnx 在区间(1,＋∞)单调递增,则k 的取值范围是( D ) A ．(－∞,－2] B ．(－∞,－1] C ．[2,＋∞)D ．[1,＋∞)[解析] 由条件知f′(x)＝k －1x ≥0在(1,＋∞)上恒成立,∴k≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．3．(2019·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题的能力． ∵f(x)＝2x＋x 3－2,0<x<1,∴f ′(x)＝2xln2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立,∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－1<0,f(1)＝2＋1－2＝1>0,f(0)·f(1)<0,则f(x)在(0,1)内至少有一个零点, 又函数y ＝f(x)在(0,1)上单调递增,则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点． 4．下列函数中,在(0,＋∞)内为增函数的是( B ) A ．y ＝sinx B ．y ＝xe 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝lnx －x[解析] 对于B,y ＝xe 2,则y′＝e 2,∴y ＝xe 2在R 上为增函数,在(0,＋∞)上也为增函数,选B. 5．(2019·临沂高二检测)已知函数y ＝f(x)的图像是如图四个图像之一,且其导函数y ＝f′(x)的图像如图所示,则该函数的图像是( B )[解析] 由导函数图像可知函数在[－1,1]上为增函数,又因导函数值在[－1,0]递增,原函数在[－1,1]上切线的斜率递增,导函数的函数值在[0,1]递减,原函数在[0,1]上切线的斜率递减,选B.6．若f(x)＝lnxx ,e<a<b,则( A )A ．f(a)>f(b)B ．f(a)＝f(b)C ．f(a)<f(b)D ．f(a)f(b)>1[解析] 因为f′(x)＝1－lnxx2, ∴当x>e 时,f′(x)<0,则f(x)在(e,＋∞)上为减函数,因为e<a<b, 所以f(a)>f(b)．选A. 二、填空题7．(2019·烟台高二检测)函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为(－∞,－1)． [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为 (2,＋∞)∪(－∞,－1),令f(x)＝x 2－x －2,f ′(x)＝2x －1<0,得x<12,∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞,－1)．8．已知函数f(x)＝x 3－ax 2－3x 在区间[1,＋∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是(－∞,0]． [解析] ∵f(x)＝x 3－ax 2－3x,∴f ′(x)＝3x 2－2ax －3, 又因为f(x)＝x 3－ax 2－3x 在区间[1,＋∞)上是增函数, f ′(x)＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1,＋∞)上恒成立, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1，f ′(1)＝3×12－2a －3≥0，解得a≤0,故答案为(－∞,0]．三、解答题9．(2018·天津理,20(1))已知函数f(x)＝a x,g(x)＝log a x,其中a>1.求函数h(x)＝f(x)－xln a 的单调区间．[解析] 由已知,h(x)＝a x－xln a, 有h′(x)＝a xln a －ln a. 令h′(x)＝0,解得x ＝0.由a>1,可知当x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表：所以函数10．(2019·长沙高二检测)已知a≥0,函数f(x)＝(x 2－2ax)·e x.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数,求a 的取值范围．[解析] ∵f(x)＝(x 2－2ax)e x, ∴f′(x)＝(2x －2a)e x＋(x 2－2ax)e x＝e x[x 2＋2(1－a)x －2a]令f′(x)＝0,即x 2＋2(1－a)x －2a ＝0, 解x 1＝a －1－1＋a 2,x 2＝a －1＋1＋a 2, 其中x 1<x 2,当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表∵a≥0,∴x 1212∴x 2≥1,即a －1＋1＋a 2≥1, ∴a≥34.B 级素养提升一、选择题1．(2018·和平区二模)已知f(x)是定义在R 上的函数,它的图像上任意一点P(x 0,y 0)处的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0),那么函数f(x)的单调递减区间为( A )A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞,－1)D ．(2,＋∞)[解析] 因为函数f(x),(x ∈R)上任一点(x 0,y 0)的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0),即函数在任一点(x 0,y 0)的切线斜率为k ＝x 20－x 0－2, 即知任一点的导数为f ′(x)＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1),由f ′(x)＜0,得－1＜x ＜2,即函数f(x)的单调递减区间是(－1,2)．故选A.2．函数f(x)的定义域为R,f(－2)＝2017,对任意x ∈R,都有f ′(x)<2x 成立,则不等式f(x)>x 2＋2013的解集为( C )A ．(－2,2)B ．(－2,＋∞)C ．(－∞,－2)D ．(－∞,＋∞)[解析] 令F(x)＝f(x)－x 2－2013,则F ′(x)＝f ′(x)－2x<0,∴F(x)在R 上为减函数, 又F(－2)＝f(－2)－4－2013＝2017－2017＝0, ∴当x<－2时,F(x)>F(－2)＝0,∴不等式f(x)>x 2＋2013的解集为(－∞,－2)．二、填空题3．若函数f(x)＝x －13sin2x ＋asinx 在(－∞,＋∞)单调递增,则a 的取值范围是[－13,13].[解析] 函数f(x)＝x －13sin2x ＋asinx 在(－∞,＋∞)单调递增,等价于f ′(x)＝1－23cos2x ＋acosx＝－43cos 2x ＋acosx ＋53≥0在(－∞,＋∞)恒成立．设cosx ＝t,则g(t)＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0g (－1)＝－43－a ＋53≥0,解得－13≤a≤13.4．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋(2a －3)x －1.(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1),则a 的取值集合为{0}； (2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减,则a 的取值集合为{a|a<0}． [解析] f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋2a －3 ＝(x ＋1)(3x ＋2a －3)．(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1), ∴－1和1是方程f ′(x)＝0的两根,∴3－2a3＝1,∴a ＝0,∴a 的取值集合为{0}． (2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减,∴f ′(x)<0在(－1,1)内恒成立,又二次函数y ＝f ′(x)开口向上,一根为－1,∴必有3－2a3>1,∴a<0,∴a 的取值集合为{a|a<0}．三、解答题5．已知函数f(x)＝(ax 2＋x －1)·e x,其中e 是自然对数的底数,a ∈R. (1)若a ＝1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)若a ＝－1,求f(x)的单调区间．[解析] (1)因为f(x)＝(x 2＋x －1)e x,所以f′(x)＝(2x ＋1)e x＋(x 2＋x －1)e x＝(x 2＋3x)e x,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k ＝f′(1)＝4e.又因为f(1)＝e,所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1), 即4ex －y －3e ＝0.(2)f(x)＝(－x 2＋x －1)e x,因为f′(x)＝－x(x ＋1)e x, 令f′(x)<0,得x<－1或x>0；f′(x)>0 得－1<x<0.所以f(x)的减区间为(－∞,－1),(0,＋∞),增区间为(－1,0)．6．(2019·山师附中高二检测)已知函数f(x)＝alnx ＋2a2x ＋x(a>0)．若函数y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直．(1)求实数a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间． [解析] (1)f ′(x)＝a x －2a2x2＋1,∵f ′(1)＝－2,∴2a 2－a －3＝0,∵a>0,∴a ＝32.(2)f ′(x)＝32x －92x 2＋1＝2x 2＋3x －92x 2＝(2x －3)(x ＋3)2x2, ∵当x ∈(0,32)时,f ′(x)<0；当x ∈(32,＋∞)时,f ′(x)>0,∴f(x)的单调递减区间为(0,32),单调递增区间为(32,＋∞)．C 级能力拔高(2019·广德高二检测)已知函数f(x)＝x 2＋2alnx. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝2x ＋f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x)＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax ,函数f(x)的定义域为(0,＋∞)．①当a≥0时,f ′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,＋∞)； ②当a<0时f ′(x)＝2(x ＋－a )(x －－a )x .当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下：(2)由g(x)＝2x ＋x 2＋2alnx,得g′(x)＝－2x 2＋2x ＋2ax ,由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数, 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立, 即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝1x －x 2,x ∈[1,2],则h′(x)＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x)<0,∴h(x)在[1,2]上为减函数．h(x)min ＝h(2)＝－72,∴a≤－72,故a 的取值范围为{a|a≤－72}．。

高中数学导函数与函数单调性复习课导学案

导函数与函数单调性复习课导学案【学习目标】1、知识与能力：理解利用导数解决函数的单调性得三类题型.2、过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的研究过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。

3、情感态度与价值观：〔1〕通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。

〔2〕通过导数研究单调性的根本步骤〔即算法〕的形成和使用，使得学生认识到导数使得一些复杂的问题就变得有矩可循，因而认识到导数的实用价值。

【教学重点】利用求导的方法判定函数的单调性的方法转化。

【教学难点】含参函数的单调性复习引入：一、利用导数求函数单调区间的步骤二、题型分类(课前预习)题型一、不含参函数的单调区间的单调递减区间为则、若函数)(,1,31,)(13x f x x x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=的单调递增区间为则变式、若)(,ln 23)(2x f x x x f -= 题型二、含参函数的单调性区间时求函数的单调区间。

当、已知函数1,ln )1(21)(22>++-=a x a x a x x f。

时，求函数的单调区间变式：当0>a。

时，求函数的单调区间思考：当R a ∈题型三、函数单调性求参数取值范围(当堂典例)[)的取值范围为则单调递增，，在、已知函数a x a x x x f ∞++-=1ln 2)(123()的取值范围为单调递减，则实数在区间练习：若函数a x ax x x f 1,06)(23+--=的取值范围。

上单调递增，求在区间思考：函数m ]12,12[2)(23+-+=m m x x x f三、课堂小结四、课后作业，则函数单减区间为、已知函数x x x f ln 2)(12-=的取值范围是上单调函数，则是、若函数m R mx x x x f 1)(223+++= 的取值范围为则存在单调递增区间，，在区间、已知函数a ax x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+++-=32,22131)(323()。

北师大版数学数学 4.1.1导数与函数的单调性同步练习北师大版选修1-1

学案导学备课精选】2015年高中数学 4.1.1导数与函数的单调性同步练习（含解析）北师大版选修1-1课时目标掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号和函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数f (x )是________的．2．函数的单调性决定了函数图像的大致形状．一、选择题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙： f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．sin x B ．x e x C ．x 3－x D ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)＝2f (1) C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪ C ．题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间是____________．8．已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，则a的取值范围为__________．9．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．第四章导数应用 §1 函数的单调性与极值 1.1 导数与函数的单调性知识梳理1．f ′(x)>0 减少作业设计 1．A 2．A 3．B 4．A 5．C 6．C 7．(－1,11)解析 ∵f ′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x)<0，得－1<x<11， ∴f(x)的单减区间为(－1,11)． 8．(－∞，－3]解析 f ′(x)＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a<0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a<036＋12a ≤0， ∴a ≤－3. 9．即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x)＝3ax 2＋1，且f(x)有三个单调区间， ∴方程f ′(x)＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a<0时，令f ′(x)＝0，解得x ＝－a ＋12a，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x)>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x)<0.故f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a<0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．13．解 (1)由已知，得f ′(x)＝3x 2－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x)＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x)＝3x 2≥0，f(x)在实数集R 上单调递增，所以a ≤0. (2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。

函数单调性教案练习题

函数单调性教案练习题第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义介绍函数单调性的概念，让学生理解函数单调递增和单调递减的定义。

通过具体例子解释函数单调性的含义，让学生能够判断简单函数的单调性。

1.2 函数单调性的性质讲解函数单调性的性质，包括单调性的继承性和局部性。

通过示例说明函数单调性的一些基本性质，让学生能够运用这些性质解决问题。

第二章：函数单调性的判定方法2.1 导数法判定单调性介绍导数法判定函数单调性的基本思路，让学生理解导数与函数单调性的关系。

通过具体例子讲解如何利用导数判断函数的单调性，让学生能够运用导数法解决问题。

2.2 图像法判定单调性介绍图像法判定函数单调性的方法，让学生能够通过观察函数图像来判断单调性。

通过绘制不同函数的图像，让学生理解图像法判定单调性的原理。

第三章：函数单调性的应用3.1 函数单调性在函数值估计中的应用介绍如何利用函数单调性来估计函数值的大小，让学生掌握这一方法。

通过具体例子讲解如何利用函数单调性来估计函数值，让学生能够运用这一方法解决问题。

3.2 函数单调性在最大值和最小值问题中的应用介绍如何利用函数单调性来解决最大值和最小值问题，让学生掌握这一方法。

通过具体例子讲解如何利用函数单调性来求解最大值和最小值问题，让学生能够运用这一方法解决问题。

第四章：函数单调性的进一步研究4.1 函数的单调区间介绍如何确定函数的单调区间，让学生能够判断函数在不同区间的单调性。

通过具体例子讲解如何确定函数的单调区间，让学生能够运用这一方法解决问题。

4.2 函数的单调性变化介绍函数单调性的变化规律，包括单调递增变为单调递减和单调递减变为单调递增的情况。

通过具体例子讲解函数单调性的变化规律，让学生能够判断函数单调性的变化。

第五章：函数单调性的综合应用5.1 函数单调性在实际问题中的应用介绍如何将函数单调性应用到实际问题中，让学生能够将理论知识与实际问题相结合。

通过具体例子讲解如何利用函数单调性解决实际问题，让学生能够运用这一方法解决问题。

学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习：导数与函数的单调性

第四章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性课时目标掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号和函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数f (x )是________的．2．函数的单调性决定了函数图像的大致形状．一、选择题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙： f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－xD ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪C ．题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为__________．9．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．第四章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性知识梳理1．f ′(x)>0 减少作业设计1．A2．A3．B4．A5．C6．C7．(－1,11)解析 ∵f ′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x)<0，得－1<x<11，∴f(x)的单减区间为(－1,11)．8．(－∞，－3]解析 f ′(x)＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a<0Δ≤0，即⎩⎨⎧a<036＋12a ≤0， ∴a ≤－3.9．即b ＝－32，c ＝－6. (2)∵f ′(x)＝3ax 2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f ′(x)＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x. ①当a ≥0时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ③当－1<a<0时，令f ′(x)＝0，解得x ＝－a ＋12a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x)>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x)<0. 故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a<0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 13．解 (1)由已知，得f ′(x)＝3x 2－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x)＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x)＝3x 2≥0，f(x)在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3. 当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。

导数与函数单调性导学案

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：3.1.1导数与函数的单调性【学习目标】1.了解可导函数的单调性与其导数的关系。

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

【重点】利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

【难点】利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

【使用说明与学法指导】1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。

2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。

3.带*号的为选做题。

【自主探究】1.函数的单调性与导数的关系在某个区间),(b a 内，如果0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内_____________：如果0)(<'x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内_____________。

说明：特别的，如果0)(='x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内是_____________。

2.函数)(x f 的单调增区间，可通过解不等式_____________求得，而单调减区间可由不等式_____________解得。

3.求可导函数)(x f 单调区间的步骤（1）____________________________（2）____________________________（3）____________________________【合作探究】1. 求下列函数的单调区间.62)1(24+-=x x y ；22ln )2(x x y +-= ；2. 函数x axx f -=3)(在R 上为减函数，求a 的取值范围.3. 求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数.4. 已知曲线106323-++=x x x y ，点),(y x P 在该曲线上移动，过点P 的切线设为l ，(1)求证：此函数在R 上单调递增；(2)求l 的斜率的范围.【巩固提高】1. 求下列函数的单调区间.(1)),0(,sin )(π∈-=x x x x f ； (2)x x x f 9)(+=；(3)x x x f ln )(=. 2. 已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f ，若)(x f 的单调减区间是)4,0(，求k 的值.3.已知函数32324)(x axx x f -+=在区间]1,1[-上是增函数，求实数a 的取值范围.★4.若函数x ax x f +=3)((1)求实数a 的取值范围，使)(x f 在R 上是增函数.(2)求实数a 的取值范围，使)(x f 恰好有三个单调区间. ★ 5.偶函数e dx cx bx ax x f ++++=234)(的图像过点)1,0(P ，且在1=x 处的切线方程为2-=x y ，求)(x f 的解析式.。

高中数学 4.1导数与函数的单调性导学案北师大版选修1-1

导数与函数的单调性一．学习目标:1、正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2、掌握利用导数求函数单调区间的方法二．学习重点:掌握利用导数求函数单调区间的方法三．学习难点:掌握利用导数求函数单调区间的方法四．旧知复习1. 函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈M ，且当x 1＜x 2时，都有，那么函数f (x )就是区间M 上的增函数. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间M 上的。

2. 基本初等函数的导数公式及其四则运算3、导数的几何意义：五．自主学习:1、定义：一般地，设函数y=f(x) 在区间()b a ,内有导数，如果在这个区间内满足，那么函数y=f(x ) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内满足，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：六．例题精讲:求函数x x y ln =的单调区间？七．练习与展示:==⋅=+========'''''''''')()()((cos))(sin )'(log )(ln )()()(g f g f g f x x x e a x c a x x n x4-1-4y 01、函数y=f （x ）的导函数的图像如图所示，则函数f （x ）的单调增区间为2、求函数f (x )=2x 3－6x 2+7得单调区间？3、的单调区间求函数x x y 1+=4、设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中求f(x)的单调区间；八、课时小结:。

高中数学3_1_1导数与函数的单调性同步精练北师大版选修2-21

高中数学 3.1.1 导数与函数的单调性同步精练北师大版选修2-21.函数f(x)＝x·ln x在(0,6)上是( )．A．单调增函数B．在10,e⎛⎫⎪⎝⎭上是减少的，在1,6e⎛⎫⎪⎝⎭上是增加的C．单调减函数D．在10,e⎛⎫⎪⎝⎭上是增加的，在1,6e⎛⎫⎪⎝⎭上是减少的2．当x＞0时，f(x)＝x＋2x，则f(x)的单调递减区间是( )．A．(2，＋∞) B．(0,2) C．(2，＋∞) D．(0，2) 3．函数y＝x cos x－sin x在下面哪个区间内是增函数( )．A．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭B．(π，2π)C．35,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D．(2π，3π)4．下列命题成立的是( )．A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)＞0B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上是增函数C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有( )．A．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a) C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )．A．f(0)＋f(2)＜2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)＞2f(1)7．已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的范围为________．8．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为__________．9．求证：方程x－12sin x＝0只有一个根x＝0.10．设函数f(x)＝x(e x－1)－ax2：(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．参考答案1.答案：B 解析：f ′(x )＝(x ·ln x )′＝(x )′ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴当0＜x ＜1e 时，f ′(x )＜0；当1e＜x ＜6时，f ′(x )＞0， ∴f (x )＝x ln x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减少的，在1,6e⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增加的． 2.答案：D 解析：f ′(x )＝1－22x ，令f ′(x )＝1－22x＜0，得22x -<<且x ≠0，又x ＞0，∴0＜x ＜2，∴函数f (x )的单调递减区间为(0，2)．3.答案：B 解析：y ′＝－x sin x ，∵y ＝x cos x －sin x 是增函数，∴y ′＞0.∵x ＞0，∴sin x ＜0，而sin x 在(π，2π)内小于0，∴y ＝x cos x －sin x 在(π，2π)内是增函数．4.答案：B 解析：若f (x )在(a ，b )内是增函数，则f ′(x )≥0，故A 错；f (x )在(a ，b )内单调与f ′(x )是否存在无必然联系，故C 错；f (x )＝2在(a ，b )上的导数f ′(x )＝0存在，但f (x )无单调性，故D 错．5.答案：B 解析：∵xf ′(x )＋f (x )≤0且x ＞0，f (x )≥0， ∴f ′(x )≤()f x x-，即f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又0＜a ＜b ，∴af (b )≤bf (a )．6.答案：B 解析：由(x －1)f ′(x )≥0，得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减或恒为常数．故f (0)＋f (2)≥2f (1)．7.答案：a ≥1 解析：由已知a ＞1ln xx+在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1ln xx +， ∴g ′(x )＝2ln xx -＜0(x ＞1)，∴g (x )＝1ln xx+在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g (x )＜g (1)． ∵g (1)＝1， ∴1ln xx+＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥1.8.答案：(－∞，2] 解析：令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．9.答案：证明：设f(x)＝x－12sin x，x∈(－∞，＋∞)，则f′(x)＝1－12cos x＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．而当x＝0时，f(x)＝0，∴方程x－12s in x＝0有唯一的根x＝0.10.解：(1)a＝12时，f(x)＝x(e x－1)－12x2，f′(x)＝e x－1＋x e x－x＝(e x－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f(x)＝x(e x－1－ax)，令g(x)＝e x－1－ax，则g′(x)＝e x－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a＞1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时，g(x)＜0，即f(x)＜0.综上所述a的取值范围为(－∞，1]．。

导数与函数的单调性学案

高二级数学学科学案
第五周第21课时学案编号：16 课题：导数与函数的单调性
编写人：编写时间：2012-2-23 使用时间：2012-3-7 审核人：＿＿＿班＿＿＿组姓名＿＿＿＿＿组评：＿＿＿＿＿师评：＿＿＿＿学习目标：掌握利用导数判断函数单调性的方法
学习重点：利用导数判断函数单调性
学习难点：求解函数单调区间的方法
学法指导：探析归纳
一、课前自主学习：（预习教材5759P P 找出疑惑之处）
画下列函数的图像，并求导数，观察导数的符号与函数单调性（通过图像观察单调性）之间有怎样的关系？
1．()f x x =
2．()25f x x +
3．34y x =-+
4．()2x
f x = 5．()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
6．()3log f x x =
7．()12log f x x =
导数的符号与函数单调性之间的关系：
问题生成：
二、课堂合作探究：
1．求函数()32
233616f x x x x =--+的单调区间，并尝试画出函数的大致图像
三、当堂检测：（时量：10分钟满分：50分）计分：
1．求下列函数的单调区间：
()21254y x x =-+
()323y x x =-
2．讨论函数()2sin 0,2y x x π=-在上的单调性
3．讨论函数()1f x x x =+
的单调性，并画出图像.
四、巩固练习: 621P A 组题
五、课堂小结：
1.单调性与导数符号的关系：
2．用导数求函数单调区间的步骤：
3．解题时的注意事项：
六、我的收获：
七、我的疑惑:。

导数单调性同步练习题及答案

导数单调性一、单选题1．函数的递增区间为（）A．B．C．D．2．已知，，且成立，则下列不等式不可能成立的是（）A．B．C．D．3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．4．函数的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知函数，若在上的最大值为4，则在上的最小值为（）A．-4B．C．-1D．26．已知函数，则的最大值的最小值是（）A．B．C．1D．27．已知各项均为正数的数列满足，，其前n项和为，则下列关于数列的叙述错误的是()A．B．C．D．二、多选题8．已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（）A．点是函数的零点B．，，使C．是的极大值点D．的取值范围是9．已知函数，则（）A．是偶函数B．存在实数使得，C．在上单调递增D．存在极值点三、填空题10．已知定义在R上的函数的导函数，且，则实数的取值范围为__________. 11．函数的最大值为______．四、解答题12．已知函数，.(1)若，求的单调区间；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.13．己知函数.(1)当时，求的单调区间.(2)存在，使得成立，求整数的最小值.14．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．15．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝x＋(b＞0)．16．用导数证明：(1)在区间上是增函数；(2)在区间上是减函数．17．证明：(1)函数在定义域上是减函数；(2)函数在区间上是增函数．18．确定下列函数的单调区间：(1)；(2)．19．设函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．20．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，设，求函数的单调区间. 21．试确定函数的单调区间．22．已知函数．(1)若，求证：函数在R上单调递增；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的最小值．23．已知函数，，均为不足近似值.(1)当时，判断函数的单调性；(2)证明：当时，不等式恒成立.24．已知函数其中.(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，函数有两个零点，，满足，证明.25．已知函数.(1)若，讨论的单调性；(2)若，是函数的两个不同的零点，证明：.26．已知函数，．(1)求的单调区间；(2)证明：；(3)若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数）．求的最大值．27．已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若，求证：.参考数据：.28．已知函数，.(1)若，求函数的单调区间；(2)若，且，证明：.29．已知函数的图象曲线C满足以下两个特性：①过点存在两条直线与曲线C相切；②曲线C上有A，B两点，其横坐标分别为，，且满足两点在曲线C上等高.请完成以下两个问题.(1)求实数t的取值范围；(2)若，且，求k值.30．已知函数，其中.(1)当时，求函数的单调性；(2)若对，不等式在上恒成立，求的取值范围.参考答案1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．第11页共11页。

北师大版数学-学案导学备课精选】2015年高中数学 3.3计算导数同步练习北师大版选修1-1

学案导学备课精选】2015年高中数学 3.3计算导数同步练习（含解析）北师大版选修1-1课时目标 1.会计算函数在一个点处的导数.2.理解导函数的概念.3.了解导数公式表．1．计算函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数的步骤：(1)计算函数的增量：Δy ＝f(Δx ＋x 0)－f(x 0)(2)确定平均变化率：Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx(3)当Δx 趋于0时，得到导数：f ′(x 0)＝0lim x ∆→f x 0－Δx －f x 0Δx2．导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a ，b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x)，则f ′(x)＝______________________，则f ′(x)为f(x)的__________，简称导数． 3．导数公式表函数导函数函数导函数 y ＝c (c 是常数) y ′＝0y ＝sin x y ′＝cos x y ＝x α(α为实数) y ′＝αxα－1y ＝cos xy ′＝－sin xy ＝a x (a>0，a ≠1)y ′＝a x ln a 特别地(e x )＝e x y ＝tan x y ′＝1cos 2xy ＝log a x (a>0，a ≠1)y ′＝1x ln a特别地(ln x)′＝1xy ＝cot x y ′＝－1sin 2x一、选择题1．已知函数f(x)＝13，则f ′(x)等于( ) A ．－33 B ．0 C .33D . 32．曲线y ＝－1x 在点⎝⎛⎭⎫2，－12处的切线方程为( ) A ．x －4y －4＝0 B ．x －y －4＝0C ．x －4y ＝0D ．2x －4y －4＝0 3．函数y ＝3x 2＋2x ＋1在点x ＝1处的导数为( )A ．3B ．7C ．8D ．14．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C .⎝⎛⎭⎫14，116D .⎝⎛⎭⎫12，14 5．函数y ＝(x －1)2的导数是( )A ．(x －1)2B ．2(x －1)C ．2(1－x)D ．－26．y ＝cos x 在点x ＝π6处的导数为( )A .32B ．－ 3C ．－12D .12二、填空题7．函数y ＝5x ＋4的导数为________．8．函数f(x)＝x 2＋3x 导数为5的点是________． 9．曲线y ＝ln x 在x ＝1处的切线斜率为________．三、解答题10．已知函数y ＝x 2＋4x ，求x ＝1,2处的导数值．11.已知f(x)＝log 2x ，利用导数公式求f ′(2)．能力提升12．给出下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．已知f ′(x)是一次函数，x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．1．“函数f(x)在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x)在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值． 2．可以利用导数公式计算函数在某点处的导数．§3 计算导数知识梳理 2．f ′(x)=0lim x ∆→f x ＋Δx －f xΔx 导函数作业设计 1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．C 7．5 8．(1,4) 9．1解析 y ′＝1x，∴f ′(1)＝1.10．解 f ′(1)=0lim x ∆→f 1＋Δx －f 1Δx=0lim x ∆→1＋Δx 2＋41＋Δx －1－4Δx=0lim x ∆→Δx 2＋Δx ×6Δx ＝6.f ′(2)=0lim x ∆→f 2＋Δx －f 2Δx=0lim x ∆→2＋Δx 2＋42＋Δx －22－4×2Δx＝8.11．解 ∵f ′(x)＝(log 2x)′＝1x ln 2＝2x ln 2，∴f ′(2)＝1ln 2.12．B13．解由f ′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.把f(x)，f ′(x)代入方程x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)＝1中得：x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1，即(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c －1＝0 要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f(x)＝2x 2＋2x ＋1.。

高中数学：4.1.1导数与函数的单调性二教案(北师大选修1-1)

导数与函数的单一性教课过程：一．创建情形函数是客观描绘世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，认识函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是特别重要的．经过研究函数的这些性质，我们能够对数目的变化规律有一个基本的认识．下边，我们运用导数研究函数的性质，从中领会导数在研究函数中的作用。

二．新课讲解1．问题：图（ 1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数 h(t ) 4.9t 2 6.5t10的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t 变化的函数v(t)h' (t )9.8t 6.5的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么差别？经过察看图像，我们能够发现：（ 1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t的增添而增添，即h(t)是增函数．相应地，v(t)h' (t )0 ．（ 2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增添而减少，即h(t)是减函数．相应地，v(t)h' (t)0 ．2．函数的单一性与导数的关系察看下边函数的图像，商讨函数的单一性与其导数正负的关系．如图 3.3-3 ，导数f'( x0)表示函数f ( x) 在点 (x0 , y0 ) 处的切线的斜率．（图 3.3-3 ）在 x x0处， f ' ( x0 ) 0 ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 f (x) 在 x0邻近单一递增；在 x x1处， f ( x1 ) 0，切线是“左上右下”式的，这时，函数 f (x) 在 x1邻近单一递减．结论：函数的单一性与导数的关系在某个区间 (a , b) 内，假如 f ' (x)0 ，那么函数 y f (x) 在这个区间内单一递加；假如f ' ( x) 0 ，那么函数 y f (x)在这个区间内单一递减．说明：（ 1）特其他，假如f' ( x)0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内是常函数．3．求解函数y f ( x) 单一区间的步骤：（ 1）确立函数y f ( x) 的定义域；（ 2）求导数y' f ' ( x) ；（3）解不等式f'( x) 0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f'( x) 0，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例剖析例 1．已知导函数f'( x)的以下信息：当 1 x 4 时，f'(x)0 ；当 x 4 ，或 x 1时，f'( x)0 ；当 x 4 ，或 x1时，f'( x) 0试画出函数 y f ( x) 图像的大概形状．解：当 1 x 4时， f ' ( x)0 ，可知 y f ( x) 在此区间内单一递加；当 x 4 ，或 x 1时，f'( x)0 ；可知 y f ( x) 在此区间内单一递减；当 x 4 ，或 x 1时，f'( x)0 ，这两点比较特别，我们把它称为“临界点”．综上，函数 y f ( x) 图像的大概形状如图 3.3-4所示．例 2．判断以下函数的单一性，并求出单一区间．（1）f ( x)x33x ；（ 2）f ( x) x22x 3（3）f ( x)sin x x x(0, ) ；（4） f ( x) 2x33x224x 1解：（ 1）因为 f ( x)x33x ，所以，f ' (x) 3x2 3 3( x21) 0所以， f ( x)x33x 在R上单一递加，以以下图所示．（2）因为f( x) x22x 3 ，所以， f ' ( x)2x 2 2 x1当 f ' (x)0，即 x 1 时，函数 f ( x)x22x 3 单一递加；当 f ' (x)0，即 x1时，函数 f ( x)x22x 3 单一递减；函数 f ( x)x22x 3 的图像如图3.3-5（ 2）所示．（3）因为 f ( x)sin x x x (0,) ，所以， f ' ( x)cos x 1 0所以，函数 f (x) sin x x 在 (0,) 单一递减，如上图所示．（4）因为f ( x)2x33x224 x 1 ，所以．当 f ' ( x)0 ，即时，函数 f (x)x22x3；当 f ' ( x)0 ，即时，函数 f (x)x22x3；函数 f ( x) 2x33x224 x 1 的图像以以下图所示．注：（ 3）、（4）生练例 3．如图 3.3-6 ，水以常速（即单位时间内注入水的体积同样）注入下边四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t的函数关系图像．剖析：以容器（2）为例，因为容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增添得慢，此后高度增添得愈来愈快．反应在图像上，（ A）切合上述变化状况．同理可知其余三种容器的状况．解：1B,2A,3D,4C思虑：例 3 表示，经过函数图像，不单能够看出函数的增减，还能够看出其变化的快慢．联合图像，你能从导数的角度解说变化快慢的状况吗？一般的，假如一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“峻峭” ；反之，函数的图像就“缓和”一些．如图 3.3-7所示，函数 y f (x) 在0, b或 a , 0内的图像“峻峭” ，在 b ,或, a 内的图像“缓和”．例 4．求证：函数y2x33x2 12x 1 在区间2,1 内是减函数．证明：因为 y ' 6x 2 6x12 6 x 2 x 26 x 1 x 2当 x2,1 即 2 x1时， y ' 0 ，所以函数 y 2x 3 3x 2 12x 1 在区间2,1 内是减函数．说明：证明可导函数f x 在 a , b 内的单一性步骤：（ 1）求导函数 f ' x ；（ 2）判断 f ' x 在 a , b 内的符号；（ 3）做出结论： f ' x 0 为增函数， f ' x 0 为减函数．例 5．已知函数f (x)4x ax 22x 3 (x R) 在区间1,1 上是增函数，务实数 a 的3取值范围．解： f ' (x) 42ax 2x 2 ，因为 f x 在区间1,1 上是增函数，所以f ' ( x) 0 对x1,1 恒建立，即 x 2ax2 0 对 x1,1 恒建立，解之得：1 a1所以实数 a 的取值范围为1,1 ．说明：已知函数的单一性求参数的取值范围是一种常有的题型，常利用导数与函数单一性关系：即“ 若函数单一递加，则 f '(x) 0 ；若函数单一递减，则f ' ( x) 0 ”来求解，注意此时公式中的等号不可以省略，不然漏解．例 6．已知函数 y=x+1，试议论出此函数的单一区间 .x1解： y ′ =(x+ )′x－x 2 1(x 1)( x1)=1－ 1·x 2=22xx( x 1)( x 1)＞ 0.令x2解得 x ＞ 1 或 x ＜－ 1.∴y=x+1的单一增区间是 (－∞，－ 1)和 (1， +∞ ).x令 ( x1)( x 1)＜ 0，解得－ 1＜ x＜0 或 0＜ x＜1.x2∴y=x+ 1的单一减区间是 (－ 1， 0)和 (0， 1) x四．讲堂练习1．求以下函数的单一区间1. f(x)=2x3－6x2+713. f(x)=sinx , x [0,2 ]4. y=xlnx 2. f(x)= +2xx2．课本练习五．回首总结（ 1）函数的单一性与导数的关系（ 2）求解函数y f ( x) 单一区间（ 3）证明可导函数 f x 在 a , b 内的单一性。

高中数学同步学案函数的单调性与导数

导数在研究函数中的应用1．3.1 函数的单调性与导数预习课本P22～26,思考并完成下列问题(1)函数的单调性与导数的正负有什么关系？(2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么？(3)怎样求函数的单调区间？[新知初探]1．函数的单调性与其导数正负的关系在某个区间(a,b)内,如果f′(x)＞0,那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0,那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果恒有f′(x)＝0,那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．[点睛] 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化的快,其图象比较陡峭．即|f′(x)|越大,则函数f(x)的切线的斜率越大,函数f(x)的变化率就越大．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则函数f(x)在定义域上单调递增．( )(2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”．( )(3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．函数f(x)＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞,2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2,＋∞)答案：D3．函数f(x)＝2x －sin x 在(－∞,＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0,＋∞)上单调递增,在(－∞,0)上单调递减D ．在(0,＋∞)上单调递减,在(－∞,0)上单调递增答案：A4. 函数y ＝x 3＋x 在(－∞,＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．答案：上升判断或讨论函数的单调性[典例] 已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1－3a ,讨论函数f(x)的单调性．[解] 由题设知a≠0.f′(x)＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ,令f′(x)＝0,得x 1＝0,x 2＝2a.当a>0时,若x ∈(－∞,0),则f′(x)>0. ∴f(x)在区间(－∞,0)上为增函数．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ,则f′(x)<0, ∴f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上为减函数．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞,则f′(x)>0, ∴f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上是增函数．当a<0时,若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ,则f′(x )<0. ∴f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2a 上是减函数．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0,则f′(x)>0.∴f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上为增函数．若x ∈(0,＋∞),则f′(x)<0. ∴f(x)在区间(0,＋∞)上为减函数．利用导数证明或判断函数单调性的思路[活学活用]判断函数y ＝ax 3－1(a ∈R)在(－∞,＋∞)上的单调性．解：∵y′＝(ax 3－1)′＝3ax 2.①当a ＞0时,y′≥0,函数在R 上单调递增； ②当a ＜0时,y′≤0,函数在R 上单调递减； ③当a ＝0时,y′＝0,函数在R 上不具备单调性.求函数的单调区间[典例] 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x 3－3x ＋1； (2)f(x)＝x ＋bx(b ＞0)．[解] (1)函数f(x)的定义域为R,f′(x)＝3x 2－3,令f′(x)＞0,则3x 2－3＞0. 即3(x ＋1)(x －1)＞0,解得x ＞1或x ＜－1.∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞,－1)和(1,＋∞), 令f′(x)＜0,则3(x ＋1)(x －1)＜0,解得－1＜x ＜1. ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．(2)函数f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞), f′(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x ′＝1－b x 2, 令f′(x)＞0,则1x 2(x ＋b)(x －b)＞0,∴x ＞b,或x ＜－ b.∴函数的单调递增区间为(－∞,－b)和(b,＋∞)．令f′(x)＜0,则1x 2(x ＋b)(x －b)＜0,∴－b ＜x ＜b,且x≠0.∴函数的单调递减区间为(－b,0)和(0,b)．(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为： ①确定函数f(x)的定义域； ②求导数f′(x)；③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； ④根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开．[活学活用]1．设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ＞0),则f(x)为R 上增函数的充要条件是( ) A ．b 2－4ac ＞0 B ．b ＞0,c ＞0 C ．b ＝0,c ＞0D ．b 2－3ac ＜0解析：选D ∵a ＞0,f(x)为增函数, ∴f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ＞0恒成立, ∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b 2－12ac ＜0, ∴b 2－3ac ＜0.2．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a 、b ∈R)的图象过点P(1,2),且在点P 处的切线斜率为8. (1)求a,b 的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2),∴f(1)＝2. ∴a ＋b ＝1.①又函数图象在点P 处的切线斜率为8,∴f′(1)＝8,又f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b, ∴2a ＋b ＝5.②解由①②组成的方程组,可得a ＝4,b ＝－3. (2)由(1)得f′(x)＝3x 2＋8x －3＝(3x －1)(x ＋3), 令f′(x)>0,可得x<－3或x>13；令f′(x)<0,可得－3<x<13.∴函数f(x)的单调增区间为(－∞,－3),⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞, 单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－3，13.利用导数求参数的取值范围[典例] 若函数f(x)＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减,在(6,＋∞)上单调递增,求实数a 的取值范围．[解] [法一直接法] f′(x)＝x 2－ax ＋a －1,令f′(x)＝0得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,＋∞)内单调递增,不合题意．当a －1>1,即a>2时,f(x)在(－∞,1)和(a －1,＋∞)上单调递增,在(1,a －1)上单调递减, 由题意知(1,4)⊂(1,a －1)且(6,＋∞)⊂(a －1,＋∞),所以4≤a－1≤6,即5≤a≤7. 故实数a 的取值范围为[5,7]． [法二数形结合法]如图所示,f′(x)＝(x －1)[x －(a －1)]． ∵在(1,4)内f′(x)≤0, 在(6,＋∞)内f′(x)≥0, 且f′(x)＝0有一根为1, ∴另一根在[4,6]上．∴⎩⎪⎨⎪⎧f′4≤0，f′6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3×5－a ≤0，5×7－a ≥0，∴5≤a≤7.故实数a 的取值范围为[5,7][法三转化为不等式的恒成立问题] f′(x)＝x 2－ax ＋a －1.因为f(x)在(1,4)内单调递减,所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x －1)≥x 2－1在(1, 4)上恒成立,所以a≥x＋1,因为2<x ＋1<5,所以当a≥5时,f′(x)≤0在(1, 4)上恒成立,又因为f(x)在(6,＋∞)上单调递增,所以f′(x)≥0在(6,＋∞)上恒成立,所以a≤x＋1,因为x ＋1>7,所以a≤7时,f′(x)≥0在(6,＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7. 故实数a 的取值范围为[5,7]．1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意． 2．恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max .(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min . [活学活用]若f(x)＝2x －a x 2＋2(x ∈R)在区间[－1,1]上是增函数,则a ∈________.解析：f′(x)＝2·－x 2＋ax ＋2x 2＋22,∵f(x)在[－1,1]上是增函数, ∴f′(x)＝2·－x 2＋ax ＋2x 2＋22≥0.∵(x 2＋2)2＞0,∴x 2－ax －2≤0对x ∈[－1,1]恒成立．令g(x)＝x 2－ax －2,则⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －2≤0，1－a －2≤0，∴－1≤a≤1.即a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]层级一学业水平达标1．下列函数中,在(0,＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝xe xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：选B B 中,y′＝(xe x)′＝e x＋xe x＝e x(x ＋1)＞0在(0,＋∞)上恒成立,∴y ＝xe x在(0,＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0,使y′＜0的情况．2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 解析：选C y′＝3x 2＋2x ＋m,由条件知y′≥0在R 上恒成立,∴Δ＝4－12m≤0,∴m≥13.3．函数f(x)＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞,2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2,＋∞)解析：选D f′(x)＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x,令f′(x)＞0,解得x ＞2,故选D. 4.已知函数y ＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y ＝f(x)的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时,xf′(x)＜0,∴f′(x)＜0,故y ＝f(x)在(0,1)上为减函数,排除A,B.当x ＞1时,xf′(x)＞0,∴f′(x)＞0,故y ＝f(x)在(1,＋∞)上为增函数,排除D,故选C.5．若函数y ＝a(x 3－x)的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33,则a 的取值范围是( ) A ．(0,＋∞) B ．(－1,0) C ．(1,＋∞)D ．(0,1)解析：选A y′＝a(3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33. 当－33＜x ＜33时,⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33＜0, 要使y ＝a(x 3－x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33上单调递减, 只需y′＜0,即a ＞0.6．函数f(x)＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________．解析：因为f′(x)＝－sin x ＋32＞0,所以f(x)在R 上为增函数．答案：(－∞,＋∞)7．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数,则a ∈________.解析：y′＝ax 2－ax －2a ＝a(x ＋1)(x －2)>0, ∵当x ∈(－1,2)时,(x ＋1)(x －2)<0,∴a<0. 答案：(－∞,0)8．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间,则a 的取值范围是 .解析：∵y′＝－4x 2＋a,且y 有三个单调区间, ∴方程y′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根, ∴Δ＝02－4×(－4)×a>0,∴a>0. 答案：(0,＋∞)9．设函数f(x)＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1,－11)． (1)求a,b 的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)求导得f′(x)＝3x 2－6ax ＋3b.由于f(x)的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1,－11), 所以f(1)＝－11,f′(1)＝－12,即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1,b ＝－3.(2)由a ＝1,b ＝－3得f′(x)＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f′(x)＞0,解得x ＜－1或x ＞3；又令f′(x)＜0,解得－1＜x ＜3. 所以当x ∈(－∞,－1)时,f(x)是增函数；当x ∈(－1,3)时,f(x)是减函数；当x ∈(3,＋∞)时,f(x)也是增函数．10．已知a≥0,函数f(x)＝(x 2－2ax)e x.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数,求a 的取值范围．解：f′(x)＝(2x －2a)e x＋(x 2－2ax)e x＝e x[x 2＋2(1－a)x －2a]．令f′(x)＝0,即x 2＋2(1－a)x －2a ＝0. 解得x 1＝a －1－1＋a 2,x 2＝a －1＋1＋a 2,令f′(x)＞0,得x ＞x 2或x ＜x 1, 令f′(x)＜0,得x 1＜x ＜x 2. ∵a≥0,∴x 1<－1,x 2≥0.由此可得f(x)在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1,即a －1＋1＋a 2≥1,解得a≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 层级二应试能力达标1.已知函数f(x)＝x ＋ln x,则有( ) A ．f(2)<f(e)<f(3) B ．f(e)<f(2)<f(3) C ．f(3)<f(e)<f(2)D ．f(e)<f(3)<f(2)解析：选A 在(0,＋∞)内,f′(x)＝12x ＋1x >0,所以f(x)在(0,＋∞)内是增函数,所以有f(2)<f(e)<f(3)．2.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y ＝f′(x)的图象如图所示,则y ＝f(x)的图象最有可能的是( )解析：选C 由f′(x)的图象知,x ∈(－∞,0)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,x ∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,x ∈(2,＋∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数．只有C 符合题意,故选C.3．函数y ＝xsin x ＋cos x,x ∈(－π,π)的单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：选A y′＝xcos x,当－π＜x ＜－π2时,cos x ＜0,∴y′＝xcos x ＞0,当0＜x ＜π2时,cos x ＞0,∴y′＝xcos x ＞0.4．设函数F(x)＝fxex是定义在R 上的函数,其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x ∈R 恒成立,则( )A ．f(2)>e 2f(0),f(2 016)>e2 016f(0)B ．f(2)<e 2f(0),f(2 016)>e 2 016f(0) C ．f(2)<e 2f(0),f(2 016)<e 2 016f(0) D ．f(2)>e 2f(0),f(2 016)<e 2 016f(0)解析：选C ∵函数F(x)＝fx e x的导数F′(x)＝f′x e x－f x e xex 2＝f′x －fxex <0,∴函数F(x)＝f xe x是定义在R 上的减函数, ∴F(2)<F(0),即f2e 2<f 0e,故有f(2)<e 2f(0)．同理可得f(2 016)<e 2 016f(0)．故选C.5．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数,则实数b 的取值范围为________________．解析：若y′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立,则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0,∴－1≤b≤2,由题意知,b ＜－1或b ＞2.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞)6．若f(x)＝－12x 2＋bln(x ＋2)在(－1,＋∞)上是减函数,则b 的取值范围是_____________．解析：∵f(x)在(－1,＋∞)上为减函数, ∴f′(x)≤0在(－1,＋∞)上恒成立, ∵f′(x)＝－x ＋b x ＋2,∴－x ＋bx ＋2≤0,∵b≤x(x＋2)在(－1,＋∞)上恒成立, g(x)＝x(x ＋2)＝(x ＋1)2－1, ∴g(x)min ＝－1,∴b≤－1. 答案：(－∞,－1]7．设函数f(x)＝x(e x－1)－ax 2. (1)若a ＝12,求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a 的取值范围．解：(1)a ＝12时,f(x)＝x(e x－1)－12x 2,f′(x)＝e x－1＋xe x－x ＝(e x－1)(x ＋1)．当x ∈(－∞,－1)时,f′(x)＞0；当x ∈(－1,0)时,f′(x)＜0；当x ∈(0,＋∞)时,f′(x)＞0.故f(x)的单调增区间为(－∞,－1),(0,＋∞)；单调减区间为(－1,0)．(2)f(x)＝x(e x－1－ax)．令g(x)＝e x－1－ax,则g′(x)＝e x－a.①若a≤1,则当x∈(0,＋∞)时,g′(x)＞0,g(x)为增函数,而g(0)＝0,从而当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥0.②当a＞1,则当x∈(0,ln a)时,g′(x)＜0,g(x)为减函数,而g(0)＝0,从而当x∈(0,ln a)时,g(x)＜0,即f(x)＜0,不符合题意,综上得a的取值范围为(－∞,1]．8．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)是否存在实数a,使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在,求出a的取值范围；若不存在,说明理由．(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．解：(1)已知函数f(x)＝x3－ax－1,∴f′(x)＝3x2－a,由题意知3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立,∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．但当x∈(－1,1)时,0＜3x2＜3,∴a≥3,即当a≥3时,f(x)在(－1,1)上单调递减．(2)证明：取x＝－1,得f(－1)＝a－2＜a,即存在点(－1,a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上,且在直线y＝a的下方．即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．。

高中数学第4章导数应用1.1导数与函数的单调性课后演练提升北师大版选修1_1word版本

2016-2017学年高中数学第4章导数应用 1.1 导数与函数的单调性课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．当x ＞0时，f (x )＝x ＋2x，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)解析：f ′(x )＝1－2x2，当f ′(x )＜0时，－2＜x ＜0，或0＜x ＜2，又∵x ＞0，∴0＜x ＜2，故选D.答案： D2．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是( )A ．y ＝2－3x 2B ．y ＝ln xC ．y ＝1x －2D ．y ＝sin x解析：对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1－<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C. 答案： C3．函数y ＝x cos x －sin x 在下列哪个区间内是增函数( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)解析：由y ′＝－x sin x ＞0，则sin x ＜0，则π＋2k π＜x ＜2π＋2k π，k ∈Z.答案： B4．函数y ＝2x －a x在(2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥－8B ．－8＜a ＜0C ．a ＜－8D ．a ＞0解析：y ′＝2＋a x2≥0对x ＞2恒成立， ∴a ≥－2x 2，即a ≥(－2x 2)max ，∴a ≥－8.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，当x <－1或x >11时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－1<x <11时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．答案： (－1,11)6．若函数y ＝(a －1)ln x ＋2x －1在(0，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：y ′＝(a －1)·1x＋2>0在(0，＋∞)上恒成立，即：a －1>－2x ，而x >0，∴a －1≥0，∴a ≥1.答案：a ≥1三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知f (x )＝2ax －1x2，x ∈(0,1]．若f (x )在区间(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．解析：f ′(x )＝2a ＋2x3. ∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x3在x ∈(0,1]上恒成立．而g (x )＝－1x3在(0,1]上单调递增． ∴g (x )max ＝g (1)＝－1.∴a ≥－1，即a 的取值范围是[－1，＋∞)．8．讨论函数f (x )＝bx x2－1(－1<x <1，b ≠0)的单调区间．解析：f (x )的定义域为(－1,1)，易知函数f (x )是奇函数，故只需讨论函数在(0,1)内的单调性．因为f ′(x )＝b ·－－－－＝－＋－，当0<x <1时，x 2＋1>0，(x 2－1)2>0，所以－x2＋1－<0. 所以若b >0，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,1)内是减函数；若b <0，则f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0,1)内是增函数．又函数f (x )是奇函数，而奇函数图像关于原点对称，所以当b>0时，f(x)在(－1,1)内是减函数；当b<0时，f(x)在(－1,1)内是增函数．尖子生题库☆☆☆9．(10分)求证x＞1时，x＞ln(1＋x)．证明：设f(x)＝x－ln(1＋x)，则f′(x)＝1－11＋x＝x1＋x，∵x＞1时，f′(x)＞0，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数．∴当x＞1时，f(x)＝x－ln(1＋x)＞f(1)＝1－ln 2＞1－ln e＝0. ∴f(x)＞0，即x＞ln(1＋x)(x＞1).。

高中数学同步学案利用导数研究函数的单调性

4．3导数在研究函数中的应用4．3.1 利用导数研究函数的单调性[读教材·填要点]函数在区间(a,b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系：导函数的正负函数在(a,b)上的单调性f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0常数函数[小问题·大思维]1．在区间(a,b)内,若f′(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y ＝x 3在R 上为增函数,但其在0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y ＝f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件．2．右图为导函数y ＝f′(x)的图象,则函数y ＝f(x)的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(－∞,－3],[－2,1],[3,＋∞)；单调递减区间：[－3,－2],[1,3]．判断(或证明)函数的单调性已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1－3a,讨论函数f(x)的单调性．[自主解答] 由题设知a≠0.f′(x)＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ,令f′(x)＝0,得x 1＝0,x 2＝2a.当a>0时,若x ∈(－∞,0),则f′(x)>0. ∴f(x)在区间(－∞,0)上为增函数．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ,则f′(x)<0, ∴f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上为减函数．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞,则f′(x)>0, ∴f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上是增函数．当a<0时,若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ,则f′(x)<0.∴f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2a 上是减函数．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0,则f′(x)>0.∴f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上为增函数．若x ∈(0,＋∞),则f′(x)<0. ∴f(x)在区间(0,＋∞)上为减函数．利用导数判断或证明函数单调性的思路1．求证：函数f(x)＝e x－x －1在(0,＋∞)内是增函数,在(－∞,0)内是减函数．证明：由f(x)＝e x－x －1, 得f′(x)＝e x－1. 当x ∈(0,＋∞)时,e x－1>0, 即f′(x)>0.∴f(x)在(0,＋∞)内为增函数．当x ∈(－∞,0)时,e x －1<0, 即f′(x)<0.∴f(x)在(－∞,0)内是减函数．求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝3x 2－ln x ；(2)f(x)＝－13ax 3＋x 2＋1(a≤0)．[自主解答] (1)函数的定义域为(0,＋∞), f′(x)＝6x －1x ＝6x 2－1x ,令f′(x)>0,即6x 2－1x >0,∵x>0,∴6x 2－1>0,∴x>66.令f′(x)<0, 即6x 2－1x <0,∵x>0,∴6x 2－1<0,∴0<x<66.∴f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫66，＋∞, 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，66. (2)①当a ＝0时,f(x)＝x 2＋1,其单调递减区间为(－∞,0),单调递增区间为(0,＋∞)． ②当a<0时,f′(x)＝－ax 2＋2x,f′(x)>0⇔(－ax ＋2)x>0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a x>0⇔x>0或x<2a ；f′(x)<0⇔2a <x<0. 故f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0,＋∞),单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0.求函数的单调区间的“两个”方法方法一：(1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二：(1)确定函数y ＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x),令f′(x)＝0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．2．已知函数f(x)＝ln x ＋ke x(k 为常数,e 是自然对数的底数),曲线y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)由题意得f′(x)＝1x－ln x －k e x, 又 f′(1)＝1－ke ＝0,故k ＝1.(2)由(1)知,f′(x)＝1x－ln x －1ex. 设h(x)＝1x －ln x －1(x>0),则h′(x)＝－1x 2－1x <0,即h(x)在(0,＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知,当0<x<1时,h(x)>0,从而f′(x)>0；当x>1时,h(x)<0,从而f′(x)<0.综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,＋∞)．已知函数的单调性求参数范围已知函数f(x)＝ln x,g(x)＝12ax 2＋2x,a≠0.(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间,求a 的取值范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围． [自主解答] (1)h(x)＝ln x －12ax 2－2x,x ∈(0,＋∞),所以h′(x)＝1x－ax －2.因为h(x)在(0,＋∞)上存在单调递减区间, 所以当x ∈(0,＋∞)时, 1x－ax －2<0有解,即a>1x 2－2x有解．设G(x)＝1x 2－2x,所以只要a>G(x)min 即可．而G(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1,所以G(x)min ＝－1.所以a>－1.即实数a 的取值范围是(－1,＋∞)． (2)因为h(x)在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h′(x)＝1x －ax －2≤0恒成立．即a≥1x 2－2x恒成立．所以a≥G(x)max .而G(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.所以G(x)max ＝－716(此时x ＝4)．所以a≥－716.当a ＝－716时,h′(x)＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝7x －4x －416x .∵x ∈[1,4],∴h′(x)＝7x －4x －416x≤0.即h(x)在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.若将本例(2)中“单调递减”改为“单调递增”,如何求a 的取值范围？解：∵h(x)在[1,4]上单调递增,∴x ∈[1,4]时,h′(x)＝1x－ax －2≥0恒成立．即a≤ 1x 2－2x恒成立．设G(x)＝1x 2－2x,∴只需a≤G(x)min .又G(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1,∵x ∈[1,4],∴1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.∴G(x)min ＝－1,∴a≤－1.经验证：a ＝－1时,h(x)在[1,4]上单调递增, 综上所述,a 的取值范围为(－∞,－1]．已知f(x)在区间D 上单调,求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法：通常将f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的参数分离,转化为求最值问题,从而求出参数的取值范围．特别地,若f′(x)为二次函数,可以由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立求出参数的取值范围．3．已知a≥0,函数f(x)＝(x 2－2ax)e x,若f(x)在[－1,1]上是单调减函数,则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：f′(x)＝(2x －2a)e x＋(x 2－2ax)e x＝[x 2＋(2－2a)x －2a]e x, 由题意当x ∈[－1,1]时,f′(x)≤0恒成立, 即x 2＋(2－2a)x －2a≤0恒成立．令g(x)＝x 2＋(2－2a)x －2a,则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a≤0，12＋2－2a －2a≤0，解得a≥34.答案：C证明：方程x －12sin x ＝0有唯一解．[巧思] 方程f(x)＝0的解即曲线y ＝f(x)与x 轴交点的横坐标,因此可以通过构造函数来解决． [妙解] 设f(x)＝x －12sin x,当x ＝0时,f(0)＝0,所以x ＝0是方程x －12sin x ＝0的一个解．因为f′(x)＝1－12cos x,且x ∈R 时,f′(x)>0总成立, 所以函数f(x)在R 上单调递增．所以曲线f(x)＝x －12sin x 与x 轴只有一个交点．所以方程x －12sin x ＝0有唯一解．1．函数f(x)＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为( ) A ．(2,＋∞) B ．(－∞,2) C ．(－∞,0)D ．(0,2)解析：f′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2), 令f′(x)<0,得0<x<2.∴函数f(x)的单调递减区间为(0,2)．答案：D2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1,＋∞)D ．(0,＋∞)解析：函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0,＋∞),y′＝x －1x ＝x －1x ＋1x ,令y′≤0,可得0＜x≤1. 答案：B3．函数f(x)＝x 3＋ax －2在区间(1,＋∞)内是增函数,则实数a 的取值范围是( ) A ．[3,＋∞) B ．[－3,＋∞) C ．(－3,＋∞) D ．(－∞,－3)解析：f′(x)＝3x 2＋a, 令3x 2＋a≥0,∴a≥－3x 2, ∵x ∈(1,＋∞),∴a≥－3. 答案：B4．函数f(x)＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________．解析：因为f′(x)＝－sin x ＋32＞0,所以f(x)在R 上为增函数．答案：(－∞,＋∞)5．已知函数f(x)的定义域为R,f(－1)＝2,对任意x ∈R,f′(x)＞2,则f(x)＞2x ＋4的解集为____________．解析：设g(x)＝f(x)－2x －4,则g′(x)＝f′(x)－2. ∵对任意x ∈R,f′(x)＞2,∴g′(x)＞0. ∴g(x)在R 上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0,∴x ＞－1时,g(x)＞0. ∴由f(x)＞2x ＋4,得x ＞－1. 答案：(－1,＋∞)6．求函数f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋1在区间[－4,4]上的单调性．解：∵f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋1,∴f′(x)＝3x 2－6x －9. 令f′(x)>0,结合－4≤x≤4, 得－4≤x<－1或3<x≤4.令f′(x)<0,结合－4≤x≤4,得－1<x<3.∴函数f(x)在[－4,－1)和(3,4]上为增函数,在(－1,3)上为减函数．一、选择题1．函数f(x)＝x －ln x 的单调递减区间为( ) A ．(0,1) B ．(0,＋∞)C ．(1,＋∞)D ．(－∞,0)∪(1,＋∞)解析：函数的定义域是(0,＋∞),且f′(x)＝1－1x ＝x －1x ,令f′(x)＜0,解得0＜x ＜1,所以单调递减区间是(0,1)．答案：A2．已知函数f(x)＝x ＋ln x,则有( ) A ．f(2)<f(e)<f(3) B ．f(e)<f(2)<f(3) C ．f(3)<f(e)<f(2)D ．f(e)<f(3)<f(2)解析：在(0,＋∞)上,f′(x)＝12x ＋1x>0,所以f(x)在(0,＋∞)上是增函数,所以有f(2)<f(e)<f(3)．答案：A3．如图为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,那么函数y＝f(x)的图象可能为( )解析：由导函数y＝f′(x)的图象,可知当－1<x<3时,f′(x)<0,所以y＝f(x)在(－1,3)上单调递减；当x>3或x<－1时,f′(x)>0,所以y＝f(x)在(－∞,－1)和(3,＋∞)上单调递增．综上,函数y＝f(x)的图象的大致形状如A中图所示,所以选A.答案：A4．f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0,且f(－1)＝0,则f(x)g(x)<0的解集为( )A．(－1,0)∪(1,＋∞) B．(－1,0)∪(0,1)C．(－∞,－1)∪(1,＋∞) D．(－∞,－1)∪(0,1)解析：令F(x)＝f(x)g(x),则F(x)为奇函数,且当x<0时,F′(x)<0,即F(x)在(－∞,0)上为减函数．又∵f(－1)＝0,即F(－1)＝0.∴F(x)＝f(x)g(x)<0的解集为(－1,0)∪(1,＋∞)．答案：A二、填空题5．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数,则实数b的取值范围是________．解析：y′＝2x－2b≥0在(2,8)内恒成立,即b≤x在(2,8)内恒成立,∴b≤2.答案：(－∞,2]6．已知函数y＝f(x)在定义域[－4,6]内可导,其图象如图,记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为________．解析：f′(x)≤0的解集,即为函数y ＝f(x)的单调减区间,∴f′(x)≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，6. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，67．设函数f(x)＝x(e x－1)－12x 2,则f(x)的单调增区间是________,减区间是________．解析：f(x)＝x(e x－1)－12x 2,f′(x)＝e x－1＋xe x－x ＝(e x－1)(x ＋1)．当x ∈(－∞,－1)时,f′(x)>0；当x ∈(－1,0)时, f′(x)<0；当x ∈(0,＋∞)时,f′(x)>0.故f(x) 在(－∞,－1),(0,＋∞)上单调递增,在(－1,0)上单调递减．答案：(－∞,－1)和(0,＋∞) (－1,0) 8．已知函数f(x)＝3x a－2x 2＋ln x(a ＞0)．若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则a 的取值范围是________．解析：f′(x)＝3a －4x ＋1x ,若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,即f′(x)＝3a －4x ＋1x ≥0或f′(x)＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立,即3a ≥4x－1x 或3a ≤4x－1x 在[1,2]上恒成立．令h(x)＝4x －1x ,则h(x)在[1,2]上单调递增,所以3a ≥h(2)或3a ≤h(1),即3a ≥152或3a ≤3,又a ＞0,所以0＜a≤25或a≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1,＋∞)三、解答题9．已知函数f(x)＝x 4＋a x －ln x －32,其中a ∈R,且曲线y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y ＝12x. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－a x 2－1x, 由f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f′(1)＝－34－a ＝－2,解得a ＝54. (2)由(1)知f(x)＝x 4＋54x －ln x －32, 则f′(x)＝x 2－4x －54x2, 令f′(x)＝0,解得x ＝－1或x ＝5,因x ＝－1不在f(x)的定义域(0,＋∞)内,故舍去．当x ∈(0,5)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数；当x ∈(5,＋∞)时,f ′(x)>0,故f(x)在(5,＋∞)内为增函数．10．已知函数f(x)＝aln x －ax －3(a ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a ＝－1时,证明：当x ∈(1,＋∞)时,f(x)＋2>0.解：(1)根据题意知,f′(x)＝a 1－x x (x>0), 当a>0时,则当x ∈(0,1)时,f′(x)>0,当x ∈(1,＋∞)时,f′(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,＋∞)；同理,当a<0时,f(x)的单调递增区间为(1,＋∞),单调递减区间为(0,1)；当a ＝0时,f(x)＝－3,不是单调函数,无单调区间．(2)证明：当a ＝－1时,f(x)＝－ln x ＋x －3,所以f(1)＝－2,由(1)知f(x)＝－ln x ＋x －3在(1,＋∞)上单调递增,所以当x ∈(1,＋∞)时,f(x)>f(1)．即f(x)>－2,所以f(x)＋2>0.。