数列的最大项训练习题
高二数学数列专题练习题(含答案)
高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为：a_n=S_n-S_{n-1} (n>1)，当n=1时，a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。
2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
对于等差数列，有通项公式a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
对于等比数列，有通项公式a_n=a_1*q^{n-1}，其中q为公比。
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
如果a、A、b、B成等差数列，那么A、B叫做a、b的等差中项。
3.求和公式对于等差数列，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列，前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q不等于1.另外，对于等差数列，S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列；对于等比数列，S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。
4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数，通常有以下几种形式：a_n=dn+(a_1-d)，a_n=An^2+Bn+C，a_n=a_1q^n，a_n=k*n+b。
5.判定方法对于数列的常数项，可以使用定义法证明；对于等差中项，可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}；对于等比中项，可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。
最后，对于数列的通项公式，可以使用数学归纳法证明。
1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数，通常用{ }表示。
其中，第n项表示为an，公差为d，公比为q。
常用的数列有等差数列和等比数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。
高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
1.〔此题总分值14 分〕设数列a的前n项和为S n,且S n4a n3(n1,2,)，n〔1〕证明: 数列a n是等比数列；〔2〕假设数列b满足b n1a n b n(n1,2,)，b12，求数列b n的通项公n式．2.〔本小题总分值12分〕等比数列a的各项均为正数，且n2 2a3a1,a9aa.123261.求数列a n的通项公式.2.设blogaloga......loga,求数列n31323n 1bn的前项和.3.设数列a满足n2n1 a12,a1a32nn〔1〕求数列a的通项公式；n〔2〕令b n na n，求数列的前n项和S n3.等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．〕，求数列{b n}的前n项和S n．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；n﹣1*〔Ⅱ〕设b n=〔4﹣a n〕q〔q≠0，n∈N× 5.数列{a n}满足，，n∈N．〔1〕令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；〔2〕求{a n}的通项公式．...4.解：〔1〕证：因为S n4a n3(n1,2,)，那么S n14a n13(n2,3,)，所以当n2时，a SS14a4a1，nnnnn4整理得aa1．5分nn3由S43，令n1，得a14a13，解得a11．n an所以分a是首项为1，公比为n43的等比数列．7〔2〕解：因为4n1 a()，n3由b1ab(n1,2,)，得nnn4n1 bb()．9分n1n3由累加得()()()b n bbbbbbb12`132nn14n11()43n1＝23()1，〔n2〕，43134n1 当n=1时也满足，所以)1b3(．n35.解：〔Ⅰ〕设数列{a n}的公比为q，由 2a39a2a6得32a39a4所以21q。
有条件9可知a>0,故1q。
311a。
故数列{a n}的通项式为a n=33由2a13a21得2a13a2q1，所以1n。
〔Ⅱ〕b logaloga...logan111111(12...n)n(n1)2故12112() bn(n1)nn1n111111112n ...2((1)()...()) bbb223nn1n1 12n...所以数列1{}bn2n 的前n 项和为n16.解：〔Ⅰ〕由，当n≥1 时，a1[(a1a)(a a1)(a2a1)]a1nnnnn2n12n33(222)222(n1)1。
高中数学求数列最值的12种题型(含答案)
求数列最值的12种题型题型一：递推问题1、已知数列{a n }中,a 1>0,且a n +1=3+a n2.(1)试求a 1的值,使得数列{a n }是一个常数数列；(2)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(3)若a 1=4,设b n =|a n +1-a n |(n =1,2,3…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项和,试证明：S n <52.解：（Ⅰ）欲使数列{a n }是一个常数数列,则a n +1=3+a n2=a n ,又依a 1>0,可以得a n >0并解出：a n =32.a n =-1(舍)即a 1=32（Ⅱ）研究a n +1-a n =3+a n 2-3+a n-12=a n -a n-12(3+a n 2+3+a n-12)(n ≥2)注意到：2(3+a n 2+3+a n-12)>0因此,a n +1-a n ,a n -a n -1,…,a 2-a 1有相同的符号.要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2-a 1>0即可.由3+a 12-a 1>0,解得：0<a 1<32.（Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法,可得当a 1>32时,a n +1<a n 对任何自然数n 都成立.因此当a 1=4时,a n +1-a n <0∴S n =b 1+b 2+…+b n .=|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n +1-a n |=a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=4-a n +1又：a n +2<a n +1即3+a n+12<a n+1,可得a n +1>32,故S n <4-32=52.题型二：最值问题2、已知数列{a n }满足：a 1=1,a n +1=a n2a n +1(*n N ∈),数列{b n }的前n 项和S n =12-12(23)n (*n N ∈).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设nn nb C a =,是否存在*m N ∈,使9m C ≥成立？并说明理由.解答：（1）由1111221n n n n na a a a a ++=⇒=++,∴112(1)21n n n a =+-=-,*1()21n a n N n =∈-.由21212()3n n S =-⋅及1121212()(2)3n n S n --=-⋅≥,可得124()(2)3n n n n b S S n -=-=⋅≥,令1n =,则11121212()43b S ==-⋅=也满足上式,∴124()(*)3n n b n N -=⋅∈.1122(2)(21)4()4(21)(33n n n n n b C n n a --==-⋅=-,设m C 为数列{}n C 中的最大项,则12111224(21)()4(23)()33224(21)()4(21)()3327(21)23322521(21)32m m m m m mm m m m C C C C m m m m m m m m ----+⎧-≥-⎪≥⎧⎪⇒⎨⎨≥⎩⎪-≥+⎪⎩⎧⎧-⋅≥-≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪-≥+⋅≥⎪⎪⎩⎩,∴3m =.即3C 为{}n C 中的最大项.∵2328020(939C ==<,∴不存在*m N ∈,使9m C ≥成立.题型三：公共项问题3、设A n 为数列{a n }的前n 项的和，A n ＝32(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3。
数列的测试题
数列的测试题
1. 基础题：给定数列的前几项，找出数列的通项公式。
- 题目：数列的前5项为 2, 4, 8, 16, 32，求该数列的通项公式。
2. 中等题：使用等差数列和等比数列的性质解决问题。
- 题目：已知等差数列的第3项为10，第5项为18，求该数列的
首项和公差。
3. 提高题：数列的求和问题。
- 题目：给定等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和。
4. 应用题：将数列问题与实际问题结合起来。
- 题目：某公司每年的利润增长率为5%，如果第一年的利润为100
万元，求5年后的总利润。
5. 综合题：涉及到数列的极限问题。
- 题目：给定数列 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...，求该数列的极限。
6. 探索题：发现数列的规律并证明。
- 题目：观察数列 1, 11, 21, 1211, 111221，找出数列的规律并
证明。
7. 计算题：使用数列的性质进行复杂的计算。
- 题目：已知等比数列的首项为2，公比为3，求前6项的和。
8. 证明题：证明数列的性质或定理。
- 题目：证明等差数列中任意两项的等差中项等于这两项的算术平
均数。
9. 开放题：设计一个数列问题并解决。
- 题目：设计一个数列，使得它的前n项和为n^2，求该数列的通项公式。
10. 创新题：使用数列解决非传统问题。
- 题目：在数学竞赛中，每位参赛者需要解决一系列问题。
如果解决一个问题可以获得5分，未解决则扣2分。
如果参赛者想要获得至少20分，他至少需要解决多少个问题？。
数列大题综合(学生版)-2024届新高考数学题型满分突破
数列大题综合冲刺秘籍1.等差数列通项公式：a n =a 1+n −1 d n ∈N + 或a n =a m +n −m dn ∈N + 2.等比数列通项公式：a n =a 1⋅q n −1或a n =a m ⋅q n −m .n ∈N ∗3.S n =f (a n )的类型，公式a n =S 1(n =1)S n -S n -1(n ≥2)4.数列求和的常用方法：（1）对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；等差数列求和S n =n a 1+a n 2=na 1+n n -1 2d ，等比数列求和S n =na 1,q =1a 11-q n 1-q ,q ≠1(2)对于a n b n 结构，其中a n 是等差数列，b n 是等比数列，用错位相减法求和；(3)对于a n ±b n 结构，利用分组求和法；(4)对于1a n a n +1结构，其中a n 是等差数列，公差为d ，则1a n a n +1=1d 1a n -1a n +1 ，利用裂项相消法求和.或通项公式为m f n ⋅f n +d 形式的数列，利用裂项相消法求和.即m f n ⋅f n +d =m d 1f n -1f n +d5.常见的裂项技巧：（1）1n n +k=1k 1n -1n +k ；（2）1n +k +n =1k n +k -n ；（3）12n -1 2n +1=1212n -1-12n +1 （4）2n 2n -1 2n +1-1 =2n +1-1 -2n -1 2n -1 2n +1-1=12n -1-12n +1-1（5）指数型a -1 a n =a n +1-a n ；（6）对数型log a a n +1a n=log a a n +1-log a a n .（7）1n n+1n+2=121n n+1-1n+1n+2（8）n n+1!=1n!-1n+1!（9）2n 2n+1-12n-1=12n-1-12n+1-1（10）n+2n n+1⋅2n =1n⋅2n-1-1n+1⋅2n等冲刺训练一、解答题1(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知S n是数列a n的前n项和，2S n=na n，a2=3．(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n=16-a n，求数列b n的前n项和T n．2(2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模)已知数列a n是正项等比数列，且a4-a1=7,a2a3 =8.(1)求a n的通项公式;(2)若b n=2n-1a n，求数列b n的前n项和S n.3(2023·黑龙江大庆·统考二模)设数列a n 是首项为1，公差为d 的等差数列，且a 1，a 2-1，a 3-1是等比数列b n 的前三项．(1)求a n 的通项公式；(2)设c n =log 2a n b n a n +1，求数列c n 的前n 项和T n ．4(2023·福建宁德·校考模拟预测)已知数列a n ，b n ，a 1=1，a n +1=-a n +4×3n -1，b n =log 3a n +2a n +2n ∈N * ．(1)求证：数列a n 是等比数列，并求数列a n 的前n 项和S n ；(2)求数列2+3n ⋅1b n的前n 项和T n ．5(2023·江苏徐州·校考模拟预测)已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S nn=a n+1，a2=2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)集合A={a1,a2,⋯,a n}，将集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为T n，求T n．6(2023·浙江·校联考模拟预测)已知数列a n满足a1=2，，以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题.①n2a n+1-a n=a n， ②2a n+1-a n=22-n ③a12+a2+2a3+⋯+2n-2a n=n(n+1)2(1)求数列a n的通项公式；(2)记数列a n的前n项积为T n，求T n的最大值．7(2023·福建三明·统考三模)已知数列a n 满足a 1=2，2a n +1+a n a n +1-2a n =0n ∈N * .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =-1 n 84n 2-1 a n ，b n 的前n 项和为S n ，证明：-1<S 2n ≤-45.8(2023·广东·校联考模拟预测)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知S n ,2n 的等差中项为a n .(1)求证a n +2 为等比数列；(2)数列1a n +3的前n 项和为T n ，是否存在整数k 满足T n ∈k ,k +1 ？若存在求k ，否则说明理由.9(2023·广东佛山·校考模拟预测)如果数列a n 对任意的n ∈N *，a n +2-a n +1>a n +1-a n ，则称a n 为“速增数列”.(1)请写出一个速增数列a n 的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；(2)若数列a n 为“速增数列”，且任意项a n ∈Z ，a 1=1，a 2=3，a k =2023，求正整数k 的最大值.10(2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模)已知数列a n 满足3+a 12+a 222+a 323+⋯+a n 2n =2n +32n.(1)求数列a n 的通项公式；(2)记数列1a n ⋅a n +1 的前n 项和为S n ，证明：S n <12.11(2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测)已知各项均为正数的数列a n ，满足a 2n +1-a n +1a n -2a 2n =0n ∈N * ，a 1a 2a 3=64．(1)求数列a n 的通项公式；(2)记T n =1+1a 1 1+2a 2 1+3a 3 ⋯1+n a n，试比较T n 与9的大小，并加以证明．12(2023·江苏扬州·统考模拟预测)在①2S n =3a n -3；②a 1=3,log 3a n +1=log 3a n +1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．设数列a n 的前n 项和为S n ，满足，b n =3n -9a n +1,n ∈N *．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若存在正整数n 0，使得b n 0≥b n 对∀n ∈N *恒成立，求n 0的值．13(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.......设各层球数构成一个数列a n .(1)写出a n 与a n +1n ∈N * 的递推关系，并求数列a n 的通项公式；(2)记数列b n 的前n 项和为S n ，且S n =32b n -32，在b n 与b n +1之间插入n 个数，若这n +2个数恰能组成一个公差为d n 的等差数列，求数列a n ⋅d n 的前n 项和T n .14(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)数列a n 的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足a 2n +2a n =4S n +3．(1)求数列a n 的通项公式．(2)设数列b n 满足条件①b n =(-2)n 6n +5 a n a n +1；②b n =(-2)n a n ，请从条件①②中选一个，求出数列b n 的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．15(2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测)已知数列a n的前n项的积记为T n，且满足1T n=a n-1a n(1)证明：数列T n为等差数列;(2)若b n=T n,n为奇数，1T n-1T n+1,n为偶数，求数列b n 的前2n项和T2n.16(2023·海南海口·校考模拟预测)已知等差数列a n，其前n项和S n满足S n=n2+m,m为常数.(1)求m及a n的通项公式；(2)记数列b n=a n+2S n S n+1，求b n前n项和的T n.17(2023·云南昭通·校联考模拟预测)已知各项均为正数的数列a n的首项a1=1，其前n项和为S n，从①a n=2S n-1；②S2=4S1，S n+1+S n-1=2S n+1n≥2；③a n=S n+S n-1n≥2中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1S n⋅S n+1，设数列b n的前n项和T n，求证：34≤T n<1.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).18(2023·云南·校联考模拟预测)已知数列a n是等比数列，满足a n+1>a n n∈N*,a2=4，且1+ a2是a1与a3的等差中项.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=log2a n,S n为数列b n的前n项和，记T n=1S1+1S2+1S3+⋯+1S n，求T n的取值范围.19(2023·广东梅州·统考三模)已知数列a n满足a1=2，a2=4，a n+2=a n+1+2a n.(1)证明：数列a n为等比数列.(2)数列b n满足1b1+2b2+⋯+nb n=a n+1-2，求数列b n的前n项和S n.20(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)已知定义在R上的函数f x =x22+cos x.(1)求f x 的最小值；(2)当0<x<1时，若不等式sin xx >ax+2恒成立，求实数a的取值范围；(3)若n∈N*，证明：nk=1cos14k-1 2k-1>n+1-121(2023·河北邯郸·统考二模)已知数列a n中，a n>0，a1=3，记数列a n的前n项的乘积为S n，且S n=a n+1n.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n-1a n+1，数列b n的前n项和为T n，求证：T n∈n-1,n.22(2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测)已知函数f(x)x+1=ln x-a(x-1)x+1．(1)若函数f(x)在[1,+∞)上只有一个零点，求a的取值范围；(2)若a n=23,n=11n+1,n≥2，记数列a n 的前n项和为S n，证明：2S n<ln n2+3n+2．23(2023·山东菏泽·统考二模)已知各项为正数的等比数列a n满足a n⋅a n+1=16n,n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b1=1，b n+1=a n,n为奇数-b n+n,n为偶数，求数列bn的前2n项和S2n.24(2023·山东泰安·统考二模)已知数列a n的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=4S n.(1)求a n；(2)设b n=-1n⋅3n-1，数列b n的前n项和为T n，若∀k∈N*，都有T2k-1<λ<T2k成立，求实数λ的范围.25(2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模)如图，已知曲线C 1:y =2x x +1(x >0)及曲线C 2:y =13x(x >0)．从C 1上的点P n n ∈N * 作直线平行于x 轴，交曲线C 2于点Q n ，再从点Q n 作直线平行于y 轴，交曲线C 1于点P n +1，点P n 的横坐标构成数列a n 0<a 1<12 ．(1)试求a n +1与a n 之间的关系，并证明：a 2n -1<12<a 2n n ∈N * ；(2)若a 1=13，求a n 的通项公式．26(2023·山东·模拟预测)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=a na n +1n ∈N * .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b 2n =1+a 2n +a 2n +1,b n >0，数列b n 的前n 项和为S n ，证明：32≤S n <n +1.27(2023·山西·校联考模拟预测)已知正项数列a n的前n项和S n满足关系式6S1a1+3+6S2a2+3+⋯+6S na n+3=S n,n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=(-1)s1a1+(-1)s2a2+⋯+(-1)s n a n,n∈N*，证明T n <4n,n≥3.28(2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测)数列a n中，a1=49，对任意正整数n都有3n+9⋅n+12a n+1=n+23a n.(1)求a n的通项公式；(2)设a n的前n项和为S n，证明：①a n<13n⋅n+1；②S n<54-2n+54⋅3n.29(2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模)甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；(3)若P i i=0,1,⋯,6表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0=0,P6=1.证明：P i+1-P ii=0,1,2,⋯,5为等比数列.30(2023·湖北·校联考模拟预测)设a n是公差不为零的等差数列，满足a1=1，a6+a7=a13，设正项数列b n的前n项和为S n，且4S n+2b n=3．(1)求数列a n和b n的通项公式；(2)在b1和b2之间插入1个数x11，使b1、x11、b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数x21、x22，使b2、x21、x22、b3成等差数列；⋯，在b n和b n+1之间插入n个数x n1、x n2、⋯、x nn，使b n、x n1、x n2、⋯、x nn、b n+1成等差数列，求T n=x11+x21+x22+⋯+x n1+x n2+⋯x nn；(3)对于(2)中求得的T n，是否存在正整数m、n，使得T n=a m+12a m成立？若存在，求出所有的正整数对m,n；若不存在，请说明理由．。
数列的最大项与最小项
数列的最大与最小项问题学习要点： 数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法：1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值，也可以考虑求导解决，但必须注意，不能直接对)(n f 求导（因为只有连续函数才可导），而应先对)(n f 所在的函数)0)((>x x f 求导，得到)(x f 的最值，然后再分析)(n f 的最值.2．考察)(n f 的单调性：)0(0)()1(<>-+或n f n f ，然后根据)(n f 的单调判断)(n f 的最值情况.3．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.[例1]首项为正数的等差数列}{n a ，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大？[解法一]记}{n a 的前n 项和为n S ，,114S S =∴,,87],4225)215([14)15(14)71(2)1(,07121011112344212111111最大时或n n S n n n a n n a a n n na S a d d a d a ==∴+--=+-=-⨯-+=∴<-=⇒⨯+=⨯+∴ [解法二]由解法二知}{,0711n a a d ∴<-=是首项为正数的单调递减数列，∴所有的正数项的和最大，>>>==>>>∴=⇒=+++⇒=10988721811651140,0070a a a a a a a a a a a S S 而}{7a ∴中前7项为正数项，从第9项开始各项为负数，而8787,S S S S 或∴=最大.[评析]解法一抓住了)(n f S n =是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项. 而解法二通过考察}{n a 的单调性与正、负项的情况得到最大项.[例2]设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知,0,0,1213123>>=S S a （I ）求公差d 的取值范围；（II ）指出n S S S ,,,21 中哪一个最大？说明理由； （III ）指出nn a S a S a S ,,,2211 中哪一个最小？说明理由. [解析]（I ）00)(32)(60767612112>+⇒>+=+⇒>a a a a a a S ①，001307713<⇒<⇒<a a S ②，由①、②得;3724407233-<<-⇒⎩⎨⎧<+>+d d a d a（II ）由①、②得}{,0,00776n a d a a a <⎩⎨⎧<>->而为递减数列，;,,,0687662187621最大故而S S S S S S S a a a a a >>><<<∴>>>>>>∴（III ）,014131287621 >>>>>>>><<<S S S S S S S S12128877,,,,}{a Sa S a S a S n n 只有中在∴这六项为负值，而其余各项均为正数，}{nna S ∴的最小项只可能是这六项中的一项，⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->>->->>>>0111012871287a a a S S S 012128877>->>->-a S a S a S7712128877,}{,0a S a S a S a S a S n n 中故在<<<<⇒最小. [评析]通过讨论数列中的正、负项（并结合讨论单调性）是求数列前n 项和的最大、最小值的重要方法.[例3]设∈n Z ，当n 是什么数时，|100||3||2||1|-++-+-+-=n n n n S n 取最小值，并说明理由.[解析]（1）当;5050100210=+++≥≤ n S n 时（2）当1≥n 时，考察}{n S 的单调性，|,100||)100||2||1(||)99||1||(|1--=-++-+---++-+=-+n n n n n n n n S S n n①当}{,0100,1001n n n S S S n >=-≥+时单调递增，;4950,100100=≥≥∴S S n n 时当②,1002,10011-=-<≤+n S S n n n 时当;}{,4911单调递减时当n n n S S S n <≤≤∴+}{,100261n n n S S S n ><≤+时当单调递增；而当504932101474849505051+++++++++++=== S S n 时 .25002515025049=⨯+⨯=综上，当n =50或n =51时，.2500)(min =n S[评析]命题中的数列是比较特殊的数列，虽然解题方案上还是通过考察数列的单调性，但具体过程更灵活. [例4]已知函数c x x g bx x x f +=++=5)(,13)(2是偶函数是奇函数，正数数列}{n a 满足：.1)()(,12111=+-+=++n n n n n a a a g a a f a（I ）若}{n a 的前n 项和为n n n S S ∞→lim ,求；（II ）若}{),()(21n n n n b a g a f b 求+-=中的项的最大值和最小值.[解析]（I ）由条件得,5)(,13)(,02x x g x x f c b =+=∴==由条件得0)(5)(32121=+-+++n n n n n a a a a a;31lim ,32}{,32,00))(23(0311112121=-=∴=∴=∴>=+-⇒=-+⇒∞→+++++qa S q a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n 是等比数列是公比（II ）,5483)185(6)()(2)(21+-=-==+n n n n n a a g a f a b ϕ,314)(,1,211850,10,)32(1max1===∴<<≤<∴=-b b b n a a n n n n n 即最大时当.243374)278()(,4,278,1624816245162322781858116,8116,278,94,32,1,,5,4,3,2,14min =====∴<<⇒<<∴==ϕb b n a a n n n n 时即当时当[评析]由于n b 是关于n a 的二次函数，所以选择配方法完成，但与普通二次函数不同的是函数的定义域不是连续的数集，而是由间断的实数构成，这也是数列中才会出现的特点. [例5]求数列}{n n n a =的最大项与最小项.[解析]通过计算可知：当3≥n 时单调递减，由此可得最大项与最小项，但是用一般方法：nn n n a a a a 11++-或却证明不了}{n a 的单调性.考察函数)3()(1≥=x x x f x的单调性，∵ln xx f 1)]([=ln x ，两边对x 求导得：,ln 1)(,ln 1)()(1212x x x x f x x x f x f x -⋅='∴-='⋅.1,3}{,,154321,3298,1543,)(,0)(31335433543==>>>><<∴<⇒<>>>>>∴<'≥∴a a a n x f x f x n n 最小项为的最大项为故又由单调递减时当[解法二]用数学归纳法证明当,131n n n n n <+≥+时2122121111134124123)1()2()1()2()2()2()1()1(,1)3(2;34348164,31++++++++++<+⇒+<+=+<++⇒<+<+≥=<⇒<⇒<=k k k k k k k k k kk k k k k k k k kk k kk k k k k n n 即时假设当时当即1,1212+=∴+<+++k n k k k k 当时命题也成立，1543543>>>>∴ .下同解法一.[评析]这是比较困难的问题，因此采取了与前面一些例题不同的特殊方法来证明数列的单调性.《训练题》一、选择题：1．数列),3,2,1}(!100{ ==n n a nn 中 （ ）A ．1a 最大，而无最小项B ．1a 最小，而无最大项C ．有最大项，但不是1aD ．有最小项，但不是1a2．已知}{),(1562n n a N n n na 则数列+∈+=的最大项是（ ）A ．第12项B ．第13项C ．第12项或第13项D ．不存在3．数列}{n a 的通项公式是}{,32922n n a n n a 则++-=中最大项的值是 （ ）A ．83107B ．108C ．81108D ．1094．已知数列}{n a 的通项公式为中则}{,20032002n n a n n a --=（ ）A ．存在最大项与最小项，且这两项的和大于2B ．存在最大项与最小项，且这两项的和等于2C ．存在最大项与最小项，且这两项的和小于2D ．既不存在最大项，也不存在最小项5．设)}({*∈N n a n 是等差数列，n S 是其前n 项和，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是（ ）A ．0<dB ．07=aC ．59S S >D ．n S S S 均为和76的最大值6．设等差数列}{n a 的前n 项和为0,1>a S n 若，并且存在一个大于2的自然数k ，使,k k S a = 则 （ ）A ．}{n a 递增，n S 有最小值B ．}{n a 递增，n S 有最大值C ．}{n a 递减，n S 有最小值D ．}{n a 递减，n S 有最大值二、填空题：7．设1)32()(,,321+*+=∈++++=n nn S n S n f N n n S 则 的最大值为8．}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，,0,0983<>+S a a则在9321,,,,S S S S 中最小的是9．等比数列}{n a 中，首项用公比,21,15361-==q a n ∏表示它的前n 项的乘积，则n ∏)(*∈N n 最大时，n =10．设等差数列}{n a 满足：)(,,0,531138*∈>=N n S n S a a a n n 则项和为其前且最大时， n = 三、解答题：11．已知数列}{n a 的通项公式}{),510lg(15n n n a a 问数列-⋅=的前多少项之和最大？并求其最大值.（取3010.02lg =）12．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知k k k S S S S S d a 2211221,,,,0,0,0,0 求<><>+中的最大值.13．数列}{n a 为正项等比数列，它的前n 项和为80，前n 项中数值最大的项为54，而前2n项的和为6560，试求此数列的首项1a 和公比q . 14．已知数列}{n a 中：)(2,111++∈==N k a a a n n n ，（I ）求n a （II ）若}{),4(log 2n n nn b a b 求数列=最小项的值；（III ）设数列{n c }的前n 项为n b ，求数列{||n c }的前n 项和n S .15．数列}{n a 中，)(5431++∈-=+N n n a a n n . （I ）若}{,201n a a 求-=的通项公式n a ；（II ）设n n n S a n a S 求时当项和的前为,27,}{1->的最小值.《答案与解析》一、1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 二、7．5018．5S 9．12 10．20 11．]5lg )1(5[)5lg 5()510lg()510lg(1551n n a a n n n n -+--=⋅-⋅=---+ 05lg }{,5lg <-=∴-=d a n 是公差的等差数列，而∴>=,051a 所有的正数项之和最大，令15lg 55lg 505lg 505lg )1(5001+≤<⇒⎩⎨⎧<-≥-+⇒⎩⎨⎧<≥+n n n a a n n.428.205lg 27885,8}{,8153.8153.713010.0153010.0158=⨯-⨯=∴=⇒≤<⇒+-≤<-⇒S a n n n n 且项之和最大的前12．,00)(0)12(1112112⎩⎨⎧>-><⇒⎩⎨⎧>+=<+=+++++k k k k k k k k a a a a a k S a k S,0,0,021211 >>>>>>>∴<>++k k k a a a a a d ak k k k k S S S S S S S 故而,,2121 >>><<<∴++为最大值.13．812=-=nnn nS S S q （也可由公式得到），n a q ∴>∴,1为最大项，即.3,280,32,541111=====-q a S q a qa n n 得代入得 14．（I ）;22)1(1121--=⋅⋅⋅=n n n n n a a a a a a（II ）;3)(32,85)25(2125min 22-==∴--=-=n n b n n n n b 时或当（III ）,3-=n c n ①当3≤n 时，;252n n S n -=②当.21252,423+-=-=≥n n b b S n n n 时 15．（I ）,3,5135432121=-⎩⎨⎧-=+-=+++++n n n n n n a a n a a n a a 两式相减得,21,3,,,,,,,1642531-==∴a d a a a a a a 的等差数列都是与,312-=∴a ①当n 为奇数时，;24333)121(20-=⨯-++-=n n a n ②当n 为偶数时，;26833)12(31-=⨯-+-=n n a n （II ）①当n 为偶数时，)()()(14321n n n a a a a a a S ++++++=- =（3×1－54）+（3×3－54）+…+[3（n －1）－54]=3[1+3+5+…+（n －1）])()(,;243)(,18,243)18(4327435421321min 22n n n n a a a a a S n S n n n n n +++++=-==∴--=-=⨯-- 为奇数时当时当 .243)(18,;243216)(1917,43216)18(4341052743min 1min 1212-==->-==∴+--=++-=n n S n a S n a n a n n 时当综上时或当 ②。
专题49 数列中的最值问题-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题(解析版)
1/ 17第49题 数列中的最值问题一．题源探究·黄金母题已知等差数列245,4,3,77的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值．【答案】7或8．【解析】由题意知，等差数列245,4,3,77的公差为57-， ()2257555151125251271414256n n n n S n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-⋅-==--+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∴当7n =或8时，n S 取最大值．人教A 版必修5P 45例4．【母题评析】本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查考生的分析问题解决问题的能力以及基本计算能力．【思路方法】由等差数列前n 项和得和，再利用二次函数的相关知识求解．二．考场精彩·真题回放【2020年高考北京】在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，【命题意图】这类题主要考查数列中项的最值问题、前n 项和的最值、求满足数列的特定条件的n 的最值、求满足条件的参数的最值等．【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大． 【学科素养】数学运算【难点中心】解答此类问题一般利用函数思想，结合函数与数列相关性质解题．2/ 17由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=， 故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B ．三．理论基础·解题原理考点一 等差数列的前n 项和与函数的关系等差数列的前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，则S n ＝An 2＋Bn ．当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题． 考点二 等差数列前n 项和的最值(1)若等差数列的首项10a >，公差0d <，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且满足10n n a a +≥⎧⎨≤⎩．(2)若等差数列的首项10a <，公差0d >，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩．3/ 17四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大．考向1 数列中项的最值问题已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +，求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解．思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的n 的值．【解法一】基本不等式法．n a =2156n n +=1156n n+，因为156n n +≥1562n n⨯；当且仅当156n n =，即n=156时，而，144156169<< 且n ∈N *，于是将n=12或13代人，得1213a =a 且最大．【温馨提醒】解法一是是利用基本不等式求解，解法二是通过确定⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a n 满足的的值，从而找到最大项。
高中数学--数列大题专项训练(含详解)
高中数学--数列大题专项训练（含详解）一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1.已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足*1231112()23n b b b b n n N n+++⋅⋅⋅+=∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设(1)()n n n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2.n S 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233.n n S a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若32log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.n T 3.在数列{}n a 中，111,(1n n n a a a c c a +==⋅+为常数，*)n N ∈，且1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列．(1)求证：数列1{}na 是等差数列；(2)求c 的值；(3)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n S4.在ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且11sin().214A π+=()Ⅰ求tan A 及角B 的值；()Ⅱ设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．5.在数列{}n a 中，11a =，11(1)(1)2nn n a a n n +=+++⋅(1)设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和nS 6.已知数列的各项均为正数，前项和为，且()Ⅰ求证数列是等差数列；()Ⅱ设求7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立．(1)求1a ，2a 的值；(2)设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．8.已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且2a ，3a ，7a 成等比数列．(1)求通项公式na (2)设2n a nb =，求数列n b 的前n 项和.n S 9.已知在数列{}n a 中，13a =，1(1)1n n n a na ++-=，*.n N ∈(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：1.(126n T <分)10.已知函数2(1)4f x x +=-，在等差数列{}n a 中，1(1)a f x =-，232a =-，3().a f x =(1)求x 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式.n a 11.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，1a ，3a 是函数2()109f x x x =-+的两个零点.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列的最大(小)项专题训练习题
数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思想和方法去研究。
对于数列{}n a 而言，若1+<n n a a 则此数列为递增数列，若1+>n n a a 则此数列为递减数列，若1+=n n a a ，则其为常数列，运用其单调性可求出一些常见数列的最值， 整式(一次、二次)函数为背景的数列
举例1试题: 等差数列{a n }中，a 1<0，S 9=S 12，求数列前多少项和最小?
无理根式函数为背景的数列
举例2函数2()log log 2,(01)x f x x x =-<<，数列{}n a 满足(2)2n
a f n =，
（1,2,n =）。
（1）求n a ；（2）判断{}n a 的单调性并求n a 的最小值
三，以反比例函数为背景的数列
举例3，已知a n =98
97-
-n n
(n ∈N ﹡)则在数列{a n }的前30项中最大项和最小
项分别是________。
四，以分式函数y=x+x a (x>0,a>0)为背景的数列 举例4、已知数列a n =156
2
+n n
(n ∈N ﹡)，则该数列中的最大项是第几项?
五、混合型数列
举例 5 数列{}n a 满足13-⨯=n n a a ，23n a n >对一切*∈N n 都成立，求实数a 的取值范围
分析：恒成立问题转化为数列最大项从而利用函数单调性可解
举例6、数列{}n a 满足()n n n n a 1091-=，求{}n a 中的最大项和最小项。
例 (2011浙江卷)若数列{n(n+4)(3
2)n
}中的最大项是第k 项，则k=_______。
举例7已知S n =1+n
13121+++ (n ∈N ﹡),记a n =S 2n+1-S n+1,求数列{a n }的最小值
七，以求积为背景的数列
举例8已知n a =2n-1，若不等式(1+1
1a )(1+2
1a )()n
a 11+ ≥k 12+n 对一切
()*
∈N n 都成立，求k 的最大值。
八，自然数数列中的最值
举例9已知正整数1921,,,a a a 满足下列两个条件:⑴1921a a a <<< ⑵
20101921=+++a a a ，求10a 的最大值。
九、以对数函数为背景的数列
举例10. 已知数列{}n a 满足n a =()1log +n n ()*∈≥N n n ,2求其最大项
11，已知首项为
2
3
的等比数列}{n a 不是递减数列，其前n 项和为)(*∈N n S n ，且33a S +，55a S +，44a S +成等差数列。
（1）求数列}
{n a 的通项公式；（2）设n
n n S S T 1
-=（*∈N n ），求数列}{n T 的最大项的值和最小的项的值。