数列的最大项训练习题

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高二数学数列专题练习题(含答案)

高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为：a_n=S_n-S_{n-1} (n>1)，当n=1时，a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。

2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

对于等差数列，有通项公式a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。

对于等比数列，有通项公式a_n=a_1*q^{n-1}，其中q为公比。

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

如果a、A、b、B成等差数列，那么A、B叫做a、b的等差中项。

3.求和公式对于等差数列，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列，前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q不等于1.另外，对于等差数列，S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列；对于等比数列，S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。

4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数，通常有以下几种形式：a_n=dn+(a_1-d)，a_n=An^2+Bn+C，a_n=a_1q^n，a_n=k*n+b。

5.判定方法对于数列的常数项，可以使用定义法证明；对于等差中项，可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}；对于等比中项，可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。

最后，对于数列的通项公式，可以使用数学归纳法证明。

1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数，通常用{ }表示。

其中，第n项表示为an，公差为d，公比为q。

常用的数列有等差数列和等比数列。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.〔此题总分值14 分〕设数列a的前n项和为S n,且S n4a n3(n1,2,)，n〔1〕证明: 数列a n是等比数列；〔2〕假设数列b满足b n1a n b n(n1,2,)，b12，求数列b n的通项公n式．2.〔本小题总分值12分〕等比数列a的各项均为正数，且n2 2a3a1,a9aa.123261.求数列a n的通项公式.2.设blogaloga......loga,求数列n31323n 1bn的前项和.3.设数列a满足n2n1 a12,a1a32nn〔1〕求数列a的通项公式；n〔2〕令b n na n，求数列的前n项和S n3.等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．〕，求数列{b n}的前n项和S n．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；n﹣1*〔Ⅱ〕设b n=〔4﹣a n〕q〔q≠0，n∈N× 5.数列{a n}满足，，n∈N．〔1〕令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；〔2〕求{a n}的通项公式．...4.解：〔1〕证：因为S n4a n3(n1,2,)，那么S n14a n13(n2,3,)，所以当n2时，a SS14a4a1，nnnnn4整理得aa1．5分nn3由S43，令n1，得a14a13，解得a11．n an所以分a是首项为1，公比为n43的等比数列．7〔2〕解：因为4n1 a()，n3由b1ab(n1,2,)，得nnn4n1 bb()．9分n1n3由累加得()()()b n bbbbbbb12`132nn14n11()43n1＝23()1，〔n2〕，43134n1 当n=1时也满足，所以)1b3(．n35.解：〔Ⅰ〕设数列{a n}的公比为q，由 2a39a2a6得32a39a4所以21q。

有条件9可知a>0,故1q。

311a。

故数列{a n}的通项式为a n=33由2a13a21得2a13a2q1，所以1n。

〔Ⅱ〕b logaloga...logan111111(12...n)n(n1)2故12112() bn(n1)nn1n111111112n ...2((1)()...()) bbb223nn1n1 12n...所以数列1{}bn2n 的前n 项和为n16.解：〔Ⅰ〕由，当n≥1 时，a1[(a1a)(a a1)(a2a1)]a1nnnnn2n12n33(222)222(n1)1。

高中数学求数列最值的12种题型(含答案)

求数列最值的12种题型题型一：递推问题1、已知数列{a n }中,a 1>0,且a n +1=3+a n2.(1)试求a 1的值,使得数列{a n }是一个常数数列；(2)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(3)若a 1=4,设b n =|a n +1-a n |(n =1,2,3…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项和,试证明：S n <52.解：（Ⅰ）欲使数列{a n }是一个常数数列,则a n +1=3+a n2=a n ,又依a 1>0,可以得a n >0并解出：a n =32.a n =-1(舍)即a 1=32（Ⅱ）研究a n +1-a n =3+a n 2-3+a n-12=a n -a n-12(3+a n 2+3+a n-12)(n ≥2)注意到：2(3+a n 2+3+a n-12)>0因此,a n +1-a n ,a n -a n -1,…,a 2-a 1有相同的符号.要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2-a 1>0即可.由3+a 12-a 1>0,解得：0<a 1<32.（Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法,可得当a 1>32时,a n +1<a n 对任何自然数n 都成立.因此当a 1=4时,a n +1-a n <0∴S n =b 1+b 2+…+b n .=|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n +1-a n |=a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=4-a n +1又：a n +2<a n +1即3+a n+12<a n+1,可得a n +1>32,故S n <4-32=52.题型二：最值问题2、已知数列{a n }满足：a 1=1,a n +1=a n2a n +1(*n N ∈),数列{b n }的前n 项和S n =12-12(23)n (*n N ∈).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设nn nb C a =,是否存在*m N ∈,使9m C ≥成立？并说明理由.解答：（1）由1111221n n n n na a a a a ++=⇒=++,∴112(1)21n n n a =+-=-,*1()21n a n N n =∈-.由21212()3n n S =-⋅及1121212()(2)3n n S n --=-⋅≥,可得124()(2)3n n n n b S S n -=-=⋅≥,令1n =,则11121212()43b S ==-⋅=也满足上式,∴124()(*)3n n b n N -=⋅∈.1122(2)(21)4()4(21)(33n n n n n b C n n a --==-⋅=-,设m C 为数列{}n C 中的最大项,则12111224(21)()4(23)()33224(21)()4(21)()3327(21)23322521(21)32m m m m m mm m m m C C C C m m m m m m m m ----+⎧-≥-⎪≥⎧⎪⇒⎨⎨≥⎩⎪-≥+⎪⎩⎧⎧-⋅≥-≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪-≥+⋅≥⎪⎪⎩⎩,∴3m =.即3C 为{}n C 中的最大项.∵2328020(939C ==<,∴不存在*m N ∈,使9m C ≥成立.题型三：公共项问题3、设A n 为数列{a n }的前n 项的和，A n ＝32(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3。

数列的测试题

数列的测试题
1. 基础题：给定数列的前几项，找出数列的通项公式。

- 题目：数列的前5项为 2, 4, 8, 16, 32，求该数列的通项公式。

2. 中等题：使用等差数列和等比数列的性质解决问题。

- 题目：已知等差数列的第3项为10，第5项为18，求该数列的
首项和公差。

3. 提高题：数列的求和问题。

- 题目：给定等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和。

4. 应用题：将数列问题与实际问题结合起来。

- 题目：某公司每年的利润增长率为5%，如果第一年的利润为100
万元，求5年后的总利润。

5. 综合题：涉及到数列的极限问题。

- 题目：给定数列 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...，求该数列的极限。

6. 探索题：发现数列的规律并证明。

- 题目：观察数列 1, 11, 21, 1211, 111221，找出数列的规律并
证明。

7. 计算题：使用数列的性质进行复杂的计算。

- 题目：已知等比数列的首项为2，公比为3，求前6项的和。

8. 证明题：证明数列的性质或定理。

- 题目：证明等差数列中任意两项的等差中项等于这两项的算术平
均数。

9. 开放题：设计一个数列问题并解决。

- 题目：设计一个数列，使得它的前n项和为n^2，求该数列的通项公式。

10. 创新题：使用数列解决非传统问题。

- 题目：在数学竞赛中，每位参赛者需要解决一系列问题。

如果解决一个问题可以获得5分，未解决则扣2分。

如果参赛者想要获得至少20分，他至少需要解决多少个问题？。

数列大题综合(学生版)-2024届新高考数学题型满分突破

数列大题综合冲刺秘籍1.等差数列通项公式：a n =a 1+n −1 d n ∈N + 或a n =a m +n −m dn ∈N + 2.等比数列通项公式：a n =a 1⋅q n −1或a n =a m ⋅q n −m .n ∈N ∗3.S n =f (a n )的类型，公式a n =S 1(n =1)S n -S n -1(n ≥2)4.数列求和的常用方法：（1）对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；等差数列求和S n =n a 1+a n 2=na 1+n n -1 2d ，等比数列求和S n =na 1,q =1a 11-q n 1-q ,q ≠1(2)对于a n b n 结构，其中a n 是等差数列，b n 是等比数列，用错位相减法求和；(3)对于a n ±b n 结构，利用分组求和法；(4)对于1a n a n +1结构，其中a n 是等差数列，公差为d ，则1a n a n +1=1d 1a n -1a n +1 ，利用裂项相消法求和.或通项公式为m f n ⋅f n +d 形式的数列，利用裂项相消法求和.即m f n ⋅f n +d =m d 1f n -1f n +d5.常见的裂项技巧：（1）1n n +k=1k 1n -1n +k ；（2）1n +k +n =1k n +k -n ；（3）12n -1 2n +1=1212n -1-12n +1 （4）2n 2n -1 2n +1-1 =2n +1-1 -2n -1 2n -1 2n +1-1=12n -1-12n +1-1（5）指数型a -1 a n =a n +1-a n ；（6）对数型log a a n +1a n=log a a n +1-log a a n .（7）1n n+1n+2=121n n+1-1n+1n+2（8）n n+1!=1n!-1n+1!（9）2n 2n+1-12n-1=12n-1-12n+1-1（10）n+2n n+1⋅2n =1n⋅2n-1-1n+1⋅2n等冲刺训练一、解答题1(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知S n是数列a n的前n项和，2S n=na n，a2=3．(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n=16-a n，求数列b n的前n项和T n．2(2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模)已知数列a n是正项等比数列，且a4-a1=7,a2a3 =8.(1)求a n的通项公式;(2)若b n=2n-1a n，求数列b n的前n项和S n.3(2023·黑龙江大庆·统考二模)设数列a n 是首项为1，公差为d 的等差数列，且a 1，a 2-1，a 3-1是等比数列b n 的前三项．(1)求a n 的通项公式；(2)设c n =log 2a n b n a n +1，求数列c n 的前n 项和T n ．4(2023·福建宁德·校考模拟预测)已知数列a n ，b n ，a 1=1，a n +1=-a n +4×3n -1，b n =log 3a n +2a n +2n ∈N * ．(1)求证：数列a n 是等比数列，并求数列a n 的前n 项和S n ；(2)求数列2+3n ⋅1b n的前n 项和T n ．5(2023·江苏徐州·校考模拟预测)已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S nn=a n+1，a2=2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)集合A={a1,a2,⋯,a n}，将集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为T n，求T n．6(2023·浙江·校联考模拟预测)已知数列a n满足a1=2，，以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题.①n2a n+1-a n=a n， ②2a n+1-a n=22-n ③a12+a2+2a3+⋯+2n-2a n=n(n+1)2(1)求数列a n的通项公式；(2)记数列a n的前n项积为T n，求T n的最大值．7(2023·福建三明·统考三模)已知数列a n 满足a 1=2，2a n +1+a n a n +1-2a n =0n ∈N * .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =-1 n 84n 2-1 a n ，b n 的前n 项和为S n ，证明：-1<S 2n ≤-45.8(2023·广东·校联考模拟预测)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知S n ,2n 的等差中项为a n .(1)求证a n +2 为等比数列；(2)数列1a n +3的前n 项和为T n ，是否存在整数k 满足T n ∈k ,k +1 ？若存在求k ，否则说明理由.9(2023·广东佛山·校考模拟预测)如果数列a n 对任意的n ∈N *，a n +2-a n +1>a n +1-a n ，则称a n 为“速增数列”.(1)请写出一个速增数列a n 的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；(2)若数列a n 为“速增数列”，且任意项a n ∈Z ，a 1=1，a 2=3，a k =2023，求正整数k 的最大值.10(2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模)已知数列a n 满足3+a 12+a 222+a 323+⋯+a n 2n =2n +32n.(1)求数列a n 的通项公式；(2)记数列1a n ⋅a n +1 的前n 项和为S n ，证明：S n <12.11(2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测)已知各项均为正数的数列a n ，满足a 2n +1-a n +1a n -2a 2n =0n ∈N * ，a 1a 2a 3=64．(1)求数列a n 的通项公式；(2)记T n =1+1a 1 1+2a 2 1+3a 3 ⋯1+n a n，试比较T n 与9的大小，并加以证明．12(2023·江苏扬州·统考模拟预测)在①2S n =3a n -3；②a 1=3,log 3a n +1=log 3a n +1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．设数列a n 的前n 项和为S n ，满足，b n =3n -9a n +1,n ∈N *．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若存在正整数n 0，使得b n 0≥b n 对∀n ∈N *恒成立，求n 0的值．13(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.......设各层球数构成一个数列a n .(1)写出a n 与a n +1n ∈N * 的递推关系，并求数列a n 的通项公式；(2)记数列b n 的前n 项和为S n ，且S n =32b n -32，在b n 与b n +1之间插入n 个数，若这n +2个数恰能组成一个公差为d n 的等差数列，求数列a n ⋅d n 的前n 项和T n .14(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)数列a n 的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足a 2n +2a n =4S n +3．(1)求数列a n 的通项公式．(2)设数列b n 满足条件①b n =(-2)n 6n +5 a n a n +1；②b n =(-2)n a n ，请从条件①②中选一个，求出数列b n 的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．15(2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测)已知数列a n的前n项的积记为T n，且满足1T n=a n-1a n(1)证明：数列T n为等差数列;(2)若b n=T n,n为奇数，1T n-1T n+1,n为偶数，求数列b n 的前2n项和T2n.16(2023·海南海口·校考模拟预测)已知等差数列a n，其前n项和S n满足S n=n2+m,m为常数.(1)求m及a n的通项公式；(2)记数列b n=a n+2S n S n+1，求b n前n项和的T n.17(2023·云南昭通·校联考模拟预测)已知各项均为正数的数列a n的首项a1=1，其前n项和为S n，从①a n=2S n-1；②S2=4S1，S n+1+S n-1=2S n+1n≥2；③a n=S n+S n-1n≥2中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1S n⋅S n+1，设数列b n的前n项和T n，求证：34≤T n<1.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).18(2023·云南·校联考模拟预测)已知数列a n是等比数列，满足a n+1>a n n∈N*,a2=4，且1+ a2是a1与a3的等差中项.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=log2a n,S n为数列b n的前n项和，记T n=1S1+1S2+1S3+⋯+1S n，求T n的取值范围.19(2023·广东梅州·统考三模)已知数列a n满足a1=2，a2=4，a n+2=a n+1+2a n.(1)证明：数列a n为等比数列.(2)数列b n满足1b1+2b2+⋯+nb n=a n+1-2，求数列b n的前n项和S n.20(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)已知定义在R上的函数f x =x22+cos x.(1)求f x 的最小值；(2)当0<x<1时，若不等式sin xx >ax+2恒成立，求实数a的取值范围；(3)若n∈N*，证明：nk=1cos14k-1 2k-1>n+1-121(2023·河北邯郸·统考二模)已知数列a n中，a n>0，a1=3，记数列a n的前n项的乘积为S n，且S n=a n+1n.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n-1a n+1，数列b n的前n项和为T n，求证：T n∈n-1,n.22(2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测)已知函数f(x)x+1=ln x-a(x-1)x+1．(1)若函数f(x)在[1,+∞)上只有一个零点，求a的取值范围；(2)若a n=23,n=11n+1,n≥2，记数列a n 的前n项和为S n，证明：2S n<ln n2+3n+2．23(2023·山东菏泽·统考二模)已知各项为正数的等比数列a n满足a n⋅a n+1=16n,n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b1=1，b n+1=a n,n为奇数-b n+n,n为偶数，求数列bn的前2n项和S2n.24(2023·山东泰安·统考二模)已知数列a n的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=4S n.(1)求a n；(2)设b n=-1n⋅3n-1，数列b n的前n项和为T n，若∀k∈N*，都有T2k-1<λ<T2k成立，求实数λ的范围.25(2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模)如图，已知曲线C 1:y =2x x +1(x >0)及曲线C 2:y =13x(x >0)．从C 1上的点P n n ∈N * 作直线平行于x 轴，交曲线C 2于点Q n ，再从点Q n 作直线平行于y 轴，交曲线C 1于点P n +1，点P n 的横坐标构成数列a n 0<a 1<12 ．(1)试求a n +1与a n 之间的关系，并证明：a 2n -1<12<a 2n n ∈N * ；(2)若a 1=13，求a n 的通项公式．26(2023·山东·模拟预测)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=a na n +1n ∈N * .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b 2n =1+a 2n +a 2n +1,b n >0，数列b n 的前n 项和为S n ，证明：32≤S n <n +1.27(2023·山西·校联考模拟预测)已知正项数列a n的前n项和S n满足关系式6S1a1+3+6S2a2+3+⋯+6S na n+3=S n,n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=(-1)s1a1+(-1)s2a2+⋯+(-1)s n a n,n∈N*，证明T n <4n,n≥3.28(2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测)数列a n中，a1=49，对任意正整数n都有3n+9⋅n+12a n+1=n+23a n.(1)求a n的通项公式；(2)设a n的前n项和为S n，证明：①a n<13n⋅n+1；②S n<54-2n+54⋅3n.29(2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模)甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；(3)若P i i=0,1,⋯,6表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0=0,P6=1.证明：P i+1-P ii=0,1,2,⋯,5为等比数列.30(2023·湖北·校联考模拟预测)设a n是公差不为零的等差数列，满足a1=1，a6+a7=a13，设正项数列b n的前n项和为S n，且4S n+2b n=3．(1)求数列a n和b n的通项公式；(2)在b1和b2之间插入1个数x11，使b1、x11、b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数x21、x22，使b2、x21、x22、b3成等差数列；⋯，在b n和b n+1之间插入n个数x n1、x n2、⋯、x nn，使b n、x n1、x n2、⋯、x nn、b n+1成等差数列，求T n=x11+x21+x22+⋯+x n1+x n2+⋯x nn；(3)对于(2)中求得的T n，是否存在正整数m、n，使得T n=a m+12a m成立？若存在，求出所有的正整数对m,n；若不存在，请说明理由．。

数列的最大项与最小项

数列的最大与最小项问题学习要点：数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法：1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值，也可以考虑求导解决，但必须注意，不能直接对)(n f 求导（因为只有连续函数才可导），而应先对)(n f 所在的函数)0)((>x x f 求导，得到)(x f 的最值，然后再分析)(n f 的最值.2．考察)(n f 的单调性：)0(0)()1(<>-+或n f n f ，然后根据)(n f 的单调判断)(n f 的最值情况.3．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.[例1]首项为正数的等差数列}{n a ，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大？[解法一]记}{n a 的前n 项和为n S ，,114S S =∴,,87],4225)215([14)15(14)71(2)1(,07121011112344212111111最大时或n n S n n n a n n a a n n na S a d d a d a ==∴+--=+-=-⨯-+=∴<-=⇒⨯+=⨯+∴ [解法二]由解法二知}{,0711n a a d ∴<-=是首项为正数的单调递减数列，∴所有的正数项的和最大，>>>==>>>∴=⇒=+++⇒=10988721811651140,0070a a a a a a a a a a a S S 而}{7a ∴中前7项为正数项，从第9项开始各项为负数，而8787,S S S S 或∴=最大.[评析]解法一抓住了)(n f S n =是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项. 而解法二通过考察}{n a 的单调性与正、负项的情况得到最大项.[例2]设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知,0,0,1213123>>=S S a （I ）求公差d 的取值范围；（II ）指出n S S S ,,,21 中哪一个最大？说明理由；（III ）指出nn a S a S a S ,,,2211 中哪一个最小？说明理由. [解析]（I ）00)(32)(60767612112>+⇒>+=+⇒>a a a a a a S ①，001307713<⇒<⇒<a a S ②，由①、②得;3724407233-<<-⇒⎩⎨⎧<+>+d d a d a（II ）由①、②得}{,0,00776n a d a a a <⎩⎨⎧<>->而为递减数列，;,,,0687662187621最大故而S S S S S S S a a a a a >>><<<∴>>>>>>∴（III ）,014131287621 >>>>>>>><<<S S S S S S S S12128877,,,,}{a Sa S a S a S n n 只有中在∴这六项为负值，而其余各项均为正数，}{nna S ∴的最小项只可能是这六项中的一项，⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->>->->>>>0111012871287a a a S S S 012128877>->>->-a S a S a S7712128877,}{,0a S a S a S a S a S n n 中故在<<<<⇒最小. [评析]通过讨论数列中的正、负项（并结合讨论单调性）是求数列前n 项和的最大、最小值的重要方法.[例3]设∈n Z ，当n 是什么数时，|100||3||2||1|-++-+-+-=n n n n S n 取最小值，并说明理由.[解析]（1）当;5050100210=+++≥≤ n S n 时（2）当1≥n 时，考察}{n S 的单调性，|,100||)100||2||1(||)99||1||(|1--=-++-+---++-+=-+n n n n n n n n S S n n①当}{,0100,1001n n n S S S n >=-≥+时单调递增，;4950,100100=≥≥∴S S n n 时当②,1002,10011-=-<≤+n S S n n n 时当;}{,4911单调递减时当n n n S S S n <≤≤∴+}{,100261n n n S S S n ><≤+时当单调递增；而当504932101474849505051+++++++++++=== S S n 时 .25002515025049=⨯+⨯=综上，当n =50或n =51时，.2500)(min =n S[评析]命题中的数列是比较特殊的数列，虽然解题方案上还是通过考察数列的单调性，但具体过程更灵活. [例4]已知函数c x x g bx x x f +=++=5)(,13)(2是偶函数是奇函数，正数数列}{n a 满足：.1)()(,12111=+-+=++n n n n n a a a g a a f a（I ）若}{n a 的前n 项和为n n n S S ∞→lim ,求；（II ）若}{),()(21n n n n b a g a f b 求+-=中的项的最大值和最小值.[解析]（I ）由条件得,5)(,13)(,02x x g x x f c b =+=∴==由条件得0)(5)(32121=+-+++n n n n n a a a a a;31lim ,32}{,32,00))(23(0311112121=-=∴=∴=∴>=+-⇒=-+⇒∞→+++++qa S q a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n 是等比数列是公比（II ）,5483)185(6)()(2)(21+-=-==+n n n n n a a g a f a b ϕ,314)(,1,211850,10,)32(1max1===∴<<≤<∴=-b b b n a a n n n n n 即最大时当.243374)278()(,4,278,1624816245162322781858116,8116,278,94,32,1,,5,4,3,2,14min =====∴<<⇒<<∴==ϕb b n a a n n n n 时即当时当[评析]由于n b 是关于n a 的二次函数，所以选择配方法完成，但与普通二次函数不同的是函数的定义域不是连续的数集，而是由间断的实数构成，这也是数列中才会出现的特点. [例5]求数列}{n n n a =的最大项与最小项.[解析]通过计算可知：当3≥n 时单调递减，由此可得最大项与最小项，但是用一般方法：nn n n a a a a 11++-或却证明不了}{n a 的单调性.考察函数)3()(1≥=x x x f x的单调性，∵ln xx f 1)]([=ln x ，两边对x 求导得：,ln 1)(,ln 1)()(1212x x x x f x x x f x f x -⋅='∴-='⋅.1,3}{,,154321,3298,1543,)(,0)(31335433543==>>>><<∴<⇒<>>>>>∴<'≥∴a a a n x f x f x n n 最小项为的最大项为故又由单调递减时当[解法二]用数学归纳法证明当,131n n n n n <+≥+时2122121111134124123)1()2()1()2()2()2()1()1(,1)3(2;34348164,31++++++++++<+⇒+<+=+<++⇒<+<+≥=<⇒<⇒<=k k k k k k k k k kk k k k k k k k kk k kk k k k k n n 即时假设当时当即1,1212+=∴+<+++k n k k k k 当时命题也成立，1543543>>>>∴ .下同解法一.[评析]这是比较困难的问题，因此采取了与前面一些例题不同的特殊方法来证明数列的单调性.《训练题》一、选择题：1．数列),3,2,1}(!100{ ==n n a nn 中（）A ．1a 最大，而无最小项B ．1a 最小，而无最大项C ．有最大项，但不是1aD ．有最小项，但不是1a2．已知}{),(1562n n a N n n na 则数列+∈+=的最大项是（）A ．第12项B ．第13项C ．第12项或第13项D ．不存在3．数列}{n a 的通项公式是}{,32922n n a n n a 则++-=中最大项的值是（）A ．83107B ．108C ．81108D ．1094．已知数列}{n a 的通项公式为中则}{,20032002n n a n n a --=（）A ．存在最大项与最小项，且这两项的和大于2B ．存在最大项与最小项，且这两项的和等于2C ．存在最大项与最小项，且这两项的和小于2D ．既不存在最大项，也不存在最小项5．设)}({*∈N n a n 是等差数列，n S 是其前n 项和，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是（）A ．0<dB ．07=aC ．59S S >D ．n S S S 均为和76的最大值6．设等差数列}{n a 的前n 项和为0,1>a S n 若，并且存在一个大于2的自然数k ，使,k k S a = 则（）A ．}{n a 递增，n S 有最小值B ．}{n a 递增，n S 有最大值C ．}{n a 递减，n S 有最小值D ．}{n a 递减，n S 有最大值二、填空题：7．设1)32()(,,321+*+=∈++++=n nn S n S n f N n n S 则的最大值为8．}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，,0,0983<>+S a a则在9321,,,,S S S S 中最小的是9．等比数列}{n a 中，首项用公比,21,15361-==q a n ∏表示它的前n 项的乘积，则n ∏)(*∈N n 最大时，n =10．设等差数列}{n a 满足：)(,,0,531138*∈>=N n S n S a a a n n 则项和为其前且最大时， n = 三、解答题：11．已知数列}{n a 的通项公式}{),510lg(15n n n a a 问数列-⋅=的前多少项之和最大？并求其最大值.（取3010.02lg =）12．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知k k k S S S S S d a 2211221,,,,0,0,0,0 求<><>+中的最大值.13．数列}{n a 为正项等比数列，它的前n 项和为80，前n 项中数值最大的项为54，而前2n项的和为6560，试求此数列的首项1a 和公比q . 14．已知数列}{n a 中：)(2,111++∈==N k a a a n n n ，（I ）求n a （II ）若}{),4(log 2n n nn b a b 求数列=最小项的值；（III ）设数列{n c }的前n 项为n b ，求数列{||n c }的前n 项和n S .15．数列}{n a 中，)(5431++∈-=+N n n a a n n . （I ）若}{,201n a a 求-=的通项公式n a ；（II ）设n n n S a n a S 求时当项和的前为,27,}{1->的最小值.《答案与解析》一、1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 二、7．5018．5S 9．12 10．20 11．]5lg )1(5[)5lg 5()510lg()510lg(1551n n a a n n n n -+--=⋅-⋅=---+ 05lg }{,5lg <-=∴-=d a n 是公差的等差数列，而∴>=,051a 所有的正数项之和最大，令15lg 55lg 505lg 505lg )1(5001+≤<⇒⎩⎨⎧<-≥-+⇒⎩⎨⎧<≥+n n n a a n n.428.205lg 27885,8}{,8153.8153.713010.0153010.0158=⨯-⨯=∴=⇒≤<⇒+-≤<-⇒S a n n n n 且项之和最大的前12．,00)(0)12(1112112⎩⎨⎧>-><⇒⎩⎨⎧>+=<+=+++++k k k k k k k k a a a a a k S a k S,0,0,021211 >>>>>>>∴<>++k k k a a a a a d ak k k k k S S S S S S S 故而,,2121 >>><<<∴++为最大值.13．812=-=nnn nS S S q （也可由公式得到），n a q ∴>∴,1为最大项，即.3,280,32,541111=====-q a S q a qa n n 得代入得 14．（I ）;22)1(1121--=⋅⋅⋅=n n n n n a a a a a a（II ）;3)(32,85)25(2125min 22-==∴--=-=n n b n n n n b 时或当（III ）,3-=n c n ①当3≤n 时，;252n n S n -=②当.21252,423+-=-=≥n n b b S n n n 时 15．（I ）,3,5135432121=-⎩⎨⎧-=+-=+++++n n n n n n a a n a a n a a 两式相减得,21,3,,,,,,,1642531-==∴a d a a a a a a 的等差数列都是与,312-=∴a ①当n 为奇数时，;24333)121(20-=⨯-++-=n n a n ②当n 为偶数时，;26833)12(31-=⨯-+-=n n a n （II ）①当n 为偶数时，)()()(14321n n n a a a a a a S ++++++=- =（3×1－54）+（3×3－54）+…+[3（n －1）－54]=3[1+3+5+…+（n －1）])()(,;243)(,18,243)18(4327435421321min 22n n n n a a a a a S n S n n n n n +++++=-==∴--=-=⨯-- 为奇数时当时当 .243)(18,;243216)(1917,43216)18(4341052743min 1min 1212-==->-==∴+--=++-=n n S n a S n a n a n n 时当综上时或当 ②。

专题49 数列中的最值问题-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题(解析版)

1/ 17第49题数列中的最值问题一．题源探究·黄金母题已知等差数列245,4,3,77的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值．【答案】7或8．【解析】由题意知，等差数列245,4,3,77的公差为57-， ()2257555151125251271414256n n n n S n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-⋅-==--+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∴当7n =或8时，n S 取最大值．人教A 版必修5P 45例4．【母题评析】本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查考生的分析问题解决问题的能力以及基本计算能力．【思路方法】由等差数列前n 项和得和，再利用二次函数的相关知识求解．二．考场精彩·真题回放【2020年高考北京】在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，【命题意图】这类题主要考查数列中项的最值问题、前n 项和的最值、求满足数列的特定条件的n 的最值、求满足条件的参数的最值等．【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大．【学科素养】数学运算【难点中心】解答此类问题一般利用函数思想，结合函数与数列相关性质解题．2/ 17由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B ．三．理论基础·解题原理考点一等差数列的前n 项和与函数的关系等差数列的前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，则S n ＝An 2＋Bn ．当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题．考点二等差数列前n 项和的最值(1)若等差数列的首项10a >，公差0d <，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且满足10n n a a +≥⎧⎨≤⎩．(2)若等差数列的首项10a <，公差0d >，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩．3/ 17四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大．考向1 数列中项的最值问题已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +，求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解．思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的n 的值．【解法一】基本不等式法．n a =2156n n +=1156n n+，因为156n n +≥1562n n⨯；当且仅当156n n =，即n=156时，而，144156169<< 且n ∈N *，于是将n=12或13代人，得1213a =a 且最大．【温馨提醒】解法一是是利用基本不等式求解，解法二是通过确定⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a n 满足的的值，从而找到最大项。

高中数学--数列大题专项训练(含详解)

高中数学--数列大题专项训练（含详解）一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1.已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足*1231112()23n b b b b n n N n+++⋅⋅⋅+=∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设(1)()n n n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2.n S 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233.n n S a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若32log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.n T 3.在数列{}n a 中，111,(1n n n a a a c c a +==⋅+为常数，*)n N ∈，且1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列．(1)求证：数列1{}na 是等差数列；(2)求c 的值；(3)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n S4.在ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且11sin().214A π+=()Ⅰ求tan A 及角B 的值；()Ⅱ设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．5.在数列{}n a 中，11a =，11(1)(1)2nn n a a n n +=+++⋅(1)设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和nS 6.已知数列的各项均为正数，前项和为，且()Ⅰ求证数列是等差数列；()Ⅱ设求7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立．(1)求1a ，2a 的值；(2)设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．8.已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且2a ，3a ，7a 成等比数列．(1)求通项公式na (2)设2n a nb =，求数列n b 的前n 项和.n S 9.已知在数列{}n a 中，13a =，1(1)1n n n a na ++-=，*.n N ∈(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：1.(126n T <分)10.已知函数2(1)4f x x +=-，在等差数列{}n a 中，1(1)a f x =-，232a =-，3().a f x =(1)求x 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式.n a 11.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，1a ，3a 是函数2()109f x x x =-+的两个零点.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

数列大题训练20题

数列大题训练20题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式；（2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++．2．已知数列{}n a 是首项为114a =，公比14q =的等比数列，设1423log n n b a +=()n *∈N ，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（Ⅰ）求证：数列{}n b 成等差数列；（Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和nS ；（Ⅲ）若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．3 ．已知函数x ab x f =)( (,a b 为常数)的图象经过点11,8P ⎛⎫⎪⎝⎭和()4,8Q ．(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记()2log n a f n =,n 是正整数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，求n S 的最小值．4 ．已知()y f x =为一次函数，且(2)f 、(5)f 、(4)f 成等比数列，(8)15f =．求(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+的表达式．5．已知数列}{n a 的前n 项和)(n f 是n 的二次函数，)(n f 满足),2()2(n f n f -=+且.3)1(,0)4(-==f f（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足21++=n n n a a b ，求}{n b 中数值最大和最小的项．6．已知数列{}n a 中，12a =，且当2n ≥时，1220n n n a a ---=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．7．正数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足1n a =+，试求：（I ）数列{}n a 的通项公式；（II ）设11n n n b a a +=，数列的前n 项的和为n B ，求证：12n B <．8．已知函数)(x f =157++x x ,数列{}n a 中, 11220n n n n a a a a ++-+=，11a =，且0n a ≠，数列}{n b 中，()1n n b f a =- （1）求证：数列{na 1}是等差数列；（2）求数列}{n b 的通项公式；（3）求数列{n b }的前n 项和n S ．9．设正数数列{n a }的前n 项和n S 满足2)1(41+=n n a S ．（I ）求数列{n a }的通项公式；（II ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．10．在数列12,2,}{11+==+n nn n a a a a a 已知中（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求证：3)1()1()1(2211<-++-+-n n a a a a a a11．已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且（1）求证：数列{nna 2}是等差数列；（2）求数列{n a }的通项公式；（3）设数列{n a }的前n 项之和n S ，求证：322->n S n n． 12．设数列{}n a 的前n 项和为22n S n =，{}n b 为等比数列，且11a b =，()2211b a a b -=。

2018届人教B版 5.2 数列中的最值问题检测卷

【迁移运用】1．【2016·辽宁大连统考】数列{a n }中,如果存在a k ,使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k≥2,k∈N *),则称a k 为数列{a n }的峰值,若a n ＝－3n 2＋15n －18,则{a n }的峰值为( ) A ．0 B ．4 C.133 D.163【答案】A【解析】因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34,且n∈N *,所以当n ＝2或n ＝3时,a n 取最大值,最大值为a 2＝a 3＝0.2.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,n S 是其前n 项和,若236 a a a ，，成等比数列,且1017a =-,则2nnS 的最小值是（） A ．12- B ．58- C.38- D ．1532-【答案】A3.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,】已知在正项等比数列{}n a 中,存在两项,m n a a 14a =,且6542a a a =+,则14m n+的最小值是（） A ．32 B ．2 C. 73 D ．256【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为(0)q q >,则由6542a a a =+得220q q --=,解之得2q =或1q =-（舍去）,因为存在两项,m n a a 14a =,所以14a a =,解之得6m n +=,所以141141413()()(5)(56662n m m n m n m n m n +=++=++≥+=,当且仅当4,6n m m n m n =+=即2,4m n ==时等号成立,所以14m n +的最小值是32,故选A.4.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知数列{}n a 满足：11a =,12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是（）A ．23λ>B ．32λ>C ．32λ<D ．23λ< 【答案】D5.设a n ＝－3n 2＋15n －18,则数列{a n }中的最大项的值是( )． A.163 B.133 C ．4 D ．0【答案】D【解析】∵a n ＝－32)25(-n ＋34,由二次函数性质,得当n ＝2或3时,a n 最大,最大为0.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝13,S 3＝S 11,当S n 最大时,n 的值是( )A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】 C【解析一】由S 3＝S 11,得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0,根据等差数列的性质,可得a 7＋a 8＝0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a 7＞0,a 8＜0,故n ＝7时,S n 最大．【解析二】由S 3＝S 11,可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d,把a 1＝13代入,得d ＝－2, 故S n ＝13n －n(n －1)＝－n 2＋14n,根据二次函数的性质,知当n ＝7时,S n 最大．【解析三】根据a 1＝13,S 3＝S 11,则这个数列的公差不等于零,且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数,以及二次函数图象的对称性,得只有当n ＝3＋112＝7时,S n 取得最大值． 7.在数列{a n }中,a n ＝n － 2 013n － 2 014,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是 ( )A ．a 1,a 50B ．a 1,a 44C ．a 45,a 44D ．a 45,a 50【答案】C【解析】a n ＝n － 2 013n － 2 014＝1＋ 2 014－ 2 013n － 2 014,∴当n∈[1,44]时,{a n }单调递减,当n∈[45,100]时,{a n }单调递减, 结合函数f(x)＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.8.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知函数()()22812f x x a x a a =++++-,且()()2428f a f a -=-,设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得．由题意可得2428a a -=-或2842822a a a +-+-=⨯-（），解得a=1或a=-4,当a=-1时,2712f x x x =+-（）,数列{a n }不是等差数列；当a=-4时,24f x x x =+（）,24nS f n n n ==+（）, ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，,()22121134416122)11(2n n n n S a n n a n n ++++-++∴==-++⨯11311221212n n =⨯+++≥⎡⎤⎢⎥=+⎣⎦（）（），当且仅当1311n n +=+,即1n =时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 9. 【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月】等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为．【答案】﹣49【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, ∵S 10=10a 1+45d=0,S 15=15a 1+105d=25, ∴a 1=﹣3,d=, ∴S n =na 1+d=n 2﹣n,∴nS n =n 3﹣n 2,令nS n =f （n ）,∴f′（n ）=n 2﹣n,∴当n=时,f （n ）取得极值,当n ＜时,f （n ）递减；当n ＞时,f （n ）递增；因此只需比较f （6）和f （7）的大小即可． f （6）=﹣48,f （7）=﹣49, 故nS n 的最小值为﹣49．故答案为：﹣49．10.【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】已知数列{}n a 满足151=a ,12n na a n+-=,则na n的最小值为．【答案】27411.【2016·湖南衡阳五校联考】已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝1－14a n ,其中n∈N *.(1)设b n ＝22a n －1,求证：数列{b n }是等差数列,并求出{a n }的通项公式a n .(2)设c n ＝4a n n ＋1,数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ,是否存在正整数m,使得T n <1c m c m ＋1对于n∈N *恒成立？若存在,求出m 的最小值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2. 所以数列{b n }是等差数列,a 1＝1,b 1＝2,因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n, 由b n ＝22a n －1得a n ＝n ＋12n .(2)c n ＝2n ,c n c n ＋2＝4n （n ＋2）＝2⎝ ⎛1n －⎭⎪⎫1n ＋2, 所以T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<3, 依题意要使T n <1c m c m ＋1对于n∈N *恒成立,只需m （m ＋1）4≥3,解得m≥3或m≤－4(舍), 所以m 的最小值为3.12.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,212n n n S a a =+,n N *∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：11b =,12(2)n n n b b a n --=≥,数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ,求证：2n T <；（3）若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12n a n =（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）29λ≥ 【解析】（1）时,是以为首项,为公差的等差数列（2）,,即2nT <（3）由得, 当且仅当时,有最大值,13.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且55625S a a =+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数n 都成立,求实数k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）34n a n =-（Ⅱ）2974k -<<14.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =,且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和,且存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,求实数λ的取值范围.【答案】（1）1n a n =+；（2）1(,]16-∞. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ,则1211154520,2(2)(6),a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩即12124,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩又因为0d ≠,所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+. （2）因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++, 所以11111111233412222(2)n nT n n n n =-+-++-=-=++++ . 因为存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立, 所以存在*n N ∈,使得(2)02(2)nn n λ-+≥+成立,即存在*n N ∈,使22(2)nn λ≤+成立.又2142(2)2(4)n n n n =+++,114162(4)n n≤++（当且仅当2n =时取等号）, 所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1(,]16-∞.15.已知等差数列{}n a 满足：12a =,且1a ,2a ,5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和,是否存在正整数n,使得n S 60800n >+？若存在,求n 的最小值；若不存在,说明理由.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ,依题意,2,2d +,24d +成等比数列,故有2(2)2(24)d d +=+,化简得240d d -=,解得0d =或d =4. 当0d =时,2n a =；当d =4时,2(1)442n a n n =+-⋅=-,从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.16.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n∈N *),且S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设T n ＝S n －1S n (n∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q, 因为S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列, 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5, 即4a 5＝a 3,于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32,所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×1)21(--n ＝(－1)n －1·32n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n ＝1－n)21(-＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1<S n ≤S 1＝32,故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34＝S 2≤S n <1,故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上,对于n∈N *,总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为－712.17.【2016届上海市七校高三上12月联考】公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n ﹣10,求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．【答案】（1）a n =2n ﹣1；（2）﹣25．【解析】（1）∵公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列, 且该数列的前10项和为100,∴,∴解得a 1=1,d=2,∴a n =1+（n ﹣1）×2=2n﹣1．（2）∵b n =a n ﹣10=2n ﹣11, ∴=2﹣11=﹣9,b n ﹣b n ﹣1=（2n ﹣11）﹣[2（n ﹣1）﹣11]=2,∴数列{b n }是首项为﹣9,公差为2的等差数列, T n ==n 2﹣10n=（n ﹣5）2﹣25．∴当n=5时,数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为﹣25． 18.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a …,且()12,18,1,2,236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⎨->⎩ …,记集合{}*n M a n =∈N .（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数；（3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数. 由12,18236,18n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩…,可归纳证明对任意n k …,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >,因为12k k a a -=或1236k k a a -=-,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n …,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. （3）由136a …,*1a ∈N ,11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩…,可归纳证明()362,3,n a n = ….因为1a 是正整数,112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩…,所以2a 是2的倍数.从而当3n …时,n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数,由（2）知对所有正整数n ,n a 是3的倍数,因此当3n …时,{}12,24,36n a ∈,这时,M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数,由（2）知,对所有的正整数n ,n a 不是3的倍数,因此当3n …时,{}4,8,16,20,28,32n a ∈,这时M 的元素的个数不超过8.当11a =时,{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素.第 11 页共 11 页综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.19.设数列{}n a （1,2,3,n = ）的前n 项和n S 满足12n n S a a =-,且1a ,21a +,3a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求使得111000n T -<成立的n 的最小值.（2）由（1）可得112n n a =,所以211122111111222212n n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==-- . 由111000n T -<,得111121000n --<,即21000n >. 因为9102512100010242=<<=,所以10n …. 所以使111000n T -<成立的n 的最小值为10.。

数列竞赛习题及解答

高中数学竞赛专题讲座之数列一、选择题部分．（2006年江苏）已知数列的通项公式，则的最大项是（ B ）12343. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p，p，…，p)，P的“蔡查罗和”定义为s、s、…12n12s、的算术平均值，其中s=p+p+…p(1≤k≤n)，若数列(p，p，…，p)的“蔡查罗和”为2007，那nk12k122006么数列(1，p，p，…，p)的“蔡查罗和”为（ A ） 122006 A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a}满足3a+a=4(n≥1)，且a=9，其前n项之和为S。

则满足不等式nn+1n1n1|S-n-6|<的最小整数n是（） n125 B．6 C．7 D．8 A．5 1解：由递推式得：3(a-1)=-(a-1)，则{a-1}是以8为首项，公比为-的等比数列，n+1nn31n3nnn-1∴S-n=(a-1)+(a-1)+…+(a-1)==6-6×(-)，∴|S-n-6|=6×()<，得：3>250，n12nn3∴满足条件的最小整数n=7，故选C。

n x5．(集训试题)给定数列{x}，x=1，且x=，则= （）n1n+1n33 A．1 B．-1 C．2+ D．-2+ n333解：x=，令x=tanα，∴x=tan(α+), ∴x=x, x=1，x=2+, x=-2-, x=-1,n+1nnn+1nn+6n123432005-2+, x=2-, x=1，……，∴有。

故选A。

、b{}6、（2006陕西赛区预赛）已知数列的前n项和分别为，记则数列{}的前10项和为1010101010102f(n)7．（2006年浙江省预赛）设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如，f(2006)则＝。

记，，20061(D) 145. （ D ）记做，于是有解：将从16开始，是周期为8的周期数列。

典型数列试题及答案

典型数列试题及答案1. 题目：找出数列1, 4, 9, 16, 25, ...的第100项。

答案：数列的第n项是n^2，所以第100项是100^2 = 10000。

2. 题目：数列2, 4, 8, 16, 32, ...的通项公式是什么？答案：这是一个等比数列，首项a1=2，公比q=2。

通项公式为an =2^n。

3. 题目：数列1, 3, 6, 10, 15, ...的第20项是多少？答案：数列的第n项是1+2+...+n，即n(n+1)/2。

所以第20项是20*(20+1)/2 = 210。

4. 题目：数列-1, 2, -3, 4, -5, ...的通项公式是什么？答案：这是一个交替数列，奇数项为负，偶数项为正，通项公式为an = (-1)^n * n。

5. 题目：数列1, 2, 4, 8, 16, ...的第n项与第(n+1)项的比值是多少？答案：数列的第n项是2^(n-1)，第(n+1)项是2^n。

所以比值是2^(n-1) / 2^n = 1/2。

6. 题目：数列3, 6, 12, 24, 48, ...的第10项是多少？答案：数列的第n项是3*2^(n-1)，所以第10项是3*2^9 = 3*512 = 1536。

7. 题目：数列1, 1, 2, 3, 5, 8, ...的第10项是多少？答案：这是一个斐波那契数列，每一项是前两项的和。

第10项是55。

8. 题目：数列1, 3, 6, 10, 15, ...的通项公式是什么？答案：这是一个三角数列，第n项是1+2+...+n，即n(n+1)/2。

9. 题目：数列2, -4, 8, -16, 32, -64, ...的通项公式是什么？答案：这是一个等比数列，首项a1=2，公比q=-2。

通项公式为an = 2*(-2)^(n-1)。

10. 题目：数列1, 2, 3, 4, 5, ...的第n项与第(n+1)项的差值是多少？答案：数列的第n项是n，第(n+1)项是n+1。

二轮复习【数列专题】专题2数列的最大项与最小项微点3判断数列的最大(小)项之导数法

2． 21 2
【分析】先利用累加法求出 an＝33+n2﹣n，所以 an = 33 + n −1，设 f（n）= 33 + n −1，由此
nn
n
能导出 n＝5 或 6 时 f（n）有最小值．借此能得到 an 的最小值． n
【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当 n≥2 时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2
【典例刨析】
例 1．
1．等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知 S10 = 0 , S15 = 25，则 nSn 的最小值为
．
例 2．
2．已知数列an满足 a1
= 33, an+1
− an
=
2n, 则
an n
的最小值为__________.
例 3．（2022 浙江 6 月高考数学仿真模拟）
( ) 3．已知各项均为正数的数列an满足

（2）若 a1 = b1 0,m N*,q (1, m 2] ，证明：存在 d R ，使得| an − bn |≤ b1 对 n = 2,3, , m +1
均成立，并求d 的取值范围（用 b1, m, q 表示）．
【总结与反思】
运用导数法解答数列最值问题，较为简便、直接．我们只需先将问题转化为函数最值问
(x
1)
，则
f
(x)
=
x
x
−
20 3
，
当
x
1 ,
20 3
时，有
f
(
x)
0
；当
x
20 3
,
+
时，

2024年高考数学专项突破数列大题基础练(解析版)

数列大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足，12(1)nn n a a +=+⋅-.(1)若11a =，数列{}2n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 为等比数列，求1a .2．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）等差数列{}n a 的首项11a =，且满足2512a a +=，数列{}n b 满足2n a n b =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和是n T ，求n T .3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，3a 是1a ，11a 的等比中项.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .4．（2023·广东惠州·统考模拟预测）数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-．(1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)若n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．5．（2023·广东江门·统考一模）已知数列{}n a （N n +∈）满足11a =，133n n n a a n++=，且n n ab n =.(1)求数列{}n b 是通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .6．（2023·江苏·统考一模）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且23439a a a ++=，54323a a a =+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足n nnb a=，求{}n b 的前n 项和n T .2024年高考数学专项突破数列大题基础练（解析版）7．（2023·重庆·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()115n n na n a +-+=,且15a ≠-.(1)求证:数列5n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列,并求{}n a 的通项公式;(2)若使不等式20n S >成立的最小整数为7,且1Z a ∈,求1a 和n S 的最小值.8．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，12n n a n S n+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记12nn na c =-，数列{}nc 的前n 项和为n T ，求12111n T T T ++⋅⋅⋅+的值．9．（2023·山东青岛·统考一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，2S ，4S ，54S +成等差数列，2a ，4a ，8a 成等比数列．(1)求n S ；(2)记数列{}n b 的前n 项和为n T ，22n n n n b T S +-=，证明数列1n n b S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求{}n b 的通项公式．10．（2023·山东济南·一模）已知数列{}n a 满足111,(1)1n n a na n a +=-+=．(1)若数列{}n b 满足1nn a b n+=，证明：{}n b 是常数数列；(2)若数列{}n c 满足πsin 22n an n c a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求{}n c 的前2n 项和2n S ．11．（2022·辽宁鞍山·统考一模）已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .12．（2023·广东·统考一模）已知各项都是正数的数列{}n a ，前n 项和n S 满足()2*2n n n a S a n =-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)记n P 是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，n Q 是数列121n a -⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和.当2n ≥时，试比较n P 与n Q 的大小.13．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）从①12n a S n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②23S a =，412a a a =；③12a =，4a 是2a ，8a 的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 不等于零，______．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若122n n n b S S +=-，数列{}n b 的前n 项和为n W ，求n W ．14．（2022·广东珠海·珠海市第三中学统考二模）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，1221n n n a b n -+=+-，221n n n T S n -=--．(1)求11,a b 及数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设()*21N 2n n n a n k c k b n k=-⎧=∈⎨=⎩，，，求数列{}n c 的前2n 项和2n P ．15．（2022·云南大理·统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1121,1nn S a a n+==-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2,,23,,n n n C n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，求数列{}n C 的前2n 项和2n T ．16．（2022·湖南永州·统考一模）已知数列{}{},n n a b 满足：111a b ==，且210n n n n a b a b ++-=.(1)若数列{}n a 为等比数列，公比为121,2q a a -=，求{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n a 为等差数列，11n n a a +-=，求{}n b 的前n 项和n T .17．（2022·广东韶关·统考一模）已知数列{}n a 的首项145a =，且满足143n n n a a a+=+，设11nnb a =-.(1)求证：数列{}n b 为等比数列；(2)若1231111140na a a a ++++> ，求满足条件的最小正整数n .18．（2022·河北·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且1123n n n S S a +++=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)①3log n n nb a a =；②3321log log n n n b a a +=⋅；③3log n n n b a a =-．从上面三个条件中任选一个，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（2022·广东广州·统考一模）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知数列{}n a ，若_________________．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．①2123n a a a a n ++++= ；②11a =，47a =，()*112,2n n n a a a n n -+=+∈N ≥；③11a =，点(),n A n a ，()11,n B n a ++在斜率是2的直线上．21．（2023·江苏南通·二模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为，且11a =，2218n n S S n +-=，*N n ∈．(1)求n S ；(2)在数列{}n a 的每相邻两项1k k a a +，之间依次插入12k a a a ⋯，，，，得到数列{}1121231234n b a a a a a a a a a a ⋯⋯：，，，，，，，，，，，求{}n b 的前100项和.22．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）已知数列{}n a 满足()1122n n n a a a n -+=+≥，且12342,18a a a a =++=(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1000na nb =-，求数列{}n b 的前15项和15T （用具体数值作答）.23．（2023·安徽·模拟预测）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．24．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知{}n a 为等差数列，1154,115n n a n a a n+-==+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()1,414n n n n b T a a =++为{}n b 的前n 项和，求n T .25．（2023·广东广州·统考二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22*n n S a n =-∈N .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2211log log n n n b a a +=⋅，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <.26．（2023·江苏泰州·统考一模）在①124,,S S S 成等比数列，②4222a a =+，③8472S S S =+-这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，且满足__________，__________.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求12233411111n n a a a a a a a a +++++ .注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.27．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列{}n a ，前n 项和为n S ，且满足112n n n a a a +-=-，2n ≥，*N n ∈，1514a a +=，770S =，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且12,6b b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n P ．28．（2023·吉林·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()112n nn nn a b a a +-+=，求数列{}nb 的前2n 项和2nT .29．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a >，22112n n n n a a a a ++=+，且13a ，23a +，3a 成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12,log ,n n na nb a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .30．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知数列{}n a 满足：15a =，134n n a a +=-，设2n n b a =-，*N n ∈．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设3132312log log log n n nb b b T b b b =++⋅⋅⋅+，()*N n ∈，求证：34n T <．数列大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足，12(1)nn n a a +=+⋅-.(1)若11a =，数列{}2n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 为等比数列，求1a .【答案】(1)21n a =-；(2)11a =.【分析】（1）利用累加法求2n a 即可；（2）根据()121nn n a a +=+⋅-得到212a a =-，322a a =+，联立得到1q =-，然后代入求1a 即可.【详解】（1）由题意得()121nn n a a +-=⋅-，所以()()()22212122211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()()212212121211n n --=⋅-+⋅-++⨯-+ 211=-+=-.（2）设数列{}n a 的公比为q ，因为()121nn n a a +=+⋅-，所以212a a =-，322a a =+，两式相加得2311a a q a =⋅=，所以1q =±，当1q =时，2112a a a ==-不成立，所以1q =-，2112a a a =-=-，解得11a =.2．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）等差数列{}n a 的首项11a =，且满足2512a a +=，数列{}n b 满足2n a n b =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和是n T ，求n T .【答案】(1)21n a n =-；3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，3a 是1a ，11a 的等比中项.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设3n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .4．（2023·广东惠州·统考模拟预测）数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-．(1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)若n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．5．（2023·广东江门·统考一模）已知数列{}n a （N n +∈）满足11a =，133n n n a a n++=，且n n ab n =.(1)求数列{}n b 是通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】(1)13n n b -=6．（2023·江苏·统考一模）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且23439a a a ++=，54323a a a =+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足n nb a =，求{}n b 的前n 项和n T .7．（2023·重庆·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()115n n na n a +-+=,且15a ≠-.(1)求证:数列5n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列,并求{}n a 的通项公式;(2)若使不等式20n S >成立的最小整数为7,且1Z a ∈,求1a 和n S 的最小值.8．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，2n n S n=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记12nn na c =-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求111T T T ++⋅⋅⋅+的值．9．（2023·山东青岛·统考一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，2S ，4S ，54S +成等差数列，2a ，4a ，8a 成等比数列．(1)求n S ；(2)记数列{}n b 的前n 项和为n T ，22n n n n b T S +-=，证明数列1n n b S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求{}n b 的通项公式．10．（2023·山东济南·一模）已知数列{}n a 满足111,(1)1n n a na n a +=-+=．(1)若数列{}n b 满足1nn a b n+=，证明：{}n b 是常数数列；(2)若数列{}n c 满足πsin 22n an n c a ⎛⎫=+ ⎪，求{}n c 的前2n 项和2n S ．11．（2022·辽宁鞍山·统考一模）已知等差数列{}n a 满足首项为333log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .12．（2023·广东·统考一模）已知各项都是正数的数列{}n a ，前n 项和n S 满足()2*2n n n a S a n =-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)记n P 是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，n Q 是数列121n a -⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和.当2n ≥时，试比较n P 与n Q 的大小.【答案】(1)n a n =(2)n nP Q <13．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）从①12n S n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②23S a =，412a a a =；③12a =，4a 是2a ，8a 的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 不等于零，______．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若122n n n b S S +=-，数列{}n b 的前n 项和为n W ，求n W ．14．（2022·广东珠海·珠海市第三中学统考二模）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，1221n n n a b n -+=+-，221n n n T S n -=--．(1)求11,a b 及数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设()*21N 2n n n a n k c k b n k=-⎧=∈⎨=⎩，，，求数列{}n c 的前2n 项和2n P ．15．（2022·云南大理·统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111,1nn a a n+==-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2,,23,,n n n C n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，求数列{}n C 的前2n 项和2n T ．16．（2022·湖南永州·统考一模）已知数列{}{},n n a b 满足：111a b ==，且210n n n n a b a b ++-=.(1)若数列{}n a 为等比数列，公比为121,2q a a -=，求{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n a 为等差数列，11n n a a +-=，求{}n b 的前n 项和n T .17．（2022·广东韶关·统考一模）已知数列{}n a 的首项15a =，且满足13n n n a a +=+，设1n nb a =-.(1)求证：数列{}n b 为等比数列；(2)若1111140a a a a ++++> ，求满足条件的最小正整数n .18．（2022·河北·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且1123n n n S S a +++=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)①3log n n n b a a =；②3321log log n n n b a a +=⋅；③3log n n n b a a =-．从上面三个条件中任选一个，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（2022·广东广州·统考一模）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知数列{}n a ，若_________________．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．①2123n a a a a n ++++= ；②11a =，47a =，()*112,2n n n a a a n n -+=+∈N ≥；③11a =，点(),n A n a ，()11,n B n a ++在斜率是2的直线上．21．（2023·江苏南通·二模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为，且11a =，2218n n S S n +-=，*N n ∈．(1)求n S ；(2)在数列{}n a 的每相邻两项1k k a a +，之间依次插入12k a a a ⋯，，，，得到数列{}1121231234n b a a a a a a a a a a ⋯⋯：，，，，，，，，，，，求{}n b 的前100项和.22．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）已知数列{}n a 满足()1122n n n a a a n -+=+≥，且12342,18a a a a =++=(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1000na nb =-，求数列{}n b 的前15项和15T （用具体数值作答）.()()1061022166490300022-==--+23．（2023·安徽·模拟预测）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．24．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知{}n a 为等差数列，11,115n n a a n+==+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()1,414n n b T a a =++为{}n b 的前n 项和，求n T .25．（2023·广东广州·统考二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22*n n S a n =-∈N .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1log log n b a a =⋅，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <.26．（2023·江苏泰州·统考一模）在①124,,S S S 成等比数列，②4222a a =+，③8472S S S =+-这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，且满足__________，__________.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求12233411111n n a a a a a a a a +++++ .注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.27．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列{}n a ，前n 项和为n S ，且满足112n n n a a a +-=-，2n ≥，*N n∈，1514a a +=，770S =，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且12,6b b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n P ．28．（2023·吉林·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，数列n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()112n n n n n a b a a +-+=，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .29．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a >，22112n n n n a a a a ++=+，且13a ，23a +，3a 成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12,log ,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .30．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知数列{}n a 满足：15a =，134n n a a +=-，设2n n b a =-，*N n ∈．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设31323log log log n n b b b T b b b =++⋅⋅⋅+，()*N n ∈，求证：34n T <．。

高中数学-数列-99道大题-带答案-

数列综合大题1、在数列中，已知（.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）求数列的前项和.2、己知数列的前n项和为，，当n≥2时，，，成等差数列. （1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数.3、已知等比数列中，求的通项公式；令求数列{}的前项和4、数列中，，（是不为零的常数，），且成等比数列．(1)求的值；(2)求的通项公式； (3)若数列的前n项之和为，求证∈。

5、四川省广元市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)到2013年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%吗？为什么(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)6、设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a 9 =－2，S 8 =2.（1）求首项a1和公差d的值；（2）当n为何值时，S n最大？并求出S n的最大值.7、设数列的前项和为，，.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ）设是数列的前项和，求．8、设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n满足且（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式：（Ⅱ）设T n为数列{S n}的前n项和，求T n．9、已知数列的前项和（为正整数）。

（1）令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，，求使得成立的最小正整数，并证明你的结论.10、已知等差数列满足：（1）求数列的前20项的和；（2）若数列满足：，求数列的前项和.11、数列{}的前n项和为，，．（1）设，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，．求不超过的最大整数的值。

数列的最值题库

数列的最值题库【基本不等式求最值】1 若函数212,22x y x x +=>-+，则函数的最小值_________解：221241616244222x x y x x x x +-+===++-≥+++2若数列{}n a 中，212,2n n a n N n *+=∈+，则数列{}n a 中的项的最小值为_________变式1 4；3 已知*2()156n n a n N n =∈+，则在{}n a 最大项为 . 变式2125解：nn n n a n 15611562+=+=，1562156≥+n n，当且仅当n 时取等号，则1213n ≤≤，将它们代入得251312156=+≥+nn 。

4 已知数列{}n a 中，n a =23464n n n ++，n a 的值最大值是变式3 150 ；解：n a =16434n n++150≤，且当且仅当64n n =，即n=8时，n a 的值最大值是150。

5公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,73n a a ==，则n d +的最小值等于．【解析】11,73n a a ==，721d n ∴=-，721d n n n ∴+=+-72(1)11n n =+-+-，∴9n =时，n d +取得最小值18.6..已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =，则nm 41+的最小值为A 解：因为765=2a a a +，所以2555=2a q a q a +，即220q q --=，解得2q =．若存在两项,n m a a，有14a =，即2116m n a a a =，2221116m n a q a +-=，即2216m n +-=，所以24m n +-=，即6m n +=，即16m n+=．所以14141413()()(5)6662m n m n m n m n n m ++=+=++≥，当且仅当4=m nn m 即224,2n m n m ==取等号，此时63m n m +==，所以2,4m n ==时取最小值，所以最小值为32，选A. 7 已知实数x ，1a ，2a ，y 成等差数列，实数x ，1b ，2b ，y 成等比数列，则21212()a a b b +的取值范围是 .(,0][4,)-∞+∞ 【解析】22221212()()22a a x y x y xy x yb b xy xy y x++++===++,当x,y 同号时，24x y y x ++≥，当x,y 异号时，2220x yy x++≤-+=，故所求的取值范围是(,0][4,)-∞+∞．【函数图像】 1. 已知()*3211n a n n =∈-N ，求数列{}n a 是否有最小项或最大项。

数列极限计算练习题

数列极限计算练习题数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数字组成。

而数列极限是指数列随着项数增加，逐渐趋向于某个确定的值。

在数学中，我们经常需要计算数列的极限，这是一个能够帮助我们深入理解数列性质的重要工具。

本文将为您提供一些数列极限计算的练习题，希望可以帮助您提升数列极限计算的能力。

练习一：求极限1. 设数列 $a_n = \frac{n+3}{n+1}$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。

解析：为了求得该数列的极限，我们可以对数列进行简化，将其化简为一个更容易计算的形式。

通过观察数列，我们可以发现分子和分母的最高次数都为$n$，因此我们可以用$n$去除分子和分母，得到：$a_n = \frac{n+3}{n+1} = \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$当$n$趋近于无穷大时，分数$\frac{3}{n}$和$\frac{1}{n}$的值都趋近于0，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1+0}{1+0} = 1$因此，数列 $a_n$ 的极限为1。

2. 设数列 $b_n = \frac{n^2 - 2n + 1}{n^2 + 1}$，求 $\lim_{n \to \infty} b_n$。

解析：我们可以将分子和分母进行因式分解，得到：$b_n = \frac{(n-1)^2}{n^2+1}$当$n$趋近于无穷大时，$(n-1)^2$和$n^2$的值都趋近于无穷大，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\infty}{\infty}$对于这种形式的极限计算，我们可以利用洛必达法则。

洛必达法则可以用于解决形式为$\frac{\infty}{\infty}$的不定型，即分子和分母都趋近于无穷大的情况。

高考数列基本题型三数列中的最值问题

高考数列基本题型三.数列中的最值问题1．（2020•北京）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记T n＝a1a2…a n（n＝1，2，…），则数列{T n}（）A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝﹣9，a5＝﹣1，得d=aa5−aa15−1=−1−(−9)4= 2，∴an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11．由a n＝2n﹣11＝0，得n=112，而n∈N*，可知数列{a n}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知T1＝﹣9＜0，T2＝63＞0，T3＝﹣315＜0，T4＝945＞0为最大项，自T5起均小于0，且逐渐减小．∴数列{T n}有最大项，无最小项．故选：B．2．（2019•北京）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝﹣3，S5＝﹣10，则a5＝0，S n的最小值为﹣10．【解答】解：设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝﹣3，S5＝﹣10，∴�aa1+dd=−35aa1+5×42dd=−10，解得a1＝﹣4，d＝1，∴a5＝a1+4d＝﹣4+4×1＝0，S n=nnaa1+nn(nn−1)2dd=−4n+nn(nn−1)2=12（n−92）2−818，∴n＝4或n＝5时，S n取最小值为S4＝S5＝﹣10．故答案为：0，﹣10．3．（2017•全国）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝4，S5≥S4≥S6，则公差d的取值范围是（）A．[−1，−89]B．[−1，−45]C．[−89，−45]D．[﹣1，0]【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝4，S5≥S4≥S6，∴�SS5≥SS4SS4≥SS6，∴�5aa1+5×42dd≥4aa1+4×32dd4aa1+4×32dd≥6aa1+6×52dd，∴�4≥−4dd−8≥9dd，解得﹣1≤d≤−89．∴公差d的取值范围是[﹣1，−89]．故选：A．4．（2014•北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大．【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9＝3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10＝a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．5．（2016•新课标Ⅰ）设等比数列{a n}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a1a2…a n的最大值为64．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，可得q（a1+a3）＝5，解得q=12．a1+q2a1＝10，解得a1＝8．则a1a2…a n＝a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）＝8n•(12)nn(nn−1)2=23nn−nn2−nn2=27nn−nn22，当n＝3或4时，表达式取得最大值：2122=26＝64．故答案为：64．。

高中数学专题09：数列通项、求和、范围与最值问题试题(含解析)

故选：B
2．（2023·全国·模拟预测）已知数列an 的前 n 项积为 Tn ，若 an 2an1 0 ， n N ，且
a3 a5 24 ，则使 Tn 最大的正整数 n 的值为（）
A．7
B．8
C．15
D．16
【答案】B
【解析】易知 an
0 ，因为 an
2an1
0 ， n N ，所以
an1 an
a1
2a2
0
，
S3
9 8
，且
a
Sn
a
2 ，则实数
a
的取值范围是（
）
A．
1 2
,
0
B．
1 2
,
3 4
C．
3 4
,
3 2
D．
0,
3 2
【答案】B
【解析】设等比数列an的公比为 q，
因为
a1
2a2
0
，
S3
9 8
，
所以
a1 (1
a1
(1
2q) q q2
0 )
9 8
，解得
a1
3 2
,q
1 2
，
D．9 阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为 396
【答案】D
【解析】根据 n 阶幻方的定义，n 阶幻方的数列有 n2 项，为首项为 1，公差为 1 的等差数列，
( ) 故 Sn =
1+ n2 2
n2 ，每行、每列、每条对角线上的数的和均为 Sn . n
对 A， S6
1 62 2
62
666 ，A 对；
对 B，7 阶幻方有 7 行 7 列，故第 4 行第 4 列的数字该数列的中间值，即 1+ 72 = 25 ，B 对； 2