求数列通项公式的方法(教案例题习题)

求数列的通项公式的方法
1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，
2
55a S =．求数列{}n a 的通项公式.
解：设数列{}n a 公差为)0(>d d
∵931,,a a a 成等比数列，∴912
3a a a =，
即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12
=⇒
∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①
∵2
55a S = ∴211)4(2
4
55d a d a +=⋅⨯+
…………② 由①②得：531=
a ，5
3=d ∴n n a n 5
353)1(53=⨯-+=
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

练一练：已知数列 ,32
1
9,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________；
2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++
+=）求n a ，用作差法：
{
11,(1)
,(2)
n n n S n a S S n -==-≥。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n
n n ．求数列{}n a 的通
项公式。

解：由1121111=⇒-==a a S a
当2≥n 时，有
,)1(2)(211n
n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-
,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-
].)1(2[3
2
3
]
)2(1[2)
1(2
)]2()2()2[()1(21211
211--------+=----=-++-+--+=n n n n
n n n n n
经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3
212
---+=
n n n a 点评：利用公式⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2
1
1n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若
能合写时一定要合并．
练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ；
②数列{}n a 满足1115
4,3
n n n a S S a ++=+=
，求n a ；
3.作商法：已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)()
,(2)
(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2
321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ；
4.累加法：
若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。

例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211
，求n a 。

解：由条件知：1
1
1)1(1121+-=+=+=
-+n n n n n n a a n n
分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即
)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=
所以n
a a n 1
11-=-
211=a ，n
n a n 1231121-=-+=∴
如已知数列{}n a 满足11a =，n
n a a n n ++=
--111(2)n ≥，则n a =________ ；
5.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：12
112
1
n n n n n a a
a a a a a a ---=⋅⋅⋅
⋅(2)n ≥。

例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 1
1+=
+，求n a 。

解：由条件知
1
1+=+n n
a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即
1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n
n 1
433221-⨯
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ，n
a n 32=∴
如已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2
=，求n a
6.已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

（1）形如1n n a ka b -=+、1n
n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法
转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

①1n n a ka b -=+解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中
p
q
t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即
321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且
23
3
11=++=++n n n n a a b b 所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则1
1224+-=⨯=n n n b ,所以
321-=+n n a .
②1n n n a ka b -=+解法：该类型较类型3要复杂一些。

一般地，要先在原递推公
式两边同除以1
+n q
，得：
q q a q p q a n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}n b （其中n
n
n
q a b =），得：q
b q p b n n 1
1+=
+再应用1n n a ka b -=+的方法解决.。

例6. 已知数列{}n a 中，651=
a ,1
1)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。

解：在11
)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3
2
211+∙=∙++n n n n a a
令n n
n a b ∙=2，则1321+=
+n n b b ,应用例7解法得：n n b )3
2(23-= 所以n
n n
n n b a )31(2)21(32
-==
练一练①已知111,32n n a a a -==+，求n a ；
②已知111,32n
n n a a a -==+，求n a ；
（2）形如1
1n n n a a ka b
--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

例7：1,1
3111
=+⋅=
--a a a a n n n
解：取倒数：
1
1113131---+=+⋅=n n n n a a a a ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是等差数列，3)1(111⋅-+=n a a n 3)1(1⋅-+=n 231
-=⇒n a n
练一练：已知数列满足1a =1
=n a ；
数列通项公式课后练习
1已知数列{}n a 中，满足a 1＝６，a 1+n +1=2(a n +1) （n ∈N +
）求数列{}n a 的通项公式。

2已知数列{}n a 中，a n ＞0,且a 1＝３，1+n a ＝n a ＋１ （n ∈N +
）
3已知数列{}n a 中，a 1＝３，a 1+n ＝2
1a n ＋１（n ∈N +
）求数列{}n a 的通项公式
4已知数列{}n a 中，a 1＝１，a 1+n ＝3a n ＋２，求数列{}n a 的通项公式
5已知数列{}n a 中，a n ≠０，a 1＝21，a 1+n ＝n
n a a 21+ （n ∈N +
） 求a n
6设数列{}n a 满足a 1=4，a 2=2，a 3=1 若数列{}n n a a -+1成等差数列，求a n
7设数列{}n a 中，a 1=2，a 1+n =2a n +1 求通项公式a n
8已知数列{}n a 中，a 1=1，2a 1+n = a n + a 2+n 求a n。