走向高考·一轮总复习人教A版数学 文科10-4

基础巩固强化1.(文)(2011·长沙调研)甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么( )A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 [答案] B[解析] ∵互斥事件一定是对立事件，∴甲⇒乙，但对立不一定互斥，∴乙⇒/ 甲，故选B.(理)袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个 ①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球． 在上述事件中，是对立事件的为( )A ．①B ．②C ．③D ．④ [答案] B[解析] ∵“至少一个白球”和“全是黑球”不可能同时发生，且必有一个发生．2．(文)甲、乙两人随意入住两个房间，则甲乙两人恰住在同一间房的概率为( )A.13B.12C.14 D ．1[答案] B[解析] 将两个房间编号为(1,2)，则所有可能入住方法有：甲住1号房，乙住2号房，甲住2号房，乙住1号房，甲、乙都住1号房，甲、乙都住2号房，共4种等可能的结果，其中甲、乙恰住在同一房间的情形有2种，∴所求概率P ＝12.(理)从集合{1,3,6,8}中任取两个数相乘，积是偶数的概率是( ) A.56 B.23 C.12 D.13[答案] A[解析] 所有可能取法有{(1,3)，(1,6)，(1,8)，(3,6)，(3,8)，(6,8)}，只有(1,3)构不成积是偶数，∴P ＝56，故选A.3．(2012·皖南八校第三次联考)某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115B.35C.815D.1415 [答案] B[解析] 记4听合格的饮料分别为A 1、A 2、A 3、A 4,2听不合格的饮料分别为B 1、B 2，则从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝915＝35，选B.4．(文)(2011·安徽“江南十校”联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间有来自A 大学2名和B 大学4名的大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115B.25C.35D.1415[答案] C[解析] 若这2名大学生来自两所大学，则P 1＝2×415＝815；若这2名大学生均来自A 大学，则P 2＝115.故至少有一名A 大学生志愿者的概率是815＋115＝35.[点评] 由对立事件概率公式知，有另解P ＝1－615＝35.(理)(2012·山西联考)连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角记为α，则α∈(0，π4)的概率为( )A.518B.512C.12D.712[答案] B[解析] 依题意得，连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，可得到的向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36个，由向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈(0，π4)得n <m ，向量a ＝(m ，n )可根据n 的取值分类计数：当n ＝1时，m 有5个不同的取值；当n ＝2时，m 有4个不同的取值；当n ＝3时，m 有3个不同的取值；当n ＝4时，m 有2个不同的取值；当n ＝5时，m 有1个值，因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈(0，π4)的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15个，所以所求的概率等于1536＝512，选B.[点评] m ＝n 有6个，m >n 与m <n 的一样多，有12(36－6)＝15个．或从1到6中任取两数，小的为n ，共有C 26＝15种．5．(2011·大连模拟)一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.9100 B.25 C.3100 D.425[答案] D[解析] 0～9这十个数字键，任意敲击两次共有10×10＝100种不同结果，在0～9中是3的倍数的数字有0,3,6,9，敲击两次都是3的倍数共有4×4＝16种不同结果，∴P ＝16100＝425.6．(2012·安徽文，10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.45[答案] B[解析] 1个红球记作R,2个白球记作B 1、B 2,3个黑球记作H 1、H 2、H 3，则从中任取2个球的所有方法种数有如下15种：RB 1，RB 2，RH 1，RH 2，RH 3，B 1B 2，B 1H 1，B 1H 2，B 1H 3，B 2H 1，B 2H 2，B 2H 3，H 1H 2，H 1H 3，H 2H 3，而两球颜色为一黑一白的种数有如下6种：B 1H 1，B 1H 2，B 1H 3，B 2H 1，B 2H 2，B 2H 3，所以所求概率为615＝25.[点评] 准确求出古典概型概率公式p ＝mn 中的m 、n 是解题关键，通常有列举法、树状图法、坐标系法等．7．(文)某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．[答案] 14[解析] 每人用餐有两种情况，故共有23＝8种情况．他们在同一食堂用餐有2种情况，故他们在同一食堂用餐的概率为28＝14.(理)抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则xy 为整数的概率是________．[答案] 12[解析] 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x ，y记作有序实数对(x ，y )，共包含16个基本事件，其中xy 为整数的有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求概率为P ＝816＝12.8．(2011·广东高州模拟)某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两队夺取冠军的概率分别是37和14，则该市足球队夺得全省足球冠军的概率是________．[答案] 1928[解析] 设事件A ：甲球队夺得全省足球冠军，B ：乙球队夺得全省足球冠军，事件C ：该市足球队夺得全省足球冠军．依题意P (A )＝37，P (B )＝14，且C ＝A ＋B ，事件A 、B 互斥，所以P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝37＋14＝1928.9．(文)(2012·宁夏三市联考)将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．[答案] 512[解析] 圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b2，当d <2时，直线与圆相交，解|2a |a 2＋b 2<2得b >a ，满足题意的b >a 共有15种情况，又易知将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b 的基本情况共有36种，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为P ＝1536＝512.(理)已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx －y ＝0，若m 在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数，则双曲线的离心率大于3的概率是________．[答案] 79[解析] e >3，即ca >3，∴a 2＋b 2a 2>9， ∴ba >22，即m >22，∴m 可取值3,4,5,6,7,8,9，∴p ＝79.10．(2012·河南六市模拟)某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[50,60)，第二组[60,70)，…，第五组[90,100]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；(2)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m－n|>10”的概率．[解析](1)由直方图知，成绩在[60,80)内的人数为50×10×(0.018＋0.040)＝29，所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．(2)由直方图知，成绩在[50,60)的人数为50×10×0.004＝2，设成绩为x、y；成绩在[90,100]的人数为50×10×0.006＝3，设成绩为a、b、c，若m，n∈[50,60)，则只有xy一种情况．若m，n∈[90,100]，则有ab，bc，ac三种情况，若m，n分别在[50,60)和[90,100]内，则有a b cx xa xb xc共6种情况．y ya yb yc所以基本事件总数为10种，事件“|m－n|>10”所包含的基本事件有6种，∴P(|m－n|>10)＝610＝35.[点评](1)在频率分布直方图中，组距是一个固定值，各矩形面积和为1；(2)通过频率分布直方图的识读获取信息是解决这一类问题的关键.能力拓展提升11.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()A.25B.710 C.35 D.910[答案] C [解析]x－甲＝87＋88＋90＋92＋935＝90，x －乙＝83＋85＋87＋x ＋995.由x －甲>x －乙，得x <96，故被污损的数字可能是0,1，…，5，共6个数字，故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为610＝35.12．(文)(2011·滨州月考)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝5下方的概率为( )A.16B.14 C.112 D.19[答案] A[解析] 试验是连续掷两次骰子．故共包含6×6＝36个基本事件．事件“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝5下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件，故P ＝636＝16.(理)(2012·河南质量调研)在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝13x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为( )A.79B.59 C.49 D.29[答案] A[解析] 由已知a 、b 在区间[0,1]上，所以f ′(x )＝x 2＋a ≥0，函数f (x )在[－1,1]内是增函数，∵f (x )在[－1,1]上有且仅有一个零点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－13－a －b ≤0，f (1)＝13＋a －b ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋13≥0，a －b ＋13≥0.在坐标平面aOb 中，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋13≥0，a －b ＋13≥0，表示的平面区域，易知，这两个不等式组表示的平面区域的公共区域的面积等于12－12×(1－13)×23＝79，而不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，表示的平面区域的面积为1，因此所求的概率等于79，选A.13．(2012·龙岩质检)若在区间[－5,5]内随机地取出一个数a ，则1∈{x |2x 2＋ax －a 2>0}的概率为________．[答案] 310[解析] ∵1∈{x |2x 2＋ax －a 2>0}，∴a 2－a －2<0，∴－1<a <2，故所求概率为P ＝310.14．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，只有一个解的概率为________．[答案] 1112[解析] 点(a ，b )取值的集合共有6×6＝36(个)元素．方程组只有一个解等价于直线ax ＋by ＝3与x ＋2y ＝2相交，即a 1≠b 2，即b ≠2a ，而满足b ＝2a 的点只有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3x ＋2y ＝2只有一个解的概率为3336＝1112. 15．(文)(2011·山东济南一模)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率；(2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．[解析] (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件有：(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)．共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．故P (A )＝212＝16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2－1≤y ≤1， B ＝(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y .，作出可行域如图，可得P (B )＝μB μΩ＝12×(12＋32)×23×2＝13. (理)已知直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：ax －by ＋1＝0，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}．(1)求直线l 1∥l 2的概率；(2)求直线l 1与l 2的交点位于第一象限的概率．[解析] (1)由题知，直线l 1的斜率为k 1＝12，直线l 2的概率为k 2＝a b .记事件A 为“直线l 1∩l 2＝∅”．a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}的基本事件空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，…，(5,6)，(6,6)}，其中共有36个基本事件．若l 1∥l 2，即k 1＝k 2，则有b ＝2a .满足条件的实数对(a ，b )有(1,2)、(2,4)、(3,6)，共3种情形．所以P (A )＝336＝112.即直线l 1∥l 2的概率为112.(2)设事件B 为“直线l 1与l 2的交点位于第一象限”，由于直线l 1与l 2有交点，所以b ≠2a .由⎩⎪⎨⎪⎧ ax －by ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝b ＋2b －2a ，y ＝a ＋1b －2a .因为直线l 1与l 2的交点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋2b －2a >0，a ＋1b －2a >0.解得b >2a .∵a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，∴基本事件总数共有36种．满足b >2a 的有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，∴P ＝636＝16，即直线l 1与l 2交点在第一象限的概率为16.16．(文)已知实数a ，b ∈{－2，－1,1,2}．(1)求直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率；(2)求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率．[解析] 由于实数对(a ，b )的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)共16种．(1)设“直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限”为事件A若直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限，则必须满足a ≥0，b ≥0，则事件A 包含4个基本事件，∴P (A )＝416＝14，∴直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率为14.(2)设“直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点”为事件B ，则需满足|b |a 2＋1≤1，即b 2≤a 2＋1， ∴事件B 包含12个基本事件，∴P (B )＝1216＝34，∴直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为34.(理)(2011·山东聊城模拟)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工的体重不轻于73kg(≥73kg)的职工中随机抽取2名，求体重为76kg 的职工被抽取到的概率．[解析] (1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码为2，抽出的10名职工的号码分别为：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为x －＝110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71所以样本方差为：s 2＝110(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)解法1：从10名职工中的体重不轻于73kg 的职工中随机抽取2名，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．设A 表示“抽到体重为76kg 的职工”，则A 包含的基本事件有4个：(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，故所求概率为P (A )＝410＝25.解法2：10名职工中，体重不轻于73kg 的职工有5名，从中任取2名有C 25＝10种不同取法，其中体重76kg 的职工被抽到的有4种取法，∴所求概率P ＝410＝25.1．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为920，那么参加这次联欢会的教师共有( )A ．360人B ．240人C ．144人D ．120人 [答案] D[解析] 设到会男教师x 人，则女教师为x ＋12人，由条件知，x x ＋(x ＋12)＝920，∴x ＝54，∴2x ＋12＝120，故选D. 2．(2011·温州八校期末)已知α、β、γ是不重合平面，a 、b 是不重合的直线，下列说法正确的是( )A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件B ．“若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α”是必然事件C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件[答案] D[解析] ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α，故A 错； ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题．3．(2011·奉贤区检测)在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为( )A.15B.12C.23D.45[答案] D[解析] 因为文艺书只有2本，所以选取的3本书中必有科技书，这样问题就等价于求选取的3本书中有文艺书的概率．设4本不同的科技书为a ，b ，c ，d,2本不同的文艺书为e ，f ，则从这6本书中任选3本的可能情况有：(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，b ，e )，(a ，b ，f )，(a ，c ，d )，(a ，c ，e )，(a ，c ，f )，(a ，d ，e )，(a ，d ，f )，(a ，e ，f )，(b ，c ，d )，(b ，c ，e )，(b ，c ，f )，(b ，d ，e )，(b ，d ，f )，(b ，e ，f )，(c ，d ，e )，(c ，d ，f )，(c ，e ，f )，(d ，e ，f )，共20种，记“选取的3本书中有文艺书”为事件A ，则事件A －包含的可能情况有：(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，c ，d )，(b ，c ，d )，共4种，故P (A )＝1－P (A －)＝1－420＝45.4．已知a 、b 、c 为集合A ＝{1,2,3,4,5,6}中三个不同的数，如下框图给出的一个算法运行后输出一个整数a ，则输出的数a ＝5的概率是( )A.130B.15C.310D.12 [答案] C[解析] 由程序框图知，输入a 、b 、c 三数，输出其中的最大数，由于输出的数为5，故问题为从集合A 中任取三个数，求最大数为5的概率，∴P ＝620＝310.。