沪科版九年级(上)22.2 相似三角形判定经典题型

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沪科版九年级上册数学教学课件第22章相似形相似三角形的判定第1课时相似三角形

求证：△ADE∽△DCF.
证明：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB.
∵DF∥AB，
∴△DCF∽△ACB. ∴△ADE∽△DCF.
课堂小结
相似三角形的性质
三个角对应相等，三条边对应成比例的三角形相似
相似三角形
利用平行判定三角形相
似
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
得到图形是否与原图形相似？
课程讲授
1 相似三角形的有关概念
问题1：相似多边形中，最简单的就是相似三角形，试着根据相似多边形的定义，归纳出相似三角形的定义.
A
A1
B
C B1
C1
∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1
AB wk.baidu.com BC = CD A1B1 B1C1 C1D1
课程讲授
1 相似三角形的有关概念
课程讲授
2 利用平行判定三角形相似
练一练：如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC
上，DE∥BC,若BD=2AD，则下列结论正确的是（B ）
A.
AD 1 AB 2
B. AE 1
EC 2
C. AD 1
EC 2
D. DE 1
BC 2
课程讲授
1 相似三角形的有关概念
练一练：如图，△ABC∽△AED,∠AED=∠B,那么下

上海沪科版初中数学九年级上册22.2 第5课时判定两个直角三角形相似ppt课件

.
且∠C=∠C′=90°,
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
2.如图，已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∠A=∠A′=90°， AD，A′D′分别是两个三角形斜边上的高，且 CD∶C′D′=AC∶A′C′
请说明：△ABC∽△A′B′C′．
解： ∠ADC ∠A' D' C', CD AC , C' D' A' C'
∴ ∠B=65°， ∴ ∠B=∠B′=65°, ∠C=∠C′=90°, ∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
（2）AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8；
（2）∵AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8，
AC A'C'
3 6
1 2
BC , B'C'
4 8
1, 2
AC A'C'
BC B'C'
=
3 =
6
1 .
2
AC 5 1
A' B'
= 10
=
, 2
∴
BC A'C
'
=
AC A' B'
.
又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′.
例2 如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是( B )

沪科版九年级上册数学 22.2 相似三角形判定

沪科版九年级上册数学相似三角形

相似三角形

要点提示

1、相似三角形的定义

三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 2、相似三角形的判定方法

1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则___________.

2. 两个角对应相等的两个三角形__________.

3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似.

4. 三边对应成比例的两个三角形___________.

性质：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧+两边对应成比例、直角三角形、三边对应成比例

夹角相等、两边对应成比例，且

、两角对应相等4321

（1）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。当相似比等于1时，这两个三角

形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形.全等三角形是相似三角形的特例.

（2）相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似.

②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似. ③三边对应成比例，两三角形相似.

A D

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似

（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等.

②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成

比例.

③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的

平方.

典例分析

1.△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的最长边为15.求△ A′B′C′最短边的长.

沪科版九年级数学上册《相似形》22.2.2利用角的关系判定两个三角形相似

一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
探究培优
设 DE＝x，则 CE＝4－x， ∴35＝4－x x，解得 x＝32. ∴DE＝32.
探究培优
(2)求证：∠1＝∠DFC.
证明：∵AD∥FH，AH∥DF，∴四边形 ADFH 是平行四边形．∴AD＝FH＝3.∴CH＝2，BH＝5. 由 AD∥BH，易得△ ADG∽△HBG.∴DBGG＝BAHD. ∴5－DGDG＝35.∴DG＝185.
探究培优
∵DE＝32，∴DDGE＝DDCB＝45. 又∵∠GDE＝∠BDC，∴△DEG∽△DCB. ∴∠DEG＝∠DCB.∴EG∥BC.∴∠1＝∠AHC. 又∵DF∥AH， ∴∠AHC＝∠DFC. ∴∠1＝∠DFC.
探究培优
13 ．【中考 ·福建】如图，在 Rt△ABC 中， ∠ C＝ 90°，AB＝10，AC＝8.线段AD由AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿 CB方向平移得到，且直线EF经过点D.
【点拨】 ∵ ∠ C ＝ 90°， AB ＝ 5 ， BC ＝ 4 ， ∴ AC ＝

沪科版数学九年级上册 22.2 相似三角形的判定同步练习(带解析)

相似三角形的判定

一、选择题

1．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )

A．5 B．8.2

C．6.4 D．1.8

2．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )

3.如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和点F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似的三角形有( )

A.4对

B.5对

C.6对

D.7对

4.有下列判断：①顶角相等的两个等腰三角形相似；②有一个角相等的两个等腰三角形相似；③直角三角形都相似；④若一个三角形的两边长分别为2、6，夹角为32°，另一个三角形的两边长分别为3、9，夹角为32°，则这两个三角形相似.其中判断正确的有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

5.有下列说法：①有一个角为50°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④两个等边三角形相似。其中正确的有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题

6.如图，有下列条件：①∠B=∠C;②∠ADB=∠AEC；③AD AE

AC AB

=；④

AD AE

AB AC

=；

⑤PE BP

PD CP

=.其中不需要添加其他条件就能使△BPE∽△CPD的条件有____个，它们分别

是____(填序号) .

7．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．8．如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．

初中数学沪科版九年级上册第22章相似形2相似三角形的判定全省一等奖-完美PPT课件

随堂小测 1.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的
判断?
解：这两个三角形相似．
设1个小方格的边长为1，则
A
B
AB 8, BC 2 10, AC 2 2;
AB 4, BC 10, AC 2; AB AC BC 2 2.
AB AC BC 1 △ ABC与△ ABC相似.
A
边S
边S
A1
边S
B
C
B1
C1
如果： A1B1 B1C1 A1C1 AB BC AC
猜想：△ABC∽△A1B1C1
有效利用判定定理去求证
22.2.4 相似三角形的判定（4）
新知探究证明:在△A1B1C1的边A1B1 (或延长线)上截取 A1D=AB,
过点D作DE∥B1C1交A1C1于点E. D
B AC
AB 5, AC 10, BC 5;
A′
AB AC BC 2 10 . B′
C′
AB AC BC 10 5
∴ △ ABC与△ A′B′C′相似.
22.2.4 相似三角形的判定（4）
新知应用例3:如图所示，在△ABC和△ADE中， AB BC AC .
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
(2)两个三角形在同一图形中. C
22.2.4 相似三角形的判定（4）

上海初三数学相似三角形经典题型

上海初三数学相似三角

形经典题型

集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

相似三角形的判定练习

例题分析：

例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC =

例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，

(1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD

(2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB ===

例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE 例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似并求出AE 的长。

两个三角形相似的六种图形：

1. 如图在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，交AB 于点E ，EC 交AD 于点F ．

求证：△ABC ∽△FCD ；

2、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。求证：CD 2=DE ·DF

3. 如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE．

4.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点。

沪科版-数学-九年级上册-23.2相似三角形的判定判定三角形相似的方法

判定三角形相似的方法

判定三角形相似的方法有五种：

一、由定义判定：三个角对应相等，三边对应成比例的两三角形相似. 二、三角形相似的基本判定方法

1、判定定理：平行于三角形的一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

推理形式：如图1所示，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC. 2、涉及的基本图形（如图1所示）.

说明：⑴在运用基本方法判定两个三角形相似时，只需DE ∥BC 这一条件就能确定△ADE ∽△ABC ，不必再用定义进行判定；

⑵上面的图形是判定方法所涉及的几种基本类型，在应用时要善

于从图中抽象出这些基本模型.

例1:(06南通)如图2，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，且DE ∥BC ．若DE ＝2㎝，BC ＝3㎝，EC ＝3

㎝，则AC ＝________㎝．

解析:由DE ∥BC 可知△ADE ∽△ABC,由相似三角形的对应边的比相等,有

,BC

AC AE =从而,BC DE

AC EC AC =-把DE ＝2㎝，BC ＝3㎝，EC ＝3

2㎝代入得,3

232

AC AC 求AC=2, 故添2.

三、由三边的比判定三角形相似

1、判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单地说三边对应成比例的两个三角形相似.

2、推理形式：如图3所示，在△ABC 和△C B A '''中，如果A C CA

C B BC B A AB '

=''='',那么△ABC ∽△C B A '''.

类比拓展：由三边的比判定三角形相似的方法与判定三角形全等的“SSS ”方法类似，只是把三边对应相等，改为三组对应边成比例即可.

沪教版九年级数学相似三角形的判定

相似三角形的判定

课前测试

【题目】课前测试

如图，已知CD 是△ABC 的高，D E⊥CA，DF⊥CB，求证：△CEF ∽△CBA.

【答案】见解析【解析】

证明：∵CD ⊥AB，即∠CDA=∠CDB=90°，则∠A+∠ACD=90°，又∵DE⊥CA，∴∠ACD+∠CDE=90°， ∴∠A=∠CDE，又∠ACD=∠DCE，

∴△CAD ∽△CDE ，则

CD CA =，即CD 2=CA ·CE 同理可得△CBD ∽△CDF ，则CF

CD CB =，即CD 2=CD 2=CB ·CF ∴CA ·CE=CB ·CF ，又∠ECF=∠BCA ，∴△CEF ∽△CBA

总结：本题考察学生是否掌握“母子三角形”相似模型，待证的两个三角形中有一组公共角，因而再找出一组对应角相等或者是其夹角的两边成比例，经过分析发现，从角度入手基本不可能找出对应角相等，因而需要从夹角的两边证明. 该题属于典型的“母子三角形”模型，给出众多垂直关系，应该想到利用角度互余找等量. 只要“心中有模型”，对于这类题型的证明还是比较容易的. 【难度】3

【题目】课前测试

已知：如图，在ABC △中，AB AC =，M 是边BC 的中点，DME B ∠=∠，MD 与射线BA

相交于点D ，ME 与边AC 相交于点E . （1）求证：

BD CM

DM EM

=；（2）如果DE ME =，求证：//ME AB ；

（3）在第（2）小题的条件下，如果DM AC ⊥，求ABC ∠的度数. 【答案】

（1）证明：∵∠DMC=∠B+∠BDM ，∠DMC=∠DME+∠EMC ，∠DME=∠B ， ∴∠BDM=∠EMC ，

初三数学相似三角形经典题型

初三数学相似三角形经典题型相似三角形是初中数学中常见的一个重要概念，也是一种经典的题型。相似三角形的性质和应用在数学学习和实际问题中都具有很大的

意义。本文将介绍相似三角形的定义、判定方法以及相关的经典题型。

一、相似三角形的定义与判定

相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。在数学中，我

们可以通过以下两种方法判定两个三角形是否相似。

1. AAA（全等对应角）判定法:

如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。例如，如果

三角形ABC和三角形DEF的角A等于角D，角B等于角E，角C等

于角F，那么可以得出三角形ABC与三角形DEF是相似的。

2. AA（对应角）判定法:

如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。此时，我们

还需要知道两个对应角的两边比例是否相等。例如，如果角A等于角D，角B等于角E，而且边AB与边DE的比例等于边AC与边DF的

比例，那么可以得出三角形ABC与三角形DEF是相似的。

以上两种判定法在实际解题中非常有用，也是帮助我们分析和解决

问题的基础。

二、相似三角形的经典题型

1. 求相似三角形的边长比例:

已知两个相似三角形的某一个边长比例，求另一个边长的比例。例如，已知相似三角形ABC与三角形DEF的边长比例为AB：DE = 2：3，BC：EF = 5：6，求AC：DF的比例。

解题思路：

首先，我们可以假设AC：DF的比例为x：y。根据相似三角形性质，我们可以列出一个等式：

AB：DE = AC：DF

2：3 = 5：6

根据等式可以得出2y = 3x，5y = 6x。

进一步求解该等式，可以得到x：y的比例为2：5/3。

《22.2相似三角形的判定》作业设计方案-初中数学沪科版12九年级上册

《相似三角形的判定》作业设计方案（第一课时）

一、作业目标

本作业旨在巩固学生对相似三角形概念的理解，掌握相似三角形的判定方法，并能够运用所学知识解决实际问题。通过本作业的完成，学生应能初步建立数学建模的思想，培养分析问题和解决问题的能力。

二、作业内容

（一）知识点复习

1. 回顾相似三角形的定义，明确相似三角形的特征。

2. 掌握相似三角形的判定定理，如AA相似、SSS相似等。

（二）作业题目设计

1. 基础题：设计一系列选择题和填空题，考察学生对相似三角形概念及判定定理的掌握情况。

- 例题：给出两个三角形，根据其边长或角度关系，判断是否相似，并说明理由。

2. 应用题：设计实际情境下的应用问题，要求学生运用所学知识解决实际问题。

- 例题：在建筑测量中，如何通过相似三角形的原理确定建筑物的高度？

3. 拓展题：设计一些具有挑战性的题目，鼓励学生进行深度思考和创新。

- 例题：给出多个条件，让学生自行设计并证明两个三角形相似的多种方法。

（三）作业实践环节

1. 小组合作：学生分组进行讨论，每组选择一个题目进行深入研究，并记录讨论过程和结果。

2. 动手操作：利用几何工具，让学生亲手制作相似三角形，加深对概念的理解。

3. 数学日记：鼓励学生记录今天学习的收获和感悟，以及对作业题目的解题思路和过程。

三、作业要求

1. 认真审题：仔细阅读题目，明确题目要求，避免因理解错误导致答案偏离。

2. 规范答题：按照数学作业的规范格式进行答题，字迹工整，步骤清晰。

3. 独立思考：在完成作业过程中，应独立思考，尽量自己解决问题，不轻易求助他人。

244 相似三角形的判定(作业)-2021-2022学年九年级数学上(沪教版)(解析版)

24.4相似三角形的判定

一、单选题

1．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）

A．AB∥CD B．A D

∠=∠

C．OA OB

OD OC

=D．

OA AB

OD CD

【答案】D

【解析】

本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．

B、由∠AOB＝∠DO

C、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．

C、由OA OB

OD OC

=、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．

D、已知两组对应边的比相等：OA AB

OD CD

=，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选

项符合题意．

故选：D

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．

2．在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（）

A．AD AE

BD EC

=B．∠ADE=∠ACB

C．AE﹒AC=AB﹒AD D．AD DE AB BC

【答案】D

【解析】

由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．

【详解】

解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；

两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；

沪科版九年级上册数学22.2 相似三角形的判定 (共20张PPT)

求证:△ABC∽△A＇B＇C＇
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E，则 ADE B, AED C A ∴ △ADE∽△ABC
AB AC , AD A ' B ' AD AE D
A＇
E
AB A'B ' AB A'B '
简单地说: 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
用数学符号表示：
AB AC , A A ' AB AC
ABC∽ABC
类似于判定三角形全等的方法，我们还能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？
A
三边对应成比例 B＇
A＇ C＇
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
1.如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C 2，它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由。
2.图中的两个三角形是否相似？
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A＇B＇C＇是否相
似，并说明理由．
(1)∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm. ∠A＇=120°，A＇B＇=3cm，A＇C＇=6cm.
AC AE AC A'C '
B