2019_2020学年高中数学第3章概率3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生练习新人教A版必修3

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2019-2020学年高中数学第三章《概率》3.3几何概型新人教版必修3.doc

2019-2020学年高中数学第三章《概率》3.3几何概型新人教版必修3 一、教材分析教材的地位和作用“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。

《几何概型》共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。

教学重点与难点重点：掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式。

难点：在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。

通过数学建模解决实际问题。

[理论依据]本课是一节概念新授课，因此把掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式作为教学重点。

教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。

此外，学生通过数学建模解决实际问题也较为困难，因此也是本节课的难点。

二、教学目标[知识与技能目标]（1）体会几何概型的意义。

（2）了解几何概型的概率计算公式[过程与方法目标]通过古典概型的例子，稍加变化后成为几何概型，从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建构这一过程，感受数学的拓广过程。

通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，感知用图形解决概率问题的方法。

[情感与态度目标]体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。

三、教学方法，教学模式，教学手段本节课采用以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学。

四、学法指导通过合作交流，类比联想，归纳化归，总结提升，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。

（1）了学生的思考范围。

（2）问现将一颗豆子随机地扔在正方形内计算它落在阴影部分的概古典概型几何概型联系区别求解方法基本事件个数的有限性基本事件发生的等可能性基本事件发生的等可能性基本事件个数的无限性与基本事件的位置、形状无关概率为0的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件概率为0的事件未必是不可能事件，概率为1的事件未必是必然事件nmA P =)(的测度的测度Ω=A A P )(例题1：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱AB 上任取一点，则点P 到点A 的距离小于等于1的概率为变式1：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 的面AA1B1B 上任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于1的概率为 A辨析：如图所示，正方体容器内倒置一个圆柱形容器，随机向正方体容器内投掷一颗豆子（假设豆子都能落在正方形区域内且豆子面积不计）.试问：豆子落入圆锥形容器内的概率是多少？辨析变式：如图所示，正方体容器内倒置一个圆锥形容器，随机例题2：设点P是三角形ABC内部的一点，点运动时，试求S△PBC≤12S△ABC的概率.是关于六、评价分析1、评价教学目标的完成情况本节课创造性的使用教材，揭示矛盾，创设问题的情境，在问题情境中让古典概型自然地向几何概型的过渡，抓住了几何概型与古典概型的几大本质区别，让学生获得新知的同时体会了数学知识的拓广过程。

高中数学第三章概率 331 几何概型课件新人教A版必修3

225 ＝2225，故所求概率为 P＝4200＝392.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.一海豚在水池中自由游弋，水池为长 30 m，宽 20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率．解：如图所示，区域 Ω 是长 30 m、宽 20 m 的长方形，图中阴影部分表示事件 A：“海豚嘴尖离岸边不超过 2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域 Ω 的面积为 30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为 30×20－26×16＝184(m2)．所以 P(A)＝168040＝2735.即海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率为2735.
模型，简称为几何概型． (2)特点：①可能出现的结果有_无__限__多__个__；②每个结果发生的可能性_相__等___．
3．如图，假设你在如图所示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落 1
到阴影部分的概率为___π_____．
解析：设圆的半径为 R，则圆的面积为 S＝πR2，阴影的面积 S 阴＝21·2R·R＝R2，故所求概率 P＝SS阴＝πRR2 2＝π1 .
大家好
1
第三章概率
3．3 几何概型
3．3.1 几何概型
第三章概率
1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型． 2．掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．
1．几何概型的定义与特点 (1) 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 __长__度__(_面__积__或__体__积__) _成比例，则称这样的概率模型为几何概率
探究点一与长度有关的几何概型
函数 f(x)＝x2－x－2，x∈[－5，5]，那么任取一点 x0∈ [－5，5]，使 f(x0)≤0 的概率为( C )

高中数学第3章概率3-3几何概型互动课堂学案

教学资料范本高中数学第3章概率3-3几何概型互动课堂学案编辑：__________________时间：__________________3.3 几何概型互动课堂疏导引导1.几何概型的定义在古典概型中,利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率；不过,古典概型要求可能结果的总数必须有限.这不能不说是一个很大的限制,人们当然要竭力突破这个限制,以扩大自己的研究范围.因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多个结果而又有某种等可能性的场合.这类问题一般可以通过几何方法来求解.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.对于这一定义也可以作以下理解：设在空间上有一区域D,又知区域d包含在区域D内（如下图所示）,而区域D与d都是可以度量的（可求面积、长度、体积等）,现随机地向D内投掷一点M,假设点M必落在D中,且点M可能落在区域D的任何部分,那么落在区域d内的概率只与d的度量（长度、面积、体积等）成正比,而与d的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点）,称为几何概型.2.几何概型的概率计算一般地,在几何区域D中随机地抽取一点,记“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)=的测度的测度D d .这里要求D的测度不为0,其中“测度”的意义依D确定,当D分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等. 疑难疏引（1）几何概型的概率的取值范围同古典概型概率的取值范围一样,几何概型的概率的取值范围也是0≤P(A)≤1.这是因为区域d包含在区域D内,则区域d的“测度”不大于区域D的“测度”.当区域d的“测度”为0时,事件A是不可能事件,此时P(A)=0；当区域d的“测度”与区域D的“测度”相等时,事件A是必然事件,此时P(A)=1. （2）求古典概型概率的步骤： ①求区域D的“测度”； ②求区域d的“测度”； ③代入计算公式.（3）对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率,关键在于将问题几何化,也即可根据问题的情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点,使得全体结果构成一个区域,且是可度量的.案例1某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过（假设每一辆车带走站上的所有乘客）,乘客到达汽车站的任一时刻是任意的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率. 【探究】这是一个与长度有关的几何概型问题.记A=“候车时间不超过3分钟”.以x表示乘客到车站的时刻,以t表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻,据题意,乘客必然在（t -5,t］内来到车站,于是D={x|t -5＜x≤t}. 若乘客候车时间不超过3分钟,必须t -3≤x≤t,所以A={x|t -3≤x≤t}据几何概率公式得P（A）=53=的长度的长度D d =0.6规律总结（1）把所求问题归结到x轴上的一个区间内是解题的关键.然后寻找事件A发生的区域,从而求得d的测度.（2）本题也可这样理解：乘客在时间段（0,5］内任意时刻到达,等待不超过3分钟,则到达的时间在区间［2,5］内. 案例2甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率. 【探究】这是一类与面积有关的几何概型问题.设A={两艘船中至少有一艘停靠时等待}.建立平面直角坐标系,x轴表示甲船到达的时间,y轴表示乙船到达的时间,则（x,y）表示的所有结果是以24为边长的正方形.事件A发生的条件是0＜x -y＜6或0＜y -x＜6,即图中阴影部分,则D的面积为242,d的面积为242-182.∴P（A）=167242824222=-. 规律总结 (1)甲、乙两船都是在0—24小时内的任一时刻停靠,故每一个结果对应两个时间；分别用x,y轴上的数表示,则每一个结果（x,y）就对应于图中正方形内的任一点.（2）找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出来,分别计算面积即可. （3）这一类问题我们称为约会问题. 案例3在长度为a的线段上任取两点将线段分成三段,求它们可以构成三角形的概率. 【探究】解法一：假设x、y表示三段长度中的任意两个,因为是长度,所以应有x ＞0,y＞0且x+y＜a,即x、y的值在以（0,a）、(a,0)和（0,0）为顶点的三角形内,如右图所示.要形成三角形,由构成三角形的条件知,x和y都小于,且x+y＞(如图阴影部分).又因为阴影部分的三角形的面积占形成总面积的,故能够形成三角形的概率为.解法二：如右图,作等边三角形ABC,使其高为a,过各边中点作△DEF.△DEF的面积占△ABC的面积的.因为从△ABC内任意一点P到等边三角形三边的垂线段长度之和等于三角形的高（由等积法易知）,为了使这三条垂线线段中没有一条的长度大于,P点必须落在阴影部分即△DEF内（DM=）.所以符合题意要求的情况占全部情况的,即所求概率为.解法三：如下图,作一边长为a的正方形,过相对两边的中点作两条斜线,阴影部分占整个正方形面积的.令AB上距离底边为x的点表示第一个截点的位置,则第二个截点一定落入阴影部分（y＜,z＜）.因此,符合题意要求的情况占全部情况的.所以所求的概率为.规律总结解决此题的关键在于弄清三角形三边长之间的关系,由题意易知,三边长之和为定值a,且三边长分别小于a2.把握住了这两点,就能使问题准确获解.3.随机数的产生与随机模拟方法（1）随机数的产生利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数x1=RAND,然后利用伸缩和平移变换,x=x1*(b-a)+a,就可以得到［a,b］内的均匀随机数,试验的结果是［a,b］上的任何一个实数,并且任何一个实数都是等可能出现的.（2）随机模拟试验用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法进行,因而随机模拟试验就成为一种重要的方法,它可以在短时间内多次重复.用计算器或计算机模拟试验,首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从以下几个方面考虑：①由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数.如长度型、角度型（一维）只用一组,面积型（二维）需要用两组.②由所有的基本事件总体（基本事件空间）对应区域确定产生随机数的范围.③由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式.（3）随机模拟的基本思想是用频率近似于概率,频率可由试验获得.案例4 取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？【探究】在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍［0,3］内的任意实数,并且每一个实数被取到的可能性相等,因此在任意位置剪断绳子的所有结果（即基本事件）对应［0,3 ］上的均匀随机数,其中［1,2］上的均匀随机数就表示剪断位置与端点的距离在［1,2］内,也就是剪得两段的长都不小于1 m,这样取得的［1,2］内的随机数个数与［0,3］内的随机数个数之比就是事件A 发生的频率.【解析】记事件A={剪得两段的长都不小于1 m}.①利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND.②经过伸缩变换,a=a1*3.③统计出试验总次数N和［1,2］内的随机数个数N1.④计算频率fn (A)=N1/N即为概率P（A）的近似值.规律总结用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件A及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围.案例5利用随机模拟方法计算图中阴影部分（曲线y=2x与x轴,x=±1围成的部分）的面积.【探究】在坐标系中画出正方形,用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值.【解析】（1）利用计算机产生两组［0,1］上的均匀随机数,a 1=RAND,b1=RAND.（2）进行平移和伸缩变换,a=2a1-1,b=b1*2,得到一组［-1,1］上的均匀随机数和一组［0,2］上的均匀随机数.（3）统计试验总次数N和落在阴影内的次数N1（满足条件b＜2a的点（a,b））.（4）计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值.（5）用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P=.∴≈.∴S≈即为阴影部分面积的近似值.规律总结解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率,然后通过方程求得阴影部分面积的近似值.活学巧用1.判断下列概率模型是古典概型还是几何概型？（1）如下图,转盘上有8个面积相等的扇形.转动转盘,求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率.(2)在500 mL的水中有一个草履虫,现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.解析：以上2个试验的可能结果个数无限,所以它们都不是古典概型.而是几何概型.2.利用几何概型求概率应注意哪些问题？解：应该注意到:（1）几何型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为P(A)=；（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.3.有一杯1 L的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1L水,则小杯水中含有这个细菌的概率为（）A.0B.0.1C.0.01D.1解析：1个细菌在1L的水中,在每一个位置都是可能的,那么只有这个细菌在这0.1L的水中,这件事件才能发生.由几何概型公式得P（A）==0.1.答案：B4.如下图,如果你向靶子上射200支镖,大概有多少支镖落在红色区域（颜色较深的区域）（）A.50B.100C.150D.200解析：这是几何概型问题.这200支镖落在每一点的可能性都是一样的,对每一支镖来说,落在红色区域的概率P=,每一支镖落在红色区域的概率都是12,则200支镖落在红色区域的概率还是,则落在红色区域的支数=200支×=100支.答案：B5.如下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率分别为_____________________,___________________.解析：这是几何概型问题,在平面上随机撒一粒黄豆,那么黄豆既可能落在三角形内,也可能落在圆内空白区域,并且落在每一点的可能性是一样的,只有落在三角形内才说明事件A发生.①P（A）==.②P（A）==.答案：6.一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒.当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯.解：在75秒内,每一时刻到达路口的时候是等可能的,属于几何概型.（1）P==；（2）P==；（3）P===.7.在线段［0,3］上任取一点,则此点坐标不小于2的概率是( )A. B. C. D.解析：在线段［0,3］上任取一点的可能性是相等的,若在其上任意取一点,此点坐标不小于2,则该点应落在线段[2,3]上.所以,在线段［0,3］上任取一点,则此点坐标不小于2的概率应是线段[2,3]的长度与线段［0,3］的长度之比,即为.答案：A8.圆O有一内接正三角形,向圆O随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率是_______.解析：向圆内投点,所投的点落在圆形区域内任意一点的可能性相等,所以本题的概率模型是几何概型.向圆O随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率应为正三角形的面积与圆的面积的比.答案：9.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？解析：如下图所示,正方形区域内任取一点的横坐标表示送报人到达的时间,纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在正方形内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件,根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前得到报纸,即事件A发生,所以P(A)==87.5%.10.如右图所示,在直角坐标系内,射线OT落在60°的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落∠xOT内的概率.分析：以O为起点作射线OA是随机的,因而射线OA落在任何位置都是等可能的,落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关,符合几何概型的条件.解：设事件A“射线OA落在∠xOT内”.事件A的角度是60°,区域D的角度是360°,所以,由几何概率公式得P（A）=.11.甲、乙两辆货车停靠站台卸货的时间分别是6小时和4小时,用随机模拟法估算有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间的概率.解析：设事件A：“有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间”.（1）利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩变换,x=x1*24,y=y1*24得到两组［0,24］上的均匀随机数.（3）统计出试验总次数N和满足条件-4≤x-y≤6的点（x,y）的个数N1.（4）计算频率fn(A)=,即为概率P（A）的近似值.12.如右图,在长为4宽为2的矩形中有一以矩形的长为直径的半圆,试用随机模拟法近似计算半圆面积,并估计π值.解析：设事件A：“随机向矩形内投点,所投的点落在半圆内”.（1）利用计算机或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩平移变换,x=x1*4-2,y=y1*2.（3）统计出试验总数N和满足条件x2+y2＜4的点（x,y）的个数N1.（4）计算频率fn(A)=,即为概率P（A）的近似值.半圆的面积为S1=2π,矩形的面积为S=8.由几何概型概率公式得P（A）=,所以=.所以即为π的近似值.13.利用随机模拟法近似计算右图中阴影部分（曲线y=log3x与x=3及x轴围成的图形）的面积.解析：设事件A：“随机向矩形内投点,所投的点落在阴影部分”.（1）利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩平移变换,x=x1*3,y=y1*3.得到两组［0,3］的均匀随机数.（3）统计出试验总次数N和满足条件y＜log3x的点（x,y）的个数N1.（4）计算频率fn(B)=,即为频率P（A）的近似值.设阴影部分的面积为S,正方形的面积为9,由几何概率公式得P（A）=.所以=,故S=即为阴影部分面积的近似值.。

2020年高中数学必修三第三章《概率》3.3.1几何概型

2020年高中数学必修三第三章《概率》3．3.1几何概型3．3.2均匀随机数的产生学习目标 1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义；2.会求一些简单的几何概型的概率；3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率．知识点一几何概型的概念思考往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？答案出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．梳理1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．知识点二几何概型的概率公式思考既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？答案可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之比来表示．梳理事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成比例，故可用区域的测度代替基本事件数．P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).知识点三均匀随机数1．均匀随机数的定义如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．2．均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的．(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等．3．均匀随机数的产生(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是RAND.(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“rand__(_)”．(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由计算器或计算机产生．类型一几何概型的识别例1下列关于几何概型的说法错误的是()A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性答案A解析几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个．反思与感悟几何概型特点的理解(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．跟踪训练1判断下列概率模型是古典概型还是几何概型．(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．解(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型．(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．类型二几何概型的计算命题角度1 与长度有关的几何概型例2 某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率．解如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T 1，T 2，T 1T 2＝15.设T 0T 2＝3，TT 0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A . 则当乘客到站时刻t 落到T 1T 上时，事件A 发生．因为T 1T ＝15－3－10＝2，T 1T 2＝15，所以P (A )＝T 1T T 1T 2＝215.引申探究1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率．解由原题解析图可知，当t 落在TT 2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P ＝TT 2T 1T 2＝1315. 2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．解由原题解析图可知，当t 落在T 0T 2上时，乘客立即上车，故所求概率P ＝T 0T 2T 1T 2＝315＝15. 反思与感悟若一次试验中所有可能的结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A 发生的概率．跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为r (r ＜a )的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．解记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A ，如图，由图可知：硬币圆心在线段AB 上的任意一点的出现是等可能的．圆心在线段CD (不含点C 、D )上出现时硬币不与平行线相碰，所以P (A )＝线段CD 的长度线段AB 的长度＝2a －2r 2a ＝a －r a .命题角度2 与面积有关的几何概型例3 设点M (x ，y )在区域{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}上均匀分布出现，求：(1)x ＋y ≥0的概率； (2)x ＋y ＜1的概率； (3)x 2＋y 2≥1的概率．解如图，满足|x |≤1，|y |≤1的点(x ，y )组成一个边长为2的正方形(ABCD )区域(含边界)，S正方形ABCD＝4.(1)x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方(含AC )，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝12·S 正方形ABCD ＝2，所以P (x ＋y ≥0)＝24＝12.(2)设E (0,1)，F (1,0)，则x ＋y ＝1的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y ＜1的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝72，所以P (x ＋y ＜1)＝S 五边形ABCFE S 正方形ABCD ＝724＝78.(3)满足x 2＋y 2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π，所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙O S 正方形ABCD＝4－π4.反思与感悟如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解．跟踪训练3 欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜线是直径为3 cm 的圆，中间有一个边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是( ) A.49π B.43π C.9π4 D.3π4答案 A解析 ∵S 正方形＝1 cm 2，S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫322＝9π4(cm 2)， ∴P ＝S 正方形S 圆＝49π，故选A.命题角度3 与体积有关的几何概型例4 已知正四面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 内部的点． (1)设“V P －ABC ≥14V ”的事件为X ，求概率P (X )；(2)设“V P －ABC ≥14V 且V P －BCD ≥14V ”的事件为Y ，求概率P (Y )．解 (1)如图，分别取DA 、DB 、DC 上的点E 、F 、G ，并使DE ＝3EA ，DF ＝3FB ，DG ＝3GC ，连接EF 、FG 、GE ，则平面EFG ∥平面ABC .当P 在正四面体DEFG 内部运动时，满足V P －ABC ≥14V ，故P (X )＝V D －EFG V D －ABC ＝⎝⎛⎭⎫DE DA 3＝⎝⎛⎭⎫343＝2764.(2)在AB 上取点H ，使AH ＝3HB ，在AC 上取点I ，使AI ＝3IC ，在AD 上取点J ，使AJ ＝3JD ，连接JH 、JI ，分别交EF 、EG 于点M 、N ，连接MN 、HI ，则P 在正四面体AHIJ 内部运动时，满足V P －BCD ≥14V .结合(1)可知，当P 在正四面体DEFG 的内部及正四面体AHIJ 的内部运动，即P 在正四面体EMNJ 内部运动时，满足V P －ABC ≥14V 且V P －BCD ≥14V ，于是P (Y )＝V J －EMN V D －ABC ＝⎝⎛⎭⎫JE DA 3＝⎝⎛⎭⎫123＝18.反思与感悟如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.32π C.3π D.233π答案 D解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.类型三均匀随机数及随机模拟方法例5 在如图所示的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.解随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即圆的面积正方形的面积≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数. 设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则圆的面积正方形的面积＝π2×2＝π4，由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4.所以就得到了π的近似值．反思与感悟用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大．用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．跟踪训练5 利用随机模拟方法计算由y ＝1和y ＝x 2所围成的图形的面积．解以直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0，y ＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a 1＝RAND ，b ＝RAND ； (2)进行平移和伸缩变换，a ＝2(a 1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N 1，用几何概型公式计算阴影部分的面积．例如做1 000次试验，即N ＝1 000，模拟得到N 1＝698，所以P ＝N 1N ＝阴影面积矩形面积＝6981 000，即阴影面积S ＝矩形面积×6981 000＝2×6981 000＝1.396.1．下列概率模型是几何概型的为( )A ．已知a ，b ∈{1,2,3,4}，求使方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率B ．已知a ，b 满足|a |≤2，|b |≤3，求使方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率C ．从甲、乙、丙三人中选2人参加比赛，求甲被选中的概率D ．求张三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天计算) 答案 B解析对于选项B ，a ，b 满足的条件为坐标平面内某一区域，涉及面积问题，为几何概型，其他三个选项均为古典概型．2．一艘轮船从O 点的正东方向10 km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10 km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是( ) A.2－12 B ．1－22C.2－1 D ．2－2 答案 D解析以O 为圆心，r 为半径作圆，易知当r ≥52时，轮船会遭受台风影响，所以P ＝10－5210－5＝10－525＝2－ 2.3．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析设阴影部分的面积为S ，则S 1×1＝1801 000， ∴S ＝0.18.4．在200 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出20 mL 水样利用显微镜观察，则发现草履虫的概率是________．答案 0.1解析记“从200 mL 水中随机取出20 mL 水样利用显微镜观察，发现草履虫”为事件A ，则由几何概型的概率计算公式可得P (A )＝20200＝0.1.5．在区间[0,1]上任取三个数a ，b ，c ，若向量m ＝(a ，b ，c )，求|m |≥1的概率．解 ∵a ，b ，c ∈[0,1]，∴Ω＝{(a ，b ，c )|0≤a ≤1,0≤b ≤1,0≤c ≤1}构成的区域为单位正方体(其中原点O 为正方体的一个顶点)．设“|m |≥1”为事件A ，则A 表示“|m |＜1”，即a 2＋b 2＋c 2＜1，这样的点(a ，b ，c )位于单位正方体内，且在以原点为球心，1为半径的球内，V ′＝18×43π×13＝π6.又V 正方体＝1， ∴P (A )＝V ′V 正方体＝π6，因此P (|m |≥1)＝P (A )＝1－P (A )＝1－π6.1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题． 3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).40分钟课时作业一、选择题1．在区间(15,25)内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a <20的概率是( )A.13B.12C.310D.710 答案 C解析 ∵a ∈(15,25)，∴P (17<a <20)＝20－1725－15＝310.2．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( ) A.925 B.1625 C.310 D.15 答案 D解析以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P ＝210＝15.3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56答案 C解析由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4答案 A解析由题意得，无信号的区域面积为2×1－2×14π×12＝2－π2，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P ＝2－π22＝1－π4.5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( ) A.16 B.13 C.23 D.45答案 C解析设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x )cm(0＜x ＜12)， ∴矩形面积为x (12－x )cm 2，由x (12－x )＜32，解得x ＞8或x ＜4，∴0＜x ＜4或8＜x ＜12.∴所求概率为4＋412＝23，故选C.6．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析选项A 中，概率P ＝38；选项B 中，概率P ＝28＝14；选项C 中，概率P ＝26＝13；选项D 中，概率P ＝13，则概率最大的为A ，故选A.二、填空题7．有一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m 的概率是________．答案 13解析从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点．如图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，于是事件A 发生的概率P (A )＝13. 8．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．答案334π解析设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC ·OD ＝3·CD ·OD＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24，∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π. 9．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm ，黄心直径是12.2 cm ，运动员在距离靶面70 m 外射箭．假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么射中黄心的概率是________．答案 0.01解析由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，若要射中黄心，则中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的圆内，所以P ＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01. 10．已知圆O ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25，则圆O 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．答案 16解析因为圆心(0,0)到直线l 的距离为5，圆O 的半径为23，所以直线l 与圆O 相离．设l 0∥l 且圆心到l 0的距离为3，则满足题意的点A 位于l 0，l 之间的弧上(不在直线l 0上)，结合条件可求得该弧所对的圆心角为周角的16，由几何概型的概率计算公式可得P ＝16. 三、解答题11．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，求使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率．解在区间[－π，π]内随机取两个数记为(a ，b )，表示边长为2π的正方形边界及内部(正方形的中心为原点)．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，需4a 2＋4b 2－4π≥，即a 2＋b 2≥π，表示以原点为圆心，π为半径的圆的圆周及外部，且在正方形的内部，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以有零点的概率为3π24π2＝34. 12．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12，f (－2)≤4为事件A ，求事件A 发生的概率．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋2b ＋c ≤12，4－2b ＋c ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ≤8，2b －c ≥0. 又直线2b ＋c ＝8与2b －c ＝0的交点为(2,4)，故该不等式组表示的区域如图中阴影部分所示(包括边界)．阴影部分面积为4×42＝8，试验的全部结果组成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0≤b ≤4，0≤c ≤4表示的正方形区域，面积为4×4＝16，故事件A 发生的概率为P (A )＝816＝12. 13．两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．解设两人分别于(20＋x )时和(20＋y )时到达约定地点(0≤x ，y ≤1)，要使两人能在约定时间范围内相见，则有－23≤x －y ≤23.(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－⎝⎛⎭⎫13212＝89.。

3.3.1几何概型(2)

分析：因为电台每隔1小时报时一次，他在0~60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0~60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。
解:
设A= 等待的时间不多于10分钟
3.3.1 几何概型（2）
1、几何概型
复习回顾
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型, 简称为几何概型. 2、几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的所在扇形的面积 10 1 P( A) ; 整个圆的面积 60 6
1 答：等待的时间不多于10分钟的概率为 6
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解：设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生。
则事件A发生恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率公式得
P（A）=
60-50 60
=
1 6
即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为
1 6
.
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 解：设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生。法二：（利用[50,60]时间段所占的面积）：
法三：（利用利用[50,60]时间段所占的弧长）：
A所在扇形区域的弧长 1 P( A) ; 整个圆的弧长 6

人教版必修三高中数学第3章概率3.3.1几何概型课件

答案
思考几何概型与古典概型有何区别？
答几何概型与古典概型的异同点类型异同不同点(基本事件古典概型几何概型
一次试验的所有可能出一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个现的结果(基本事件)有无限多个
的个数)
相同点(基本事件每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小
发生的等可能性) 相等
解析答案
题型三例3
与体积有关的几何概型
已知正三棱锥 S－ ABC的底面边长为 a ，高为h ，在正三棱锥内取 h 点M，试求点M到底面的距离小于的概率. 2
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3
一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂
在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率.
答案
知识点二
几何概型的概率公式
构成事件A 的区域长度面积或体积 P(A)＝试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 .
思考计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？答首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量.
答案
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题型探究
重点突破
题型一与长度有关的几何概型例1 解取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A. 的长都不小于1 m的概率有多大？
解因为CM是∠ACB内部的任意一条射线，
而总的基本事件是∠ACB的大小，即为90°，
180° －45° 所以作 AC′＝AC，且∠ACC′＝＝67.5° . 2
如图，当CM在∠ACC′内部的任意一个位置时，皆有
AM＜AC′＝AC，

【精品推荐】2019-2020学年高中数学人教A版必修3 第三章3.3 几何概型课件(27张)

例4. 如图，在平面直角坐标系中，射线OT为
60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，
则该角终边落在∠xOT内的概率是（）
A. 1
6
B. 2
3
C. 1 D. 1
3
60
【解析】 ∵ 在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在
∠xOT内对应的角度为60°，而整个角集合对应的角度为圆周角，
∴
该角终边落在∠xOT内的概率P＝
的个数），投中小圆与中圆形成的圆环的次数N2（即满足
4<a2+b2<16的点（a，b）的个数），投中木板的总次数N（即
满足-8<a<8，-8<b<8的点（a，b）的个数）；
（4）概率P（A），P（B），P（C）的近似值分别为 N1 ，N2 ，N N1 .
NN
N
小结
1.几何概型是与几何测度有关的概率问题，在几何测度内，相应的点有无数多个，虽然落在每个点处的事件的概率为0，但是落在某个几何测度内的概率，就是相应的几何测度的比值。
解：设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示.
记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站
的时刻t落在线段T1T上（不含端点）时，事件A发生.
T1T 的长度 5 1 ∴ P（A）＝ T1T2 的长度＝ 15 ＝ 3 ，
即该乘客等车时间超过10
min的概率是
1 3
.
题型二与面积有关的几何概型的求法
例2. 设有一个等边三角形网格，其中每个小等边三角形的边长
都是 4 3 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率.

高中数学第三章概率3.3几何概型3.3.2均匀随机数的产生

3.3.2 均匀随机数的产生[课时作业][A组学业水平达标]1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则( ) A．m>n B．m<nC．m＝n D．m是n的近似值解析：用随机模拟方法求得几何概型的概率是实际概率的近似值．答案：D2．设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝12对应变换成的均匀随机数是( )A．0 B．2C．4 D．5解析：当x＝12时，y＝2×12＋3＝4.答案：C3．已知函数f(x)＝log2x，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为( )A．1 B.12C.23D.34解析：由log2x0≥0，得x0≥1，又x0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以1≤x0≤2，所以P＝2－12－12＝132＝23，故选C.答案：C4．如图，曲线OB的方程为y2＝x(0≤x≤1)，为估计阴影部分的面积，采用随机模拟方法产生x∈(0,1)，y∈(0,1)的200个点(x，y)，经统计，落在阴影部分的点共134个，则估计阴影部分的面积是( )A ．0.47B ．0.57C ．0.67D ．0.77解析：根据题意，落在阴影部分的点的概率是134200＝0.67，矩形的面积为1，阴影部分的面积为S ，所以S ＝0.67. 答案：C5．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )解析：将[0,1]内的随机数转化为[a ，b ]内的随机数，需进行的变换为答案：C6．若x 可以在－4≤x ≤2的条件下任意取值，则x 是负数的概率是________．解析：记事件A 为“x 是负数”，则A 的长度为0－(－4)＝4，整个事件长度为2－(－4)＝6，则P (A )＝46＝23.答案：237.假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分(等腰三角形)的概率是__________．解析：设圆的半径为R ，则圆的面积为πR 2，等腰三角形的面积为12×2R ×R＝R 2，∴所求概率为P ＝R 2πR 2＝1π. 答案：1π8．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y ＝log 3x 与x ＝3及x 轴围成的图形)的面积．解析：设事件A ：“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”． (1)利用计算器或计算机产生两组 [0,1]上的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND. (2)经伸缩变换x ＝3x 1，y ＝3y 1，得一组[0,3]，一组[0, 3]上的均匀随机数． (3)统计试验总次数N 和落在阴影部分的点的个数为N 1.(4)设阴影部分的面积为S ，正方形的面积为9，由几何概率公式得P (A )＝S 9，所以N 1N ≈S9.所以S ≈9N 1N即为阴影部分面积的近似值．9．利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积，并估计π的近似值．解析： (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)*2，b ＝(b 1－0.5)*2，得到两组[－1,1]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 和点落在圆内的次数N 1(满足a 2＋b 2≤1的点(a ，b )数)． (4)计算频率N 1N，即为点落在圆内的概率的近似值． (5)设圆面积为S ，则由几何概型概率公式得P ＝S4.∴S 4≈N 1N ，即S ≈4N 1N，即为正方形内切圆面积的近似值．又S 圆＝πr 2＝π，∴π＝S ≈4N 1N，即为π的近似值．[B 组应考能力提升]1．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23 D ．无法计算解析：∵S 阴影S 正方形＝23，∴S 阴影＝23S 正方形＝83. 答案：B2．如图，在直角坐标系内，射线OC 落在120°角的终边上，任作一条射线OA (OA 在平面直角坐标系内的分布是等可能的)，那么射线OA 落在∠xOC 内的概率为( ) A.12 B.23 C.13D.34解析：射线OA 落在∠xOC 内的概率只与∠xOC 的大小有关，故所求概率为120360＝13.答案：C3．用计算器生成两个[0,1]上的均匀随机数，问这两个随机数的差小于0.5的概率为________．解析：设x ，y 为计算器生成的[0,1]上的两个均匀随机数，则0≤x ≤1,0≤y ≤1，所有的可能(x ，y )构成边长为1的正方形，如图，设事件A ＝{两随机数的差小于0.5}，则当|x －y |<0.5时事件A 发生，条件(x ，y )构成图中的阴影部分． ∴P (A )＝S 阴影S 正方形＝1－2×12×1221＝34. 答案：344．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数400颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为________m 2.(用分数作答)．解析：∵向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为400颗，记“黄豆落在正方形区域内”为事件A ，∴P (A )＝4001 000＝1S 不规则图形，∴S 不规则图形＝52 m 2.答案：525．甲、乙两辆班车都要停在同一停车位，它们可能在一天中的任意时刻到达．如果这两辆班车的停车时间都是一个小时，求有一辆班车停车时必须等待一段时间的概率．解析：记事件A ＝{有一辆班车停泊时必须等待一段时间}．(1)用计算器或计算机产生两组[0,1]区间上的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ；(2)经过伸缩变换x ＝a *24，y ＝b *24，得到[0,24]区间上的两组均匀随机数； (3)统计试验次数N 和事件A 发生对应的次数N 1(满足|x －y |≤1的点(x ，y )的个数)； (4)计算频率f n (A )＝N 1N，即有一辆班车停泊时必须等待一段时间的概率．6．假设小霞、小倩和小珍所在的班级共有 65名学生，并且这65名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率： (1)小倩比小珍先到校；(2)小倩比小珍先到校，小珍比小霞先到校．解析：因为早上到校先后的可能性是相同的，所以假设每人到校的时间是某一个时间段内的任一时刻，可以分别用三组随机数x 、y 、z 表示，因而可以随机模拟．设事件A ：“小倩比小珍先到校”；设事件B ：“小倩比小珍先到校，小珍比小霞先到校”． (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]内的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ，c ＝RAND 分别表示小霞、小倩和小珍三人早上到校的时间；(2)统计出试验总次数N 以及其中满足b <c 的次数N 1，满足b <c <a 的次数N 2； (3)计算频率f n (A )＝N 1N ，f n (B )＝N 2N，即分别为事件A ，B 的概率的近似值．。

2019年人教版A数学必修三第3章 3.3 几何概型 - 副本

3.3 几何概型3.3.1 几何概型3.3.2 均匀随机数的产生学习目标：1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义．(重点)2.会求一些简单的几何概型的概率．(重点、难点)3.会用随机模拟的方法近似计算事件的概率．(重点)[自主预习·探新知]1．几何概型的概念(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的特点①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．②每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型的概率公式：P(A)构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3．均匀随机数(1)均匀随机数的概念在随机试验中，如果可能出现的结果有无限多个，并且这些结果都是等可能发生的，我们就称每一个结果为试验中全部结果所构成的区域上的均匀随机数．(2)均匀随机数的产生①计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．②Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“randc()”．(3)用模拟的方法近似计算某事件概率的方法①试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．②计算机模拟的方法：用Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟(注意操作步骤)．(4)[a ，b ]上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x ＝RAND ，然后利用伸缩和平移交换，x ＝x 1*(b-a )+a 就可以得到[a ，b ]内的均匀随机数，试验的结果是[a ，b ]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能出现的．[基础自测]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型的基本事件有无数多个．( ) (2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．( ) (3)随机数只能用计算器或计算机产生． ( )(4)x 是[0,1]上的均匀随机数，则利用变量代换y ＝(b －a )x ＋a 可得[a ，b ]上的均匀随机数．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )【导学号：49672305】A.45B.35C.25D.15 B [区间[－2,3]的区间长度为5，在上面随机取一数X ，使X ≤1，即－2≤X ≤1.其区间长度为3，所以概率为35.]3．如图3-3-1，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为( )图3-3-1A.19B.16C.23 D.13C[试验发生的范围是整个桌面，非阴影部分面积占桌面的23，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为2 3.]4．设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝12对应变换成的均匀随机数是()【导学号：49672306】A．0 B．2C．4 D．5C[当x＝12时，y＝2×12＋3＝4.][合作探究·攻重难]1．几何概型与古典概型的区别是什么？提示：几何概型的试验结果是无限的，古典概型的试验结果是有限的．2．解决几何概型问题概率的关键是什么？提示：确定所求概率与区域长度、角度、面积、体积中的哪一个有关．3．“P(A)＝0⇔A是不可能事件”，“P(A)＝1⇔A是必然事件”，这两种说法是否成立？提示：(1)无论是古典概型还是几何概型，若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立．(2)在古典概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A为不可能事件；若事件A 的概率P(A)＝1，则A为必然事件．(3)在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A 的概率P (A )＝1，则A 也不一定是必然事件．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率.【导学号：49672307】[思路探究] 本例是与哪种区域有关的几何概型问题？[解] 点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 的长度为试验的全部结果所构成的区域长度．在AB 上截取AC ′＝AC ，当点M 位于图中的线段AC ′上(不包括点C ′)时，AM <AC ，故线段AC ′即为构成事件A 的区域长度．于是P (AM <AC )＝P (AM <AC ′)＝AC ′AB ＝AC AB ＝22.即AM 小于AC 的概率为22.]母题探究：1.(变条件)在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与直线AB 交于点M ，求AM 小于AC 的概率．[解] 由题意，应看成射线CM 在∠ACB 内是等可能分布的，在AB 上截取AC ′＝AC (如图)，则∠ACC ′＝67.5°，故满足条件的概率为67.590＝34.2．(变结论)本例条件不变．(1)若求AM 不大于AC 的概率，结果有无变化？(2)求AM 大于AC 的概率．[解] (1)结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为0，包含与不包含一点，不改变概率的结果．(2)如图，点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 的长度为试验的全部结果所构成的区域长度，在AB 上截取AC ′＝AC ，当点M 位于线段C ′B 上时，AM >AC ，故线段C ′B 即为构成事件的区域长度．∴P (AM >AC )＝P (AM >AC ′)＝C ′B AB ＝1－22.x 2＋y 2≤4的概率；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x ，y 组成有序数对(x ，y )，求满足x 2＋y 2≤4的概率．[思路探究] (1)在区间[－2,2]上任取两个整数x ，y ，组成有序数对(x ，y )是有限的，应用古典概型求解；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x ，y ，组成有序数对(x ，y )是无限的，应用几何概型求解．[解] (1)在区间[－2,2]上任取两个整数x ，y 组成有序数对(x ，y )，共计25个，其中满足x 2＋y 2≤4的在圆上或圆内共计13个(如图所示)，∴P ＝1325.(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x ，y 组成有序数对(x ，y )，充满的区域是边长为4的正方形区域，其中满足x 2＋y 2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S 阴＝π×22＝4π，∴P ＝4π16＝π4.1．(1)若将一个质点随机投入如图3-3-2所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )【导学号：49672308】图3-3-2A.π2B.π4C.π6D.π8(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．(1)B (2)23 [(1)设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4. (2)先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.]图3-3-3[解] 以直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0，y ＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a 1＝RAND ，b ＝RAND ；(2)进行平移和伸缩变换，a ＝2(a 1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N 1，用几何概型公式计算阴影部分的面积．例如做1 000次试验，即N ＝1 000，模拟得到N 1＝698，所以P ＝N 1N ＝阴影面积矩形面积＝6981 000，即阴影面积S ＝矩形面积×6981 000＝2×6981 000＝1.396.2.现向图3-3-4中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．()【导学号：49672309】图3-3-4[解](1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1，b1(共N组)；(2)经过平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2(b1－0.5)；(3)数出满足不等式b<2a－43，即6a－3b>4的数组数N1.所求概率P≈N1N.可以发现，试验次数越多，概率P越接近25 144.[当堂达标·固双基]1．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()【导学号：49672310】A.110 B.19C.111D.18A [试验所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1min ，故P (A )＝110.]2．已有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()A [由几何概型的概率公式，P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．]3．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为( )【导学号：49672311】A.23B.12C.13D.16C [已知0≤a ≤1，事件“3a －1<0”发生时，0<a <13，由几何概型得其概率为131＝13.]4.如图3-3-5，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．图3-3-516[记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝60°360°＝16.]5．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率.【导学号：49672312】[解]如图所示，点M落在线段AB上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．设事件A为“所作正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6 cm与9 cm之间”．取AC＝6 cm，CD＝3 cm，则当M点落在线段CD上时，事件A发生，所以P(A)＝|CD||AB|＝312＝14.。

2020版高中数学第三章概率3.3.1几何概型课件新人教B版必修3

规律方法解此类几何概型问题的关键是： (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题． (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．
跟踪演练 2 如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( ) A．1－π4 B．2π－1 C．2－2π D．4π
[知识链接] 1. 几何概型的概念
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，如图，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．
2. 几何概型的概率计算公式
在几何概型中，事件 A 的概率定义为：P(A)＝μμΩA，其中，μΩ 表示区域Ω的几何度量，μ 表示子区域A的几何度量．
要点一与长度有关的几何概型例1 取一根长为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段
的长都不小于2 m的概率有多大？
解如图所示．记“剪得两段绳长都不小于 2 m”为事件 A.把绳子五等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的15，所以事件 A 发生的概率 P(A)＝15.
【答案】 B
3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方
形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，
则阴影区域的面积为( )
A．43
B．83
C．23 D．无法计算
【解析】由几何概型的概率公式知SS阴正＝23，

2019-2020学年同步人教A版高中数学必修三素养突破课件：3.3.1 几何概型

第十七页，编辑于星期六：二十三点四十五分。
某人从甲地去乙地共走了 500 米，途经一条宽为 x
米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，若物品掉到河里就找不
到，若物品不掉到河里，则能找到，已知该物品被找到的概率是45，则河宽为( )
A．80 米
B．100 米
C．40 米
D．50 米
解析：选 B.该物品能够被找到的路径长为 500－x 米，由几何概型知，45＝50500－0 x，解得 x＝100 米，故选 B.
第十二页，编辑于星期六：二十三点四十五分。
(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)向正方形内随机撒一些豆子，经查数，落在正方形内的豆子的总数为 1 000，其中有 780 粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率 π 的值(用分数表示)为________．解析：令正方形内切圆的半径为 r，则正方形边长为 2r，则由题意中“落在正方形内的豆子的总数为 1 000，其中有 780 粒豆子落在该正方形的内切圆内”可得1708000＝π4rr22，化简得 π＝7285. 答案：7285
第九页，编辑于星期六：二十三点四十五分。
下列概率模型中，几何概型的个数为( )
①从区间[－10，10]上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率；
②从区间[－10，10]上任取一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的
概率；
③从区间[－10，10]上任取一个整数，求取到大于 1 而小于 3 的数
的概率；
π 所以斜边长小于 1 的概率为 P＝41＝π4.故选 C. 【答案】 (1)A (2)C
第二十二页，编辑于星期六：二十三点四十五分。
与面积有关的几何概型的求解思路解决此类几何概型问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的面区积域面积，从而求得随机事件的概率．

2019_2020学年高中数学第3章概率3_3_1几何概型课件新人教A版必修3

第
三章
概率
3.1
几何概型
3.1.1
几何概型
课前自主预习
1．通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型．
2．掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．
1．几何概型的定义与特点 (1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． (2)特点：①可能出现的结果有无限多个；②每个结果发生的可能性相等． 2．几何概型中事件 A 的概率的计算公式 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或体积.
[针对训练 1] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数 x，则|x|≤1 的概率为________．
(2)某汽车站每隔 15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过 10 min 的概率．
[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为 3，由|x|≤1 得 x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为 2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数 x，|x|≤1 的概率 P＝23.
(2)设上一辆车于时刻 T1 到达，而下一辆车于时刻 T2 到达，则线段 T1T2 的长度为 15，设 T 是线段 T1T2 上的点，且 T1T＝5， T2T＝10，如图所示．
记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生．
A．5 C．15
B．10 D．20
[解析] (1)长方体的体积为 5×4×3＝60，蝴蝶“安全飞行”区域的体积为 3×2×1＝6.根据几何概型的概率计算公式，可得蝴蝶“安全飞行”的概率为610＝110.