北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题

第四章总练习题

000000001..()()[()()].

()(),[0,].()()(),(0)0.

Lagrange ,(0,1)()(0)(),f x h f x h f x h f x h h f x x f x x x h g g x f x x f x x g g h g g h h θθθθθθ''+--=++-+--∈'''=++-=∈'-=00设y=f(x)在[x -h,x +h](h>0)内可导证明存在,0<<1使得令g(x)=(x)在[0,h]内可导,根据公式存在使得

证00000

()()[()()].2.:0,()1/4()1/2lim ()1/4,lim ()1/2.4(())211()(124x x f x h f x h f x h f x h h x x x x x x x x x x θθθθθθθθ→→+∞

''+--=++-≥=

≤≤===

=

=+=++=+即证明当时中的满足且

00).

11()(12),

441

11()(12)(1(1)2).

442

11

lim ()lim (12).44

1

lim ()lim (12)4

1

lim 4x x x x x

x x x x x x x x x x x θθθθ→→→+∞→+∞≥+=-=+≤+++-==+==+=由算术几何平均不等式得

2

2

111lim lim .442

3,012

3.()()[0,2]1, 1,01

(2)(0)1().12

0, 1x x

x x f x f x x x

x x f f f x x x =

===⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<<+∞⎪⎩-≤≤⎧-⎪

'==⎨--<<+∞⎪⎩设求在闭区间上的微分中值定理的中间值.

解2/23/21.

221111,;,()[0,2]222x x x f x x -=--=-=-=-=1

在闭区间上的微分中值定理的中间值为2

2324.[1,1]Cauchy ()()()30(1,1),Cauchy (1)(1)()()

0,()200,(0)0,.

(1)(1)()()

5.()[,],(,f x x g x x g x x f f f c f c f c c c g g g g c g c f x a b a -=='=∈-''--''======''--在闭区间上中值定理对于函数与是否成立?并说明理由.

由于有零点中值定理的条件不满足.其实其结论也不成立.因为若

，但无意义设在上连续在解2121212),()0,(,)()()0,(,)()0.

(,),()0,Rolle (,),(,)()()0.

()[,](,),()0,()0,(,).

(b f x x a b f a f b x a b f x c a b f c a c c c b f c f c f x c c c c f f x x a b f ξξ''≠∈==∈≠∈=∈∈''=='''''∈=≠∈''上有二阶导数且又证明当时若存在则由定理存在使得对于在应用定理,存在使得此与条件矛盾由假设1证一,c 证二,00)0,(,),,().()(,())(,0)(,())(,0),()0,(,).

6.()[,],()()0,(,)()0.:(,)()0.x x a b Darboux f x f x a f a a b f b b f x x a b f x a b f a f b c a b f c a b x f x ''''≠∈==<∈==∈>''<根据定理恒正或恒负不妨设恒正,于是f下凸,曲线严格在连结的弦下方故设在上有二阶导数且又存在使证明在内至少存在一点使由公式存在证一,c 12121221021()()()

(,),()0,

()()()

(,),()0.

()[,]Lagrange (,),()()

()0.

,()0,(,),[,],(,(f c f a f c a c f c c a c a

f b f c f c c b f c b c c a

f x c c c c f c f c f x c c f x x a b f a b a f a -'∈=

=>----'∈==<--'∈''-''=<-''≥∈0满足存在满足对于在应用公式,存在x 使得

若不然在下凸曲线在连结12c 证二))(,0)

(,())(,0),()0,(,).

a b f b b f x x a b ==≤∈的弦下方故12011201211

00112121201120127.1-1

21

01.(),1111-1

21()1-1

2n n n n n

n n n n n n n n n n n n a a a a a

a x a x a x a n n n a x a x a a a a x a x a a

f x x n n n n n n a

a a a f x a x a x a x a n n n ---+-----++++=

++++

++⎛⎫

=+++

+

-++++

+ ⎪+-+⎝⎭

'=+++

+-++++++证明方程在与之间有一个根考虑函数

证1201120121(0)(1)0.,(0,1),()0,1-121

01.

n n n n n n

n a f f Rolle c f c c a a a a a

a x a x a x a n n n ---⎛⎫ ⎪

⎝⎭'==∈=++++=++++++由定理存在即是

在与之间的一个根