11.3 角的平分线的性质(第二课时)

合集下载

人教版初中数学八年级上册第十二章角的平分线的性质(第2课时)

证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP（公共边），
O
P
PD= PE（已知），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
12.3 角的平分线的性质/
结
OP平分∠AOB
PD=PE
已知条件
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
OP平分∠AOB
巩固练习
12.3 角的平分线的性质/
到三角形三边距离相等的点是( C ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300 m，则工厂的位置在哪里？
离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建
在何处（比例尺为1︰20000）？
O
这个点应该在角的平分线
S
探究新知
12.3 角的平分线的性质/
知识点 1 角平分线的判定
叙述角平分线的性质定理.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

r 11. 3 角的平分线的性质(二)

B D

C A

11．3．2 角的平分线的性质（二）

【目标导航】 1. 能判别角平分线学有所得

2. 利用角平分线的有关性质进行计算和证明.

【自主复习】已知: 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°,

AD 是∠BAC 的角平分线，若BC=16,BD=10,

则D 点到AB 的距离是______

【自主探究】

问题：我们知道，在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．到角的两

边距离相等的点在角的平分线上吗？

角平分线的判定: 角的内部到角的两边相等的在

已知：

求证：

证明：

角平分线的判定定理的推理格式 : ∵)()(}(⎪⎩

⎪⎨⎧⊥⊥=________________________________

_________________________ ∴ ______ =______（）

思考：如图所示，要在S 区建一个集贸市场，

使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交

叉处500m ，这个集贸市场应建于何处（在图上

标出它的位置，比例尺为1：20000）？

第一步：尺规作图法作出∠AOB

的．

第二步：在射线OP 上截取，

确定C 点，C 点就是．

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形的步骤，•使问题

简单化．所以若遇到有关，又要证的问题，•我们可以直接

利用角平分线的性质解决问题．

【引思导学】

例1：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？

分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明角平分线通过前两条角平分线的．

已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ．.

角平分的性质(第二课时)教学实录

11.3角的平分线的性质（第二课时）教学实录

多媒体演示师生活动

师：上节课我们学习了角的平分线的什么？

生：角的平分线的性质

师：拿出《学习单》，请用尺规作出∠AOB的平分

线OC，并用数学语言描述这一性质。

学生独立作业，教师巡查，个别指导。用实物投影

展示一个比较规范的作法和正确的描述。并强调此

命题的题设和结论。

师：现在我提出一个问题供大家小组交流思考，请

看PPT“到一个角两边的距离相等的点是否一定在

这个角的平分线上？”开始交流讨论。

生：肯定成立（个别学生迫不及待先回答）

师：不急，先交流，要能找到充分的理由，再下结

论。

学生开始动手尝试作图并推理。教师参与小组交

流，从中发现学生探讨过程中的困难。

师：刚才发现有些小组不知从何下手，同学们看，

这是一个命题，要论证它的真假性，需参考“证明

命题的步骤”。先做哪些准备“

生：分析命题的题设和结论，并结合它们画出草图，

利用图形写出已知和求证。

师：很好，继续你们的探讨。有困难的小组请举手

报告老师。

学生又开始活跃起来，教师继续巡查，进行个别小

组指导和交流、质疑。

师：好了，同学们，绝大部分小组已经完成了他们

的论证，请一个小组代表上讲台进行你们的陈述，

其他同学，请认真听，若有疑问，也请大胆提出来

交流。

生：-------（略）

师：大家对于这个论述还有什么疑问吗？

生：没有

师：好，请大家归纳结论，并用数学语言描述这一

结论。

学生在归纳总结

师：哪位同学能分析出这个结论与角的平分线的性

质有何联系？

生：积极参与表达（教师要关注学生的表达是否完

整，逻辑是否清晰）

师：请大家看课件这个例题，看能否利用今天学习

11.3角的平分线的性质说课稿

角的平分线的性质（二）

一、教材的分析和处理

本节课选自人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册，第十一章第三节内容“角的平分线的性质”。

1、教材的地位和作用

角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续，为后面证明线段相等、角相等的几何证明开辟了一种新的，更为简捷的方法。同时也是轴对称图形的基础，并为解决九年级下册确定内切圆的圆心提供了依据。本节分两个课时，我选的是第二课时。本课时主要探究角的平分线的性质和判定，并能在此基础上进行简单的应用.教材不仅为学生动手操作、观察、思考、验证、交流等提供了较好的素材，使学生通过自主探究、合作交流等方式形成新的知识，更让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型，从而解决相关的实际问题。

2、教学目标

知识与技能：掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题.

过程与方法：通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力.

情感态度与价值观：经历对角的平分线的性质和判定的探索过程，发展应用数学知识的意识与能力，培养学生良好的学习态度及严谨的科学态度，体验探索过程中的乐趣与成功后的喜悦.

3、教学重、难点

重点：掌握角的平分线的性质和判定.

难点：理解角的平分线的性质和判定的互逆关系，并能正确运用它们解决问题.

4、教材的处理

教材是围绕现实生活中的实际问题采用“创设问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的基本教学模式来展开教学活动。让学生经历探索角的平分线的性质、判定的形成与初步的应用过程，从而能从理性逻辑思维的角度掌握性质和判定的区别与联系，达到真正的“学数学”和“用数学”。

角平分线的性质教学设计

《角平分线的性质》教案

——人教版《数学》八年级上册

鞍山市二十六中学

那琳

11.3 《角平分线的性质》教案第二课时

教学目标知识技能

1、了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分

线的性质；

2、会利用角的平分线的性质进行证明与计算.

解决问题

1、提高综合运算三角形全等的有关知识解决问题的能力

2、初步了解角平分线的性质及判定在生活、生产中的应用数学思考

通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。

情感态度

探讨角平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理

性精神。

重点角平分线的性质的证明及运用。

难点角平分线性质的探究。

教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图活动1：

情境引入：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？

1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？

2．比例尺为1：20000是什么意思？

学生以小组为单位

讨论，有部分学生疑惑，

用以前学过的知识解决

不了，引出新知识，等

待学完再解决。

通过让学生

动手画最短的路

线，可以复习点

到直线的距离这

一概念，为探究

角的平分线的性

质作铺垫；同时

也让学生感受到

数学与实际生活

是紧密相连的，

从而激发学生的

学习兴趣，体现

人人学有价值的

数学。。

活动2：

根据表中的图形和已知，猜想由已知可推出的结论，并用符号语言填写下表：1、学生可以讨论，独立思考，然后说出答案。

《角的平分线的性质(第二课时)》精品教案 2022年公开课一等奖

教学过程设计

角平分线的判定定理的应用：

多媒体展示：

〔1〕现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，

问他们的做法正确？那一种方法好？：， CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ，AC=BC

求证： OC 平分∠AOB

B A

O C

证法1：∵CA ⊥OA ，BC ⊥OB ∴∠A=∠B 在△AOC 和△BOC 中

⎩⎨⎧==BC AC OC

OC ∴△AOC ≌△BOC 〔HL 〕

∴∠AOC=∠BOC ∴OC 平分∠AOB 证法2：∵ CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ， AC=BC ∴OC 平分∠AOB 〔角平分线判定定理〕

〔2〕：如图，AD 、BE 是△ABC 的两个角平分线，AD 、BE 相交于O 点

求证：O 在∠C 的平分线上

三、课堂训练

多媒体展示：、

1.如图，DB ⊥AN 于B ，交AE 于点O ，OC ⊥AM 于点C ，且OB=OC ，假设∠OAB =25°，求∠ADB 的度数.

想及证明，归纳角平分线的判定定理。

学生明确在一定条件下，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，

可直接运用角平分

线判定定理。

教师引导学生分析，

思考，写出证明过程。

教师标准书写格式。

学生应用角的平分线判定定理解题。

概括能力。

使学生明确角平分线判定定理的作用。

稳固角的平分线的性质与判定的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

稳固本节所学。

D M

C N E A G

板书设计

2.如图，AB =AC ，DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ，且DE =DF . 求证：BD =DC 四、小结归纳

角平分线的性质(2)最新版

课堂小测10分钟
A 类：试卷
B 类：（1）试卷。（2） <堂堂清>第9页第1题。
C 类：（1）试卷。（2） <堂堂清>第9页第5，6题。
D 类：（1）试卷。（2） <堂堂清>第9页第2，3，4题。
作业抄题并画图
自学作业：完成课本21页思考题。
A类: 课本26页第5题。（二号本） “北大绿卡”第13页1，2，5题。
∴点Q在∠AOB的平分线上
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
用几何语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
角平分线上的点到角源自文库边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
1. 在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。 A
E
F
B
D
C
练习10分钟：
A B类：课本22页第3题。
C D类：（1）课本22页第3题。（2） <北大绿卡>14页第9题。
课堂小结
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
角平分线上的点到角两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE

角平分线的性质第二课时

这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等．
•学会应用•
1．判断题：（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( X ) A
M
Q O N B
•学会应用•
1．判断题：（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则 OQ是∠AOB 的平分线； (X ) A
M
B
•学会应用•
问题3 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？公路 S 公路铁路
变式拓展
变式1 如图，△ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC的平分线 AN 相交于点P，求证：点 P 在 △ABC另一个外角的平分线上． A B C
•人教版初中数学课件系列•
• 数学：七年级•八年级•九年级•上•下册（新） • 八年级数学上册共有五章，每章课件大约10课时，如有何要修改，请自行修改。
•注明：课件参考了各地名师及教师教学用书课件内容，略有修改。
12.3 角平分线的性质（2）
• 在学生学习了角平分线性质的基础上，本节课进一步研究角平分线性质定理的逆定理——角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这是全等三角形知识的运用和延续，是今后学习圆的内心的基础．
•学会应用•
2．在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．（2）若这个广告牌P 离两条公路交叉处500 m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌应建于何处？ S

11.3 角平分线的性质(2)课件2

∴ △PDO 和△PEO 是Rt△ △ 在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP = OP （公共边） PD = PE （已知）
∆ ∆ ∴ Rt∆PDO≌ Rt∆PEO （ HL） O E ∴ ∠AOP= ∠BOP （全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等）
∴ 点P在 ∠ AOB 在
的角平分线， ⊥ ，例6、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，、如图，是的角平分线 DF⊥AC，垂足分别是、F，连接，EF与AD ⊥ ，垂足分别是E、，连接EF，与交于G。求证：交于。求证：（1） DE=DF ）（2）AE=AF ）（3） AD⊥EF ） ⊥
B E G F A
1 2 E D B
角平分线上的点到角的两边的距离相等 C (___________________________________________)
(2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ⊥ ⊥
AD平分∠BAC 平分∠ 1= ∠ ∠平分 2 ∴__________ 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 (_到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 ______________________________________________)
？思考
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００５００米离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（？（比例尺 20000）在何处？（比例尺 1：20000）

初二数学人教版角的平分线的性质第二课时

O
P C 考虑“作双垂”．
E H B
2 ．猜测∠PDA = ∠PEO ；求证何来？构造的全等．
初中数学
解： ∠PDA = ∠PEO．理由如下：
如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．
∵OP平分∠AOB，∴PF = PH ．
A FD
在Rt△PDF与Rt△PEH中， PD PE，
O
PC
B H
CP
作法：作∠ABC的平分线，交AC于点P．则点P为所求．证明：作PH⊥AB于H． A ∵∠C = 90°，∴PC⊥AC． ∴PC = PH．
，并证明你的结论．
A FD
分析：标图 1 ．已知可推？“角分无垂直”，
O
P C 考虑“作双垂”．
E H B
初中数学
初中数学
练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA， OB上，且PD = PE，图中与∠PDA相等的角是
∠PEO ，并证明你的结论．
A FD
分析：标图 1 ．已知可推？“角分无垂直”，
FM ∴ PD = PE ．
B
E
C
初中数学
初中数学
证明：过点P作PD， PE，PF分别垂直于AB，BC， CA，垂足分别为D，E，F．
∵BM是△ABC的角平分线，
A
点P在BM上，
N P FM ∴ PD = PE ．

人教版八年级数学课件《角的平分线的性质(第2课时)》

已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，
A
CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
ND P
F M
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
B
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
O
∴点P 在∠AOB的平分线上.
A
D C
P
E
B
探究新知
素养考点角平分线的判定的应用
例如图，要在S区建一个集贸市场，使它到铁路和公路距
离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建
在何处（比例尺为1︰20000）？
O
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
S
D
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离
O
这个点应该在角的平分线
S
探究新知
知识点 1 角平分线的判定
叙述角平分线的性质定理.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
回几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
顾
∴ PD= PE. 不必再证全等
旧知
A D

新人教版11.3角的平分线的性质第二课时

E D F
利用结论，解决问题
练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
2、直线表示三条相互交叉的公路现要建一个货物直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等要求它到三条公路的距离相等,则可供选择中转站要求它到三条公路的距离相等则可供选择的地址有_____处的地址有 4 处。
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。线上。用数学语言表示为： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE． ∴点P在∠AOB的平分线上．角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ∵ PD⊥OA,PE⊥OB,点P在∠AOB的平分线上 ∴ PD＝PE
角的平分线的性质: 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线是的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ⊥ ， ⊥ ∴ PD＝PE ＝
O 1 2 E B D P C A
反过来，反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足， PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用符号语言表示为：

11.3角平分线的性质(第二课时)

2008年下期八年一期数学师生共用讲学稿（NO:10）

执笔：刘伟平审核：吴光丁姓名

学习课题：11.3角的平分线的性质（第二课时）

学习内容：教材P21

学习目标：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤

2、进一步理解角平分线的性质及运用

学习重点：角平分线的性质及运用

学习难点：角平分线的性质的灵活运用

学习方法：探究、交流、练习

学习过程：

一、课前巩固

1、画出三角形三个内角的平分线

你发现了什么特点吗？

2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等

二、学习新知

（一）思考：教材P21

1、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

2、完成思考中的问题（完成于书上）

（二）应用

1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求

证∠1＝∠2

三、总结

四、作业

1、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB 交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，

求证DF＝EF

2、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等

§11.3 角的平分线的性质(二)

§11．3 角的平分线的性质（二）

教学目标

（一）教学知识点

角的平分线的性质

（二）能力训练要求

1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．

2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

（三）情感与价值观要求

通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，

激发学生学习数学的兴趣．

教学重点教学方法

角平分线的性质及其应用．探索、归纳的方法．

教学难点教具准备

灵活应用两个性质解决问题．剪刀、折纸、投影片．

教学过程

一．自主学习：

1、会用尺规作角的平分线.

2、角的平分线的性质:

二．互动研学：

1、反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？

2、已知：如图,QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，QD ＝QE ．求证：点Q 在∠AOB 的

平分线上．

你的结论： O C B

1 A 2

P D

E 用数学语言表述：

三．精讲互评

1、如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠DAE 的平分线

2、如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，且BE

＝

CF 。

3、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?

Ⅳ．感悟提升：

Ⅴ、作业布置。质量检测7课时。

B C E F

求证：AD 是△ABC 的角平分线。

Ⅵ、板书设计课后反思