2016年浙江省温州中学高二上学期数学期中试卷与解析

2015-2016学年浙江省温州中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）命题“若x2＜9，则﹣3＜x＜3”的逆否命题是（）A．若x2≥9，则x≥3或x≤﹣3 B．若﹣3＜x＜3，则x2＜9C．若x＞3或x＜﹣3，则x2＞9 D．若x≥3或x≤﹣3，则x2≥92．（4分）在平面直角坐标系内，曲线C：y2=xy 表示的点的轨迹为（）A．原点B．一条直线C．一点和一条直线 D．两条相交直线3．（4分）已知a∈R，则“a＜1”是“a2＜a”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条4．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β5．（4分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B． C．D．6．（4分）已知异面直线a，b成60°角，A为空间中一点，则过A与a，b都成45°角的平面（）A．有且只有一个B．有且只有两个C．有且只有三个D．有且只有四个7．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．8．（4分）已知正四面体ABCD的棱长为2，若动点P从底面△BCD的BC的中点出发，沿着正四面体的侧面运动到D点停止，则动点P经过的最短路径长为（）A．3 B．C．2 D．9．（4分）已知球O夹在一个锐二面角a﹣l﹣β之间，与两个半平面分别相切于点A、B，若AB=，球心O到该二面角的棱l的距离为2，则球O的体积为（）A．B．C．4πD．10．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2]C．（，2]D．（2，4]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．（5分）若命题p：“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”为真命题，则实数a的取值范围是．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是．13．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为1的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为．14．（5分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为．三、解答题（共4小题，满分40分）15．（10分）在直三棱柱中，AA1=AB=BC=2，AC=1，D是AC中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求点B1到平面A1BD的距离．16．（10分）已知m∈R，命题p：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；命题q：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根．（Ⅰ）写出一个能使命题p成立的充分不必要条件；（Ⅱ）当命题p与命题q中恰有一个为真命题时，求m的取值范围．17．（10分）如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2．（Ⅰ）求异面直线EF与BC所成角的大小；（Ⅱ）若二面角A﹣BF﹣D的平面角的余弦值为，求AB的长．18．（10分）已知四边形ABCD是矩形，BC=kAB（k∈R），将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O．（1）若点O恰好落在边AD上，①求证：AB1⊥平面B1CD；②若B1O=1，AB＞1．当BC取到最小值时，求k的值（2）当k=时，若点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），求二面角B 1﹣AC﹣D的余弦值的取值范围．2015-2016学年浙江省温州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）命题“若x2＜9，则﹣3＜x＜3”的逆否命题是（）A．若x2≥9，则x≥3或x≤﹣3 B．若﹣3＜x＜3，则x2＜9C．若x＞3或x＜﹣3，则x2＞9 D．若x≥3或x≤﹣3，则x2≥9【解答】解：命题“若x2＜9，则﹣3＜x＜3”的逆否命题是：若x≤﹣3或x≥3，则x2≥9．故选：D．2．（4分）在平面直角坐标系内，曲线C：y2=xy 表示的点的轨迹为（）A．原点B．一条直线C．一点和一条直线 D．两条相交直线【解答】解：∵y2=xy，∴y（x﹣1）=0，∴y=0或x﹣1=0，∴曲线C：y2=xy 表示的点的轨迹为两条相交直线，故选：D．3．（4分）已知a∈R，则“a＜1”是“a2＜a”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条【解答】解：a2＜a等价于a（a﹣1）＜0，解得0＜a＜1，∴“a＜1”是“a2＜a”的必要不充分条件，故选：B．4．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β【解答】解：若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥α或m⊂α，故C错误；若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．5．（4分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B． C．D．【解答】解：∵锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为，又∵锥体的体积为，故锥体的底面面积为2，A中图形的面积为4，不满足要求；B中图形的面积为π，不满足要求；C中图形的面积为2，满足要求；D中图形的面积为，不满足要求；故选：C．6．（4分）已知异面直线a，b成60°角，A为空间中一点，则过A与a，b都成45°角的平面（）A．有且只有一个B．有且只有两个C．有且只有三个D．有且只有四个【解答】解：已知平面过A，再知道它的方向，就可以确定该平面了∵涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系，∴原题简化为：已知两条相交直线a，b成60°角，求空间与a，b都成45°角的直线．过P作a′∥a，b′∥b，设直线a′、b′确定的平面为α，∵异面直线a、b成60°角，∴直线a′、b′确所成锐角为60°①当直线l在平面α内时，若直线l平分直线a′、b′确所成的钝角，则直线l与a、b都成60°角，不成立；②当直线l与平面α斜交时，若它在平面α内的射影恰好落在直线a′、b′确所成的锐角平分线上时，直线l与a、b所成角相等．此时l与a'、b'所成角的范围为[30°，90°]，适当调整l的位置，可使直线l与a、b也都成45°角，这样的直线l有两条．综上所述，过点P与a′、b′确都成45°角的直线，可以作2条．∴过A与a，b都成45°角的平面有且只有2个．故选：B．7．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．8．（4分）已知正四面体ABCD的棱长为2，若动点P从底面△BCD的BC的中点出发，沿着正四面体的侧面运动到D点停止，则动点P经过的最短路径长为（）A．3 B．C．2 D．【解答】解：如图，由题意可知，动点P从底面△BCD的BC的中点出发，沿着正四面体的侧面运动到D点停止，则动点P经过的最短路径为右图中的PD，在△PBD中，∵BD=2，BP=1，∠PBD=120°，∴=．故选：B．9．（4分）已知球O夹在一个锐二面角a﹣l﹣β之间，与两个半平面分别相切于点A、B，若AB=，球心O到该二面角的棱l的距离为2，则球O的体积为（）A．B．C．4πD．【解答】解：设O、A、B三点确定的平面交棱l于点C，连接AC、CB、OC则∠ACB就是二面角a﹣l﹣β的平面角，OC长即为点O到棱l的距离，OC=2设OA=x，AC=y，则Rt△OAC中，解之得x=，y=1或x=1，y=∵二面角a﹣l﹣β是锐二面角，∴当x=，y=1时，∠ACB=120°不符合题意；当x=1，y=时，∠ACB=60°符合题意因此球0的半径R=OA=1，得球0的体积为V==故选：D．10．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2]C．（，2]D．（2，4]【解答】解：由题意得，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DE=AC=，翻折后，在图2中，此时CB⊥AD．∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，DE⊥BC，又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1，∴AE=，AD=，在△ADE中：①，②，③x＞0；由①②③可得0＜x＜．如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，AD与B 1C交于M，且AD⊥B1C，AD=B1D=CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B1CD，又∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°，∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°，∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×综上，x的取值范围为（0，]，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．（5分）若命题p：“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”为真命题，则实数a的取值范围是a≤2．【解答】解：函数f（x）=|x﹣a|=，在区间[a，+∞）上为增函数，若函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数，则a≤2，故答案为：a≤2．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是．【解答】解：根据三视图，可知几何体的直观图如下．可以分割成一个直三棱柱，和一个同底的三棱锥．底面三角形一边为2，此边上的高为，直三棱柱高为h1=2，三棱锥高为h2=1．体积V=S（h1+h2）=（2+）=故答案为：13．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为1的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为．【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，∵球O的半径为1，∴正方体的边长为，即PA=PB=PC=，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC ×h=S△PAB×PC=，△ABC为边长为的正三角形，S=×（）2=，△ABC∴h=，∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为．故答案为：．14．（5分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2+y2=6．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），又P（1，1），则x1+x2=x+1，y1+y2=y+1，，．由PA⊥PB，得，即（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0．整理得：x1x2+y1y2﹣（x1+x2）﹣（y1+y2）+2=0，即x1x2+y1y2=x+1+y+1﹣2=x+y ①又∵点A、B在圆上，∴②再由|AB|=|PQ|，得，整理得：=（x﹣1）2+（y﹣1）2③把①②代入③得：x2+y2=6．∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为：x2+y2=6．故答案为：x2+y2=6．三、解答题（共4小题，满分40分）15．（10分）在直三棱柱中，AA1=AB=BC=2，AC=1，D是AC中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求点B1到平面A1BD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）连结AB1，交A1B于点O，连结OD∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=BC=3，∴ABB1A1是正方形，∴O是AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD是△ACB1的中位线，∴OD∥B1C，∵B1C不包含于平面A1BD，OD⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．解：（Ⅱ）取A1C1的中点E，连结DE，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，∴DE⊥平面ABC，BD⊥AC，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，AA1=AB=BC=2，AC=1，则B1（0，，2），A1（﹣，0，2），D（0，0，0），B（0，，0），=（0，，2），=（﹣，0，2），=（0，，0），设平面A1BD的法向量=（x，y，z），则，取x=4，得=（4，0，1），∴点B1到平面A1BD的距离d==．16．（10分）已知m∈R，命题p：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；命题q：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根．（Ⅰ）写出一个能使命题p成立的充分不必要条件；（Ⅱ）当命题p与命题q中恰有一个为真命题时，求m的取值范围．【解答】解：（1）命题p：△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，即关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根充要条件是1＜m＜3，则能使命题p成立的充分不必要条件为1＜m＜2，（答案不唯一，{m|1＜m＜3}的真子集均可）；（2）命题q：，解得m＞2命题p：1＜m＜3∵命题p与命题q中恰有一个为真命题①p真q假时，，∴m≥3．②p假q真时，，∴1＜m≤2．∴m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}．17．（10分）如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2．（Ⅰ）求异面直线EF与BC所成角的大小；（Ⅱ）若二面角A﹣BF﹣D的平面角的余弦值为，求AB的长．【解答】解：（Ⅰ）延长AD，FE交于Q．∵ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1得∠AQF=30°．即异面直线EF与BC所成角为30°…（7分）（Ⅱ）方法一：设AB=x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF．∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，∴AB⊥DG．∴DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，则DH⊥BF，∴∠DHG为二面角A﹣BF﹣D的平面角．在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG=．在直角△BAF中，由=sin∠AFB=，得=，∴GH=．在直角△DGH中，DG=，GH=，得DH=．∵cos∠DHG==，得x=，∴AB=．…（15分）方法二：设AB=x．以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则F（0，0，0），A（﹣2，0，0），E（0，，0），D（﹣1，，0），B（﹣2，0，x），∴=（1，﹣，0），=（2，0，﹣x）．∵EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取=（0，1，0）．设=（x1，y1，z1）为平面BFD的法向量，则∴可取=（，1，）．∵cos＜，＞==，得x=，∴AB=．…（15分）18．（10分）已知四边形ABCD是矩形，BC=kAB（k∈R），将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O．（1）若点O恰好落在边AD上，①求证：AB1⊥平面B1CD；②若B1O=1，AB＞1．当BC取到最小值时，求k的值（2）当k=时，若点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），求二面角B1﹣AC﹣D的余弦值的取值范围．【解答】解：（1）①证明：∵点B1在平面ABCD上的射影为O，点O恰好落在边AD上，∴平面AB1D⊥平面ACD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面AB1D，∴AB1⊥CD，又∵AB1⊥CB1，∴AB1⊥平面B1CD．②解：作矩形ABMN，使得B1在MN上，设AB=x，BC=y，则NB1=，∵AB1⊥B1D，∴△ANB1∽△B1MD，∴B1D==，∴y=B1C==≥2，当且仅当x=时取等号，y有最小值，k=；（2）解：作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，当点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），点O恰好在线段EF上，又∵B1E⊥AC，EF⊥AC，∴∠B1EF为二面角B1﹣AC﹣D的平面角∴cos∠B1EF=∈（0，），故二面角B1﹣AC﹣D的余弦值的取值范围为（0，）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.（2）当∠APB＝90°时，若AB2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。