极小化r个最大函数和的二阶光滑化方法

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最优化方法

最优化方法1. 简介最优化方法是一种通过调整变量值以最小化或最大化某个目标函数来优化系统性能的数学方法。

最优化方法广泛应用于各个领域，包括经济学、工程学、计算机科学等。

本文将介绍最优化方法的基本概念、常用算法以及其在实际问题中的应用。

2. 最优化问题最优化问题可以分为无约束最优化和约束最优化问题。

无约束最优化问题是在没有任何限制条件的情况下，寻找使目标函数值最小或最大的变量值。

约束最优化问题则在一定的约束条件下寻找最优解。

在最优化问题中，目标函数通常是一个多元函数，而变量则是目标函数的输入参数。

最优化的目标可以是最小化或最大化目标函数的值。

常见的优化问题包括线性规划、非线性规划、整数规划等。

3. 常用最优化算法3.1 梯度下降法梯度下降法是最常用的最优化算法之一。

它通过计算目标函数相对于变量的梯度（即偏导数），以负梯度方向更新变量值，逐步接近最优解。

梯度下降法的优点是简单易实现，但可能收敛速度较慢，且容易陷入局部最优解。

3.2 牛顿法牛顿法是一种基于目标函数的二阶导数（即海森矩阵）信息进行更新的最优化算法。

相较于梯度下降法，牛顿法的收敛速度更快，并且对于某些非凸优化问题更具优势。

然而，牛顿法的计算复杂度较高，且可能遇到数值不稳定的问题。

3.3 共轭梯度法共轭梯度法是一种用于解决线性方程组的最优化算法。

它利用共轭方向上的信息以减少最优化问题的迭代次数。

共轭梯度法适用于大规模线性方程组的求解，并且在非线性优化问题中也得到了广泛应用。

3.4 遗传算法遗传算法是一种通过模拟生物进化过程寻找最优解的优化算法。

它通过交叉、变异等操作生成新的解，并通过适应度评估筛选出优秀的解。

遗传算法适用于搜索空间较大、复杂度较高的优化问题。

4. 最优化方法的应用最优化方法在各个领域都有广泛的应用。

在经济学领域，最优化方法可以用于优化生产资源的配置、最小化成本或最大化利润等问题。

它可以帮助决策者制定最优的决策方案，提高效益。

优化理论

有限维空间的优化理论与算法
引言
刘红英数学与系统科学学院
1.1 数学描述与例子
• 目标：系统性能的一种“量的度量”(利润、时间、势能)－－任何数量或某些量的组合－－数
• 变量：目标所依赖的系统的“某些可控的特征” • 约束条件：经常变量以某种方式受限制(分子中电子密度
的量、贷款利率的量，不能是负的)
故必要条件即对所有 p，有
等价地
(一阶条件)，G*半正定(二阶条件)
稳定点/驻点(stationary point)：使得 g(x*)=0 的 x*
局部极小点的充分条件
定理. x*是严格局部极小点的充分条件是，G*正定.
例.考虑Rosenbrock函数
在x*=(1, 1)处严格局部极小点－全局极小点充分非必要：
优化问题的一般模型－－数学规划问题
一个小例子
• 可行域/可行集 • 最优解/解 • 图解法
1
优化建模(modeling)：识别出给定问题的目标、变量和约束的过程。
• 建立恰当模型：第一步、最重要的一步(太简单－不能给实际问题提供有用的信息；太复杂－不易求解)
• 选择特定算法：很重要--决定求解速度及质量(无通用优化算法，有求解特定类型优化问题的算法)
积极(约束指标)集 x2
x*
x1 Lagrange函数：
一阶条件：KKT条件
正则性假设1：
定理(一阶条件). 若 x* 是局部极小点且在 x* 处正则性假设1成立，则存在
Lagrange乘子使得
满足
◎ Karush-Kuhn-Tucker条件, KKT条件/KKT点
局部极小的条件－充分条件(续)
定理.可微凸函数的稳定点是全局极小点

数学中的优化理论与最优化方法

数学中的优化理论与最优化方法优化理论是数学中的重要分支，在不同领域中都有广泛的应用。

本文将介绍数学中的优化理论以及一些常用的最优化方法。

一、优化理论的基本概念1.1 优化问题优化问题是指在一定的约束条件下，寻找使某个目标函数取得最优值的问题。

通常有两种类型的优化问题：极大化问题和极小化问题。

极大化问题是要找到使目标函数取得最大值的自变量取值，而极小化问题则是要找到使目标函数取得最小值的自变量取值。

1.2 目标函数和约束条件在优化问题中，目标函数是要优化的对象，通常用f(x)表示，其中x表示自变量。

约束条件是目标函数的取值范围或限制条件，用g(x)表示。

优化问题可以表示为如下形式：max/min f(x)s.t. g(x) <= 01.3 最优解最优解是指在所有满足约束条件的自变量取值中，使得目标函数取得最大值或最小值的解。

最优解可能存在唯一解，也可能存在多个解。

二、常用的最优化方法2.1 梯度下降法梯度下降法是一种基于搜索的最优化方法，通过迭代的方式不断调整自变量的取值来逼近最优解。

该方法的核心思想是沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，使目标函数逐渐减小，直到达到最小值。

2.2 牛顿法牛顿法是一种迭代求解方程的方法，也可以用于解决优化问题。

该方法基于泰勒级数展开，通过求解目标函数的一阶导数和二阶导数来更新自变量的取值，以逼近最优解。

2.3 线性规划线性规划是一种常用的优化方法，适用于目标函数和约束条件都是线性的情况。

线性规划可以通过线性规划模型进行建模，然后利用线性规划算法求解最优解。

2.4 非线性规划非线性规划是一种更一般性的优化方法，适用于目标函数或约束条件存在非线性关系的情况。

非线性规划可以通过梯度下降法、牛顿法等方法进行求解，也可以利用非线性规划算法进行求解。

2.5 整数规划整数规划是一类特殊的优化问题，要求自变量取值必须为整数。

整数规划有时候可以通过线性规划进行求解，但通常需要借助专门的整数规划算法来求解。

DEM题库——精选推荐

DEM题库选择题1.⼭顶点的坡度变化是________。

(A)A. 坡度从正到负B.坡度从正到负C.坡度没有变化D. 坡度从⼩到⼤2.下列DEM数据获取⽅法中数据采集成本和⾼程精度最⾼的是__________。

(C)A.野外采集B.摄影测量C. 激光扫描D. ⼿扶跟踪数字化3.当采样间隔能使在函数中存在的最⾼频率中每周期取有__B_样本时，则根据采样数据可以完全恢复原函数。

A.⼀个B. 两个C.三个D. 四个4.R=S曲⾯/S⽔平，R表征的是下列哪个地形因⼦__________。

(C)A.地形起伏度B.地表切割深度C. 地表粗糙度D. 格点⾯元凸凹系数5.地⾯曲率在垂直⽅向上的分量称为__________。

(B)A.平⾯曲率B. 剖⾯曲率C.等⾼线曲率D. 法线曲率6.哪项不是数字⾼程模型的研究内容（C）A、地形数据采样，数据组织与管理B、地形建模与内插，地形分析与地学应⽤C、空间分析，空间数据表达与制图 (应该是地形分析)D、DEM可视化，不确定性分析和表达7.影像数据的采样⽅案包括__________。

(A、B、C、D)A. 规则格⽹采样B. 随机采样C. 渐进采样D. 混合采样8.与传统地形图⽐较，DEM作为地形表⾯的⼀种数字表达形式，具有_______特点。

(A、B、C、D)A. 表达的多样性B. 精度的恒定性C. 更新的实时性D. 尺度的综合性9.我国到⽬前为⽌，已经建成了覆盖全国范围以及七⼤江河重点防洪区的________的DEM。

(A、B、C、D)A.1：100万B.1：25万C. 1：5万D. 1：1万10.坡度变化率、坡向变化率、曲率、凸凹系数等是对DEM进⾏_________并组合后得到的。

(D)A. ⼀阶微分B. ⼆阶微分C. ⼀阶求导D. ⼆阶求导11.以下属于地形特征点的是________。

(A、B、C、D )A. ⼭顶点B. ⾕底点C. 鞍部点D. 变坡点12.直接⽤离散点内插⽣成格⽹点的⽅法包括__________。

光滑粒子流体动力学方法SPH课件

h是定义光滑函数W的影响区域的光滑长度。
粒子近似法
与SPH核近似法相关的连续积分表示式，可转化为支持域内所有粒子叠加求和的离散化形式。
f x f xW x x, hdx
N
f
x
j
W
x
x
j
,
hV
j
j 1
N
f
j 1
xj W xxj,h
1
j
jV j
N
f
j 1
xj W xxj,h
边界处理
当类型I的虚粒子成为邻近边界处的实粒子的相邻粒子时，则会在沿着两粒子的中心线处对实粒子产生一个作用力。
PBij
D
r0 rij
n1
r0 rij
n2
xij rij2
,
0,
r0 rij
1
r0 rij
1
式中：参数n1和n2一般取值分别为12和4。D是由具体问题而定的参数，一般取与速度最大值的平方相等的量级。截止半径r0在此问题的模拟分析中非常重要，在一般情况下， r0的取值与粒子的初始间距的大小相近。
目录
➢SPH计算公式 ➢光滑函数 ➢最近相邻粒子搜索法(NNPS) ➢人工粘度 ➢边界处理 ➢交界面处理 ➢光滑长度的更新
➢SPH方程的求解 ➢SPH程序结构 ➢激波管问题
SPH计算公式
1、密度的粒子近似法
由于粒子的分配与光滑长度的变化主要依赖于密度，故在SPH法中密度近似法非常重要。
在SPH法中有两种方法对密度进行展开，第一种方法是对密度直接用SPH近似法，称为密度求和法。第二种方法是连续性密度法，通过应用SPH近似法的概念对连续性方程进行转换而得到。
全配对粒子搜索法

数理经济学第10章具有约束方程的最优化

第10章具有约束方程的最优化10.1基本约束优化问题10.2 一阶必要条件10.3二阶充分条件10.4最优解的比较静态分析10.5 Lagrange 乘子的数学含义10.6目标函数最优值的比较静态分析10.1基本约束优化问题般标准的极大化问题：max f （人，乂2，川，乂" 或者：max f (x)s.tg(X1，X2，ill,X n)乞b j s.t g(x)乞bh j(X1，X2」li,X n)二a i h(x)工a一般标准的极小化问题：min f (石公2」||风) 或者：min f (x) s.tg(X1,X2」ll,X n) - b j s.t g(x) - bh j(X1,X2,lli,X n)二a i h(x)二a10.2+10.3 :—阶必要条件和二阶充分条件1、等式约束优化问题（1 ）两个变量一个等式约束的情形极大化问题:max f (x, y)s.t h(x, y) = c例：消费者的效用最大化问题maxU (x1, x2)s.t p/ + p2x2= I构造拉格朗日函数：L(x, y,)二f (x,y)- [h(x, y)- c] 二f (x, y) [c- h(x, y)]一阶必要条件：c- h(x,y)二0L x = f x - h x = 0L y 二f y - h y= 0注：通过将L视为三个选择变量的自由函数，将约束优化转化为了无约束优化。

拉格朗日乘数的解释：*是Z*(最优值)对约束变化敏感性的度量。

特别的，c增加(预算增加)的影响表明约束条件的放宽如何影响最优解。

设：根据一阶必要条件得到的最优解为*，X*，y*，贝，*，x*, y*满足：L = c _ h(x*, y*)二0L x = f x(x*, y*r * h x(x*, y*)二0L厂f y(x*, y*) - *h y(x*, y*) = 0最优值为：L* 二f (x*, y*) *[ c- h(x*, y*)]由三个必要条件，可以确定：X* = x*( c), y*二y*(c)因此，L*对c的导数：dL * dx * dy * d *丁二f xL f y-^ ux *y, *-)+dc dc dc dcJi 一hx^-h y 竽)dc dc= (f x- *h x)乎(f y- *h y)d y* dc dc弘*[c- h(x*, y*)] *dc=■ *结论：拉格朗日乘数的解值是由参数c引起的约束条件变化对目标函数最优值影响的度量。

函数的极值与最大(小)值(解析版)

函数的极值与最大(小)值(解析版)函数的极值与最大(小)值（解析版）函数的极值与最大(小)值是数学分析中一个重要的概念和研究内容，它在很多领域具有广泛的应用，如经济学、物理学、工程学等。

本文将介绍函数的极值与最大(小)值的定义、求解方法以及一些实际问题中的应用。

一、函数的极值与最大(小)值的概念函数的极值是指在一个特定的区间内，函数取得的最大值或最小值。

定义域中的极值点可以是局部极大值或局部极小值，也可是全局的最大值或最小值。

二、求解函数的极值与最大(小)值求解函数的极值与最大(小)值通常有以下方法：1. 导数法：根据函数的导数（或导函数），可以找到函数的驻点和拐点，并通过一阶和二阶导数的符号来判断极值点的类型，即极大值或极小值。

其中，一阶导数为零的点即为函数的驻点，二阶导数为零的点即为函数的拐点。

2. 边界法：在给定的区间内，如果函数在区间的端点处取得最大或最小值，则该值也是函数的极值。

通过比较函数在边界点和内部点的取值，可以确定函数的最大(小)值。

3. 高阶导数法：对于一些特殊的函数，可以通过多阶导数的方法求解极值。

通过计算函数的高阶导数，可以得到函数的极值点。

4. 参数方程法：对于参数方程给出的函数，可以通过求解参数方程中的参数值，得到函数的极值。

这种方法在实际问题中应用较多。

三、实际问题中的应用函数的极值与最大(小)值在各个领域中都有广泛的应用，例如：1. 经济学中，通过对供需函数的极值分析，可以确定市场的均衡价格和数量，从而指导市场调节和政策制定。

2. 物理学中，通过对物体运动轨迹方程的极值分析，可以确定物体在运动过程中最大(小)值速度、加速度等相关参数。

3. 工程学中，通过对成本、效益、材料使用等函数的极值分析，可以优化设计方案，提高工程效率和经济性。

4. 生物学中，通过对生态系统中的种群数量变化函数的极值分析，可以研究种群的稳定性和生态系统的平衡状态。

总之，函数的极值与最大(小)值是数学分析中的重要内容，它不仅具有理论意义，还在实际应用中发挥着重要的作用。

最优化方法期末考试复习

最优化理论与方法知识点总结最优化理论与方法知识点总结 (1)一、最优化简介： (2)1.1最优化应用举例 (2)1.2基本概念 (2)1.3向量范数 (3)1.4矩阵范数 (3)1.5极限的定义 (3)1.6方向导数存在性和计算公式 (4)1.7梯度定义 (4)1.8海塞矩阵 (5)1.9泰勒展开式： (5)1.10凸集定义 (5)1.11凸集性质 (5)1.12凸函数定义 (6)1.13凸函数判断 (6)1.14矩阵正定与半正定判断 (6)1.15例题（判断矩阵是否正定） (7)1.16凸优化 (7)二、线性规划 (7)2.1线性规划数学模型的一般形式 (7)2.2解的基本定理 (7)2.3解的分类 (8)2.4图解法 (8)2.5例题（图解法） (8)2.6标准型的化法 (9)2.7例题（化为标准型） (9)2.8单纯形法 (10)2.9例题（单纯形法） (11)三、对偶线性规划 (13)3.1对偶问题 (13)3.2单纯形法解对偶问题 (13)3.3对偶单纯形法求解线性规划问题过程 (14)四、无约束优化 (14)4.1无约束优化概述 (14)4.2搜索区间的确定 (15)4.3区间消去法原理 (16)4.4黄金分割法 (17)4.5插值方法 (17)4.6常见的终止准则 (19)4.7最速下降法 (20)4.8牛顿类方法 (20)4.9例题（牛顿类方法） (21)一、最优化简介：1.1最优化应用举例具有广泛的实用性运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等工程设计，结构设计等资源分配，生产计划等通信：光网络、无线网络，ad hoc等.制造业：钢铁生产，车间调度等医药生产，化工处理等电子工程，集成电路VLSI etc.排版1.2基本概念目标函数和约束函数都是线性的，称之为线性规划问题，而有的模型中含有非线性函数，称之为非线性规划。

在线性与非线性规划中，满足约束条件的点称为可行点，全体可行点组成的集合称为可行集或可行域。

函数极大值和极小值的求法

函数极大值和极小值的求法函数极大值和极小值是数学分析中的重要概念，它们帮助我们研究函数的特性、优化问题，并且在实际问题的建模中有着广泛的应用。

在本文中，我将详细介绍函数极大值和极小值的求法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

首先，我们需要明确什么是函数的极值。

在数学中，给定一个函数f(x)，若存在某一点a，使得在a的某个邻域内的所有函数值都小于（或大于）等于f(a)，那么称f(a)为函数f(x)的极小值（或极大值）。

换句话说，极值点是函数在局部范围内取得最小或最大值的点。

那么如何确定函数的极值点呢？这里我们需要借助导数的概念和求导的方法。

首先我们需要明确导数的几何意义：导数可以理解为函数在某一点处的斜率。

如果函数在某一点处的导数大于0，说明函数在该点附近是递增的；如果导数小于0，说明函数在该点附近是递减的；如果导数等于0，说明函数在该点处取得极值。

接下来，我们介绍一些常见的求导方法，以帮助我们找到函数的极值点。

第一个方法是使用导数的一阶条件。

如果一个函数在某一点处存在极值，那么该点处的导数必然为0或者不存在。

因此，我们可以通过求导并解方程的方法求得函数的极值点。

例如，考虑函数f(x) = 2x^2- 3x + 1，我们首先对该函数求导，得到f'(x) = 4x - 3。

然后我们设置f'(x) = 0，并解方程得到x = 3/4。

因此，函数f(x)的极值点为x=3/4。

第二个方法是使用导数的二阶条件。

根据导数的几何意义，我们知道当函数在某一点处的导数为0时，可能存在极值点，也可能不存在极值点。

因此，我们需要进一步进行判断。

如果一个函数在某一点处的导数为0，并且该点处的导数的二阶导数（即函数的二阶导数）大于0，那么该点处必然是函数的极小值点；如果二阶导数小于0，那么该点处是函数的极大值点。

以前述的函数f(x)=2x^2-3x+1为例，我们已经求得了f'(x)=4x-3。

然后我们对f'(x)再求导，得到f''(x) = 4。

函数的极值与最值的求解

函数的极值与最值的求解在数学中，我们经常需要求解函数的极值和最值。

函数的极值指的是函数在某个定义域内取得的最大值或最小值，最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。

本文将介绍如何求解函数的极值和最值的方法。

一、函数的极值求解方法1. 导数法导数法是求解函数极值的一种常用方法。

根据函数的极值定义，极值点处函数的导数为零或不存在。

因此，我们可以通过以下步骤求解函数的极值：1）求函数的导数；2）令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标；3）将极值点的横坐标代入原函数，求得纵坐标。

例如，对于函数f(x) = x^2 - 2x + 1，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = 2x - 2；2）令导数等于零：2x - 2 = 0，解得x = 1；3）将x = 1代入原函数：f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0，得到极小值0。

2. 二阶导数法在某些情况下，使用二阶导数可以更方便地求解函数的极值。

根据函数的极值定义，当函数的一阶导数为零且二阶导数大于零时，函数取得极小值；当一阶导数为零且二阶导数小于零时，函数取得极大值。

例如，对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9；2）求二阶导数：f''(x) = 6x - 12；3）令一阶导数等于零，解方程得到极值点的横坐标：3x^2 - 12x +9 = 0，解得x = 1；4）将x = 1代入二阶导数：f''(1) = 6 - 12 = -6，表明函数在x = 1处取得极大值。

二、函数的最值求解方法函数的最值即为整个定义域内的最大值或最小值。

求解函数最值的方法有以下几种：1. 导数法和求解极值类似，我们可以通过求解函数在定义域内的导数来找到函数的最值。

例如，对于函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = -2x + 4；2）令导数等于零，解方程得到最值点的横坐标：-2x + 4 = 0，解得x = 2；3）将x = 2代入原函数：f(2) = -(2^2) + 4(2) - 3 = 1，得到函数的最大值1。

函数极大值极小值的定义

函数极大值极小值的定义在数学中，函数的极大值和极小值是函数理论中非常重要的概念。

它们帮助我们研究函数的特性和性质，进而解决各种实际问题。

本文将围绕函数的极大值和极小值展开讨论，介绍它们的定义、性质和应用。

一、极大值和极小值的定义在函数的定义域内，如果存在某个点，使得该点的函数值比它周围的其他点的函数值都要大或都要小，那么这个点就被称为函数的极大值或极小值。

具体来说，设函数f(x)在区间(a, b)上有定义，如果存在x0∈(a, b)，使得对于任意的x∈(a, b)，都有f(x0)≥f(x)，那么f(x0)就是函数f(x)在区间(a, b)上的极大值；如果存在x0∈(a, b)，使得对于任意的x∈(a, b)，都有f(x0)≤f(x)，那么f(x0)就是函数f(x)在区间(a, b)上的极小值。

二、极值点的性质1. 极值点是局部性质：极大值和极小值都是函数在某个区间内的性质，只关注该区间内的函数值，而不关注整个函数的性质。

2. 极值点的必要条件：如果函数f(x)在点x0处有极值，那么在x0处的导数f'(x0)应该不存在或为零。

这是因为导数表示函数在某点的变化率，极值点处函数的变化率应该为零或不存在。

3. 极值点的充分条件：如果函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)存在，并且在x0的左右两侧导数的符号相反，那么x0就是函数f(x)的极值点。

这是因为导数的符号表示函数的增减性，符号相反说明函数在x0的左右两侧增减性改变，即存在极值点。

三、求解极值的方法1. 导数法：根据极值点的必要条件，可以通过求函数的导数来寻找极值点。

首先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标，再带入函数中计算纵坐标。

2. 二阶导数法：根据极值点的充分条件，可以通过求函数的二阶导数来判断极值点的类型。

如果二阶导数大于零，则函数在该点处有极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点处有极大值。

四、极值在实际问题中的应用函数的极值在实际问题中有着广泛的应用。

极值的求解及应用

极值的求解及应用极值是数学分析中的重要概念，指的是函数在某个定义域内取得的最大值和最小值。

极值的求解及应用是数学分析中的基础内容之一，涉及到函数的最优化问题以及其在各个科学领域中的实际应用。

一、极值的求解方法常见的求解函数极值的方法有以下几种：一阶导数法、二阶导数法、拉格朗日乘数法。

1. 一阶导数法：使用一阶导数可以求得函数的极值点。

如果函数在极值点处导数为零，那么这个点就是函数的极值点，同时要按照函数的性质确定是极大值还是极小值。

然而，导数为零并不一定保证这个点是极值点，还需要使用二阶导数进行进一步的判定。

2. 二阶导数法：使用二阶导数可以判定函数在极值点处的极值类型。

如果函数在某个点的一阶导数为零，并且二阶导数大于零，那么这个点就是函数的极小值点；反之，如果二阶导数小于零，那么这个点是函数的极大值点。

3.拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法适用于求解带有约束条件的最优化问题。

对于有n个变量和m个约束条件的最优化问题，可以构建一个泛函函数，通过使用拉格朗日乘数法，将约束条件与目标函数结合起来，并通过求解泛函函数的偏导数为零来求得极值点。

二、极值应用的例子极值的求解与应用在日常生活和各个学科中都有广泛的应用。

以下是几个极值应用的例子：1. 经济学中的利润最大化问题：在市场经济中，企业通过确定合适的产量与售价来达到最大化利润的目标。

利用一阶导数法，可以求得利润函数的极值点，从而确定适当的产量和价格。

2.物理学中的运动最优化问题：在物理学中，例如弹道学中，要求在给定条件下，使得物体的飞行轨迹距离最远或时间最短。

通过构建合适的数学模型和方程，利用导数法可以求得极值点，从而得到最优解。

3. 机器学习中的模型优化问题：在机器学习中，通过构建合适的数学模型，可以将其视为一个优化问题。

利用梯度下降算法，通过求解模型参数的极值点，可以找到最优的模型参数，从而实现模型的优化。

4. 人口学中的人口增长问题：人口学研究中经常需要解决人口增长的模型和问题。

二元函数的极值问题

摘要本文主要讨论了二元函数的极值问题，不仅介绍了二元函数极值方面的有关概念和定理，还给出了这些定理的证明，并举出了二元函数极值方面的几个理论问题，特别地对极值判别式进行了推广和求解条件极值的拉格朗日乘数法进行了一般化改进.本文以高教版数学分析教材为出发点，在讨论的过程中重温了书本上的定理，更对书中的定理进行升华，使定理能够更好解决实际问题，进而运用的更加广泛.关键词:二元函数；极大值；极小值AbstractThe extremum of function of two variables is expounded in this thesis. Not only are some relevant ideas and definitions are presented in this thesis, but also the relative proof to them. Furthermore, it exhibits several theoretical problems of the extremum of function of two variables as well. Particularly, it expands the discriminant of the extremum and generally improves Lagrangian Multiplier that is to find a minimum or a maximum of a function. On one hand, based on the teaching material of Advanced Mathematics, the thesis reviews the definitions in the textbook throughout the procedure of specification. On the other hand, it sublimates these definitions so that we can solve the practical issues better and use them more widely.Key words：function of two variables；maximun value; minimum value摘要 (I)Abstract ................................................................... I I 目录 ...................................................................... I II 1引言.. (1)2二元函数极值问题的相关概念 (1)2.1二元函数定义 (1)2.2二元函数及其极大极小值的定义 (2)3二元函数的极值问题 (2)3.1二元函数极值存在的必要条件 (2)3.2二元函数极值存在的充分条件 (3)3.3求二元函数极值的步骤 (5)4特殊情况下二元函数极值 (6)5条件极值问题 (8)5.1代入法 (9)5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法 (9)6总结 (13)参考文献 (14)函数极值问题是一个非常普通的数学问题，是经典微积分学最成功的应用，不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的一个重要特征.在一元函数中，可以利用函数的导数求得函数的极值，从而进一步解决一些有关最大，最小值应用问题.同样利用偏导数，也可以解决二元函数的极值问题.2二元函数极值问题的相关概念2.1二元函数定义定义 1 设平面点集D 包含于2R ,若按照某对应法则f ,D 中每一点),(y x P 都有唯一确定的实数z 与之对应,则称f 为在D 上的二元函数.记作,D :R f → （1）且称D 为f 的定义域；P 对应的z 为f 在点P 的函数值,记作),(y x f z =或)(P f z =；全体函数值的集合称为f 的值域,记作R f ⊂(D).通常还把P 的坐标x 与y 称为自变量，而把z 称为因变量.当把D y x ∈),(和它所有的函数值),(y x f z =一起组成三维数据组()z y x ,,时，三维欧氏空间3R 中的点集}{3)y ,(),,(|),,(R D x y x f z z y x S ⊂∈==便是二元函数f 的图像.通常),(y x f z =的图象是一空间曲面，f 的定义域D 便是该曲面在xOy 平面上的投影.为了方便起见，我们把(1)式所确定的二元函数也记作),(y x f z =, D y x ∈),(,或 )(P f z =，D P ∈,且当它的定义域D 不会被误解的情况下，也简单的说“函数),(y x f z =”或“函数f ”.2.2二元函数及其极大极小值的定义定义 2 设函数f 在点),(000y x P 的某领域)(0P U 内有定义，若对于任何点)(),(0P U y x P ∈,成立不等式)()(0P f P f ≥(或)()(0P f P f ≤)，则称函数f 是在点0P 取得极小值（或极大值），点0P 称为f 的极小（极大）值点.极大值、极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点.注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点.例如，设2223),(y x y x f +=，221),(y x y x g --=，xy y x h 2),(=.由定义直接知道，坐标原点)0,0(是f 的极小值点，是g 的极大值点，但不是h 的极值点.这是因为对于任何点),(y x ,恒有0)0,0(),(=≥f y x f ；对任意{}1y x |x,y x,y 22≤+∈)()(，恒有1)0,0(),(=≤g y x g ;而对于函数h ，在原点的任意小邻域内，既含有使0),(>y x h 的第一、三象限中的点，又含有使0),(<y x h 的第二、四象限中的点，所以0)0,0(=h 既不是极大值又不是极小值.由定义可见，若f 在点),(00y x 取得极值，刚当固定0y y =时，一元函数),(0y x f 必定在0x x =取得相同的极值.同理，一元函数),(0y x f 必定在0y y =也取得相同的极值. 那么一般情况下如何求二元函数的极值呢？仿照一元函数的极值的讨论，我们得到二元函数极值存在的必要条件如下.3二元函数的极值问题3.1二元函数极值存在的必要条件定理 1 若函数f 在点),(000y x P 处存在偏导数，且函数在该点取得极值，则有0),(),(0000==y x f y x f y x .证明因为点),(00y x 是函数),(y x f 的极值点，若固定),(y x f 中的变量0y y =，则),(0y x f z =是一个一元函数且在0x x =处取得极值，由一元函数极值的必要条件知0),(00=y x f x ，同理有0),(00=y x f y .反之，凡是满足方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f y x 的点),(00y x 称为函数),(y x f z =的驻点．定理说明，只要函数),(y x f z =的两个偏导数存在，那么它的极值点一定是驻点，反过来，驻点是不是一定为极值点呢？例如，函数22y x z +-=，在点()0,0处的两个偏导数为0，即()0,0是驻点，但在()0,0的任一邻域内函数既有正值也有负值，所以()0,0不是极值点，即驻点不一定是极值点.另外，极值点也可能是偏导数不存在的点.比如，上半锥面22y x z +=在点()0,0的偏导数不存在，但()0,0是函数的极小值点，函数极小值为0.3.2二元函数极值存在的充分条件判断二元函数),(y x f 在),(000y x P 取得极值的充分条件，我们假定函数f 有二阶连续偏导数，并记0f p =⎢⎣⎡)()(00P f P f yx xx ⎥⎥⎦⎤)()(00xy P f P f yy =⎢⎣⎡yx xx f f 0xy P yy f f ⎥⎥⎦⎤, 称它为f 在),(000y x P 的黑塞矩阵.定义3 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 具有直到1+n 阶的连续偏导数，则对)(0P U 内任一点),(00k y h x ++，存在相应的)1,0(∈θ，使得).,()()!1(1),()(!1),()(!21),()(),(),(00100002000000k y h x f y k x h n y x f yk x h n y x f y k x h y x f yk x h y x f k y h x f n n θθ++∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+⋯+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=+++ (2)式称为二元函数f 在点0P 的泰勒公式，其中i m i i m i mm i i m m k h y x f y x C y x f y k x h --=∂∂∂=∂∂+∂∂∑),(),()(00000. 定理2 （极值充分条件）设二元函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 具有二阶连续偏（2）导数，且0P 为f 的稳定点，则当)(0P H f 为正定矩阵时，此函数f 在0P 有极小值；当)(0P H f 为负定矩阵时，在0P 有极大值；当)(0P H f 为不定矩阵时，在0P 不取极值. 证明由f 在0P 的二阶泰勒公式，并注意到条件0)()(00==P f P f y x ，有)(),)((),(21),(),(22000y x y x P H y x y x f y x f T f ∆+∆ο+∆∆∆∆=-. 由于)(0P H f 正定，所以对任何)0,0(),(≠∆∆y x 恒使二次型0),)((),(),(0>∆∆∆∆=∆∆T f y x P H y x y x Q .因此存在一个与y x ∆∆,无关的正数q ，使得)(2),(22y x q y x Q ∆+∆≥∆∆.则对于充分小的0()U P 只要),(y x ∈0()U P ，就有0))1()(,()(),(),(),(22222200≥ο+∆∆=∆+∆ο+∆∆≥-q y x y x y x q y x f y x f ，即f 在),(000y x P 取极小值.同理可证)(0P H f 为负定矩阵时，f 在),(000y x P 取极大值.最后，当)(0P H f 不定时，f 在0P 不取极值.假设f 取极值（因为不失一般性，所以我们不妨设为取极大值），对任何过0P 的直线x t x x ∆+=0，y t y y ∆+=0，)(),(),(00t y t y x t x f y x f φ=∆+∆+=在0t 也取极大值.由一元函数取极值的充分条件，0)0(>''φ是不可能的（否则φ在0t 将取极小值），故0)0(≤''φ.而又有 y x yf xf t ∆+∆=φ')(，22)(2)()(y f yf x x f t yy xy xx ∆+∆∆+∆=φ''，T f y x P H y x ),)((),()0(0∆∆∆∆=''φ，这表明)(0P H f 为负半定的.同理，f 倘若取极小值，则将导致)(0P H f 为正半定.也就是说，当f 在0P 取极值时，)(0P H f 必须是正半定或负半定，但这与)(0P H f 不定相矛盾.证毕.若函数f 如定理2所设，设0P 是f 的稳定点，则我们可以将定理2写成如下比较实用的形式：①当0)(0>P f xx ，0))((02>-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 取得极小值； ②当0)(0<P f xx ，0))((02>-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 取得极大值； ③当0))((02<-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 不能取得极值；④当0))((02=-P f f f xy yy xx 时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值.3.3求二元函数极值的步骤第一步，首先求出偏导数x f ，y f ，xx f ，yy f ，xy f ；第二步，然后解方程组⎩⎨⎧==00yx f f 求出驻点P ；第三步，求出二元函数在驻点P 处)(P f xx 、)(P f yy 、)(P f xy 的值及))((2P f f f xy yy xx -的符号，再根据定理2判定出极值点；第四步，求出二元函数的极大值或者极小值.例1 求),(y x f y x y xy x +-+-222的极值点.解由方程组 ⎩⎨⎧=+-==--=012022x y f y x f yx 得f 的稳定点为)0,1(0P ，由于02)(0>=P f xx ,2)(0=P f yy ,1)(0-=P f xy ，03))((02>=-P f f f xy yy xx ,故f 在0P 取极小值1)0,1(-=f .又因为f 处处可微，所以0P 为f 的惟一极值点.例2 求xy y x z 333-+=的极值.解由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322x y f y x f y x 得f 的稳定点为)1,1(1P 、)0,0(2P ，由于x f xx 6=、y f yy 6=、3-=xy f ，所以027))((12>=-P f f f xy yy xx .故f 在1P 取极小值1)1,1(-=f .又因为 09))((22<-=-P f f f xy yy xx ，所以2P 不是f 的极值点.例3 讨论),(y x f =62+-xy y 是否存在极值点.解由方程组 ⎩⎨⎧=-==-=020x y f y f yx 得稳定点为原点)0,0(0P .又01))((02<-=-P f f f xy yy xx ,故原点不是f 的极值点.又因为f 在定义域内处处存在偏导数，所以f 没有极值点.例4 讨论)2)((),(22y x y x y x f --=在原点是否取得极值.解容易验证原点为其稳定点，但在原点02=-xy yy xx f f f ,所以无法判定f 在原点是否取得极值.但是，我们又很容易发现，当222y x y <<时，),(y x f 0；当22y x >或2y x <时，),(y x f 0.所以函数f 不可能在原点取得极值.4特殊情况下二元函数极值对于一个二元函数来说，当),(000y x P 为稳定点，判别式0))((02≠-=P f f f M xy yy xx 时，可以判定f 在点0P 取得极小值、极大值或不能取得极值.但是，在判别式为零的时候，就没有肯定的答案了，下面我们就来讨论一下判别式为零时的情形.根据极值的定义可知，要判定),(000y x P 是否为极值点，只要判定),(y x P 在),(000y x P 的某邻域0()U P 内变化时，),(),(00y x f y x f f -=∆是否保持定号，并由此来判断.假设f 的所有二阶偏导数连续，则可以利用泰勒公式来讨论f ∆的符号.定理3 设点),(000y x P 是二元函数),(y x f 的稳定点，0===xy yy xx f f f ，若),(y x f 在0P 的某邻域内具有三阶连续偏导数，且至少有一个不为零时，则f 在0P 无极值.证明由所给的泰勒展开式有),(),(][61),(),(3300300y x y x f yf k x f h y x f y x f ∆+∆ο+∂∂-∂∂=- 其中00,y y k x x h -=-=，而)(33y x ∆+∆ο为当),(),(00y x y x →时f 的无穷小量.所以，对于0P 的充分小的邻域0()U P ，只要当)(),(0P U y x ∈时，就能保证),(][61003y x f yf k x f h ∂∂-∂∂与),(),(00y x f y x f - 同号.这是因为),(][61003y x f yf k x f h ∂∂-∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=30033200322003230033),(),(3),(3),(61y y x f k y x y x f hk y x y x f k h x y x f h ，若),(y x f 在0P 的某邻域内三阶连续偏导数至少有一个不为零，即0),(),(),(),(23003220032200323003≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y y x f y x y x f y x y x f x y x f ，我们来分情况讨论1若0)(033≠∂∂P xf 时，取00,y y x x h =-=，则当0x x >时，0>h 则03>h ；当0x x <时，0<h 则30h ；从而)(0333P x f h ∂∂的符号是不确定的.即当0)(033≠∂∂P xf 时，f 在0P 无极值. 2若0)(033≠∂∂P yf 时，取00,y y k x x -==，同理可得f 在0P 无极值.3若0)(033=∂∂P x f ，0)(033=∂∂P y f ，则0)(023≠∂∂∂P y x f ，或0)(023≠∂∂∂P yx f.不妨设0)(023≠∂∂∂P yx f，此时 ]),(),([21),(),(2003200300y x y x f k y x y x f h y x f y x f ∂∂∂+∂∂∂=-，取0>k 充分小,使得20032003),(),(yx y x f k y x y x f h ∂∂∂>∂∂∂，则),(),(00y x f y x f -的符号是由yx y x f k h ∂∂∂20032),(决定.从而k 取正负号时导致),(),(00y x f y x f -在),(00y x 的任意小邻域可取正可取负.因此，),(),(00y x f y x f -的符号不确定.即当0)(033=∂∂P x f ，0)(033=∂∂P yf，而0)(023≠∂∂∂P y x f 时，f 在0P 无极值.在0)(023≠∂∂∂P yx f时，同理可得f 在0P 无极值. 综上，定理得证.例5 讨论函数323532),(y xy x y x f +-=在原点是否有极值.解函数),(y x f 在原点处的一，二阶偏导数0=====yy xy xx y x f f f f f ，而0123≠=x f ，由定理3可得，函数),(y x f 在原点不取极值.5条件极值问题在大量二元函数取极值的问题中，有一类问题是经常碰到的，即所谓求函数“条件极值”的问题.例如，要设计一个容量为V 的长方形开口容器，那么，当容器的长，宽，高各等于多少时，其表面积最小？为了解决上面这个问题，我们不妨设容器的长、宽、高分别为c b a 、、,则该容器表的面积为ac bc ab c b a S 22),,(++=.由此不难看出，上述表面积函数S 的自变量c b a 、、,不仅要符合定义域的要求0,0,0>>>c b a ，而且还须满足条件abc V =.像上面这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值问题（不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题）.一般地，求二元函数的条件极值，在讨论二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的极值问题时，我们主要使用下面两个方法.5.1代入法在约束条件0),(=y x g 中，如果能解x (或y ), 即)(y x ϕ=(或)(x y ϕ=),将它代入),(y x f z =中，那么)),((y y f z ϕ=（或))(,(x x f z ϕ=），这样就把二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的极值问题，转化为求一元函数)),((y y f z ϕ=（或))(,(x x f z ϕ=）的极值问题了，而一元函数的极值问题已经在微积分中得到圆满解决.例5 求xy z =在约束条件1=+y x 的极值.解由约束条件x y -=1代入z 中，得到2)1(x x x x z -=-=，令021x =-='x z ，解得21=x ，又因为02xx<-=''z ，所以21=x 为极大值点. 故函数z 的极大值为41)21,21(=z .5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法在某些情况下，要想在约束条件0),(=y x g 中解出x (或y )不总是可能的,下面我们介绍一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法:(1)引入辅助变量λ和辅助函数),(),(),,(y x g y x f y x L λλ+=；（2）求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零，然后联立组成方程组即：⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x g y x L y x g y x f y x L y x g y x f y x L y y y x x x λλλλλλ 解上面这个方程组，得出解),(i i y x )2,1(⋯⋯=i ，都是),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的驻点，这是因为由(3)和(4)得),(),(),(),(y x g y x f y x g y x f yy x x '-=''-='λλ由(6)和(7)得(3) (4) (5)(6)(7)0),(),(),(),(='''-'y x g y x g y x f y x f y x y x 再由(5)得0),(),(=''+'x y x y y x g y x g所以有),(),(y x g y x g y y x x ''-=' 于是0),(),(=''+'x y x y y x f y x f这样我们就容易得到0),(),(=''+'='x y x x y y x f y x f z所以说),(i i y x )2,1(⋯⋯=i 都是),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的驻点.这里需要说明一点，如果在实际问题中，能判定函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下只有一个极大值或极小值，并且上面的方程组也只有惟一的解),(00y x ，那么点),(00y x 就是极大值或极小值.当然,在不能判定的情况下，我们还要继续下面的步骤；（3）为了判断),(i i y x )2,1(⋯⋯=i 是否是极值点，我们设),(y x f z =有连续的一阶、二阶偏导数，y 对x 的一阶、二阶导数存在，那么xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z '''+''''+''+''+''=''),(]),(),(),([),(由一元函数极值的第二判别法得①当0),(<''i i xx y x z 时，),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下有极大值),(i i y x f z =； ②当0),(>''i i xx y x z 时，),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下有极小值),(i i y x f z =.上面这种方法就是拉格朗日乘数法，辅助函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.这个方法虽然看起来很烦琐，但是它很好的解决了代入法的不足之处，在解决二元函数条件极值问题方面应用非常广泛.现在我们就用拉格朗日乘数法来重新求xy z =在约束条件1=+y x 的极值.引入辅助变量λ和辅助函数)1(),(),(),,(-++=+=y x xy y x g y x f y x L λλλ；然后求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+==+=010),,(0),,(y y x x y x L y y x L x λλλλ 解方程组得唯一驻点)21,21(，由于当±∞→x 时，∞→ y ，故-∞→=xy z ，则函数z 必在此处取得极大值41)21,21(=z .当然，我们还可以用步骤三去判断)21,21(是否是极值点.很容易求得y y x f x ='),(、x y x f y ='),(、0),(=''y x f xx、1),(),(=''=''y x f y x f yx xy 、0),(=''y x f yy 、1-='x y 、0=''xx y ，所以，02),(]),(),(),([),()21,21(<-='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z ，故xy z =在点)21,21(取得极大值41)21,21(=z .例6 求函数y x y x f z +==),(在条件222=+y x 下的极值.解引入辅助变量λ和辅助函数)2(),,(22-+++=y x y x y x L λλ求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=2021),,(021),,(22y x y y x L x y x L y x λλλλ 解方程组得到两个驻点()11，和()11--，.又有， 1),(),(='='y x f y x f y x ,0),(),(=''=''y x f y x f yy xx,0),(),(=''=''y x f y x f yx xy ,yxy x -=',3322222yy x y y yx x y yy x y y xxx -=+-=+-='--=''，所以， 02),(]),(),(),([),()1,1(<-='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点()11，取得极大值2)1,1(=z ；又因为02),(]),(),(),([),()1,1(>='''+''''+''+''+''=--''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点()11--，取得极小值2)1,1(-=--z .例7 求函数22),(y x y x f z +==在条件04=-+y x 下的极值.解: 引入辅助变量λ和辅助函数)1(),,(22-+++=y x y x y x L λλ求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组即：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+==+=0402),,(02),,(y x y y x L x y x L y x λλλλ 解方程组得到惟一的驻点)2,2(.又有x y x f x 2),(='，y y x f y 2),(='，2),(=''y x f xx ，0),(),(=''=''y x f y x f yx xy ，2),(=''y x f yy ，1-='x y ，0=''xx y ，所以，04),(]),(),(),([),()2,2(>='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点)2,2(取得极大值8)2,2(=xx z .6总结本文主要讨论数学分析中二元函数的极值问题.把一元函数的极值问题推广到多元函数的情形，得到了一些新的结果，并给出了一些未推广前不能求解，而利用推广后的结论可以求解的例子.本文先证明稳定点为极值点的充分条件，并给出其判别式，再分析判别式为零的情形，来解决与此相关的数学问题.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [2] 刘玉琏等.数学分析讲义（下册第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [3]万淑香．二元函数的极值问题[J]．鸡西大学学报，2007，4：75-76．[4]柴文祥等. 二元函数极值判别的一点注记[J].牡丹江师范学院学报，2011，4：3-4 [5]刘连褔.02=-=∆AC B 时二元函数极值问题讨论[J]. 廊坊师范学院学报，2010,10:16-17.[6]刘晓俊. 二元函数求条件极值的方法[J]. 金融教学与研究，1994，3：57-59.。

变分入门

根据 L 和 r 的性质有
L( x(t ), αδx) = αL( x(t ), δx)
α →0
lim
r ( x (t ), αδx )
α
= lim
r ( x (t ), αδx ) δx = 0 α →0 αδx
所以
∂ J ( x + αδx ) − J ( x ) J ( x + αδx ) α = 0 = lim α →0 ∂α α = lim
若 Fx &x & = 0 有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数 c 的直线族
&) 情 x = kt + c ，它包含于上面含有两个参数的直线族 x = c1t + c2 中，于是，在 F = F ( x
况下，极值曲线必然是直线族。
&) & ，即 F = F ( x, x （iv） F 只依赖于 x 和 x
函数集合 C [ x 0 , x1 ] 上的一个泛函，此时我们可以写成
1
J = J ( y ( x))
我们称如下形式的泛函为最简泛函
& (t )) dt J ( x (t )) = ∫ F (t , x (t ), x
t0
tf
（3）
& (t)。上述曲线长度泛函即为一最简泛函。被积函数 F 包含自变量 t ，未知函数 x (t)及导数 x 1.1.2 泛函极值问题考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：
αБайду номын сангаас→0
L( x,αδx ) + r ( x, αδx )
α
= L ( x , δx ) = δJ ( x )
1.2 泛函极值的相关结论 1.2.1 泛函极值的变分表示利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。泛函极值的变分表示：若 J ( x (t )) 在 x0 (t ) 达到极值（极大或极小），则

【系统】测试技术题库汇总

【关键字】系统一.判断题(本题共10分，对则打“√”，不对则打“×”)1．任意两个变量x和y之间的真实关系均可用一元线性回归方程来描述。

（）2．相关函数和相关系数一样都可以用它们数值的大小来衡量两函数的相关程度。

( )3．对多次测量的数据取算数平均值，就可以减少随机误差的影响。

（）4．对一个具有有限频谱（0fc）的连续信号采样，若满足2fcTs1,采样后得到的输出信号能恢复为原来的信号。

（）[Ts为采样频率]5．设某周期信号x(t)之单位为μ，则其均方根谱之单位为μ2，其功率谱之单位为μ。

（）6．测量系统的固有频率越高，其灵敏度也越高。

（）7．A/D转换就是把模拟信号转换成连续的数字信号。

（）8．接触式测温是基于热平衡原理进行的，非接触式测温是基于热辐射原理进行的（）9．同一材料构成的热电偶，即使两端点温度不等，也不会形成热电势。

（）10．只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠。

（）二．选择题（共20分，每题2分）1．压电加速度测量系统的工作频率下限取决于（）a.加速度力学系统的频率特性；b. 压电晶体的电路特性；c. 测量电路的时间常数2．把连续时间信号进行离散化时产生混迭的主要原因是（）a. 记录时间太长；b. 采样间隔太宽；c .记录时间太短；d. 采样间隔太窄3．要测量x(t)=50Sin40πt+10Sin2000πt的振动位移信号，为了尽量减少失真，应采用（）的惯性加速度计。

a.fn=15Hz、β=0.707;b. fn=1000Hz、β=0.707 ;c. fn=50Hz、β=0.04 ;d. fn=1000Hz、β=0.044. 自相关函数是一个（）函数a.奇函数；b.偶函数；c.非奇非偶函数；d. 三角函数5．在光作用下，使物体的内部产生定向电动势的现象，称（）效应。

a.内光电；b.外光电；c.热电；d.阻挡层光电6．（）传感器是根据敏感元件材料本身的物理性质变化而工作的。

著名的数学公式总结

同时主验证验证此公式，可透过因式分解，首先运用环的原理，设以下公式：然后代入：透过因式分解，可得：这样便可验证：和立方验证透过和立方可验证立方和的原理：那即是只要减去及便可得到立方和，可设：右边的方程运用因式分解的方法：这样便可验证出：几何验证图象化透过绘立体的图像，也可验证立方和。

根据右图，设两个立方，总和为：把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：要得到，可使用的空白位置。

该空白位置可分割为3个部分：∙∙∙把三个部分加在一起，便得：之后，把减去它，便得：上公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：可透过这样便可证明反验证透过也可反验证立方和。

以上计算方法亦可简化为一个表格：这样便可证明1. 把因式分解∙把两个数项都转为立方：∙运用立方和可得：2. 把因式分解∙把两个数项都转为立方：∙运用立方和便可得：∙但这个并非答案，因为答案仍可被因式分解：∙亦可使用另一个方法来减省步骤。

首先把公因子抽出：∙直接使用立方和，并得：立方差立方差也可以使用立方和来验证，例如：运用负正得负，可得：然后运用立方和，可得：这个方法更可验证到立方差的公式是平方差及的排列并不重要，可随意排放。

来验证。

先设及。

那即是，同时运用了若上列公式是的话，就得到以下公式：以上运用了，也即是两方是相等，就得到：注：塞尔伯格迹公式空间的函数空间上某类算子的，其中而设为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面对的某离散子群的商。

考虑上的拉普拉斯算子由于为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的值至多可数事实上，更可将其由小至大排列：对应的特征函数，并满足以下周期条件：行变元代换于是特征值可依排列。

塞尔伯格迹公式写作和式中的取遍所有双曲共轭类。

所取函数须满足下述性质：∙在带状区域上为解析函数，在此为某常数。

∙偶性：。

∙满足估计：，在此为某常数。

函数是的。

后续发展的尖点问题提供了纯粹的代数框架。

最后，为紧的情形可藉处理，然而，一旦取泰勒公式称为指数函数在0处的n阶泰勒展开公式。

信号处理的基本知识

传感器类型：根据传感器各构成部分工作方式的不同，可将传感器分成不同的类型；依据接收方式不同，有相对式和绝对式（惯性式）之分；依据机电转换输出量的不同又有发电机型和参数型两种类型。

测量电路可输出不同的关系特性，以适应不同的测试要求。

如位移（间隙）电压特性、速度电压特性、加速度电压特性等等。

所谓相对接收方式，是指以传感器外壳为参考坐标，借助于顶杆或间隙的变化来直接接收机械振动量的一种工作方式。

获得的结果是以外壳为参考坐标的相对振动值。

惯性接收方式通过质量-弹簧单自由度振动系统接收被测振动量，工作时，其外壳固定在振动物体上，整个传感器（包括质量块在内）跟着振动物体一起振动，但其中的机电转换环节---线圈由于是用极为柔软的弹簧片固定在外壳上的，它的自振频率比振动体的振动频率低的多，因而对振动体而言便处于相对静止的状态，换句话说，线圈是固定不动的，是一个绝对参考坐标系统，所以测得的结果是绝对振动值。

惯性接收方式有时也称为地震式。

传感器的性能指标灵敏度：指沿着传感器测量轴方向对单位振动量输入x可获得的电压信号输出值u，即s=u/x。

与灵敏度相关的一个指标是分辨率，这是指输出电压变化量△u可加辨认的最小机械振动输入变化量△x的大小。

为了测量出微小的振动变化，传感器应有较高的灵敏度。

使用频率范围：指灵敏度随频率而变化的量值不超出给定误差的频率区间。

其两端分别为频率下限和上限。

为了测量静态机械量，传感器应具有零频率响应特性。

传感器的使用频率范围，除和传感器本身的频率响应特性有关外，还和传感器安装条件有关（主要影响频率上限）。

动态范围：动态范围即可测量的量程，是指灵敏度随幅值的变化量不超出给定误差限的输入机械量的幅值范围。

在此范围内，输出电压和机械输入量成正比，所以也称为线性范围。

动态范围一般不用绝对量数值表示，而用分贝做单位，这是因为被测振值变化幅度过大的缘故，以分贝级表示使用更方便一些。

相移：指输入简谐振动时，输出同频电压信号相对输入量的相位滞后量。

二维弹性力学问题的光滑无网格伽辽金法

二维弹性力学问题的光滑无网格伽辽金法马文涛【摘要】计算效率低的问题长期阻碍着无网格伽辽金法(element-free Galerkin method,EFGM)的深入发展.为了提高EFGM的计算速度,本文提出一种求解二维弹性力学问题的光滑无网格伽辽金法.该方法在问题域内采用滑动最小二乘法(moving least square,MLS)近似、在域边界上采用线性插值建立位移场函数;基于广义梯度光滑算子得到两层嵌套光滑三角形背景网格上的光滑应变,根据广义光滑伽辽金弱形式建立系统离散方程.两层嵌套光滑三角形网格是由三角形背景网格本身以及四个等面积三角形子网格组成.为了提高方法的精度,由Richardson外推法确定两层光滑网格上的最优光滑应变.几个数值算例验证了该方法的精度和计算效率.数值结果表明,随着光滑积分网格数目的增加,光滑无网格伽辽金法的计算精度逐步接近EFGM的,但计算效率要远远高于EFGM的.另外,光滑无网格伽辽金法的边界条件可以像有限元那样直接施加.从计算精度和效率综合考虑,光滑无网格伽辽金法比EFGM具有更好的数值表现,具有十分广阔的发展空间.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2018(050)005【总页数】10页(P1115-1124)【关键词】无网格法;光滑应变;两层嵌套光滑三角形网格;计算效率【作者】马文涛【作者单位】宁夏大学数学统计学院,银川750021【正文语种】中文【中图分类】O241;O343引言为了克服有限元法面临的网格生成、重构以及其他与网格有关的困难,Belytschko 等[1]于1994年提出了无网格Galerkin法(element-free Galerkinmethod,EFGM).基于散乱数据的灵活插值、任意阶的光滑形函数、超收敛的数值结果以及在断裂力学问题中的成功表现,使EFGM很快成为了计算力学和工程领域众多研究者关注的热点,同时也掀起了无网格方法研究的热潮.到目前为止,已提出几十种无网格方法,并在偏微分方程数值解、金属冲压成形、高速冲击、裂纹动态扩展、流固耦合和局部化等诸多领域取得令人满意的成果[2-7].尽管无网格法种类繁多,但极少有数值方法能同时兼顾EFGM的灵活性、高精度和稳定性.因此,EFGM 仍然具有十分重要的研究价值和地位.然而,历经二十多年的发展,EFGM还仅仅是实验室高精度结果的生成者,并没有像有限元那样真正成为解决复杂工程问题的参与者.阻挠EFGM深入发展的根本原因是EFGM的计算效率非常低,严重影响了其处理实际问题的能力.其他类型的无网格法,如重构核质点法(reproducing kernel particle method,RKPM)[3],无网格局部Petrove-Galerkin法(meshless local Petrove-Galerkin method,MLPG)[4,8]、径向点插值无网格法(radial point interpolation meshless method,RPIM)[9]和一些结合式的无网格法[10]等,也存在着同样的问题.众所周知,EFGM采用滑动最小二乘法(moving least square method,MLS)建立近似函数及其导数,涉及矩阵求逆,计算量很大.其次,EFGM的形函数不具有Kronecher delta性质,导致本质边界条件施加困难.虽然Lagrange乘子法、耦合法和罚函数等[2,5]都能解决EFGM边界条件施加的问题,但同时也会带来诸如引入附加变量、改变系统矩阵性质等一系列新的问题,导致计算复杂度和计算时间的增加.另外,EFGM生成的是非多项式形式的近似解,要想获得稳定和高精度的弱形式数值解需要在每个背景网格中采用高阶高斯积分.Duan等[11]研究表明对于弹性力学问题,每个三角形背景积分网格中至少需要16个积分点才能使EFGM达到2阶精度.相比有限元法,EFGM的计算量要大得多.如何提高EFGM的计算效率成为近年来无网格法研究的热点和难点问题.为了提高EFGM的计算效率,Bessel等[12]提出了节点积分方案,也就是仅在近似节点上计算积分.该方法是不稳定的,在一些问题中会出现虚假的近奇异模态.Chen等[13-14]利用应变光滑技术,根据线性分片实验推导出Galerkin无网格法对应的积分约束,提出了稳定一致节点积分(stabilized conforming nodal integration,SCNI).SCNI很好地继承了节点积分的优势,同时完全避免了形成整体刚度矩阵时复杂形函数导数的计算过程.另外,SCNI能保证线性精度,而与无网格离散模式无关.为了弱化场函数近似的一致性要求,Liu及其团队[15-16]推广了应变光滑技术,提出了G空间理论和广义光滑Galerkin(GS-Galerkin)弱形式,建立了两类光滑数值方法的(weakened weak,W2)理论基础.这两类方法分别称为光滑有限元法(smoothed finite element method,S-FEM)和光滑点插值法(smoothed point interpolation method,S-PIM).S-FEM[17-20]的基本思想是:在有限元网格上创建的光滑区域内光滑化场函数导数,进而获得比传统有限元“更软”的光滑刚度矩阵,提高解的精度和收敛性.由于不需要计算形函数导数,避免了等参映射过程,因此S-FEM对畸形网格具有极强的适应性.S-PIM与S-FEM的基本原理相同,不同之处在于S-PIM使用多项式或径向基函数建立节点形函数.Liu[21]指出,S-FEM仅仅是S-PIM的特殊形式.Cui等[22]将MLS与GSGalerkin弱形式结合,提出了光滑伽辽金法.但与Galerkin无网格法相比,其计算精度较低.杜超凡等[23]采用S-PIM分析了旋转柔性梁的频率,得到固有频率的下界值.Liu等[24]在传统数值流形方法中引入光滑应变,改善其计算精度.Duan等[25-27]将SCNI中的线性积分约束推广到二阶情况,提出了二阶一致节点积分(quadratially consistent nodalintegration,QCI).QCI满足二阶精度,但为了求解形函数导数,必须在每个光滑区域内额外求解2个3×3的代数方程,计算代价并不小.Wang等[28]将三角形背景网格划分为两水平嵌套光滑区域,利用梯度光滑技术和Richardson外推法,提出了嵌套子域梯度光滑积分(NSGSI)算法.NSGSI算法将SCNI的精度提高到二阶.与高斯积分相比,NSGSI仅需要6个积分点,极大地提高了计算效率.为了得到二阶精度的数值算法,NSGSI必须使边界积分、外力项积分与刚度积分保持一致.显然,NSGSI的一致性要求大大降低了方法的灵活性.本文目的是提出一种能精确、高效地求解弹性力学问题的光滑无网格Galerkin法.基本思想是利用MLS近似位移场函数,在两层嵌套光滑子域上计算最优光滑应变,基于GS-Galerkin弱形式推导系统方程.两层嵌套网格由三角形背景积分网格以及连接三角形网格的三条边中点组成的4个三角形子网格构成.利用Richardson外推法,得到两层网格下对应的最优光滑应变.另外,为了通过线性分片试验条件,GS-Galerkin弱式要求在所有的边界上(包括自然边界和本质边界上)采用线性插值建立近似函数.因此,边界条件可以像有限元方法那样直接施加.1 MLS形函数在EFGM中,MLS方法被用于建立无网格形函数,具体形式为其中N(x)=pT(x)A−1(x)B(x)是MLS形函数;n是支持域内的节点数目;u=[u1u2L un]T为名义节点值向量,pT(x)为基函数向量,通常对于连续问题对于线弹性断裂问题其中(r,θ)为裂尖极坐标系下定义的位置参数.其他矩阵的定义分别为其中wI(x)=w(x−xI)为权函数,本文中使用3次样条权函数.2 系统离散方程2.1 光滑应变广义梯度光滑算子[13]作用于协调应变ε(x)其中为节点xc处的光滑应变,Φ为光滑函数,满足∫ΩcΦ(x;x−xc)dΩ =1. 简单起见,取其中为光滑区域Ωc的面积.将式(8)代入式(7),有其中nx和ny分别为光滑区域边界Γc上的单位外法线沿坐标轴方向的分量;u和v 分别为沿坐标轴方向的位移分量.将方程(1)代入方程(9),则光滑应变为其中称为光滑应变矩阵,具体形式为其中2.2 系统离散方程考虑二维线弹性固体力学问题,问题区域Ω内受体力b作用,边界Γt上受给定外力t 作用,边界Γu上满足u=.用光滑应变代替协调应变ε,得到GS-Galerkin弱式为将方程(1)和(10)代入方程(13)得其中为光滑刚度矩阵,由所有光滑区域组装得到.具体形式为式中,nsc为光滑区域总数.2.3 施加边界条件由以上推导可以看出,光滑应变运算不涉及任何形函数导数计算.因此,问题域内近似函数的不连续性并不会给光滑应变的计算带来任何困难.与标准Galerkin弱形式相比,形函数的一致性要求大大降低了.因此,在光滑无网格Galerkin法中,问题域内的点和边界上的点往往可以采用不同的近似形式.对于任何在问题域内的计算点均采用无网格近似函数;而对于任何在问题域边界上的计算点则采用线性插值函数.在边界上引入线性插值函数的目的是使光滑无网格法能够顺利通过线性分片试验,同时也使边界条件的施加变得和在有限元中一样容易.3 两层嵌套光滑积分网格为了计算光滑应变,光滑区域的选择至关重要.Liu等[21]基于背景积分网格本身、网格边界和网格顶点依次建立了不同类型的S-PIM.很显然,将背景三角形积分网格作为光滑区域是最简单、最直接的,不需要任何的附加工作.根据式(12)和Liu等[21]的研究结论,光滑区域内的光滑应变是个常数,导致了网格型光滑无网格法仅能达到线性精度,也就是说与传统三角形有限元法的精度相当.为了提高计算精度,进一步细分三角网格是非常有必要的.然而,细分过多的光滑子网格又会大大降低光滑无网格法计算效率.因此,寻找到最优的光滑网格细分方案是发展高效和高精度光滑无网格法的关键.本文提出两层嵌套光滑区域解决背景网格细分的问题.首先将问题域Ω离散为三角形背景积分网格.每个三角形网格称为父网格(见图1(a)).然后依次连结父网格的3条边的中点,形成4个等面积的子网格,如图1(b)所示.在每个光滑子网格边界上取一个高斯积分点,则根据方程(12),图1(a)所示的父网格对应的光滑应变矩阵为其中lJ和xJ分别是第J条边的边长和高斯积分点(即边界中点),nxJ和nyJ分别是第J条边单位外法线分别沿x,y方向的分量.组装所有父网格的光滑刚度矩阵可得由方程(17),可以很容易计算第m个子网格对应的光滑应变矩阵为其中Acm=Ac/4.组装所有子网格的光滑刚度矩阵为由图1可知每个光滑子网格的特征长度减小为父网格特征长度的一半,根据经典的Richardson外推法理论[28-29],方程(18)和(20)的最优线性组合可以生成更高精度的解.方程(21)是在同时考虑粗和细两种网格的基础上建立的,因此称为二层嵌套光滑区域.图1 两层嵌套三角形光滑网格(•场节点, 积分点,_高斯点Fig.1 Two-level nesting triangular smoothing cells(•node, grad e point,_Gauss point)在编程计算式(18)和式(20)的过程中,由于每个光滑积分区域的边界上采用1个积分点(线段中点)时,该点处的形函数值正好可以用线段两端点的形函数值的平均值表达.这样的话,每个三角形背景网格中需要3个顶点和3个线段中点,总共6个积分点即可.4 数值算例为了研究本文方法的精度,L2范数下的位移误差和能量误差分别定义为式(22)、式(23)中,ue,un分别代表位移精确解和数值解;εe,εn分别代表应变精确解和数值解.为了书写的方便,使用父网格(1个网格)、4个子网格以及嵌套网格(1个网格及其4个子网格)的3种光滑Galerkin无网格法分别简记为FSMM,SSMM和NSMM.EFGM采用拉格朗日乘子法施加位移边界条件.笔者根据Duan等[11]的研究结论,在EFGM的每个三角形背景积分网格中采用16个高斯积分点.上述4种方法,在悬臂梁、无限大开孔平板和双连拱隧道算例中均使用线性基函数(见式(2)),在含中心裂纹的无限大板算例中则使用内部扩展基函数(见式(3)).4种方法都在同一台电脑(处理器:Intel(R)Core(TM)*******************)上采用matlab语言编程实现.4.1 悬臂梁如图2所示,悬臂梁左侧固定,右侧受剪切作用.在平面应力条件下,解析解[30]为图2 悬臂梁Fig.2 The cantilever beam其中 I=D3/12.梁的材料参数取为E=3×107MPa,v=0.3,P=1000 N.在梁上分别布置17×5,33×9和65×17个节点.图3比较了3种节点分布下5种方法求解悬臂梁问题时的位移误差.可以看出,FSMM与传统三角形FEM的精度几乎一致;SSMM的精度要高于FSMM的;而NSMM与EFGM的计算精度几乎一致,且远远高于其他3种方法.图3 悬臂梁问题的位移误差比较Fig.3 Displacement error comparison for the cantilever beam problem图4则给出了5种方法的能量误差比较.从图4可以看出,无网格法的精度都要高于FEM的,NSMM比FSMM和TSMM的精度高;虽然EFGM的精度高于3种光滑无网格Galerkin法的,但其收敛率却最低.这些结论很好地证明了随着光滑区域的增加,积分点的个数也随之增加,光滑无网格Galerkin法的计算精度会逐步升高.图4 悬臂梁问题的能量误差比较Fig.4 Energy error comparison for the cantilever beam problem图5给出了5种方法的CPU时间比较.可以看出,在节点分布相同时,FSMM的计算耗时比FEM略长;NSMM与SSMM的计算耗时相当,比FSMM的要长,但要远远短于EFGM的.从精度和效率两个方面综合考虑,NSMM是5种方法中表现最好的. 图5 悬臂梁问题的CPU时间比较Fig.5 CPU time comparison for the cantilever beam problem4.2 无限大开孔平板设一无限大平板,中心开有半径为a的圆孔,在远离孔心的位置沿水平方向受σ0=1 Pa的轴向拉伸作用.该问题的解析解[30]为其中,r,θ为以孔心为原点的极坐标考虑对称性,仅取平板右上角四分之一进行数值计算,见图6.设板长、宽均为b=5 cm,圆孔半径a=1 cm,弹性模量E=30 MPa,泊松比v=0.3.在底部和左侧边界上分别给定位移边界条件uy(x,0)=0和ux(0,y)=0;在板右端(x=b)和上部(y=b)边界按精确解施加自然边界条件.在平板模型上分别布置9×9,17×17和33×33个节点.图7∼图9分别给出了3种节点分布下不同方法对应的位移误差、能量误差和花费的CPU时间.从图7∼图8可以看出,本文提出的NSMM的精度与EFGM的基本相同的,要高于其他几种方法.图9再次证明了NSMM的效率要远远高于EFGM.图6 无限大开孔平板模型Fig.6 Model of the infinite plate with a circle hole图7 无限大开孔平板问题的位移误差比较Fig.7 Displacement error comparison for the problem of the infinite plate with a circle hole图8 无限大开孔平板问题的能量误差比较Fig.8 Energy error comparison for the problem of the infinite plate with a circle hole图9 开孔平板问题的CPU时间比较Fig.9 CPU time comparison for the problem of the infinite plate with a circle hole4.3 含中心裂纹的无限大板考虑一无限大板,中心包含一长度为2a的直裂纹,在远端受单向拉应力σ作用,见图10.计算过程中,计算区域ABCD取为10 mm×10 mm,a=100 mm;E=300 MPa,v=0.3,σ =1 MPa;在计算区域内均匀分布20×20个节点.分别采用EFGM,FSMM,SSMM和NSSM求解该问题.图11为4种方法计算得到的裂纹前端应力与精确解[31]的比较.可以看出,FSMM,SSMM和NSSM的应力曲线呈现依次逼近解析解的特征,说明随着光滑区域数量的增加,光滑Galerkin无网格法的精度也随之提高;NSMM和EFGM的计算结果与解析解吻合得非常好.图10 含中心裂纹的无限大板的几何结构和载荷Fig.10 Geometry and loads of infinite plate with a center crack图11 裂纹前端(r>0,θ=0)应力比较Fig.11 Stresses comparison ahead of the crack tip(r>0,θ=0)for the near-tip crack4.4 双连拱隧道设有一双连拱形隧道,基本结构如图12所示.分别采用本文方法(NSMM)和EFGM,按照平面应变假设分析隧道围岩和衬砌在自重作用下的变形和应力分布.计算过程中,围岩及混凝土力学参数见表1;三角形背景网格划分见图13.将单元角点作为节点,共5145个背景单元,2729个节点.根据对称性,模型左侧边界上各点处x方向固定,y 方向自由,而在下边界上各点x方向自由,y方向固定.图12 双连拱隧道结构Fig.12 The structure sketch of twin-arched tunnel表1 材料参数性能Table 1 Parameters of material propertyMaterial typeE/GPa v Bulk density/(kN ·m−3)III type surrounding rock 2 0.25 22 surrounding rock of reinforced area 2.6 0.2 23 lining(C25) 28.5 0.2 25 shotcrete(C25) 28.5 0.2 23 backfilling concrete(C10) 18.5 0.2 22图13 三角形背景网格和边界条件Fig.13 Triangular background mesh and boundary conditions图14 第一主应力图Fig.14 The first principal stress图15 第二主应力Fig.15 The second principal stress图14和图15分别给出了由NSMM的计算结果绘制的第一、第二主应力云图.由图14可以看出,拱圈顶部附近、仰拱拱底附近、边墙和中墙基础底部都出现了较大的拉应力.从图15可以看出,几个形状突变较为明显的区域,由于应力集中导致了较大压应力的出现.图14和图15的结论与文献[32]的结论是一致的.NSMM与EFGM的计算结果十分接近,但EFGM的CPU用时为197.48 s,而本文方法仅为35.44 s,进一步说明本文方法具有极高的计算效率.5 结论EFGM是一种十分重要的无网格数值方法,但其计算效率低的问题长期困扰着研究工作者.本文基于广义梯度光滑技术,提出了光滑无网格Galerkin法,试图解决这一难题.本文方法的基本思想是利用MLS近似位移场函数,在两层嵌套光滑子域上计算最优光滑应变,基于GS-Galerkin弱形式推导了系统方程.两层嵌套网格由三角形背景积分网格以及连接三角形网格的3条边中点组成的4个三角形子网格构成.利用Richardson外推法,得到两层网格下对应的最优光滑应变.几个数值算例验证了本文方法的精度和计算效率.从这些数值结果可以看出,本文方法具有以下优势: (1)计算效率高.本文方法充分利用了光滑梯度技术,将区域积分转化为区域边界积分,完全避免了形成整体刚度矩阵时复杂形函数导数计算.因此,极大地提高了的计算效率.数值结果表明,在节点分布相同的情况下,NSMM比EFGM花费的计算时间要少的多.(2)计算精度高.FSMM类似SCNI,仅有线性精度:SSMM将FSMM的光滑区域细分为4个子区域,相当于引入了更多的积分取样点,因此SSMM比FSMM的精度更高:Richardson外推法又从理论上保证NSMM比FSMM和SSMM二者的精度更高.4个数值算例证明了NSMM具有几乎和EFGM相同的计算精度.(3)易于施加边界条件.本文方法在实现过程中,域内计算点采用MLS近似,而在域边界上的计算点则采用线性插值.一方面,本文方法可以自然满足线性分片试验;另一方面,边界条件的施加过程就和FEM一样了.这样,无网格边界条件施加困难的问题也就迎刃而解了.综上所述,本文提出的光滑Galerkin无网格法,既保持了无网格法的精度高的优势,又极大地减少了计算用时,同时也解决了施加边界条件的难题,具有十分广阔的发展空间.将本文方法进一步推广到结构动力学分析、大变形分析以及裂纹动态扩展等问题将是未来的研究方向.参考文献【相关文献】1 Belytschko T,Lu YY,Gu L.Element-free Galerkin methods.International Journal for Numerical Methods in Engineering,1994,37:229-2562 Belytschko T,Kronggauz Y,Organ D,et al.Meshless methods:An overview and recent putational Methods in Applied Mechanics and Engineering,1996,139:3-473 Liu WK,Jun S,Zhang YF.Reproducing kernel particle methods.International Journal for Numerical Methods in Fluids,1995,20:1081-11064 Atluri SN,Shen SP.The Meshless Local 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深度学习六十问（基础题）

深度学习六⼗问（基础题）数据类问题1.样本不平衡的处理⽅法①⽋采样 - 随机删除观测数量⾜够多的类，使得两个类别间的相对⽐例是显著的。

虽然这种⽅法使⽤起来⾮常简单，但很有可能被我们删除了的数据包含着预测类的重要信息。

②过采样 - 对于不平衡的类别，我们使⽤拷贝现有样本的⽅法随机增加观测数量。

理想情况下这种⽅法给了我们⾜够的样本数，但过采样可能导致过拟合训练数据。

③合成采样（ SMOTE ）-该技术要求我们⽤合成⽅法得到不平衡类别的观测，该技术与现有的使⽤最近邻分类⽅法很类似。

问题在于当⼀个类别的观测数量极度稀少时该怎么做。

⽐如说，我们想⽤图⽚分类问题确定⼀个稀有物种，但我们可能只有⼀幅这个稀有物种的图⽚。

④在loss⽅⾯，采⽤focal loss等loss进⾏控制不平衡样本。

不平衡类别会造成问题有两个主要原因： 1.对于不平衡类别，我们不能得到实时的最优结果，因为模型/算法从来没有充分地考察隐含类。

2.它对验证和测试样本的获取造成了⼀个问题，因为在⼀些类观测极少的情况下，很难在类中有代表性。

2.讲下数据增强有哪些⽅法（重点）翻转，旋转，缩放,裁剪，平移，添加噪声，有监督裁剪，mixup，上下采样，增加不同惩罚解决图像细节不⾜问题（增强特征提取⾻⼲⽹络的表达能⼒）3.过拟合的解决办法（重点）数据扩充/数据增强/更换⼩⽹络（⽹络太复杂）/正则化/dropout/batch normalization增加训练数据、减⼩模型复杂度、正则化,L1/L2正则化、集成学习、早期停⽌什么是过拟合过拟合（overfitting）是指在模型参数拟合过程中的问题，由于训练数据包含抽样误差，训练时，复杂的模型将抽样误差也考虑在内，将抽样误差也进⾏了很好的拟合。

产⽣过拟合根本原因:观察值与真实值存在偏差, 训练数据不⾜，数据太少，导致⽆法描述问题的真实分布, 数据有噪声, 训练模型过度，导致模型⾮常复杂什么是⽋拟合：训练的模型在训练集上⾯的表现很差，在验证集上⾯的表现也很差原因：训练的模型太简单，最通⽤的特征模型都没有学习到正则化正则化的原理：在损失函数上加上某些规则（限制），缩⼩解空间，从⽽减少求出过拟合解的可能性。