2018届高三数学每天一练半小时(31)三角函数综合练(含答案)
[精品]2018版高考一轮总复习数学文科模拟演练第3章三角函数解三角形31和答案
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(时间：40分钟)1．点A(sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos38°＜0，∴选C项．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 C解析设扇形所在圆的半径为R，则2＝12×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1，扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.3．如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，那么sinα＝( )A．12B．－12C．－32D．－33答案 C解析因为P(1，－3)，所以r＝12＋－32＝2.所以sinα＝－3 2.4．sin2·cos3·tan4的值( )A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在答案 A解析∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0，∴选A.5．已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝24x，则x＝( )A． 3 B．± 3 C．－ 2 D．－ 3 答案 D解析依题意得cosα＝xx2＋5＝24x＜0，由此解得x＝－3，选D.6．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为________．答案－4 3解析由三角函数的定义有：tan420°＝a－4.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，故a－4＝3，得a＝－4 3.7．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32 解析 设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32. 8．如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________.答案 －75解析 由题意得cos 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，所以cos 2α＝1625.又cos α<0，所以cos α＝－45，又sin α＝35，所以cos α－sin α＝－75.9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.解 ∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x，又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 解 (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝10π3，S 扇形＝12R ·l ＝50π3. 又S △AOB ＝12OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－32. (时间：20分钟)11．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边落在( )A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上答案 D解析 因为|cos θ|＝cos θ，所以cos θ≥0.因为|tan θ|＝－tan θ，所以tan θ≤0.所以2k π＋3π2<θ≤2k π＋2π，k ∈Z .所以k π＋3π4<θ2≤k π＋π，k ∈Z .故选D.12．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin2C ．2sin1D ．2sin1答案 C解析 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.13．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8解析 若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx.P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255， ∴y16＋y2＝－255，且y <0，解得y ＝－8. 14.如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.。
2018届高三数学每天一练半小时：阶段滚动检测试卷(一)有答案
一、选择题1．如图所示的Venn 图中，阴影部分对应的集合是( )A ．A ∩B B ．∁U (A ∩B )C ．A ∩(∁U B )D ．(∁U A )∩B2．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( )A ．“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”B ．“若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0”C ．“若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0”D ．“若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0”3．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )等于() A ．{x |x <1} B ．{x |x ≥－1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1≤x <1}5．下列各组函数中是同一个函数的是( )①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x 2；③f (x )＝x 2与g (x )＝x 4；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1.A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④6．若a ＝2－3.1，b ＝0.53，c ＝log 3.14，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <c <bD ．a <b <c7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t x，x <2，log t (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)等于( )A ．8B ．6C ．4D ．28．给出下列四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x.这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①9．已知函数f (x )是偶函数且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－2，－1)∪(0,1) 10．已知命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0.命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是( )A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④ 11．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 12．已知定义域为A 的函数f (x )，若对任意的x 1，x 2∈A ，都有f (x 1＋x 2)－f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )为“定义域上的M 函数”，给出以下五个函数：①f (x )＝2x ＋3，x ∈R ；②f (x )＝x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；③f (x )＝x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；④f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；⑤f (x )＝log 2x ，x ∈[2，＋∞)．其中是“定义域上的M 函数”的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题13．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝|x |，x ∈R }，则A ∩B 中元素的个数为________．14．已知p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0，若p 是错误的，则实数a 的取值范围是__________．(用区间表示)15．已知函数f (x )＝12(31)4,0,(log ),0,a x a x f x x -+<⎧⎪⎨≥⎪⎩若f (4)>1，则实数a 的取值范围是____________．16．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ k (x ＋1)，x <0，x 2＋1，x ≥0，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是______________．三、解答题17．设p ：f (x )＝2x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数；q ：若x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，则不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立．若p 不正确，q 正确，求实数m 的取值范围．18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |0<x <1}．(1)若a ＝12，求A ∩B ； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19．已知函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，x ∈[19，9]． (1)若t ＝log 3x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值及取得最值时对应的x 的值．20．已知p ：“∃x 0∈(－1,1)，x 20－x 0－m ＝0(m ∈R )”是正确的，设实数m 的取值集合为M .(1)求集合M；(2)设关于x的不等式(x－a)(x＋a－2)<0(a∈R)的解集为N，若“x∈M”是“x∈N”的充分条件，求实数a 的取值范围．21.据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．C [根据题图可知，阴影部分是由属于A 且不属于B (属于∁U B )的元素组成的集合，观察各选项易得结果．]2．A [逆否命题是将原命题的条件与结论先调换位置，再将新条件与新结论同时否定，故选A.]3．A [A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]4．A [M ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤－1}＝{x |x <1}．]5．C [①中，f (x )＝－2x 3＝－x －2x ，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中，g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数；易知③④中两函数表示同一个函数．]6．D [因为a ＝2－3.1，b ＝0.53＝2－3，函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2－3.1<2－3<20＝1，又函数y ＝log 3.1x 在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝log 3.14>log 3.13.1＝1，所以a <b <c .]7．B [因为f (2)＝1，所以log t (22－1)＝log t 3＝1，解得t ＝3，所以f (1)＝2×31＝6.]8．A [本题是选择题，可利用排除法．对于①，令y ＝f (x )，∵f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x ·sin x ＝f (x )，∴函数y ＝f (x )为偶函数，故①中的函数对应第1个图象，排除C 和D ；对于③，当x >0时，y ≥0，故③中的函数对应第4个图象，排除B.]9．C [若x ∈[－2,0]，则－x ∈[0,2]，此时f (－x )＝－x －1.∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝－x －1＝f (x )，即f (x )＝－x －1，x ∈[－2,0]．∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的函数．若x ∈[2,4]，则x －4∈[－2,0]，∴f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－1＝3－x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1，－2≤x <0，x －1，0≤x <2，3－x ，2≤x ≤4，作出函数f (x )在[－2,4]上的图象，如图所示，若0<x ≤3，则不等式xf (x )>0等价于f (x )>0，此时1<x <3；若－1≤x <0，则不等式xf (x )>0等价于f (x )<0，此时－1<x <0；若x ＝0，显然不等式xf (x )>0的解集为∅.综上，不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．]10．D [函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数⇒f (－x )＝f (x )⇒a ＝0⇒p 为真命题；关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解⇒Δ＝4－4m ≥0⇒m ≤1⇒q 为假命题．故①④为真，故选D.]11．A [根据题意知，当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，则f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，故函数f (x )在(－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数．函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，相当于函数f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有2个交点，若其中1个交点为(1,1)，则m ＝12，结合函数的图象(图略)，可知m 的取值范围是(0，12]，故选A.] 12．C [对于①，∀x 1，x 2∈R ，f (x 1＋x 2)＝2(x 1＋x 2)＋3<2(x 1＋x 2)＋6＝f (x 1)＋f (x 2)，故①满足条件；对于②，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22， 当x 1x 2>0时，不满足f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故②不是“定义域上的M 函数”；对于③，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22＋2， 因为x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以2x 1x 2≤12<1， 故f (x 1＋x 2)<f (x 1)＋f (x 2)，故③满足条件；对于④，∀x 1，x 2∈[0，π2]，f (x 1＋x 2)＝sin x 1cos x 2＋sin x 2cos x 1≤sin x 1＋sin x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故④满足条件；对于⑤，∀x 1，x 2∈[2，＋∞)，f (x 1＋x 2)＝log 2(x 1＋x 2)，f (x 1)＋f (x 2)＝log 2(x 1x 2)，因为x 1，x 2∈[2，＋∞)，所以1x 1＋1x 2≤1，可得x 1＋x 2≤x 1x 2，即f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故⑤满足条件．所以是“定义域上的M 函数”的有①③④⑤，共4个．]13．3解析 由题意联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝|x |，消去y 得x 2＝|x |，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A ∩B 中元素的个数为3.14．(1，＋∞)解析 由题意知∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0的根的判别式Δ＝4－4a <0，∴a >1.∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)．15.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析 由题意知f (4)＝f (log 124)＝f (－2)＝(3a －1)×(－2)＋4a >1，解得a <12.故实数a 的取值范围是(－∞，12)． 16．(2＋22，＋∞)解析 设点(m ，n )(m >0)是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n )必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝m 2＋1，－n ＝k (－m ＋1)，消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f (x )有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4(k ＋1)>0，k >0，k ＋1>0， 解得k >2＋2 2.故实数k 的取值范围是(2＋22，＋∞)． 17．解 若p 正确，即f (x )＝2x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数，则m ≤1. 若q 正确，∵x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，a ∈[－1,1]，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3.∵不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立，∴m 2＋5m －3≥3，∴m 2＋5m －6≥0，解得m ≥1或m ≤－6.又p 不正确，q 正确，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.故实数m 的取值范围是{m |m >1}．18．解 (1)若a ＝12，则A ＝{x |－12<x <2}，又B ＝{x |0<x <1}， ∴A ∩B ＝{x |0<x <1}．(2)当A ＝∅时，a －1≥2a ＋1，∴a ≤－2，此时满足A ∩B ＝∅；当A ≠∅时，则由A ∩B ＝∅，B ＝{x |0<x <1}，易得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1>a －1，a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1>a －1，2a ＋1≤0，∴a ≥2或－2<a ≤－12. 综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－12或a ≥2. 19．解 (1)由t ＝log 3x ，x ∈[19，9]，解得－2≤t ≤2. (2)f (x )＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2，令t ＝log 3x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，t ∈[－2,2]． 当t ＝－32，即log 3x ＝－32， 即x ＝39时，f (x )min ＝－14； 当t ＝2，即log 3x ＝2，即x ＝9时，f (x )max ＝12.20．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在x ∈(－1,1)上有解，故m 的取值集合就是函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易得M ＝{m |－14≤m <2}． (2)因为“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，所以M ⊆N .当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a <－14，a ≥2，解得a >94； 当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <－14，2－a ≥2，解得a <－14. 综上可知，实数a 的取值范围为{a |a >94或a <－14}． 21．解 (1)由题中所给出的函数图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12(km/h)，∴s ＝12×4×12＝24(km)． (2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2； 当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150； 当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上可知，s ＝223,[0,10],230150,(10,20],70550,(20,35].t t t t t t t ⎧∈⎪⎪-∈⎨⎪-+-∈⎪⎩(3)∵当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650， 当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋(x －1)·|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1.当x ≥－1时，由f (x )＝1，得2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1；当x <－1时，f (x )＝1恒成立．∴方程的解集为{x |x ≤－1或x ＝1}．(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－(a ＋1)x ＋a ，x ≥a ，(a ＋1)x －a ，x <a .若f (x )在R 上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋14≤a ，a ＋1>0，解得a ≥13. ∴实数a 的取值范围为{a |a ≥13}． (3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－(a ＋3)x ＋a ＋3，x ≥a ，(a －1)x －a ＋3，x <a ，不等式f (x )≥2x －3对任意x ∈R 恒成立，等价于不等式g (x )≥0对任意x ∈R 恒成立． ①若a >1，则1－a <0，即21－a <0， 取x 0＝21－a，此时x 0<a ， ∴g (x 0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a ＝(a －1)·21－a －a ＋3＝1－a <0， 即对任意的a >1，总能找到x 0＝21－a，使得g (x 0)<0， ∴不存在a >1，使得g (x )≥0恒成立．②若a ＝1，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－4x ＋4，x ≥1，2，x <1，∴g (x )的值域为[2，＋∞)，∴g (x )≥0恒成立．③若a <1，当x ∈(－∞，a )时，g (x )单调递减，其值域为(a 2－2a ＋3，＋∞)． 由于a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，所以g (x )≥0恒成立．当x ∈[a ，＋∞)时，由a <1，知a <a ＋34，g (x )在x ＝a ＋34处取得最小值． 令g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－(a ＋3)28≥0，得－3≤a ≤5，又a <1，∴－3≤a <1. 综上，a ∈[－3,1]．。
高中数学三角函数专项练习题(含答案)
高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，512BAC π∠=，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路．该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -（新建道路PQ ，对道路CP 进行翻新），其中P 为BC 上异于B C ，的一点，PQ 与AB 平行，设012PAB θθ5π⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍．要使观光专线CP PQ -的修建总成本最低，则θ的值为____________．2．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.3．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______．4．平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均相等，1160BAD DAA A AB ∠=∠=∠=，直线1AC ⋂平面1A BD E =，则异面直线1D E 与AD 所成角的余弦值为_________.5．在ABC 中，记角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，面积为S ，则24Sb ac+的最大值为___________.6．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．7．在直角平面坐标系xOy 中，12,F F 分别是双曲线()22210y x b b-=>的左、右焦点，过点1F 作圆221x y +=的切线，与双曲线左、右两支分别交于点,A B ，若2||||F B AB =，则b 的值是_________．8．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________. 9．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______． 10．平面向量a ，b ，c 满足1a a b c =-==，()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+，1a b b a b b cb⋅+=+⋅，则()2b c-=______．二、单选题11．已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π； ③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣13．已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ）A ．3B ．35C ．75D ．3214．已知02πθ<<，()()cos 1sin 110sin cos f m m m θθθθθ--⎛⎫=+++> ⎪⎝⎭，则使得()f θ有最大值时的m 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[]1,3D ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．如图，设1F ，2F 是双曲线()22210xy a a-=>的左、右焦点，过点2F 作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点A ，若12AF F △的面积为54，离心率满足12e <<，则双曲线的方程为（ ）A ．2215x y -=B ．2214x y -=C ．2213x y -=D ．2212x y -=16．已知,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,32ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2sin 3cos 2cos sin αβαβ+=+，则tan()αβ-=（ ） A ．3B ．1C ．23+D ．32-17．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+>18．已知函数()*()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至少为4π，且在区间3(,)2ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．119．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最．对于高斯函数[]y x =，[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[]1.71=，[]1.22-=-，{}x 表示x 的非负纯小数，即{}[]x x x =-．若函数{}1log a y x x=-+（0a >且1a ≠）有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]3,4B ．()3,4C ．[)3,4D ．[]3,420．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．π三、解答题21．函数()()3sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，ABC ∆为等边三角形.将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，再向右平移23π个单位，得到函数()y g x =的图象.（Ⅰ）求函数()g x 的解析式；（Ⅱ）若不等式()23sin 324x m g x m π⋅-≤+对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.23．如图，四边形ABCD 是某市中心一边长为4百米的正方形地块的平面示意图. 现计划在该地块上划分四个完全相同的直角三角形（即Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE ），且在这四个直角三角形区域内进行绿化，中间的小正方形修建成市民健身广场，为了方便市民到达健身广场，拟修建4条路,AE ,BF ,CG DH . 已知在直角三角形内进行绿化每1万平方米的费用为10a 元，中间小正方形修建广场每1万平方米的费用为13a 元，修路每1百米的费用为a 元，其中a 为正常数．设FAB θ∠=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）用θ表示该工程的总造价S ；（2）当cos θ为何值时，该工程的总造价最低？24．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？25．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，最小值为()g t .（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()g t 的表达式； （3）当112t -≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围.26．已知函数21()sin 24f x x x =+（1）求()f x 的最小正周期T 和[0,]π上的单调增区间：（2）若2()(1)0n f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦和*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围.27．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.28．设向量a =（2sin 2x cos 2xx ），b =（cos x ，sin x ），x ∈[-6π，3π]，函数f （x ）=2a •b ．（1）若|a b |，求x 的值；（2）若f （x ）-m m 的取值范围．29．函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设π(0,)2α∈，则()22f α=，求α的值30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示 （1）求A ，ω，φ的值；（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间；（3）若α∈[0，π]，且f （α）α的值．【参考答案】一、填空题π1．62231164．5652637．1331 8109．1310．2332二、单选题11．B12．A13．D14．A15．B16．D17．A18．C19．C 20．C 三、解答题21．（Ⅰ）()12g x x =（Ⅱ）2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（Ⅰ）利用等边三角形的性质，根据已知，可以求出函数的周期，利用正弦型函数的最小正周期公式求出ω，最后根据正弦型函数图象的变换性质求出()y g x =的解析式； （Ⅱ）根据函数()y g x =的解析式，原不等式等价于23cos 3cos 10x m x m +++≥在x ∈R 恒成立，利用换元法，构造二次函数，分类讨论进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）点A ABC ∆为等边三角形，所以三角形边长为2，所以24T πω==，解得2πω=，所以()23f x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，得到()123h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移23π个单位，得到()12g x x =.（Ⅱ）()22g x x x ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以()223sin 233cos 3cos x g x x m x π⋅-=--，原不等式等价于23cos 3cos 10x m x m +++≥在x ∈R 恒成立. 令cos x t =，[]1,1t ∈-，即23310t mt m +++≥在[]1,1t ∈-上恒成立.设()2331t t mt m ϕ=+++，对称轴2m t =-， 当12m-≤-时，即2m ≥时，()1240m ϕ-=-+≥，解得2m ≤，所以2m =； 当12m-≥时，即2m ≤-时，()1440m ϕ=+≥，解得1m ≥-（舍）； 当112m -<-<时，即22m -<<时，231024m m m ϕ⎛⎫-=-++≥ ⎪⎝⎭，解得223m -≤<.综上，实数m 的取值范围为2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象变换和性质，考查了利用换元法、构造法解决不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.22．（1）2 ；（2）能放，tan θ=；（3）(]0,1 【解析】 【分析】（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论. （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()124sin 60sin d d θθ⋅=-为()2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 （1）,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ， 由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，即sin sin θθθ-，2sin θθ∴=，tan θ∴=，sin θ∴=，故边长3a ==， 综上可得，能放.（3）()1214sin 60sin 4sin sin 2d d θθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭()1cos 2222sin 23012θθθ⎫+=-=+-⎪⎪⎝⎭. 060θ<≤，30230150θ∴<+≤，()1sin 23012θ≤+≤， 所以()02sin 23011θ≤+-≤， 又10d >，20d >，所以(]120,1d d ⋅∈. 【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.23．（1）()16(13sin 6sin cos )S a θθθθ=+-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当3cos 4θ=时，()16()S af θθ=取得最小值 【解析】(1)根据题意可知4sin BF θ=,4cos AF θ=,进而求得Rt ABFS 与EFGH S 正方形再求得总造价S 即可.(2)由(1)有()16(13sin 6sin cos )S a θθθθ=+-,再求导分析函数的单调性与最值即可.【详解】（1）在Rt ABF 中,FAB θ∠=,4AB =,所以4sin BF θ=,4cos AF θ=. 由于Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE 是四个完全相同的直角三角形,所以4sin AE BF CG DH θ====,4(cos sin )EF FG GH HE θθ====-,所以Rt114cos 4sin 8sin cos 22ABFS AF BF θθθθ=⋅⋅=⨯⨯=, 2224(cos sin )16(12sin cos )EFGH S EF θθθθ==-=-正方形.所以()48sin cos 1016(12sin cos )1344sin S a a a θθθθθθ=⨯⨯+-⨯+⨯⨯16[20sin cos (12sin cos )13sin ]a θθθθθ=+-⨯+ 16(13sin 6sin cos )a θθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）由（1）记()13sin 6sin cos f θθθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则22232()cos 6(cos sin )12cos cos 612(cos )(cos )43f θθθθθθθθ'=--=-++=--+. 令()0f θ'=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 4θ=或2cos 3θ=-(舍).记03cos 4θ=,所以当0(0,)θθ∈时,()0f θ'<,()f θ单调递减； 当0(,)4πθθ∈时,()0f θ'>,()f θ单调递增. 所以当3cos 4θ=时,()f θ取得极小值,也是最小值, 又0a >,所以当3cos 4θ=时,()16()S af θθ=取得最小值. 【点睛】本题主要考查了三角函数在几何中的运用,同时也考查了求导分析函数最值的方法,属于难题. 24．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()4g x =；当8x π=-时，max 1()2g x =【解析】 【分析】（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值； （2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈ 又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴= （2）由（1）知1()cos 22f x x =， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()4g x = 当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x = 【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题25．（1）4-（2）22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】【分析】（1）直接代入计算得解；（2）先求出1sin(2)[,1]42x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解.【详解】（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以48f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为[,]242x ∈ππ，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]42x π-∈- 2()[sin(2)]614f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ） 当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2min 5[()]54f x t t =-+ 当112t -≤≤时，则当sin(2)4x t π-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14x π-=时，2min [()]82f x t t =-+ 故22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）当112t -≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.26．(1) T=π，单调增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) ∅ 【解析】【分析】（1）化简函数得到1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算周期和单调区间. （2）分情况n 的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案.【详解】解：（1）函数21()sin 24f x x x =11cos 2sin 242x x +=11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭故()f x 的最小正周期22T ππ==． 由题意可知：222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈ 解得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ 因为[0,]x π∈，所以()g x 的单调增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）由（1）得1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2,36x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，12()1,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦若2()(1)0n f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦和*n N ∈恒成立， 则2()(1)n f x m +-⋅的最小值大于零．当n 为偶数时，10m -+>，所以，1m当n 为奇数时，10m -->，所以，1m <-综上所述，m 的范围为∅.【点睛】本题考查了三角函数化简，周期，单调性，恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.27．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a =【解析】【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，1t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值.【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--=∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+--- 令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤ 1t ≤①当2a <a <-当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a ≤，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a >，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a -=，解得6a = 综上，2a =-或6a =【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.28．（1）π4x =；（2）2⎤⎦. 【解析】【分析】（1）根据|a |=b |，利用化简函数化简解得x 的值；（2根据f （x ）＝2a •b ．结合向量的坐标运算，根据x ∈[6π-，3π]，求解范围，）﹣f （x ）﹣m ≤m 的取值范围．【详解】解：（1）由|a b |，可得222a b =；即4sin 2x =2（cos 2x +sin 2x ）即sin 2x =12；∴sin x = ∵x ∈[-6π，3π]， ∴x =4π（2）由函数f （x ）=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x ）=sin2x x （2x -3π）∵x ∈[-6π，3π]， ∴2x -3π∈[-23π，3π]，2≤2sin （2x -3π）要使f （x ）-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩2m ≤故得m 的取值范围是2]．【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．29．（1）()2sin(2) 1.6f x x π=-+；（2）3π. 【解析】【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期2222πππωω⨯==⇒=，∴f （x ）=2sin （2x-6π）+1（2）π(0,)2α∈，f （2α）=2 ∴2sin （22α⨯-6π）+1=2,得sin （α-6π）=12，α=3π 30．（1）π2,1,6A ωϕ===；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）π24或7π24. 【解析】【分析】（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=2T πω，求出ω， 然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．（3）令()f α=0απ，即可求得α的取值． 【详解】解：（1）由图象知A =2，34T =512π-（-3π）=912π， 得T =π， 即22πω=2，得ω=1， 又f （-3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2， 得sin （-23π+φ）=-1， 即-23π+φ=-2π+2k π， 即ω=6π+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2π， ∴当k =0时，φ=6π， 即A =2，ω=1，φ=6π； （2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712π， b =f （0）=2sin 6π=2×12=1， ∵f （x ）=2sin （2x +6π）， ∴由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ， 得k π-3π≤x ≤k π+6π，k ∈Z ，即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6π]，k ∈Z ；（3）∵f （α）=2sin （2α+6π）即sin （2α+6π） ∵α∈[0，π]，∴2α+6π∈[6π，136π]， ∴2α+6π=4π或34π， ∴α=24π或α=724π．【点睛】关于三角函数图像需记住：两对称轴之间的距离为半个周期；相邻对称轴心之间的距离为半个周期； 相邻对称轴和对称中心之间的距离为14个周期． 关于正弦函数单调区间要掌握： 当2,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增； 当32+,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减．。
2018届高考数学(文)第一轮总复习全程训练第三章三角函数、解三角形天天练14Word版含答案
天天练14 三角函数的性质一、选择题1．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 2．已知f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )A ．0 B.π6 C.π4 D.π33．(2017·长沙一模)函数y ＝sin(π3－12x )，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A ．[－π3，5π3]B ．[－2π，－π3]C ．[5π3，2π]D ．[－2π，－π3]和[5π3，2π]4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )A ．2π B.3π2C ．π D.π2 5．(2017·广西五市5月联考)已知函数f (x )＝cos ωx －sin ωx (ω＞0)在(－π2，π2)上单调递减，则ω的取值不可能为( )A.15B.14C.12D.346．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π47．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，则( )A ．α＋β>πB ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π8．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3 二、填空题 9．(2017·云南二检)若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．10．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.11．(2017·新疆二检)已知函数f (x )＝|sin x |·cos x ，给出下列五个结论：①f (2014π3)＝－34；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间[－π4，π4]上单调递增； ④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点(π2，0)成中心对称．其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)． 三、解答题12．(2017·西工大附中训练)已知函数f (x )＝cos 2(x ＋π12)，g (x )＝1＋12sin2x .(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的最小正周期和值域．1．B 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 2．B 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．3．D 依题意得y ＝－sin(12x －π3)，当2k π＋π2≤12x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即4k π＋5π3≤x ≤4k π＋11π3(k ∈Z )时，函数y ＝－sin(12x －π3)是单调递增函数．又x ∈[－2π，2π]，因此函数y ＝－sin(12x －π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－2π，－π3]和[5π3，2π]，选D.易错点拨：在处理此类三角函数的相关问题时，如果相关的自变量的系数为负，建议应用诱导公式将其转化为正数，这样能够有效避免出错．4．A 依题意，得f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.故最小正周期为2π.5．D 依题意，f (x )＝2cos(ωx ＋π4)，令2k π≤ωx ＋π4≤π＋2k π(k∈Z )，解得－π4ω＋2k πω≤x ≤3π4ω＋2k πω(k ∈Z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≤－π23π4ω≥π2，又ω＞0，∴0＜ω≤12，观察可知选D.6．A 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4.7．A ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π， ∴π－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β.∵y ＝sin x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递增， ∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β)⇔α>π－β⇔α＋β>π.8．B 要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6.∴ω的最小值为32，故选B.9．±35解析：因为f (x )＝8sin(5ax －π3)，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3.又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35.10．3解析：周期公式1.5T ＝π.即：32·2πω＝π ω＝3. 11．①⑤解析：①f (2014π3)＝|sin 2014π3|·cos 2014π3＝32×(－12)＝－34，∴①正确；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则|12sin2x 1|＝|12sin2x 2|，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确；③∵当x ∈[－π4，π4]时，f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x ＜012sin2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在[－π4，π4]上不是单调函数，∴③不正确；④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π＜x ＜2k π12sin2x ，2k π≤x ＜π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点(π2，0)成中心对称， ∴⑤正确．12．解：(1)由题设知f (x )＝12[1＋cos(2x ＋π6)]．令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，所以函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2－π12(k ∈Z ) (2)h (x )＝f (x )＋g (x ) ＝12[1＋cos(2x ＋π6)]＋1＋12sin2x ＝12[cos(2x ＋π6)＋sin2x ]＋32 ＝12(32cos2x ＋12sin2x )＋32 ＝12sin(2x ＋π3)＋32.所以函数h (x )的最小正周期T ＝π，值域为[1,2]．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。
高中数学三角函数专项练习题(含答案)
高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.2．已知)2,0F为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点.若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且△OFP 外接圆的面积为23π，则椭圆C 的长轴长为___________. 3．已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 4．已知点A 为直线:3l y x =上一点，且A 位于第一象限，点()10,0B ，以AB 为直径的圆与l 交于点C (异于A )，若60CBA ∠≥，则点A 的横坐标的取值范围为___________.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上的一点，若6c =，32b =7sin BAD ∠=，2cos 4BAC ∠=，则AD =__________. 6．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值,,r r xx y y分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot14π=； ②sin csc 1αα⋅=；③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈；④22sec csc 4αα+；⑤2cot 1cot22cot ααα-=.7．在ABC 中，AB BC ≠，O 为ABC 的外心，且有AB BC AC +=，sin (cos cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．8．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________. 9．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______． 10．设向量OA a =，OB b =，OC c =，2a b a b ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且向量c 与向量a c -的夹角为3π，则||||c c b -的取值范围是____________． 二、单选题11．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点.若11||::3:3:2AB AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．113D ．1112．已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π； ③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④13．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，若在椭圆E 上存在点M ，使得12MF F △的面积等于2122sin b F MF ∠，则椭圆E 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．12⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭14．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4322,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5922,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)22,⎡+∞⎣15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，N 为BC 的中点.当点M 在平面11DCC D 内运动时，有//MN 平面1A BD ，则线段MN 的最小值为（ ） A ．1B ．62C ．2D ．316．在三棱锥A BCD -中，5,2,2AC AD AB CD BC BD ======，则这个三棱锥的外接球的半径为（ ） A ．2105B ．2103C ．253D ．2517．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最．对于高斯函数[]y x =，[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[]1.71=，[]1.22-=-，{}x 表示x 的非负纯小数，即{}[]x x x =-．若函数{}1log a y x x=-+（0a >且1a ≠）有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]3,4B ．()3,4C ．[)3,4D ．[]3,418．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()sin y A x B ωϕ=++，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）A ．25C ︒B ．26C ︒ C ．27C ︒D ．28C ︒19．在ABC 中，若22sin cos 1A B +=，则8cos AB BCBC A AC+的取值范围为（ ）A ．)43,8⎡⎣B ．)43,7⎡⎣C ．()7,8D ．(0,4320．设锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且1c =，2A C =，则ABC ∆周长的取值范围为（ ） A ．(0,22)+B ．(0,33)C ．(22,33)+D ．(22,33]三、解答题21．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角αβ，.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ→→== 由向量数量积的坐标表示，有： cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+设,OA OB →→的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+另一方面，由图3.1—3（1）可知，2k απβθ=++；由图可知，2k απβθ=+-.于是2,k k Z αβπθ-=±∈.所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+， 所以，对于任意角,αβ有：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了.阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题： （1）判断1OC OMOM→→→=是否正确？（不需要证明）（2）证明：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=（3）利用以上结论求函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++的单调区间.22．已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ． （1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N*）上恰有2015个零点，求k 的值．23．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3sin cos 022A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2sin 6sin sin A B C =⋅. （1）求A ；（2）若()b c a R λλ+=∈，求λ的值.24．已知函数()sin cos cos 63f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求使()0f x <成立的实数x 的取值集合.25．已知ABC ∆的外接圆．．．，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，sin sin 4n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角C ；（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长. 26．设函数2()cos sin 2f x x a x a =-+++（a ∈R ）． （1）求函数()f x 在R 上的最小值；（2）若不等式()0f x <在[0,]2π上恒成立，求a 的取值范围；（3）若方程()0f x =在(0,)π上有四个不相等的实数根，求a 的取值范围．27．已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S .28．已知函数()f x 的图象是由函数()sin g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向左平移3π个单位长度.（1）求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）已知关于x 的方程2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β.求26cos(22)m αβ--的值.29．已知函数()()()21?0f x cos x sin x x ωωωω=>，()12 1()3f x f x ==-，，且12min 2x x π-=.（1）求()f x 的单调递减区间； （2）若()237,,,sin 33235,25f ππβπαβαβ⎛⎫⎛⎫∈-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f α⎛⎫⎪⎝⎭的值.30．设向量a =（2sin 2x cos 2xx ），b =（cos x ，sin x ），x ∈[-6π，3π]，函数f （x ）=2a •b ．（1）若|a b |，求x 的值；（2）若f （x ）-m m 的取值范围．【参考答案】一、填空题12．3．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭4．)1⎡++∞⎣5．4 6．②④⑤7．4333-89．1310． 二、单选题 11．A12．B 13．A 14．C 15．B 16．A 17．C 18．C 19．A 20．C 三、解答题21．(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 (1) 因为对1||n n →→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,即可判断出正确;(2)在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,表示出OC →,OM →的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论; 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)由(2)结论化简可得222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助正弦型函数的性质即可求得结果. 【详解】(1) 因为对于非零向量1,||n n n →→→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,所以1OC OMOM→→→=正确;(2) 因为M 为AB 的中点,则OM AB ⊥,从而在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,又cos ,sin 22OC αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos cos sin sin 22OM αβαβ→++⎛⎫=⎪⎝⎭,所以1sin sin sin22cos 2αβαββα++⎛⎫=⎪-⎝⎭, 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)因为222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤+≤+,解得: 36k x k ππππ-+≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤+≤+,解得: 263k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.22．（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k ＝1008． 【解析】（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；（2）令t ，t ∈[1，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x t at t μ==-，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()22f x v t t at ==+-，易知()()t v t μ≤，分类比较()1v、v的大小即可得解；（3）转化条件得当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，则x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解. 【详解】（1）函数 f （x ）的最小正周期为π． （2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1 ＝sin2x ﹣1＝（sin2x +1）， 令t =t ∈[1]，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()(21f x t at t t μ==-≤≤，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()(221f x v t t at t ==+-≤≤，∵()()()2222220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.∴()()(){}max max max 1,f x v t v v ==，∵()11v a =-，v，∴当1a ≤-()f x 最大值为1a -；当1a >-()f x .（3）当a ＝1时，f （x ）sin 21x -，若f （x ）＝0sin 21x =+即22sin 22sin 2sin x x x =+，∴当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，∴x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2π，π， ∴2015＝2×1007+1， ∴k ＝1008． 【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.23．（1）3A π=；（2）λ=. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简tan A =(0,)A π∈，可得A 的值；（2）由已知根据余弦定理可得2223a a bc λ+=，利用正弦定理可得26a bc =，联立即可解得λ的值． 【详解】（13sin cos 022A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 0A a B ⇒+=，cos sin sin 0B A A B ⇒+=(0,)sin 0B B π∈∴≠，tan (0,)3A A A ππ∴=∈∴=；（2）22sin 6sin sin 6A B C a ac =⋅⇒=，2222222cos )(3a b c bc B b c b bc bc c +⋅=++=--=-，而()b c a R λλ+=∈，22()3a a bc λ=-，而26a ac =，所以有2302λλλλ=⇒=>∴=【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.24．（1）1a =-（2）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】（1）化简()f x ，求最大值，即可求解；（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论； （3）运用正弦函数图像，即可求解. 【详解】 解：()sin cos cos sincoscos sinsin cos 6633f x x x x x x a ππππ=-++++11cos cos cos 22x x x x x a =-+++cos x x a =++12cos 2x x a ⎫=++⎪⎪⎝⎭2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）函数()f x 的最大值为21a +=，所以1a =-. （2）由22,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得222,33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （3）由（1）知()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.因为()0f x <，即2sin 106x π⎛⎫+-< ⎪⎝⎭.所以1sin 62x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以722,666k x k k Z πππππ-+<+<+∈. 所以422,3k x k k Z πππ-+<<∈， 所以使()0f x <成立的x 的取值集合为422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题.25．(1) 3C π=. (2) max S =【解析】 【分析】（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长. 【详解】（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，且2R =)22022a c b a R R ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：222c a b ab =+-.由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=，∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）1sin 2S ab C ==≤所以，max S =ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为 【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.26．（1）2min2,2;()1,22;422,2.a af x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩（2）(,1)a ∈-∞-（3）12a -<<-【解析】 【分析】（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最大值； （2）恒成立需要保证max ()0f x <即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到a 的范围；（3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求a 的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出a 的范围. 【详解】解：（1）令sin x t =，[1,1]t ∈-，则2()()1f x g t t at a ==+++，对称轴为2a t =-． ①12a -<-，即2a >，min ()(1)2f x g =-=．②112a -≤-≤，即22a -≤≤，2min ()()124a a f x g a =-=-++．③12a->，即2a <-，min ()(1)22f x g a ==+．综上可知，2min2,2;()1,22;422,2.a af x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩ （2）由题意可知，max ()0f x <，2()()1f xg t t at a ==+++，[0,1]t ∈的图象是开口向上的抛物线，最大值一定在端点处取得，所以有(0)10,(1)220,g a g a =+<⎧⎨=+<⎩故(,1)a ∈-∞-． （3）令sin x t =，(0,)x π∈．由题意可知，当01t <<时，sin x t =有两个不等实数解，所以原题可转化为2()10g t t at a =+++=在(0,1)内有两个不等实数根．所以有201,24(1)0,12(0)10,(1)220,a a a a g a g a ⎧<-<⎪⎪⎪∆=-+>⇒-<<-⎨⎪=+>⎪=+>⎪⎩【点睛】（1）三角函数中，形如2()sin sin f x a x b x c =++或者2()cos cos f x a x b x c =++都可以采用换元法求解函数最值；（2）讨论二次函数的零点的分布，最好可以采用数形结合的方法解决问题，这样很大程度上减少了遗漏条件的可能.27．（1）⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =， 集合{}*|,n S x x b n N ==∈． ∴当120,3a d π==，所以集合{S =0． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=， ②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33,,022S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题． 28．（1）(2 )y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）6-【解析】【分析】（1）先求出()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图像和性质求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）先化简得2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质求出cos)αβ-（的值得解. 【详解】（1）将()sin g x x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到2sin y x =的图象， 再将2sin y x =的图象向左平移3π个单位长度后得到2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-++，k ∈Z51212k x k ππππ-+，k ∈Z ,又[0,]x π∈所以(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭24sin 4sin 232x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 24cos 23x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭23cos 22x x =-+223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，所以23x m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，且52,333x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭， 所以2233ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或22333ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是56παβ+=或116παβ+=. 当56παβ+=时，5cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 23πα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当116παβ+=时， 11cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 23πα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，因此，26cos(22)m αβ--()2262cos ()1m αβ=---22621612m m ⎛⎫=⋅--=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的单调区间的求法，考查三角函数图像的零点问题，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.29．(1) 单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2) 15. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出()424sin ,cos 3525πβαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，然后由()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得结果．【详解】（1）()2()1f x cos x sin x x ωωω=221sin xcos x x ωωω=+221)1sin x cos x ωω=--221sin x x ωω=-2(2)13sin x πω=+-． ∵1(2)13sin x πω-≤+≤，∴32(2)113sin x πω-≤+-≤，∴()f x 的最大值为1，最小值为3-． 又()()121,3f x f x ==-，且12min 2x x π-=，∴函数()f x 的最小正周期为22ππ⨯=，∴1ω=，∴()2(2)13f x sin x π=+-．由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈．（2）由（1）得3212335f sin βππβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴4sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∵2,33ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0,33ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 35πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭．∵()7sin 25αβ+=-且2,,33ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴24,33ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()24cos 25αβ+==-． ∴()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2sin cos cos sin 133ππαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦7324421255255⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15=． 【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为(x)Asin(x )f ωϕ=+的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数,A ω对结果的影响． （2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解．30．（1）π4x =；（2）2⎤⎦.【解析】 【分析】（1）根据|a |=b |，利用化简函数化简解得x 的值； （2根据f （x ）＝2a •b ．结合向量的坐标运算，根据x ∈[6π-，3π]，求解范围，）﹣f （x ）﹣m ≤m 的取值范围． 【详解】解：（1）由|a b |， 可得222a b =；即4sin 2x =2（cos 2x +sin 2x ） 即sin 2x =12；∴sin x = ∵x ∈[-6π，3π]， ∴x =4π（2）由函数f （x ）=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x ）=sin2x x （2x -3π）∵x ∈[-6π，3π]， ∴2x -3π∈[-23π，3π]，2≤2sin （2x -3π）要使f （x ）-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩2m ≤故得m 的取值范围是2]． 【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．。
2018年全国各地高考模拟试题三角函数试题汇编(含答案解析)
2018年全国各地高考数学模拟试题三角函数试题汇编（含答案解析）1．（2018•玉溪模拟）已知tan（α+）=﹣3，α∈（0，）．（1）求tanα的值；（2）求sin（2α﹣）的值．2．（2018•红桥区二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A．（Ⅰ）求cosA及边c的值；（Ⅱ）求cos（B﹣）的值．3．（2018•玉溪模拟）已知函数f（x）=sin2x+sinx•cosx+2cos2x，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？4．（2018•资阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）=c（sinC﹣sinB）．（1）求A．（2）若a=4，求△ABC面积S的最大值．5．（2018•徐州一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=，tan（B﹣A）=．（1）求tanB的值；（2）若c=13，求△ABC的面积．6．（2018•顺义区二模）已知函数．．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与直线y=m没有公共点，求实数m的取值范围．7．（2018•洛阳二模）如图，已知扇形的圆心角，半径为，若点C 是上一动点（不与点A，B重合）．（1）若弦，求的长；（2）求四边形OACB面积的最大值．8．（2018•衡阳三模）已知函数的最大值为1．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A为锐角且，b+c=8，求a的最小值．9．（2018•莆田二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a=，求△ABC面积S的最大值．10．（2018•海淀区二模）如图，已知函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（）在一个周期内的图象经过，，三点（Ⅰ）写出A，ω，φ的值；（Ⅱ）若，且f（α）=1，求cos2α的值．11．（2018•门头沟区一模）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣1+2cos2x．（1）求f（x）的最小正周期：（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．12．（2018•玉溪模拟）设函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1（1）求f（）（2）求f（x）的最大值和最小正周期．13．（2018•兴庆区校级四模）如图，气球A相对于BC所在地平面的高度是h，前方有一座桥梁，气球A带有一个测角器，试用测角仪器测得适当的角（用字母表示），用测得的角度及h表示河流的宽度BC．14．（2018•房山区一模）在△ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0．（1）求角B的值；（2）若b=，a+c=5，求△ABC的面积．15．（2018•玉溪模拟）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小；（2）若，△ABC的面积为，求b+c的值．16．（2018•玉溪模拟）已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα17．（2018•河西区三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c﹣b=2bcosA．（Ⅰ）若a=2，b=3，求边c的长；（Ⅱ）若C=，求角B的大小．18．（2018•南关区校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且cos=．（1）若a=3，b=，求c的值；（II）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），求f（A）的取值范围．19．（2018•河南一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面积．20．（2018•顺义区二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＞c，a=6，b=5，△ABC的面积为9．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）求c及sinB的值．21．（2018•资阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）=c（sinC﹣sinB）．（1）求A．（2）若a=4，求b2+c2的取值范围．22．（2018•北京模拟）已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．23．（2018•岳麓区校级二模）已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．24．（2018•江苏模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a ﹣b）•cosC=c•cosB．（1）求角C的大小；（2）若c=2，△ABC的面积为，求该三角形的周长．25．（2018•成都模拟）已知函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，sinB=2sinC，求c．26．（2018•抚顺一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin2A﹣asin（A+C）=0．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为，求的值．27．（2018•张掖一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=4，，bsinC=2sinB．（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．28．（2018•玉溪模拟）（1）写出余弦定理．（2）证明余弦定理．29．（2018•铁东区校级二模）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间上的最值．30．（2018•江苏模拟）已知三点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（0，π）．若，求（1）cosα+sinα的值；（2）的值．31．（2018•达州模拟）已知向量=（sin2x，cos2x），=（，﹣），f（x）=•．（1）求函数f（x）的周期；（2）在△ABC中，f（A）=，AB=2，BC=2，求△ABC的面积S．32．（2018•石嘴山一模）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且．（1）求角B；（2）若，求△ABC面积的最大值．33．（2018•泰安二模）设函数（I）求函数f（x）的最大值，并求此时的x值；（II）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=1，且2bsinB+的值．34．（2018•内江一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长．35．（2018•海淀区校级三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a（Ⅱ）若a=，求sinB36．（2018•长沙一模）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．37．（2018•河东区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3sinA，周长为4（），且sinB+sinC=．（1）求a及cosA的值；（2）求cos（2A﹣）的值．38．（2018•河南一模）△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．已知：（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2．（1）求角C；（2）若b=2，c=4，求△ABC的面积S．△ABC39．（2018•城中区校级模拟）已知函数；（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）设△ABC三内角对应边为a，b，c；已知，b，a，c成等差数列，且=9，求a的值．40．（2018•黄山一模）已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若sinB=2sinA，求a、b的值．参考答案与试题解析1．【分析】（1）由题意利用两角和的正切公式求得tanα的值．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得sin（2α﹣）的值．【解答】解：（1）∵tan（α+）=﹣3，α∈（0，），∴tanα＞0，且=﹣3，求得tanα=2．（2）∵sin2α===，cos2α===﹣，∴sin（2α﹣）=sin2α•﹣cos2α•=+=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．2．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理与二倍角公式求得cosA，再利用余弦定理求得边长c的值；（Ⅱ）由二倍角公式求得cosB，再利用三角恒等变换求得cos（B﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，a=3，b=2，∴=，又B=2A，∴=，=，解得cosA=；又a2=b2+c2﹣2bccosA，9=24+c2﹣2•2•c•，c2﹣8c+15=0，解得c=3或c=5；（Ⅱ）∵B=2A，∴cosB=cos2A=2cos2A﹣1=，∴sinB=；∴cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=×+×=．【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题．3．【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调递减区间．（2）函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x+）的图象，再将函数图象向上平移各单位得到f（x）=sin（2x+）+的图象．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+x，=，=，=，函数的最小正周期为：T=．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），函数的单调递减区间为：（k∈Z）．（2）函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x+）的图象，再将函数图象向上平移各单位得到f（x）=sin（2x+）+的图象．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质周期性和单调性的应用，正弦型函数的图象变换问题，属于基础题型．4．【分析】（1）由已知根据正弦定理得a2﹣b2=c2﹣bc，利用余弦定理可求cosA的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）根据余弦定理及基本不等式可求bc≤16，进而利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）根据正弦定理得（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即a2﹣b2=c2﹣bc，则，即，由于0＜A＜π，所以．（6分）（2）根据余弦定理，，由于a2≥2bc﹣bc=bc，即bc≤16，所以△ABC面积，当且仅当b=c=4时等号成立．故△ABC面积S的最大值为．（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．【分析】（1）根据同角的三角函数的关系以两角和的正切公式即可求出，（2）根据两角和的正弦公式以及正弦定理和三角形的面积公式即可求出．【解答】解：（1）在△ABC中，由cosA=，得A为锐角，所以sinA=，所以tanA==，所以tanB=tan[（B﹣A）+A]===3；（2）在三角形ABC中，由tanB=3，所以sinB=，cosB=，由sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，由正弦定理=，得b===15，所以△ABC的面积S=bcsinA=×15×13×=78．【点评】本题考查了两角和的正弦正切公式，以及同角的三角函数的关系和正弦定理和三角形的面积公式，属于基础题6．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，再求它的最小正周期；（Ⅱ）求出函数y=f（x）的值域，根据题意再求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数y=f（x）=2sin（2x﹣），命题函数y=f（x）的图象与直线y=m没有公共点，等价于方程2sin（2x﹣）=m在x∈R内无解，由函数f（x）=2sin（2x﹣）值域是[﹣2，2]，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题．7．【分析】（1）在△OBC中，由余弦定理计算可得cos∠BOC的值，即可得∠BOC 的值，由弧长公式计算可得答案；（2）根据题意，设∠AOC=θ，由三角形面积公式分析可得四边形的面积为S的值，结合三角函数的性质分析可得答案．【解答】解：（1）在△OBC中，，由余弦定理，所以，于是的长为．（2）设，所以四边形的面积为S，则=由，所以，当时，四边形OACB的面积取得最大值．【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．8．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求得m 的值；（Ⅱ）根据f（A）求得A的值，再由余弦定理和基本不等式求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）函数=•+sin2x+m=sin2x﹣cos2x++m，=sin（2x﹣）++m；因为函数f（x）的最大值为1，∴+m=0，解得m=﹣；…6分（Ⅱ）f（A）=sin（2A﹣）=，由0＜A＜，得﹣＜2A﹣＜，∴2A﹣=，解得A=．…8分又b+c=8，由余弦定理得，，∴a≥4（当且仅当b=c时等号成立）．…12分【点评】本题考查了两角和与差的正余弦，二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用问题．9．【分析】（1）利用正弦定理和同角的三角函数关系求出A的值；（2）由余弦定理和基本不等式求出△ABC面积S的最大值．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得，…（1分）即，故，…（3分）又A∈（0，π），…（4分）故；…（5分）（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，…（6分）又a=，所以3=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc，…（8分）即bc≤1，…（9分）当且仅当b=c=1时，等号成立…（10分）则，…（11分）所以△ABC面积S的最大值为．…（12分）【点评】本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．10．【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的解析式，由题意求得sin（2α﹣）=，结合2α﹣的范围，求得2α﹣的值，可得2α的值，进而求得cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得A=2，=﹣，∴ω=2，再结合五点法作图可得2×+φ=0，求得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∵f（α）=1，∴．∵，∴，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，根据三角函数的值求角，属于基础题．11．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．（2）利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=2sinxcosx﹣1+2cos2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴它的最小正周期为=π．（2）在区间[]上，2x+∈[﹣，]，所以，当2x+=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣1；当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．12．【分析】（1）化简函数f（x），计算f（）的值；（2）根据正弦型函数的图象与性质，即可求出f（x）的最大值与最小正周期．【解答】解：（1）函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1，∴f（）=sin（2×﹣）+1=×+1=2；…（6分）（2）由f（x）=sin（2x﹣）+1，当2x﹣=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为+1，最小正周期为T==π．…（12分）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．13．【分析】根据图形，利用直角三角形的边角关系，即可求出BC的值．【解答】解：如图所示，Rt△ABM中，AM=h，测角器测得∠BAM=α，则BM=AMtanα=htanα，Rt△ACM中，AM=h，测角器测得∠CAM=β，则CM=AMtanβ=htanβ，∴河流的宽度为BC=CM﹣BM=htanβ﹣htanα=h（tanβ﹣tanα）．【点评】本题考查了直角三角形中边角关系的应用问题，是基础题．14．【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换求出：（2cosB﹣1）（cosB+1）=0，进一步利用特殊值求出B的度数．（2）直接利用（1）的结论和余弦定理求出ac的值，最后求出三角形的面积．【解答】解：（1）△ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0．则：2cos2B+cosB+1=0整理得：（2cosB﹣1）（cosB+1）=0解得：cosB=（﹣1舍去）．则：B=．（2）利用余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，由于：b=，a+c=5，解得：ac=6．所以：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理和三角形面积公式的应用．15．【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b+c的值．【解答】解：（1）△ABC中，acosB+bsinA=c，由正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinBsinA=cosAsinB，又sinB≠0，∴sinA=cosA，又A∈（0，π），∴tanA=1，A=；=bcsinA=bc=，（2）由S△ABC解得bc=2﹣；又a2=b2+c2﹣2bccosA，∴2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣（2+）bc，∴（b+c）2=2+（2+）bc=2+（2+）（2﹣）=4，∴b+c=2．【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题．16．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（α﹣）的值，再利用两角差的余弦公式，求得cosα的值．【解答】解：∵α∈（0，π），∴，又，∴，∴=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．17．【分析】（Ⅰ）由余弦定理化简已知等式，整理可得：a2=b2+bc，代入已知即可解得c的值．（Ⅱ）由题意A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，由正弦定理化简已知等式可得：2sin2B+sinB﹣1=0，解得sinB，即可求B=．【解答】解：（Ⅰ）∵c﹣b=2bcosA．∴由余弦定理可得：c﹣b=2b×，整理可得：a2=b2+bc，∵a=2，b=3，∴24=9+3c，解得：c=5．（Ⅱ）∵C=，∴A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，∴c﹣b=2bcosA，由正弦定理可得：sin（A+B）=2sinBcosA+sinB，可得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA+sinB，解得：cos2B+sin2B=2sin2B+sinB=1，即：2sin2B+sinB﹣1=0，可得：sinB=或﹣1（舍去）．即B=．【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了一元二次方程的解法，诱导公式的应用，属于基础题．18．【分析】（1）根据三角形内角和定理，结合题意求得B的值，再利用余弦定理求得c的值；（II）把f（A）化为正弦型函数，根据A的取值范围，利用正弦函数的性质求得f（A）的取值范围．【解答】解：（1）△ABC中，A+B+C=π，∴cos=cos=sin=，∴=，∴B=；又a=3，b=，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得c2﹣3c+2=0，解得c=1或c=2；（II）f（A）=sinA（cosA﹣sinA）=sinAcosA﹣sin2A=sin2A﹣=sin（2A+）﹣，由B=，得A+C=，∴A∈（0，），∴2A+∈（，），∴sin（2A+）∈（﹣1，1]，∴f（A）的取值范围是（﹣，]．【点评】本题考查了解三角形与三角恒等变换的应用问题，是基础题．19．【分析】（1）由正余弦定理化简可得角C的大小；（2）由bsin（π﹣A）=acosB，根据正弦定理化简，求出c，即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，可得：2acsinB=2abcosC．由正弦定理：2sinCsinB=2sinBcosC∵0＜B＜π，sinB≠0，∴2sinC=2cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=．（2）由bsin（π﹣A）=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∵0＜A＜π，sinA≠0，∴sinB=cosB，∴，根据正弦定理，可得，解得c=1，∴．【点评】本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．20．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式和同角的三角函数关系求得cosC的值；（Ⅱ）由余弦和正弦定理即可求得c和sinB的值．【解答】解：（Ⅰ）因为△ABC的面积为9，即absinC=×6×5sinC=9，解得sinC=；又因为b＞c，所以cosC==；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=62+52﹣2×6×5×=13，所以c=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又因为b=5，sinC=；所以在△ABC中，由正弦定理得sinB===．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角函数面积公式应用问题，是基础题．21．【分析】（1）根据正弦定理和特殊角的三角函数值即可求出，（2）根据余弦定理和基本不等式即可求出．【解答】解：（1）根据正弦定理得（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即a2﹣b2=c2﹣bc，则，即，由于0＜A＜π，所以．（2）根据余弦定理，，所以，则有b2+c2≤32，又b2+c2=16+bc＞16，所以b2+c2的取值范围是（16，32]．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理得应用，考查了运算能力和转化能力，属于基础题22．【分析】（Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求a的值．（Ⅱ）x∈[0，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质求，可求f（x）最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），化简可得：f（x）=sin（2ax﹣）+cos（2ax﹣）+1=﹣cos2ax+sin2ax+1=2sin（2ax﹣）+1∵函数的最小正周期为．即T=由T=，可得a=2．∴a的值为2．故f（x）=2sin（4x﹣）+1；（Ⅱ）x∈[0，]时，4x﹣∈[，]．当4x﹣=时，函数f（x）取得最小值为1﹣．当4x﹣=时，函数f（x）取得最大值为2×1+1=3∴f（x）在[0，]上的最大值为3，最小值为1．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题23．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用张弦函数的定义域和值域，求得g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x））==2cosωx（sinωx﹣cosωx）﹣2+3=sin2ωx﹣cos2ωx=，∵，∴．令，求得f（x）的增区间为．（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象；然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）=sin（4x+）的图象，故，∵，、∴，故函数g（x）的值域是．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．24．【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得cosC与C的值；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求得a+b的值，再求周长．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理知===2R，又因为（2a﹣b）•cosC=c•cosB，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sinA；………………（4分）∵0＜A＜π，∴sinA＞0；∴cosC=；………………（6分）又0＜C＜π，∴C=；………………（8分）（2）∵S=absinC=ab=，△ABC∴ab=4 ………………（10分）又c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=4，∴（a+b）2=16，∴a+b=4；∴周长为6．………………（14分）【点评】本题考查了正弦、余弦定理和三角恒等变换问题，是基础题．25．【分析】（1）化f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调递减区间；（2）根据题意，利用正弦、余弦定理求得c的值．【解答】解：（1）=，由，k∈Z，解得，k∈Z；∴函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z；（2）∵，A∈（0，π），∴；∵sinB=2sinC，∴由正弦定理，得b=2c；又由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，，得，解得c=1．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．26．【分析】（Ⅰ）由bsin2A﹣asin（A+C）=0得bsin2A=asinB=bsinA，得2cosA=1，所以．（Ⅱ）由△ABC的面积为及⇒bc=6，由余弦定理得b2+c2﹣2bccosA=9，，即可得．【解答】解：（Ⅰ）由bsin2A﹣asin（A+C）=0得bsin2A=asinB=bsinA……（3分）又0＜A＜π，所以sinA≠0，得2cosA=1，所以……（6分）（Ⅱ）由△ABC的面积为及，得，即bc=6……（8分）又a=3，从而由余弦定理得b2+c2﹣2bccosA=9，所以……（10分）所以……（12分）【点评】本题主要考查了正余弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．27．【分析】（1）由正弦定理及余弦定理即可求b的值；（2）由三角形面积公式即可求出答案．【解答】解：（1）∵bsinC=2sinB，∴由正弦定理得：bc=2b，即c=2，由余弦定理得．∴；（2）∵a=4，c=2，．∴．【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是基础题．28．【分析】（1）利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容．（2）采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．【解答】解：（1）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．（2）证明：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．【点评】此题考查余弦定理及其证明，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．29．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称轴方程．（2）直接利用单调性求出结果．【解答】解：（1）∵函数=sin（2x﹣）﹣2sin（x﹣）cos（x﹣）=sin（2x﹣）﹣sin（2x﹣）=sin（2x﹣）+cos2x=sin2x•﹣cos2x•+cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）．∴，令：，解得：．函数f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为：．（2）∵，∴．因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当时，f（x）取最大值1．又∵，当时，f（x）取最小值．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．30．【分析】（1）根据平面向量的坐标表示与数量积运算求得cosα+sinα的值；（2）由三角函数的平方关系求得sinα、cosα的值，再计算的值．【解答】解：（1）A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），又，∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=cosα（cosα﹣3）+sinα（sinα﹣3）=1﹣3（cosα+sinα）=，∴cosα+sinα=；（2）∵cosα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣，又α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0；由sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=﹣；∴=sinαcos+cosαsin=×+（﹣）×=．【点评】本题考查了平面向量的数量积与同角的三角函数计算问题，是基础题．31．【分析】（1）根据f（x）=•．利用向量坐标的运算即可求解f（x）的解析式，可求周期；（2）根据f（A）=，求解角A，AB=c=2，BC=a=2，正弦定理求解C和B，可得△ABC的面积S．【解答】解：（1）由f（x）=•=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）∴函数f（x）的周期T=；（2）由f（A）=，即sin（2A﹣）=∵0＜A＜π，AB=c=2＞BC=a=2，∴A=正弦定理：，可得sinC=，∵0＜C＜π，∴C=或．当C=，则B=，△ABC的面积S=acsinB=2，当C=，则B=，△ABC的面积S=acsinB=．【点评】本题考查了向量坐标的运算和三角函数的化解，正弦定理的应用以及△ABC的面积的求法，属于基础题．32．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得，结合sinA≠0，可求，结合范围0＜B＜π，可求B的值．（2）由余弦定理得12=a2+c2﹣ac，结合基本不等式可求ac≤12，进而利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵，∴由正弦定理可得：，∵在△ABC中，sinA≠0，∴，∵0＜B＜π，∴．（2）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，∴12=a2+c2﹣ac，∵a2+c2≥2ac，∴ac≤12，当且仅当时取等号，∴，即△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．33．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最大值以及对应x的取值；（II）先求出A的值，再利用正弦、余弦定理求a的值．【解答】解：（Ⅰ）函数=sinxcosx+sin2x﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），当2x﹣=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为1；（II）△ABC中，A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），又f（A）=sin（2A﹣）=1，∴2A﹣=，解得A=；根据正弦定理==，∴sinB=，sinC=；又2bsinB+2csinC=bc+a，∴2b•+2c•=bc+a，∴（b2+c2﹣a2）=abc，又cosA==，∴bc=abc，解得a=．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题．34．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可求sinBcosC+sinCsinB=0，结合sinB＞0，可求tanC=﹣1，结合范围0＜C＜π，可求C的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理可求c的值，cosB的值，设BC的中垂线交BC于点E，在Rt△BCD中，可求BD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC+csinB=0，∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0…（2分）∵0＜B＜π，∴sinB＞0，于是cosC+sinC=0，即tanC=﹣1…（4分）∵0＜C＜π∴．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，，∴c=5，…（8分）∴，…（10分）设BC的中垂线交BC于点E，∵在Rt△BCD中，，∴==．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形中垂线的性质的综合应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．35．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式和余弦定理组成方程组求得a、b的值；（Ⅱ）由正弦、余弦定理，即可求得sinB的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，c=2，C=，则△ABC的面积为absinC=ab=，∴ab=4①；又c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=4②，由①②解得a=b=2；（Ⅱ）若a=，则c2=a2+b2﹣2abcosC=+b2﹣2×b×=4，9b2﹣12b﹣20=0，解得b=或b=（不合题意，舍去）；由正弦定理=，求得sinB==×=．【点评】本题考查了三角形面积公式和正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．36．【分析】（Ⅰ）直接利用向量垂直的充要条件和余弦定理求出结果．（Ⅱ）利用正弦定理和三角形函数关系式的变换求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（6分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）【点评】本题考查的知识点：向量垂直的充要条件，余弦定理的正弦定理的应用及相关的运算问题．37．【分析】（1）由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A 的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为3sinA=bcsinA，∴可得：bc=6，∵sinB+sinC=sinA，可得：b+c=，∴由周长为4（+1）=+a，解得：a=4，∴cosA====，（2）∵cosA=，∴sinA==，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=﹣，∴cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．38．【分析】（1）由已知整理可得：tanAtanB﹣1=tanA+tanB，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式可求tanC=1，结合范围C∈（0，π）可求C=．（2）由已知，利用正弦定理可得sinB=，利用大边对大角可求B，利用三角形内角和定理可求A，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2，整理可得：tanAtanB﹣1=tanA+tanB，∴tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣=﹣=1，∵C∈（0，π）∴C=．（2）∵b=2，c=4，由（1）可得C=，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜c，可得：B=，A=π﹣B﹣C，∴△ABC的面积S=bcsinA=sin（+）=．△ABC【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式，正弦定理，大边对大角，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．39．【分析】（1）化f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出它的最小正周期和单调减区间；（2）由f（A）=求得A的值，再根据平面向量的数量积和等差数列、余弦定理，即可求出a的值．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1=sin2x﹣cos2x+cos2x=sin（2x+）；……（2分）∴f（x）的最小正周期为；……（3分）由+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z；解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；……（4分）∴f（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z；……（5分）（2）由f（A）=sin（2A+）=，A∈（0，π），得2A+=，∴；……（6分）又，∴bc=18；……（7分）又b，a，c成等差数列，∴2a=b+c；……（8分）由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，∴a2=4a2﹣54；……（10分）解得．……（12分）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量数量积、等差数列与余弦定理应用问题．40．【分析】（1）根据题意，由三角函数的恒等变形公式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，结合正弦函数的图象性质分析可得答案；（2）根据题意，由f（C）=0，即，分析可得C的值，结合正弦定理可得，由余弦定理可得a2+b2﹣ab=3，联立两个式子分析可得a、b的值，即可得答案．【解答】解：（1），由，得∴函数f（x）的单调递增区间为．（2）由f（C）=0，得，又∵0＜C＜π，∴，．又sinB=2sinA，由正弦定理得①；由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=3，②由①②解得a=1，b=2．【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及三角函数恒等变形，属于基础题．。
2018年高考数学—三角函数(解答+答案)
2018年高考数学——三角函数解答1.(18北京理（15）（本小题13分）)在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．2.（18江苏16．（本小题满分14分））已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．3.（18全国一理17．（12分））在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .4.（18天津理（15）（本小题满分13分））在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （I ）求角B 的大小；学科*网（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.5.（18浙江18．（本题满分14分））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．6.（18北京文（16）（本小题13分））已知函数2()sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值.参考答案：1.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos B -=． 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A =43，∴sin A =3． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =31143()72⨯-+⨯=33． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337⨯=， ∴AC 边上的高为33．2.解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()αβ+=，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．3.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以223cos 1255ADB ∠=-=.（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.4.（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos A ．因此sin 22sin cos A A A =21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-=5.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-， 所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-， 由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-.6.【解析】（Ⅰ）1cos 211π1()22cos 2sin(2)22262x f x x x x x -=+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知π1()sin(2)62f x x =-+. 因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--. 要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3.。
2018届高三数学每天一练半小时：阶段滚动检测二 含答案 精品
一、选择题1．函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)2．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0 B ．∀x ∈N ，x 3>x 2C ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 D ．若a >b ，则a 2>b 23．定义在R 上的偶函数f (x )，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A ．f (π)>f (－3)>f (－2) B ．f (π)>f (－2)>f (－3) C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)4．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,xx x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则f (f (12))等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．15．函数f (x )＝2|x |－x 2的图象为()6.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－27．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．0或18．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋tan x 在区间[－1,1]上的值域为[m ，n ]，则m ＋n 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．59．设函数f (x )＝e x＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<010．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上，f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的根，则a 的取值范围为( ) A ．(2,4) B ．(2,22) C ．(6，22)D ．(6，10)11．若曲线C 1：y ＝ax 2(x >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共点，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 24 12．定义全集U 的子集P 的特征函数f P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈P ，0，x ∈∁U P .已知P ⊆U ，Q ⊆U ，给出下列命题：①若P ⊆Q ，则对于任意x ∈U ，都有f P (x )≤f Q (x )； ②对于任意x ∈U ，都有f ∁U P (x )＝1－f P (x )； ③对于任意x ∈U ，都有f P ∩Q (x )＝f P (x )·f Q (x )； ④对于任意x ∈U ，都有f P ∪Q (x )＝f P (x )＋f Q (x )． 其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④二、填空题13．设全集为R ，集合M ＝{x |x 2≤4}，N ＝{x |log 2x ≥1}，则(∁R M )∩N ＝________.14．已知函数f (x )＝e x，g (x )＝ln x 2＋12的图象分别与直线y ＝m 交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．15．设a ，b ∈Z ，已知函数f (x )＝log 2(4－|x |)的定义域为[a ，b ]，其值域为[0,2]，若方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋a ＋1＝0恰有一个解，则b －a ＝________. 16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e －x(x －1)．给出以下命题： ①当x <0时，f (x )＝e x(x ＋1)； ②函数f (x )有五个零点；③若关于x 的方程f (x )＝m 有解，则实数m 的取值范围是f (－2)≤m ≤f (2)； ④对∀x 1，x 2∈R ，|f (x 2)－f (x 1)|<2恒成立． 其中，正确命题的序号是________． 三、解答题17．已知集合A 是函数y ＝lg(20＋8x －x 2)的定义域，集合B 是不等式x 2－2x ＋1－a 2≥0(a >0)的解集，p ：x ∈A ，q ：x ∈B . (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)若綈p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18．设命题p ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 对∀x ∈(－∞，－1)恒成立．如果命题“p ∨q ”为真命题， 命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．已知函数f (x )＝a ln x (a >0)，求证f (x )≥a (1－1x)．20．定义在R 上的单调函数f (x )满足f (2)＝32，且对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x)＋f (3x－9x－2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．21.为了缓解城市交通压力，某市市政府在市区一主要交通干道修建高架桥，两端的桥墩现已建好，已知这两桥墩相距m米，“余下的工程”只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记“余下工程”的费用为y万元．(1)试写出工程费用y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使工程费用y最小？并求出其最小值．22．已知函数f(x)＝e x－ax2(x∈R)，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程；(2)若函数f(x)为R上的单调递增函数，试求实数a的取值范围．答案精析1．C [由题意知x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．]2．C [对于A ，因为Δ＝22－12<0，所以不存在x 0∈R ，使x 20＋2x 0＋3＝0，所以选项A 错误；对于B ，当x ＝1时，13＝12，所以选项B 错误；对于C ，x >1可推出x 2>1，x 2>1可推出x >1或x <－1，所以x >1是x 2>1的充分不必要条件，所以选项C 正确；对于D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2<b 2，所以选项D 错误．]3．A [因为函数是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，又函数在[0，＋∞)上是增函数，所以f (2)<f (3)<f (π)，即f (－2)<f (－3)<f (π)，选A.] 4．B [f (12)＝2＋124＝2＋2＝4，则f (f (12))＝f (4)＝12log 4＝12log (12)－2＝－2.]5．D [由f (－x )＝f (x )知函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项A 、C ；当x ＝0时，f (x )＝1，排除选项B.]6．A [因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的图象与x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)，因为函数f (x )的图象与x 轴所围成区域的面积为112，所以⎠⎛a(－x 3＋ax 2)d x ＝－112，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 4＋13ax 3⎪⎪⎪a ＝－112，所以a ＝－1或a ＝1(舍去)．]7．C [因为f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，则f (x )在R 上是增函数，所以不存在极值点．]8．C [因为f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋tan x ，所以f (－x )＝1＋2·2－x2－x ＋1＋tan(－x )＝1＋21＋2x －tan x ，则f (x )＋f (－x )＝2＋2·2x2x ＋1＋21＋2x ＝4.又f (x )＝1＋2·2x2x ＋1＋tan x 在区间[－1,1]上是一个增函数，其值域为[m ，n ]，所以m ＋n ＝f (－1)＋f (1)＝4.故选C.]9．A [依题意，f (0)＝－3<0，f (1)＝e －2>0，且函数f (x )是增函数，因此函数f (x )的零点在区间(0,1)内，即0<a <1.g (1)＝－3<0，g (2)＝ln 2＋3>0，且函数g (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数g (x )的零点在区间(1,2)内，即1<b <2.于是有f (b )>f (1)>0，g (a )<g (1)<0，所以g (a )<0<f (b )．故选A.]10．D [由f (x －4)＝f (x )，知f (x )的周期为4，又f (x )为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，作出函数y ＝f (x )与y ＝log a x 的图象如图所示，要使方程f (x )＝log a x 有三个不同的根，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 6<2，log a 10>2，解得6<a <10，选D.]11．C [根据题意，函数y ＝ax 2与y ＝e x的图象在(0，＋∞)上有公共点， 令ax 2＝e x，得a ＝exx2(x >0)．设f (x )＝exx2(x >0)，则f ′(x )＝x 2e x －2x e xx 4，由f ′(x )＝0，得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )＝exx2在区间(0,2)上是减函数；当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )＝exx2在区间(2，＋∞)上是增函数．所以当x ＝2时，函数f (x )＝e x x 2在(0，＋∞)上有最小值f (2)＝e 24，所以a ≥e24.故选C.]12．A [令U ＝{1,2,3}，P ＝{1}，Q ＝{1,2}． 对于①，f P (1)＝1＝f Q (1)，f P (2)＝0<f Q (2)＝1，f P (3)＝f Q (3)＝0，可知①正确；对于②，有f P (1)＝1，f P (2)＝0，f P (3)＝0，f ∁U P (1)＝0，f ∁U P (2)＝1，f ∁U P (3)＝1，可知②正确；对于③，有f P (1)＝1，f P (2)＝0，f P (3)＝0，f Q (1)＝1，f Q (2)＝1，f Q (3)＝0，f P ∩Q (1)＝1，f P ∩Q (2)＝0，f P ∩Q (3)＝0，可知③正确；对于④，有f P (1)＝1，f P (2)＝0，f P (3)＝0，f Q (1)＝1，f Q (2)＝1，f Q (3)＝0，f P ∪Q (1)＝1，f P ∪Q (2)＝1，f P ∪Q (3)＝0，可知④不正确．]13．(2，＋∞)解析 由M ＝{x |x 2≤4}＝{x |－2≤x ≤2}＝[－2,2]，可得∁R M ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，又N ＝{x |log 2x ≥1}＝{x |x ≥2}＝[2，＋∞)，则(∁R M )∩N ＝(2，＋∞)． 14．2＋ln 2解析 显然m >0，由e x ＝m ，得x ＝ln m ， 由ln x 2＋12＝m ，得x ＝212em -，则|AB |＝212em -－ln m . 令h (m )＝212em -－ln m ，由h ′(m )＝212em -－1m ＝0，求得m ＝12. 当0<m <12时，h ′(m )<0，函数h (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减； 当m >12时，h ′(m )>0，函数h (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． 所以h (m )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋ln 2，因此|AB |的最小值为2＋ln 2. 15．5解析 由方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋a ＋1＝0恰有一个解，得a ＝－2.又⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |>0，1≤4－|x |≤4，解得－3≤x ≤3，所以b ＝3.所以b －a ＝3－(－2)＝5. 16．①④解析 当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝e x(－x －1)＝－f (x )，所以f (x )＝e x(x ＋1)，故①正确；当x <0时，f ′(x )＝e x(x ＋1)＋e x，令f ′(x )＝0，所以x ＝－2，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，而在(－∞，－1)上，f (x )<0，在(－1,0)上，f (x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上仅有一个零点，由对称性可知，f (x )在(0，＋∞)上也有一个零点，又f (0)＝0，故该函数有三个零点，故②错误；因为当x <0时，f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0)上单调递增，且当x <－1时，f (x )<0，当－1<x <0时，f (x )>0，所以当x <0时，f (－2)≤f (x )<1，即－1e 2≤f (x )<1，由对称性可知，当x >0时，－1<f (x )≤1e 2，又f (0)＝0，故当x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )∈(－1,1)，若关于x 的方程f (x )＝m 有解，则－1<m <1，且对∀x 1，x 2∈R ，|f (x 2)－f (x 1)|<2恒成立，故③错误，④正确． 17．解 (1)由题意得A ＝{x |－2<x <10}，B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }． 若A ∩B ＝∅，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≥10，1－a ≤－2，解得a ≥9，a >0，∴a 的取值范围为a ≥9.(2)易得綈p ：x ≥10或x ≤－2.∵綈p 是q 的充分不必要条件，∴{x |x ≥10或x ≤－2}是{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧10≥1＋a ，－2≤1－a ，a >0，其中两个等号不能同时成立，解得0<a ≤3， ∴a 的取值范围为0<a ≤3.18．解 令f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a －2.∵二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零， ∴f (0)<0，即a －2<0，∴a <2. ∴命题p 为真时，有a <2. ∵x ∈(－∞，－1)，∴由不等式2x 2＋x >2＋ax ，可得a >2x －2x＋1.令g (x )＝2x －2x＋1，∴g ′(x )＝2＋2x2>0，∴g (x )在x ∈(－∞，－1)单调递增，且g (－1)＝1， ∴g (x )∈(－∞，1)．又不等式2x 2＋x >2＋ax 对∀x ∈(－∞，－1)恒成立， ∴命题q 为真时，有a ≥1.依题意，命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，则有 ①若p 真q 假，得a <1； ②若p 假q 真，得a ≥2.综上可得，所求实数a 的取值范围为(－∞，1)∪[2，＋∞)．19．证明 要证f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x (x >0)，只需证f (x )－a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ≥0(x >0)，即证a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x－1≥0(x >0)．∵a >0，∴只需证ln x ＋1x －1≥0(x >0)．令g (x )＝ln x ＋1x－1(x >0)， 即证g (x )min ≥0(x >0)． ∴g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2(x >0)．令g ′(x )＝0，得x ＝1.∴当0<x <1时，g ′(x )<0，此时g (x )在(0,1)上单调递减； 当x >1时，g ′(x )>0，此时g (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴[g (x )]min ＝g (1)＝0≥0，即ln x ＋1x－1≥0成立，故有f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 成立．20．(1)证明 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )(x ，y ∈R )，①令x ＝y ＝0，代入①式，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. 令y ＝－x ，代入①式，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0， 则有0＝f (x )＋f (－x )．即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立， 所以f (x )是奇函数．(2)解 f (2)＝32>0，即f (2)>f (0)，又f (x )在R 上是单调函数， 所以f (x )在R 上是增函数． 又由(1)知f (x )是奇函数，f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)，所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2,32x －(1＋k )·3x＋2>0对任意x ∈R 恒成立． 令t ＝3x>0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令g (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴t ＝1＋k 2.当1＋k 2<0，即k <－1时，g (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k 2≥0时，对任意t >0，g (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2.综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立．21．解 (1)设需要新建n (n ∈N *)个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，∴n ＝m x －1(n ∈N *)． ∴y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256(0<x ≤m )． (2)由(1)得，f ′(x )＝－256m x 2＋12m 12x -＝m 2x 2(32x －512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，∴x ＝64. 当0<x <64时，f ′(x )<0，此时，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64≤x <640时，f ′(x )>0，此时， f (x )在区间[64,640)内为增函数．∴函数f (x )在x ＝64处取得极小值，也是其最小值．∵m ＝640，∴n ＝m x －1＝64064－1＝9. 此时，y min ＝8 704(万元)．故需新建9个桥墩才能使工程费用y 取得最小值，且最少费用为8 704万元．22．解 (1)由题设，得f ′(x )＝e x－2ax ，∴f ′(0)＝1，∴f (x )在点P (0,1)处的切线方程为 y －f (0)＝f ′(0)x ，即y ＝x ＋1.(2)依题意，知f ′(x )＝e x －2ax ≥0(x ∈R )恒成立，①当x ＝0时，有f ′(x )≥0恒成立，此时a ∈R .②当x >0时，有2a ≤e x x ，令g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2， 由g ′(x )＝0，得x ＝1且当x >1时，g ′(x )>0；当0<x <1时，g ′(x )<0.∴g (x )min ＝g (1)＝e ，则有2a ≤g (x )min ＝e ，∴a ≤e 2. ③当x <0时，有2a ≥e x x， ∵e x x<0，则有2a ≥0，∴a ≥0. 又a ＝0时，f ′(x )＝e x≥0恒成立． 综上，若函数f (x )为R 上的单调递增函数，所求a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，e 2.。
【大师特稿】2018届高三数学每天一练半小时(91套 含答案532页)
一、选择题1．(2016·山东乳山一中月考)设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( ) A ．A ⊆BB ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x <y ，x ＋y ∈A }，则集合B 的子集个数是( ) A ．4 B ．15 C ．8D ．163.设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)4．(2016·厦门模拟)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．45．已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，则∁(A ∪B )(A ∩B )等于( ) A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 6．设集合P ＝{m |－1<m ≤0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是( ) A ．PQ B ．P QC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅7．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，34)B ．[34，43)C ．[34，＋∞)D ．(1，＋∞)8．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )等于( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．7二、填空题9．(2017·成都月考)已知集合M ＝{x |x >x 2}，N ＝{y |y ＝4x2，x ∈M }，则M ∩N ＝__________________.10．若集合A ＝{x |－1<x ≤2}，B ＝{x |(x －a )(x －a ＋1)≥0}，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是______________________．11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，则a ＋b 的值为________．12．设S 是实数集R 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b 3|a ，b 为整数}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案精析1．D [因为1∈A 但1∉B ，所以A 不对；因为A ∩B ＝{2,3}，所以B 不对；因为A ∪B ＝{1,2,3,4}，所以C 不对；经检验，D 是正确的，故选D.]2．D [当x ＝1时，y ＝2或3或4，当x ＝2时，y ＝3.故集合B ＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)}，因此集合B 中有4个元素，其子集个数为16.故选D.]3．D [因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]， 所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D.]4．D [由于函数y ＝3x的图象经过点(0,1)，且(0,1)在椭圆x 24＋y 216＝1内，所以函数y ＝3x的图象与椭圆x 24＋y 216＝1有两个交点，从而A ∩B 中有2个元素，故A ∩B 的子集的个数是4，故选D.]5．C [∵集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}＝{x |1－2x >0}＝{x |x <12}，B ＝{x |x 2≤x }＝{x |0≤x ≤1}，∴A ∪B ＝{x |x ≤1}，A ∩B ＝{x |0≤x <12}，∴∁(A ∪B )(A ∩B )＝(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，故选C.] 6．C [Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立}，对m 分类： ①为m ＝0时，－4<0恒成立；②当m <0时，需Δ＝(4m )2－4×m ×(－4)<0，解得－1<m <0. 综合①②知－1<m ≤0.故选C.]7．B [A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a >0，f (－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.]8．B [因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a <22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22<a <0或0<a <22时，C (B )＝2，不符合题意．所以S ＝{0，－22，22}．故C (S )＝3.] 9．{x |12<x <1}解析 对于集合M ，由x >x 2， 解得0<x <1，∴M ＝{x |0<x <1}， ∵0<x <1，∴1<4x<4，∴12<4x 2<2，∴N ＝{y |12<y <2}，∴M ∩N ＝{x |12<x <1}．10．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析 化简B ＝{x |x ≥a 或x ≤a －1}， 又A ∩B ＝A ，所以A ⊆B . 由数轴知a ≤－1或a －1≥2， 即a ≤－1或a ≥3.所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 11．－7解析 由已知得A ＝{x |x <－1或x >3}，∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，∴B ＝{x |－1≤x ≤4}， 即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝4. ∴a ＝－3，b ＝－4，∴a ＋b ＝－7. 12．①②解析 ①正确，任取x ，y ∈S ，设x ＝a 1＋b 13，y ＝a 2＋b 23(a 1，b 1，a 2，b 2∈Z )，则x ＋y ＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)3，其中a 1＋a 2∈Z ，b 1＋b 2∈Z .即x ＋y ∈S .同理x －y ∈S ，xy ∈S .②正确，当x ＝y 时，0∈S .③错误，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集．④错误，设S ＝{0}⊆T ＝{0,1}，显然T 不是封闭集．因此正确命题为①②.一、选择题1．(2016·衡阳五校联考)命题“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”的逆命题是( ) A ．若x <a 2＋b 2，则x <2ab B ．若x ≥a 2＋b 2，则x <2ab C ．若x <2ab ，则x <a 2＋b2D ．若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 22．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题是“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题 C ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 3．(2016·淄博期中)“x (x －5)<0成立”是“|x －1|<4成立”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0相交的一个充分不必要条件是( ) A ．－3<m <1 B ．－4<m <2 C ．0<m <1D ．m <15．(2016·广东阳东广雅中学期中)设p ：f (x )＝x 3－2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上单调递增；q ：m >43，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．以上都不对6．甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( ) A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件7．设命题p ：2x －1≤1，命题q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0，12]C ．[－2,0]D ．(－2,0)8．(2016·大庆期中)给出下列命题：①若等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“a n ＋1>a n (n ∈N *)”的既不充分也不必要条件； ②“x ≠1”是“x 2≠1”的必要不充分条件；③若函数y ＝lg(x 2＋ax ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是－2<a <2； ④“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充要条件． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题9．给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)10．(2017·益阳联考)命题p ：“若a ≥b ，则a ＋b >2 015且a >－b ”的逆否命题是 ________________________________________________________________________． 11．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________． 12．已知“命题p ：(x －m )2>3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4<0成立”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．答案精析 1．D2．B [逆否命题，条件、结论均否定，并交换，所以命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”，故A 正确；命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”，由Δ＝1＋4m ≥0，解得m ≥－14，是假命题，故B 错误；x ＝4时，x 2－3x －4＝0，是充分条件，故C 正确；命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故D 正确．故选B.]3．A [∵x (x －5)<0⇒0<x <5，|x －1|<4⇒－3<x <5，∴“x (x －5)<0成立”⇒“|x －1|<4成立”，反之，则不一定成立， ∴“x (x －5)<0成立”是“|x －1|<4成立”的充分而不必要条件．故选A.] 4．C [圆方程化为(x －1)2＋y 2＝2，圆心(1,0)到直线x －y ＋m ＝0的距离d ＝|1＋m |2，当直线与圆相交时，|1＋m |2<2，即－3<m <1，因为{m |0<m <1}{m |－3<m <1}，所以0<m <1是直线与圆相交的一个充分不必要条件．故选C.]5．C [∵f (x )＝x 3－2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋m ， 即3x 2－4x ＋m ≥0在R 上恒成立，∴Δ＝16－12m ≤0，即m ≥43.∵p ：f (x )＝x 3－2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上单调递增，q ：m >43，∴根据充分必要条件的定义可判断：p 是q 的必要不充分条件，故选C.]6．B [“甲⇒乙”的逆否命题为“若x ＋y ＝5，则x ＝2且y ＝3”显然不正确，而“乙⇒甲”的逆否命题为“若x ＝2且y ＝3，则x ＋y ＝5”是真命题，因此甲是乙的必要不充分条件．] 7．B [解不等式2x －1≤1，得12≤x ≤1，故满足命题p 的集合P ＝[12，1]．解不等式(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故满足命题q 的集合Q ＝[a ，a ＋1]．又q 是p 的必要不充分条件，则P 是Q 的真子集，即a ≤12且a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故实数a 的取值范围是[0，12]．]8．B [若首项为负，则公比q >1时，数列为递减数列，a n ＋1<a n (n ∈N *)，当a n ＋1>a n (n ∈N *)时，包含首项为正，公比q >1和首项为负，公比0<q <1两种情况，故①正确；“x ≠1”时，“x 2≠1”在x ＝－1时不成立，“x 2≠1”时，“x ≠1”一定成立，故②正确；函数y ＝lg(x2＋ax ＋1)的值域为R ，则x 2＋ax ＋1＝0的Δ＝a 2－4≥0，解得a ≥2或a ≤－2，故③错误；“a ＝1”时，“函数y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x 的最小正周期为π”，但“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”时，“a ＝±1”，故“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件，故④错误．故选B.] 9．①③解析 ①命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，则a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题． 10．若a ＋b ≤2 015或a ≤－b ，则a <b 11．m >9解析 方程x 2－mx ＋2m ＝0对应二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，则f (3)<0，解得m >9，即方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9. 12．{m |m ≥1或m ≤－7}解析 由命题p 中的不等式(x －m )2>3(x －m )变形，得(x －m )(x －m －3)>0，解得x >m ＋3或x <m ；由命题q 中的不等式x 2＋3x －4<0变形，得(x －1)·(x ＋4)<0，解得－4<x <1，因为命题p 是命题q 的必要不充分条件，所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.所以m 的取值范围为{m |m ≥1或m ≤－7}．一、选择题1．(2015·浙江)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 02．(2016·肇庆统测)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a·b ＝0，则a ⊥b ；命题q ： 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中假命题是( ) A ．p ∧q B ．p ∨qC ．(綈p )∨qD ．(綈p )∨(綈q )3．若“∃x ∈[12，2]，使得2x 2－λx ＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为( )A ．(－∞，22]B ．[22，3]C ．[－22，3]D ．λ＝34．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，则( ) A ．a ＝1或a ≤－2 B ．a ≤－2或1≤a ≤2 C ．a ≥1D ．－2≤a ≤15．已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．其中正确的命题是( ) A ．②③ B ．②④ C ．③④D ．①②③6．(2016·临夏期中)下列结论错误的是( )A ．命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则p ∨q 为真 C ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题7．(2016·葫芦岛期中)已知命题P ：不等式lg[x (1－x )＋1]>0的解集为{x |0<x <1}；命题Q ：在△ABC 中，“A >B ”是“cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4<cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π4”成立的必要不充分条件，则( )A ．P 真Q 假B ．P ∧Q 为真C ．P ∨Q 为假D ．P 假Q 真8．(2016·怀仁期中)已知命题p ：∀x ∈[－1,2]，函数f (x )＝x 2－x 的值大于0.若p ∨q 是真命题，则命题q 可以是( ) A ．∃x ∈(－1,1)，使得cos x <12B ．“－3<m <0”是“函数f (x )＝x ＋log 2x ＋m 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上有零点”的必要不充分条件 C ．直线x ＝π6是曲线f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 的一条对称轴D ．若x ∈(0,2)，则在曲线f (x )＝e x(x －2)上任意一点处的切线的斜率不小于－1 二、填空题9．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为________________________． 10．给出以下命题：①∀x ∈R ，|x |>x ；②∃α∈R ，sin 3α＝3sin α；③∀x ∈R ，x >sin x ； ④∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x，其中正确命题的序号有________．11．(2017·石家庄质检)已知命题p ：x 2－3x －4≤0，命题q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________________．12．设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a 的取值范围为__________.答案精析1．D [由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.]2．D [对于命题p ，由平面向量数量积a·b ＝0易得a ⊥b ，则命题p 为真命题；对于命题q ，∵a ，b ，c 为非零向量，则q 为真命题，故(綈p )∨(綈q )为假命题，故选D.]3．A [设命题p ：∃x ∈[12，2]，使得2x 2－λx ＋1<0，由于命题p 为假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈[12，2]，2x 2－λx ＋1≥0为真命题，即λ≤2x 2＋1x ＝2x ＋1x 在区间[12，2]上恒成立，所以只需满足λ≤(2x ＋1x )min (x ∈[12，2])即可，2x ＋1x ≥22x ·1x＝22，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22∈[12，2]时等号成立，所以λ≤22，故选A.]4．A [命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0真，则a ≤1. 命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0真， 则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，a ≥1或a ≤－2， 又p 且q 为真命题， 所以a ＝1或a ≤－2.故选A.] 5．A [∵52>1，∴命题p 是假命题，又∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，∴命题q 是真命题，由命题真假的真值表可以判断②③正确．]6．D [命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，所以命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题，故A 正确；命题p ：∀x ∈[0,1]，e x≥1，为真命题，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，为假命题，则p ∨q 为真，故B 正确；若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，故C 正确；“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，而当m 2＝0时，由a <b ，得am 2＝bm 2，所以“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为假命题，故D 不正确．]7．A [由命题P ：不等式lg[x (1－x )＋1]>0，可知x (1－x )＋1>1， ∴0<x <1，即不等式的解集为{x |0<x <1}，∴命题P 为真命题． 由命题Q 知，若cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4<cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π4， 即sin A >sin B ，∴A >B ；反之，在三角形中，若A >B ， 则必有sin A >sin B ，即cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4<cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π4成立，∴命题Q 为假命题．故选A.] 8．C [对于命题p ：函数f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2上单调递增，∴当x ＝12时，取得最小值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14<0，因此命题p 是假命题．若p ∨q 是真命题，则命题q 必须是真命题．∀x ∈(－1,1)，cos x ∈(cos 1,1]，而cos 1>cos π3＝12，因此A 是假命题；函数f (x )＝x ＋log 2x ＋m 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上单调递增，若函数f (x )在此区间上有零点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋m (2＋1＋m )<0，解得－3<m <12，因此“－3<m <0”是“函数f (x )＝x ＋log 2x ＋m 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上有零点”的充分不必要条件，因此B 是假命题；f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝sin π2＝1，因此直线x ＝π6是曲线f (x )的一条对称轴，是真命题；曲线f (x )＝e x(x －2)，f ′(x )＝e x＋e x(x －2)＝e x(x －1)，当x ∈(0,2)时，f ′(x )>f ′(0)＝－1，因此D 是假命题．]9．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋1解析 因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可． 10．②解析 当x ≥0时，|x |＝x ，①错；当α＝0时，sin 3α＝3sin α，②正确；当x ＝－π2时，x <sin x ，③错；根据指数函数的图象可以判断，当x ∈(0，＋∞)时，(12)x >(13)x ，④错．故正确命题的序号只有②. 11．{m |m ≤－4或m ≥4}解析 ∵綈q 是綈p 的充分不必要条件， ∴p 是q 的充分不必要条件， ∴{x |x 2－3x －x |x 2－6x ＋9－m 2≤0}， ∴{x |－1≤xx |(x ＋m －3)(x －m －3)≤0}．当－m ＋3＝m ＋3，即m ＝0时，不合题意． 当－m ＋3>m ＋3，即m <0时，有 {x |－1≤xx |m ＋3≤x ≤－m ＋3}，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≤－1，－m ＋3≥4，(两等号不能同时取得)解得m ≤－4.当－m ＋3<m ＋3，即m >0时，有 {x |－1≤xx |－m ＋3≤x ≤m ＋3}，此时⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋3≤－1，m ＋3≥4，(两等号不能同时取得)解得m ≥4.综上，实数m 的取值范围是{m |m ≤－4或m ≥4}． 12．[1,2]解析 对于命题p ：Δ<0且a >0，故a >2；对于命题q ：a >2x －2x＋1在x ∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y ＝2x －2x ＋1为增函数，所以2x －2x＋1<1，故a ≥1，命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，等价于p ，q 一真一假．故1≤a ≤2.一、选择题1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A ．4 B ．2 C ．0D ．0或42．已知集合A ＝{－1，12}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则所有实数m 组成的集合是( )A ．{－1,0,2}B ．{－12，0,1}C ．{－1,2}D ．{－1,0，12}3．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)4．(2017·烟台质检)已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0；q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－2]D ．[－1,1]5．下列说法不正确的是( )A ．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0” B ．命题“若x >0且y >0，则x ＋y >0”的否命题是假命题C ．命题“∃a ∈R ，使方程2x 2＋x ＋a ＝0的两根x 1，x 2满足x 1<1<x 2”和命题“函数f (x )＝ log 2(ax －1)在[1,2]上单调递增”都为真D ．△ABC 中，A 是最大角，则sin 2B ＋sin 2C <sin 2A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件 6．满足条件{1,2}M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 的个数是( )A ．3B ．6C ．7D ．87．下列有关命题的说法中错误的是( ) A ．若“p 或q ”为假命题，则p ，q 均为假命题 B ．“x ＝1”是“x ≥1”的充分不必要条件 C ．“cos x ＝12”的必要不充分条件是“x ＝π3”D ．若命题p ：“∃x 0∈R ，x 20≥0”，则命题綈p 为“∀x ∈R ，x 2<0”8．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a 在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(1,2]D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)二、填空题9．(2016·江西赣州十二县(市)期中联考)设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，若M ∩N ＝N ，则a 的值是________．10．已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在x ∈[0,1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2(x2－2mx ＋12)在x ∈[1，＋∞)上单调递增．若“綈p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为____________．11．已知全集为U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，则a 的取值范围是________．12．(2016·安阳月考)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x ∈R ，r (x )∧s (x )为假，r (x )∨s (x )为真，那么实数m 的取值范围为________________.答案精析1．A [①当a ＝0时，1＝0显然不成立；②当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4或a ＝0(舍)．综上可知a ＝4.选A.]2．A [由A ∩B ＝B ，得B ⊆A .若B ＝∅，则m ＝0.若B ＝{－1}，得－m －1＝0， 解得m ＝－1.若B ＝{12}，则12m －1＝0，解得m ＝2.综上，m 的取值集合是{－1,0,2}．]3．C [由P ∪M ＝P ，得M ⊆P .又∵P ＝{x |x 2≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴－1≤a ≤1.故选C.] 4．A [∵p ∨q 为假，∴p ，q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题， 得∀x ∈R ，mx 2＋2>0，∴m ≥0. 由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假， 得∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0. ∴Δ＝(－2m )2－4≥0，得m 2≥1， ∴m ≤－1或m ≥1.∴m ≥1.]5．C [因为2x 2＋x ＋a ＝0的两根x 1，x 2满足x 1<1<x 2的充要条件是2＋1＋a <0，所以a <－3，当a <－3时，函数f (x )＝log 2(ax －1)在[1,2]上无意义．故选C.]6．C [M 中含三个元素的个数为3，M 中含四个元素的个数也是3，M 中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．]7．C [对于A ，根据真值表知正确；对于B ，由于x ＝1可以推出x ≥1，但x ≥1不一定能推出x ＝1，故正确；对于D ，由特称命题的否定形式知正确；对于C ，“x ＝π3”应为“cos x＝12”的充分不必要条件．] 8．C [若命题p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋8a ≥0，f ?0?·f ?1?＝－1·?2a －2?<0，得a >1.若命题q 为真，则2－a <0，得a >2， 故由p 且綈q 为真命题，得1<a ≤2.] 9．－1解析 因为集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，M ∩N ＝N ，又a 2≥0，所以当a 2＝0时，a ＝0，此时N ＝{0,0}，不符合集合元素的互异性，故a ≠0；当a 2＝1时，a ＝±1，a ＝1时，N ＝{1,1}，不符合集合元素的互异性，故a ≠1，a ＝－1时，此时N ＝{－1，1}，符合题意．故a ＝－1. 10．(－1，34)解析 根据题意，关于x 的方程x 2－mx －2＝0在x ∈[0,1]上有解，可得1－m －2≥0，从而求得m ≤－1；f (x )＝log 2(x 2－2mx ＋12)在x ∈[1，＋∞)上单调递增，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12>0，解得m <34.根据“綈p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，可知p 假q 真，所以实数m 的取值范围为(－1，34)．11．{－1}解析 因为x ＋a ≥0， 所以M ＝{x |x ≥－a }．又log 2(x －1)<1，所以0<x －1<2， 所以1<x <3， 所以N ＝{x |1<x <3}． 所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}．又因为M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，所以a ＝－1. 12．(－∞，－2]∪[－2，2)解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－2，∴当r (x )是真命题时，m <－ 2.当s (x )为真命题时，x 2＋mx ＋1>0恒成立，有Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2. ∵r (x )∧s (x )为假，r (x )∨s (x )为真， ∴r (x )与s (x )一真一假，∴当r (x )为真，s (x )为假时，m <－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2； 当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2，且－2<m <2，即－2≤m <2. 综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m <2.一、选择题1.全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ≤1}D ．{x |0≤x ≤1}2．(2016·石家庄模拟)定义A ×B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A 且y ∈B }，若A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{－1,2}，则A ×B 等于( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{－1,2} C ．{x |－2<x <2}D ．{x |－2<x <4}3．“sin α＝12”是“α＝30°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2016·郑州模拟)已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )5．(2017·广东七校联考)下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件 C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D ．命题“∃x 0∈R 使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0”6．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的必要不充分条件是( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1D ．a <27．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －1|<a }，则“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知命题p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－2,2] B ．(－∞，－2]，[2，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．[2，＋∞)二、填空题9．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是____________．10．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是____________． 11．已知下列命题：①命题“∃x 0∈R ，x 20＋1＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________．12．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若满足∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________________.答案精析1．D [阴影部分表示的集合是A ∩B .依题意知，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |－1≤y ≤1}， ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}，故选D.]2．D [∵A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{－1,2}，z ＝xy ，x ∈A 且y ∈B ，∴－2<z <4， ∴A ×B ＝{x |－2<x <4}．故选D.]3．B [若α＝30°，可得sin α＝12；若sin α＝12，可以举特殊例子，α＝150°时，sin 150°＝12，∴“sin α＝12”是“α＝30°”的必要不充分条件，故选B.]4．B [因为当x ＝－1时，2－1>3－1，所以命题p ：∀x ∈R,2x <3x 为假命题，则綈p 为真命题．令f (x )＝x 3＋x 2－1，因为f (0)＝－1<0，f (1)＝1>0.所以函数f (x )＝x 3＋x 2－1在(0,1)上存在零点，即命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20为真命题，则(綈p )∧q 为真命题，故选B.]5．C [命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，A 不正确；由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或6，因此“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，B 不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，其逆否命题为真命题，C 正确；命题“∃x 0∈R 使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，D 不正确．综上可得只有C 正确．]6．D [“一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根”的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧22－4a >0，1a<0，所以a <0. 当a <0时，必有a <2，故选D.]7．A [由题意得A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |1－a <x <a ＋1}． ①当a ＝1时，B ＝{x |0<x <2}，则A ∩B ＝{x |0<x <1}≠∅成立，即充分性成立．②若a ＝12，则A ∩B ＝{x |－1<x <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12<x <32＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <1≠∅，故必要性不成立． 综合得“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分不必要条件，故选A.]8．D [由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，可得m <0，由q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，可得Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2，因为p ∨q 为假命题，所以p 与q 都是假命题，若p 是假命题，则有m ≥0；若q 是假命题，则有m ≤－2或m ≥2，故符合条件的实数m 的取值范围为m ≥2.故选D.] 9．{a |a ≤0或a ≥6}解析 |x －a |<1⇔－1<x －a <1⇔a －1<x <a ＋1，又B ＝{x |1<x <5}，A ∩B ＝∅， 故a ＋1≤1或a －1≥5，即a ≤0或a ≥6. 10．[0，12]解析 由p ：|4x －3|≤1，得12≤x ≤1，由q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0， 得a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件， 即由命题p 成立能推出命题q 成立， 但由命题q 成立不能推出命题p 成立． ∴[12，1]⊆[a ，a ＋1]且[12，1]≠[a ，a ＋1]． ∴a ≤12且a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是[0，12]．11．②解析 命题“∃x 0∈R ，x 20＋1＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(綈p )∧(綈q )为真命题，故②正确；a ＞5⇒a ＞2，但a ＞2⇒/ a ＞5，故“a ＞2”是“a ＞5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错． 12．(－4,0)解析 f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数．若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则必须有抛物线开口向下，即m <0. 又∵当x ≥1时，g (x )≥0； 当x <1时，g (x )<0. ∴当x ≥1时，f (x )<0.f (x )＝0有两根x 1＝2m ，x 2＝－m －3. 当x 1>x 2，即m >－1时，则x 1<1， 即m <12，∴－1<m <0；当x 1<x 2，即m <－1时，则x 2<1，即m >－4，∴－4<m <－1；当x 1＝x 2，即m ＝－1时，x 1＝x 2＝－2<1. 综上可知，m 的取值范围为－4<m <0.一、选择题1．(2016·四川成都七中期末)下列对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的函数的是( ) A ．A ＝{x |x >0}，B ＝{y |y ≥0}，f ：y ＝1xB ．A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y >0}，f ：y ＝x 2C ．A ＝{x |x 是三角形}，B ＝{y |y 是圆}，f ：每一个三角形对应它的外切圆D ．A ＝{x |x 是圆}，B ＝{y |y 是三角形}，f ：每一个圆对应它的外切三角形 2．函数f (x )＝4－xx －1＋log 4(x ＋1)的定义域是( ) A ．(0,1)∪(1,4] B ．[－1,1)∪(1,4] C ．(－1,4)D ．(－1,1)∪(1,4]3．若函数y ＝f (x )的定义域是[－2,4]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋f (－x )的定义域是( ) A ．[－2,4] B ．[－3,2) C ．[－3,2]D ．[－4,3]4．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B.74C.43 D ．－435．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，f (x ＋2)，x <2，则f ⎝⎛⎭⎫log 218等于( ) A ．3 B ．8 C ．9D ．126．若函数f (x )满足关系式f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (2)的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－32D.327．(2016·福建泉州南安三中期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，3] C ．[1,2]D ．[3，2]8．设函数y ＝f (x )在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数f p (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤p ，p ，f (x )>p ，则称函数f p (x )为f (x )的“p 界函数”，若给定函数f (x )＝x 2－2x －1，p ＝2，则下列结论不成立的是( )A ．f p [f (0)]＝f [f p (0)]B ．f p [f (1)]＝f [f p (1)]C ．f p [f p (2)]＝f [f (2)]D ．f p [f p (3)]＝f [f (3)]二、填空题9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝2f (x )，若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当1≤x ≤2时，f (x )＝________________.10．如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆的半径为x ，则此框架围成的面积y 与x 的关系式的定义域是____________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2x ?(x >0)，1－x 2?(x ≤0)，则不等式f (x )>0的解集为________．12．已知函数f(x)＝1－x2，函数g(x)＝2a cos π3x－3a＋2(a>0)，若存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是________.答案精析1．A [选项A 中对于集合A 中的任意一个大于零的数，取倒数之后在集合B 中都有唯一的元素与之相对应，故A 正确；选项B 中，集合A 的元素0在集合B 中没有对应元素；选项C 中两个集合不是数集，不能构成函数，只能构成从集合A 到集合B 的映射，故C 错误；选项D 中的集合也不是数集，故不能构成从集合A 到集合B 的函数．] 2．D [要使函数有意义须满足⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x －1≠0，x ＋1>0，解得x ∈(－1,1)∪(1,4]，故选D.]3．C [由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ＋1≤4，－2≤－x ≤4，解得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤3，－4≤x ≤2，即－3≤x ≤2，故选C.]4．B [令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.]5．B [f ⎝⎛⎭⎫log 218＝f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝23＝8.故选B.] 6．B [令x ＝2，得f (2)＋2f ⎝⎛⎭⎫12＝6，① 令x ＝12，得f ⎝⎛⎭⎫12＋2f (2)＝32，② 由①②得f (2)＝－1.]7．B [∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )＋1， －1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a的图象如图所示．∵函数f (x )的值域是[0,2]，∴1∈[0，a ]，即a ≥1.又由当y ＝2时，x 3－3x ＝0，x ＝3(0，－3舍去)，∴a ≤3，∴a 的取值范围是[1，3]． 故选B.]8．B [给定函数f (x )＝x 2－2x －1，p ＝2， 则f (1)＝－2，f p (1)＝－2，所以f [f p (1)]＝f (－2)＝7，f p [f (1)]＝f p (－2)＝2， 所以f p [f (1)]≠f [f p (1)]，故选B.] 9.12(x －1)(2－x ) 解析 ∵f (x －1)＝2f (x )，∴f (x )＝12f (x －1)．∵1≤x ≤2，∴0≤x －1≤1. 又当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，∴f (x －1)＝(x －1)[1－(x －1)]＝(x －1)(2－x )， ∴f (x )＝12f (x －1)＝12(x －1)(2－x )．10.⎝⎛⎭⎫0，1π＋2解析 由题意知AB ＝2x ，CD ＝πx ， 因此AD ＝1－2x －πx2.框架面积y ＝2x ×1－2x －πx 2＋πx 22＝－π＋42x 2＋x .因为⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，1－2x －πx 2>0，所以0<x <1π＋2.11．(－1,1)解析 当x >0时，－log 2x >0＝log 21，解得0<x <1； 当x ≤0时，1－x 2>0，解得－1<x ≤0， 所以不等式f (x )>0的解集为(－1,1)． 12．[12，2]解析 当x ∈[0,1]时，f (x )＝1－x 2的值域是[0,1]，g (x )＝2a cos π3x －3a ＋2(a >0)的值域是[2－2a,2－a ]，为使存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，需[0,1]∩[2－2a,2－a ]≠∅.由[0,1]∩[2－2a,2－a ]＝∅，得1<－2a ＋2或2－a <0，解得a <12或a >2.所以，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是12≤a ≤2.一、选择题1．下列函数中，在区间(0,1]上是增函数且最大值为－1的为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xC ．y ＝－1xD ．y ＝2x2．(2016·黑龙江牡丹江一中期中)函数y ＝3x 2－3x ＋2，x ∈[－1,2]的值域是( ) A ．R B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤143，729 C ．[9,243]D ．[3，＋∞)3．(2016·铁岭月考)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23 B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫134．(2016·广东佛山顺德一中等六校联考)函数y ＝x 2－x ＋2在[a ，＋∞)上单调递增是函数y ＝a x 为单调递增函数的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2016·陕西西藏民族学院附中期末)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12ax －2，x ≤1，a x －a ，x >1在(0，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．[1,2)C ．[1,2]D ．(1，＋∞)6．(2016·天津河西区一模)函数f (x )＝ln(x 2－2x －3)的单调递减区间为( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(3，＋∞)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)8．(2015·湖北)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( ) A ．sgn[g (x )]＝sgn x B ．sgn[g (x )]＝－sgn x C ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )] D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]二、填空题9．y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________________．10．(2017·日照调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0.当x ∈[－2,2]时不等式f (x ＋a )≥f (2a －x )恒成立，则实数a 的最小值是________．12．对于函数f (x )，若存在区间A ＝[m ，n ]，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A }＝A ，则称函数f (x )为“同域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“同域区间”．给出下列四个函数： ①f (x )＝cos π2x ；②f (x )＝x 2－1；③f (x )＝|2x －1|；④f (x )＝log 2(x －1)．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是__________．(请写出所有正确结论的序号)答案精析1．C [y ＝－x 2在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y ＝⎝⎛⎭⎫12x在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y ＝－1x 在区间(0,1]上是增函数，最大值为y ＝－1，满足条件；y ＝2x 在区间(0,1]上是增函数，最大值为y ＝2，不满足条件，故选C.] 2．B [令t ＝x 2－3x ＋2，∵x ∈[－1,2]， ∴t ＝x 2－3x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x －322－14∈⎣⎡⎦⎤－14，6. 又y ＝3t 在⎣⎡⎦⎤－14，6上单调递增， 则y ＝3t⎝⎛⎭⎫－14≤t ≤6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤143，729.∴函数y ＝3x 2－3x ＋2，x ∈[－1,2]的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤143，729.]3．B [由题设知，当x <1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12， 又13<12<23<1， ∴f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫12>f ⎝⎛⎭⎫23， 即f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23.]4．B [函数y ＝x 2－x ＋2图象的对称轴为直线x ＝12，且开口向上，在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，由已知y ＝x 2－x ＋2在[a ，＋∞)上单调递增，则a ≥12，推不出y ＝a x 是递增函数．反之，y ＝a x 单调递增，则a >1，显然y ＝x 2－x ＋2在[a ，＋∞)上单调递增，故选B.]5．A [由f (x )＝x 2＋12ax －2在(0,1]上递增，则有－a4≤0，即a ≥0，再由f (x )＝a x －a 在(1，＋∞)上递增，则a >1，再由增函数的定义，得1＋12a －2≤a 1－a ，解得a ≤2，则有1<a ≤2.故选A.]6．C [要使函数有意义，则x 2－2x －3>0，即x >3或x <－1.设t ＝x 2－2x －3，则当x >3时，函数t ＝x 2－2x －3单调递增；当x <－1时，函数t ＝x 2－2x －3单调递减．∵函数y ＝ln t 在定义域上为单调递增函数，∴根据复合函数的单调性之间的关系可知：当x >3时，函数f (x )单调递增，即函数f (x )的递增区间为(3，＋∞)；当x <－1时，函数f (x )单调递减，即函数f (x )的递减区间为(－∞，－1)．故选C.]7．C [f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0，4x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0， 由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ， 即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.]8．B [因为a >1，所以当x >0时，x <ax ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f (x )<f (ax )，所以g (x )＝f (x )－f (ax )<0，sgn[g (x )]＝－1＝－sgn x ；同理可得当x <0时，g (x )＝f (x )－f (ax )>0，sgn[g (x )]＝1＝－sgn x ；当x ＝0时，g (x )＝0，sgn[g (x )]＝0＝－sgn x 也成立．故B 正确．] 9．(－∞，－1]，[0,1] 解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4； 当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数． 10．2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2. 11．4解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2－4x ＋3，对称轴为直线x ＝2，故在区间内递减，f (x )≥f (0)＝3； 当x >0时，f (x )＝－x 2－2x ＋3，对称轴为直线x ＝－1，故在区间内递减，f (x )<f (0)＝3. 可知函数f (x )在整个区间内递减．∴当x ∈[－2,2]时不等式f (x ＋a )≥f (2a －x )恒成立， ∴x ＋a ≤2a －x ，∴2x ≤a ，∴a ≥4. 12．①②③解析 当x ∈[0,1]时，cos π2x ∈[0,1]，①正确；当x ∈[－1,0]时，x 2－1∈[－1,0]，②正确；当x ∈[0,1]时，|2x －1|∈[0,1]，③正确；因为y ＝log 2(x －1)为单调递增函数，所以要为“同域区间”，需满足方程log 2(x －1)＝x 有两个根，由图象可知y ＝x 与y ＝log 2(x －1)没有交点，④错误．一、选择题1．(2016·江西赣州于都实验中学大考三)若奇函数f (x )＝3sin x ＋c 的定义域是[a ，b ]， 则a ＋b ＋c 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．0D ．无法计算2．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 014)＋f (2 015)等于( )A ．3B ．2C ．1D ．03．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )。
2018届高三数学每天一练半小时第16练 函数综合练 Word版含答案
一、选择题．下列函数中，与函数＝－的奇偶性相同，且在(－∞，)上单调性也相同的是()．＝－．＝．＝－．＝－．设函数()＝(\\(－，<，(＋(，>，))则(())等于()．．．．．(·福建四地六校联考)若()对于任意实数恒有()－(－)＝＋，则()等于()．．．．－．(·湖北襄阳枣阳二中期中)已知函数()＝(－)(－)(其中>)，若()的图象如图所示，则函数()＝＋的图象大致为()．已知函数()＝＋满足条件((＋))＝，其中>，则((－))等于()．．．．．已知()＝(\\((－(＋，<，，≥))是(－∞，＋∞)上的减函数，那么的取值范围是() ．()．已知()是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间(－∞，]上是增函数，设＝()，＝()，＝(－)，则，，的大小关系是()．<< ．<<．<< ．<<．(·南昌质检)对于定义域为的函数()，若()在(－∞，)和(，＋∞)上均有零点，则称函数()为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是()．()＝＋－(∈) ．()＝－－．()＝－．()＝－二、填空题．(·北京东城区二模)已知是有序数对集合＝{(，)∈*，∈*}上的一个映射，正整数数对(，)在映射下的像为实数，记作(，)＝.对于任意的正整数，(>)，映射由下表给出：则()＝，使不等式(，)≤成立的的集合是．．某商品在最近天内的单价()与时间的函数关系是()＝(\\(()＋，≤<，∈*，,－()＋，≤≤，∈*，))日销售量()与时间的函数关系是()＝－＋(≤≤，∈)，则这种商品的日销售额的最大值为．．定义在上的偶函数()满足(＋)＝－()且()在[－]上是增函数，给出下列四个命题：①()是周期函数；②()的图象关于＝对称；③()在[]上是减函数；④()＝()．其中正确命题的序号是．(请把正确命题的序号全部写出来)．(·山东聊城一中期中)设定义域为[]的函数()同时满足以下三个条件时称()为“友谊函数”：()对任意的∈[]，总有()≥；。
2018届高三数学三角函数单元复习试卷(含答案) 精品
苏州五中2017~2018学年第一学期高三数学练习卷三三角函数班级 姓名 成绩一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. cos(300)-︒= ．2. 若角α的终边在直线2y x =上，则sin α= ．3. 把时钟拨快1小时，则时针走过的弧度数是 ．4. sin 40sin 80sin 50sin10︒︒-︒︒= ．5.cos195︒= ．6. 若αcossin22αα=-，则2α是第 象限角． 7. 已知tan ,tan αβ是方程23570x x +-=的两个根，则tan()αβ+= ． 8. 函数2sin cos cos y ααα=-的最小正周期为_____________________． 9. 函数sin(2)4y x π=-的单调递减区间为 ．10. 要得到cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象向 平移 个单位而得到．11. 函数x x y 2cos sin 2-=的值域是 ；12. 已知函数sin()(,0,02)y A x x ωϕωϕ=+∈>≤<πR 的部分图象如下图，则该函数的解析式为 ．（第12题）13. 在ABC ∆中，已知3cos()45A π+=,则cos 2A =____ ___．14. 已知223sin 2sin 2sin 0αβα+-=，则22cos cos αβ+的取值范围为_____ __．二、解答题：本大题共4小题，共30分． 15. （本小题6分）化简求值：sin 7sin 8cos15cos 7sin 8sin15︒+︒︒︒-︒︒．16. （本小题6分）已知sin sin cos()(,)βααβαβ=+都是锐角，求证：sin 2tan 3cos 2αβα=-．17. （本小题10分）已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域为,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]2,5，求,a b 的值．18. （本小题10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于B A ,两点，已知B A ,的横坐标分别为52102（1）求)tan(βα+的值（2）求βα2+的值．苏州五中2017~2018学年第一学期高三数学练习卷三三角函数答案班级 姓名 成绩一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.cos(300)-︒=12． 2. 若角α的终边在直线2y x =上，则sin α=． 3. 把时钟拨快1小时，则时针走过的弧度数是 6π- ．4.sin 40sin 80sin 50sin10︒︒-︒︒=12． 5.cos195︒=． 6. 若αcossin22αα=-，则2α是第 四 象限角． 7. 已知tan ,tan αβ是方程23570x x +-=的两个根，则tan()αβ+= 12- ． 8. 函数2sin cos cos y ααα=-的最小正周期为____π_____． 9. 函数sin(2)4y x π=-的单调递减区间为 3,()88k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦． 10. 要得到cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象向 右 平移6π个单位而得到． 11. 函数x x y 2cos sin 2-=的值域是 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 12. 已知函数si n()(,0,02)y A x x ωϕωϕ=+∈>≤<πR 的部分图象如下图，则该函数的解析式为 sin()44y x ππ=+ ．（第12题） 13. 在ABC ∆中，已知3cos()45A π+=,则cos 2A =___2425___． 14. 已知223sin2sin 2sin 0αβα+-=，则22cos cos αβ+的取值范围为____14,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦_ __． 二、解答题：本大题共4小题，共30分．15. （本小题6分）化简求值：sin 7sin 8cos15cos 7sin 8sin15︒+︒︒︒-︒︒．解:原式＝sin(158)sin8cos15sin15cos8tan152cos(158)sin8sin15cos15cos8︒-︒+︒︒︒︒==︒=-︒-︒-︒︒︒︒16. （本小题6分）已知sin sin cos()(,)βααβαβ=+都是锐角，求证：sin 2tan 3cos 2αβα=-．证明：2sin sin cos()sin cos cos sin sin βααβααβαβ=+=- 即2sin (1sin )sin cos cos βαααβ+=22sin sin cos 2sin cos sin 2cos 1sin 22sin 3cos 2βαβαβαβααα===++- 命题得证17. （本小题10分）已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域为,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]2,5，求,a b 的值．解： ()2sin(2)6f x a x a b π=-+++．又,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以7132666x πππ≤+≤ 则11sin(2)62x π-≤+≤．当0a >时，[](),4f x a b a b ∈++，有21451a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 当0a <时，[]()4,f x a b a b ∈++，有51426a b a a b b +==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩综上：11a b =⎧⎨=⎩或16a b =-⎧⎨=⎩18. （本小题10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于B A ,两点，已知B A ,522（1）求)tan(βα+的值（2）求βα2+的值． 解：（1）点A 的坐标为，点B 的坐标为 所以tan 7α=，1tan 2β=172tan()31172αβ++==--⨯（2）[]32tan(2)tan ()111(3)2αβαββ-++=++==---⨯又tan 1,0tan 1αβ><<，所以,0424πππαβ<<<<所以24αβππ+<<，所以324παβ+=．。
人教A版新课标高中数学必修4第一章《三角函数》综合练习题(含答案)
第一章《三角函数》综合练习一、选择题1.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为（ ）A.54-B.53C.54D.53-2.半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（）A .3πcmB .23πcmC .23πcm D .223πcm 3.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（ ）A .3π，2-，4πB .3π，2，12πC .6π，2，12πD .6π，2，4π4.sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（ ） A .1sin()26y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .sin(2)3y x π=-D .1sin()23y x π=-5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称6.如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |7．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41 D ．68．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12 9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B10.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（）A .13B .13-C .233D .233-11.已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ）A.βα<;B.βαsin sin >；C.βαtan tan >；D.以上都不对12.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于( )A. 1B.22C. 0D.22-二、填空题13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是______________ 14．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α的值是_____________.15、函数])32,6[)(6cos(πππ∈+=x x y 的值域是 ． 16．函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________.三、解答题17.已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α； （2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值．18.已知tan 3α=，求下列各式的值： （1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ ；（2）212sin cos cos ααα+．19．（1）画出函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 在一个周期的函数图像；（2）求出函数的对称中心和对称轴方程．20．已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)判断其奇偶性．(2)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最大值，并求取得最大值时的x ；21．已知函数45)62sin(21++=πx y (1)求函数的单调递增区间； (2)写出y=sinx 图象如何变换到15sin(2)264y x π=++的图象第一章《三角函数》综合练习答案一、选择题1-5 CDCBB 6-10 CBBCA 11-12 BB 二、填空题13、5[2,2],33k k k Z ππππ++∈14、31015、1[]216、13k << 17. 解析：（1）sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-==---；（2）若31sin()23πα-=-，则有1cos 3α=-，所以()f α=3。
2018届高三数学每天一练半小时：第16练 函数综合练含答案
训练目标(1)函数概念、性质、图象知识的巩固深化；(2)解题过程的严谨性、规范化训练．训练题型 (1)函数中的易错题；(2)函数中的创新题；(3)函数中的综合题．解题策略(1)讨论函数性质要注意定义域；(2)函数性质和图象相结合；(3)条件转化要等价.一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，lg (x 2＋1)，x >2，则f (f (3))等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．33．(2016·福建四地六校联考)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)等于( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－14．(2016·湖北襄阳枣阳二中期中)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致为( )5．已知函数f (x )＝21＋2x ＋11＋4x 满足条件f (log a (2＋1))＝1，其中a >1，则f (log a (2－1))等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (12log 3)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c8．(2017·南昌质检)对于定义域为R 的函数f (x )，若f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上均有零点，则称函数f (x )为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是( )A ．f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R ) B ．f (x )＝2－|x －1| C ．f (x )＝2x －x 2D ．f (x )＝x －sin x二、填空题9．(2016·北京东城区二模)已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的像为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m >n )，映射f 由下表给出：则f (3,5)＝________，使不等式f (2x，x )≤4成立的x 的集合是__________．10．某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 4＋22，0≤t <40，t ∈N *，－t 2＋52，40≤t ≤100，t ∈N *，日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t3＋1093(0≤t ≤100，t ∈N )，则这种商品的日销售额的最大值为________． 11．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)．其中正确命题的序号是____________．(请把正确命题的序号全部写出来)12．(2016·山东聊城一中期中)设定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足以下三个条件时称f (x )为“友谊函数”：(1)对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0； (2)f (1)＝1；(3)若x 1≥0，x 2≥0且x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立． 则下列判断正确的序号为________． ①f (x )为“友谊函数”，则f (0)＝0；②函数g (x )＝x 在区间[0,1]上是“友谊函数”；③若f (x )为“友谊函数”，且0≤x 1<x 2≤1，则f (x 1)≤f (x 2).答案精析1．C [函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A 的函数为奇函数，不符合要求；选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项D 的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C 符合要求．]2．C [f (f (3))＝f (lg 10)＝f (1)＝2，故选C.] 3．A [令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2.]4．A [由二次方程的解法易得(x －a )(x －b )＝0的两根为a ，b ；根据函数零点与方程的根的关系，可得f (x )＝(x －a )(x －b )的零点就是a ，b ，即函数图象与x 轴交点的横坐标；观察f (x )＝(x －a )(x －b )的图象，可得其与x 轴的两个交点分别在区间(－∞，－1)与(0,1)上，又由a >b ，可得b <－1,0<a <1.对函数g (x )＝a x＋b ，由0<a <1可得其是减函数，又由b <－1可得其与y 轴交点的坐标在x 轴的下方；分析选项可得A 符合这两点，B ，C ，D 均不满足．故选A.]5．B [由函数f (x )＝21＋2x ＋11＋4x ，得f (－x )＝21＋2－x ＋11＋4－x ＝2·2x1＋2x ＋4x1＋4x ，所以f (x )＋f (－x )＝21＋2x ＋11＋4x ＋2·2x1＋2x ＋4x1＋4x ＝3，由于log a (2＋1)＋log a (2－1)＝0， 所以log a (2－1)＝－log a (2＋1)， 所以由f (log a (2＋1))＝1得f (log a (2－1))＝2，故选B.]6．C [当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a >0在x <1时恒成立，令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a <13. 此时，log a x 是减函数，符合题意．]7．B [∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵a ＝f (log 47)＝f (log 27)，b ＝f (12log 3)＝f (－12log 3)＝f (log 23)．又0<log 27<log 23<2,0.2－0.6＝50.6>50.5>40.5＝2，即0<log 27<log 23<0.2－0.6，∴a >b >c .]8．D [因为f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R )的零点即为方程x 2＋bx －1＝0的根，又Δ＝b 2＋4>0，所以方程x 2＋bx －1＝0有一正一负两个不同的根，f (x )＝x 2＋bx －1是“含界点函数”；因为f (x )＝2－|x －1|有两个零点x ＝3和x ＝－1，故f (x )＝2－|x －1|是“含界点函数”；f (x )＝2x －x 2的零点即为y ＝2x 与y ＝x 2的图象的交点的横坐标，作出函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象如图所示，故f (x )＝2x－x 2为“含界点函数”；因为f (x )＝x －sin x 在R 上是增函数，且f (0)＝0，所以f (x )＝x －sin x 不是“含界点函数”．故选D.]9．8 {1,2}解析 由表可知f (3,5)＝5＋3＝8. ∵∀x ∈N *，都有2x>x ， ∴f (2x ，x )＝2x－x ，则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)， 当x ＝1时，2x ＝2，x ＋4＝5,2x≤x ＋4成立； 当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x≤x ＋4成立； 当x ≥3(x ∈N *)时，2x>x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 10．808.5解析 由题意知日销售额s (t )＝f (t )g (t )， 当0≤t <40时，s (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093＝－t 212＋7t 4＋2 3983，此函数的对称轴为x ＝212，又t ∈N *，所以最大值为s (10)＝s (11)＝1 6172＝808.5；当40≤t ≤100时，s (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093＝t 26－213t 6＋5 6683， 此时函数的对称轴为x ＝2132>100，最大值为s (40)＝736.综上，这种商品日销售额s (t )的最大值为808.5 11．①②④解析 由f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，故函数f (x )是周期函数，命题①正确；由于函数是偶函数，故f (x ＋2)＝f (－x )，函数图象关于直线x ＝x ＋2－x2＝1对称，故命题②正确；由于函数是偶函数，故函数在区间[0,1]上递减，根据对称性，函数在[1,2]上应该是增函数(也可根据周期性判断)，故命题③不正确；根据周期性，f (2)＝f (0)，命题④正确． 12．①②③解析 ①∵f (x )为“友谊函数”，则取x 1＝x 2＝0，得f (0)≥f (0)＋f (0)，即f (0)≤0，又由f (0)≥0，得f (0)＝0，故①正确；②g (x )＝x 在[0,1]上满足：(1)g (x )≥0；(2)g (1)＝1；若x 1≥0，x 2≥0且x 1＋x 2≤1， 则有g (x 1＋x 2)－[g (x 1)＋g (x 2)]＝(x 1＋x 2)－(x 1＋x 2)＝0，即g (x 1＋x 2)≥g (x 1)＋g (x 2)，满足(3)．故g (x )＝x 满足条件(1)(2)(3)，∴g (x )＝x 为友谊函数，故②正确；③∵0≤x 1<x 2≤1，∴0<x 2－x 1<1，∴f (x 2)＝f (x 2－x 1＋x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)≥f (x 1)，故有f (x 1)≤f (x 2)，故③正确． 故答案为①②③.。
2018届高三数学每天一练半小时(31)三角函数综合练(含答案)
训练目标(1)三角函数图象、性质的应用；(2)三角函数与解三角形的综合．训练题型(1)讨论函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象、性质；(2)三角变换和三角函数的结合；(3)三角函数与解三角形．解题策略(1)讨论三角函数的性质，可先进行三角变换，化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式或复合函数；(2)解题中贯穿整体代换、数形结合思想；(3)三角函数和解三角形的综合问题，一定要结合正弦、余弦定理，利用三角形中的边角关系.一、选择题1．若tan α＝2tan π5，则cos α－3π10α－π5()A ．1B ．2C ．3D ．42．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于()A.43 B.34C ．－34D ．－433.已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φω>0，0<φ<π2－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为()A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π64．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为()A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形5．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，|φx ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y＝f (x )图象的对称轴，且f (x )ω的最大值为()A ．11B ．9C ．7D ．5二、填空题6．已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm 2.7．当x ∈π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．8．若cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，αα＋ββ＝________.9.如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s ．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH ＝________m ．(声音在空气中的传播速度为340m/s)三、解答题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A －sin C (cos B ＋33sin B )＝0.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值．答案精析1．C [＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.]2．C [∵sin α＋2cos α＝102，∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.]3．A[因为－π6，B 与D关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，所以T ＝π，所以ω＝2.因为－π6，0＝－π3＋所以－π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，解得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又因为0<φ<π2，所以φ＝π3.故选A.]4．B [由正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C .在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )，∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，整理得sin A cos B ＝cos A sin B ，∴tan A ＝tan B .又∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B .∵sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，∴sin A sin B 2－2sin sin 2C 2＋12，∴sin A sin ＋2sin ＋2sin ∴sin A sin B ＝12.∵A ＝B ，∴sin A ＝sin B ＝22.∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B ＝π4.∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π2，∴△ABC 是等腰直角三角形．]5．B[因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]6．121解析设扇形的圆心角为α，半径为r cm ，则2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r－2，∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2.7.782解析∵x ∈π6，7π6，∴sin x ∈－12，1.又∵y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝x ＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.8.π3解析∵cos α＝17，α∴sin α＝437.又∵cos(α＋β)＝－1114，α＋β∴sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.又∵αα＋β∴β∈(0，π)，∴β＝π3.9．1403解析由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40)m ．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝10000＋x 2－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420m ，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°，所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝1403(m)．故该仪器的垂直弹射高度CH 为1403m.10．解(1)由题意得，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋sin C cos B －sin C cos B －33sin B sin C ＝0，即sin B (cos C －33sin C )＝0，∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴tan C ＝3，又0<C <π，故C ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ab ×32＝3，∴ab ＝4，又c ＝2，由余弦定理得a 2＋b 2－2ab ×(12)＝4，∴a 2＋b 2＝8.＝4，2＋b 2＝8，解得a ＝2，b ＝2.。
2018届高三数学每天一练半小时：第27练 三角函数的图象与性质含答案
训练目标(1)三角函数图象的简图；(2)三角函数的性质；(3)数形结合思想和整体代换思想．训练题型(1)求三角函数的定义域和值域；(2)求三角函数的周期性和对称性；(3)求三角函数的单调性．解题策略(1)求定义域可借助三角函数线或三角函数的图象求解；(2)求值域注意利用sin x 、cos x 的值域；(3)求单调性注意整体代换.一、选择题1．(2016·韶关调研)函数y ＝1－2sin x －3π4是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数2．(2016·三明月考)y ＝cos x 2－π6x ≤π)的值域为()A.－12，12B．[－1,1]C.－12，1D.－12，323．(2017·临川月考)若f (x )＝tan x ＋π4)A．f (0)>f (－1)>f (1)B．f (0)>f (1)>f (－1)C．f (1)>f (0)>f (－1)D．f (－1)>f (0)>f (1)4．已知函数f (x )＝3cos(2x －π3)，则下列结论正确的是()A．导函数为f ′(x )＝－3sin(2x －π3)B．函数f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称C．函数f (x )在区间(－π12，5π12)上是增函数D．函数f (x )的图象可由函数y ＝3cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π2对称且f (3π8)＝1，f (x )在区间[－3π8，－π4]上单调，则ω可取数值的个数为()A．1B．2C．3D．46．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是()A．y B．y xC．y x D．y ＝sin |x |7．(2017·沈阳质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 关于点(x 0,0)成中心对称，若x 0∈0，π2，则x 0等于()A.π12 B.π6C.π3 D.5π128．函数y ＝sin(π3－12x )，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是()A．[－π3，5π3]B．[－2π，－π3]C．[5π3，2π]D．[－2π，－π3]和[5π3，2π]二、填空题10．函数y ＝tanx x 轴交点的坐标是________________．11．函数y x x ∈0，π3x 的值为________．12．函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间－2π3，θ上的最小值为－14，则θ的取值范围是____________.。
2018届高三数学每天一练半小时：第31练 三角函数综合练
一、选择题1．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34D．－433.已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π64．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形5．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5二、填空题6．已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2.7．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sinx －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．8．若cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则β＝________.9.如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217 s ．在A 地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH ＝________ m ．(声音在空气中的传播速度为340 m/s)三、解答题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A －sin C (cos B ＋33sin B )＝0.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值．答案精析1．C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.]2．C [∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.]3．A [因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，所以T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ，所以－π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，解得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又因为0<φ<π2，所以φ＝π3.故选A.]4．B [由正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 整理得sin A cos B ＝cos A sin B ， ∴tan A ＝tan B .又∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B . ∵sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，∴sin A sin B ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2C 2＝sin 2C 2＋12，∴sin A sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2C 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2C 2， ∴sin A sin B ＝12.∵A ＝B ，∴sin A ＝sin B ＝22. ∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B ＝π4. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π2，∴△ABC 是等腰直角三角形．]5．B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调， 所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]6．1 2 1解析 设扇形的圆心角为α，半径为r cm ，则2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r－2，∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2.7.782 解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.又∵y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x － 2(1－sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.8.π3解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝437.又∵cos(α＋β)＝－1114，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β∈(0，π)，∴β＝π3.9．140 3解析 由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40) m ．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ，即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°，所以CH ＝AC ·tan∠CAH ＝1403(m)． 故该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m. 10．解 (1)由题意得，∵A ＋B ＋C ＝π， ∴sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )， ∴sin B cos C ＋sin C cos B －sin C cos B －33sin B sin C ＝0， 即sin B (cos C －33sin C )＝0， ∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴tan C ＝3， 又0<C <π，故C ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ab ×32＝3，∴ab ＝4，又c ＝2，由余弦定理得a 2＋b 2－2ab ×(12)＝4，∴a 2＋b 2＝8. 则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，a 2＋b 2＝8，解得a ＝2，b ＝2.。
2018届高三理科数学(新课标)：专题三 三角函数 专题能力训练10 Word版含答案
专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是()A. B.C. D.2.已知=-,则sin α+cos α等于()A.-B.C.D.-3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为()A. B.C. D.4.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC等于()A. B. C. D.5.(2017湖北七市一调)已知△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120°,a=2b,则tan A=.6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20a cos A,则sin A∶sin B∶sin C=.8.在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.9.(2017北京,理15)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设f(x)=sin x cos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.思维提升训练12.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos等于()A. B.- C. D.-13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c sin A=a cos C.当sin A-cos取最大值时,角A的大小为()A. B. C. D.14.(2017湖北荆州一模)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为.15.(2017河北石家庄二检)已知sin sin,α∈,则sin 4α的值为.16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,<C<,且.(1)判断△ABC的形状;(2)若||=2,求的取值范围.参考答案专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.C解析由正弦定理,得a2≤b2+c2-bc,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,则cos A0<A<π,∴0<A2.D解析=-=2cos cosα+sinα=-,∴sinα+cosα=-,故选D.3.D解析由(a2+c2-b2)tan B=ac,得,即cos B=,则sin B=∵0<B<π,∴角B为故选D.4.C解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC cos∠ABC=()2+32-23cos=5.解得AC=由正弦定理,得sin∠BAC=5解析借助题设条件,先运用正弦定理将三角形中的边的关系转化化归为角的关系,再求解含角A的三角方程.由正弦定理可得sin A=2sin B,因为B=180°-A-120°=60°-A,所以sin A=2sin(60°-A),即sin A=cos A-sin A,所以2sin A=cos A,故tan A=6解析因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=又因为,所以b=7.6∶5∶4解析∵A>B>C,∴a>b>c.设a=b+1,c=b-1(b>1,且b∈N*),由3b=20a cos A得3b=20(b+1),化简,得7b2-27b-40=0.解得b=5或b=-(舍去),∴a=6,c=4, ∴sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4.8.解(1)由余弦定理及题设得cos B=又因为0<B<π,所以B=(2)由(1)知A+C=cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos因为0<A<,所以当A=时,cos A+cos C取得最大值1.9.解(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C=(2)因为a=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A得72=b2+32-2b×3,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bc sin A=8×3=610.(1)证明由a=b tan A及正弦定理,得,所以sin B=cos A,即sin B=sin又B为钝角,因此+A,故B=+A,即B-A=(2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π--2A>0,所以A,于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos2A=-2sin2A+sin A+1=-2因为0<A<,所以0<sin A<,因此<-2由此可知sin A+sin C的取值范围是11.解(1)由题意知f(x)==sin2x-由-+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x+kπ,k∈Z;由+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);单调递减区间是(k∈Z).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,且当b=c时等号成立.因此bc sin A所以△ABC面积的最大值为思维提升训练12.C解析∵cos,0<α<,∴sin又cos,-<β<0,∴sin,∴cos=cos=cos cos+sin sin =13.A解析由正弦定理,得sin C sin A=sin A cos C.因为0<A<π,所以sin A>0,从而sin C=cos C.又cos C≠0,所以tan C=1,则C=,所以B=-A.于是sin A-cos sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin因为0<A<,所以<A+,从而当A+,即A=时,2sin取最大值2.故选A.14.20或24解析本题易错点在利用正弦定理时,产生缺解.在△CDB中,设CD=t,由余弦定理得49=64+t2-2×8t×cos60°,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.当t=3时,CA=10,△ABC的面积S=10×8×sin60°=20;当t=5时,CA=12,△ABC的面积S=12×8×sin60°=24故△ABC的面积为20或2415.-解析因为sin=cos=cos,所以sin sin=sin cos sin=cos2α=,所以cos2α=因为<α<π,所以π<2α<2π.所以sin2α=-=-所以sin4α=2sin2αcos2α=-=-16.8解析sin A=sin(B+C)=2sin B sin C⇒tan B+tan C=2tan B tan C,因为tan A=-tan(B+C)=-,所以tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C.因为△ABC为锐角三角形,所以tan A>0,tan B tan C>0,所以tan A+2tan B tan C≥2,当且仅当tan A=2tan B tan C时,等号成立,即tan A tan B tan C≥2,解得tan A tan B tan C≥8,即最小值为8.17.解(1)由及正弦定理,得sin B=sin2C,∴B=2C或B+2C=π.若B=2C,<C<,<B<π,B+C>π(舍去).若B+2C=π,又A+B+C=π,∴A=C,∴△ABC为等腰三角形.(2)∵||=2,∴a2+c2+2ac cos B=4.又由(1)知a=c,∴cos B=而cos B=-cos2C,<cos B<1,∴1<a2<=ac cos B=a2cos B,且cos B=, ∴a2cos B=2-a2。
高中数学三角函数专项练习题(含答案)
高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为___________.3．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．5．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________.6．平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均相等，1160BAD DAA A AB ∠=∠=∠=，直线1AC ⋂平面1A BD E =，则异面直线1D E 与AD 所成角的余弦值为_________.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上的一点，若6c =，32b =7sin BAD ∠=，2cos BAC ∠=，则AD =__________. 8．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．9．已知函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，则ω的取值范围是____________.10．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，220BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．已知()1,0A -，()3,0B ，P 是圆22:45O x y +=上的一个动点，则sin APB ∠的最大值为（ ） A ．33B ．53C ．34D ．5413．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=14．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭15．《九章算术》卷五“商功”：今有刍甍，下广3丈，袤4丈；上袤2丈，无广；高1丈.其描述的是下图的一个五面体，底面ABCD 是矩形，4AB =，3BC =，2EF =，//EF 底面ABCD 且EF 到底面ABCD 的距离为1.若DE AE BF CF ===，则该刍甍中点F 到平面EBC 的距离为（ ）A ．15B ．35C 10D 2516．如图所示，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 翻折成△ACD '，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A ．A DB α'∠≤B ．A DB α'∠≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α'∠≥17．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4518．已知ABC 的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则ABC 内切圆的半径r =（ ） A ．1B ．72C ．32D ．219．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞20．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，cosB=-55，则BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．34三、解答题21．如图，一幅壁画的最高点A 处离地面4米，最低点B 处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角α的正切值），若从离斜坡地面1.5米的C 处观赏它.（1）若C 对墙的投影（即过C 作AB 的垂线垂足为投影）恰在线段AB （包括端点）上，求点C 离墙的水平距离的范围；（2）在（1）的条件下，当点C 离墙的水平距离为多少时，视角θ（ACB ∠）最大？22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知33sin cos 022b A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2sin 6sin sin A B C =⋅. （1）求A ；（2）若()b c a R λλ+=∈，求λ的值.23．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 24．已知函数22cos 3sin 2f x xx a 的最小值为0.(1)求a 的值及函数()y f x =图象的对称中心；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在区间70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，求m的取值范围及()123tan 2x x x ++的值.25．已知函数()sin 24a a x x b f π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 的值域是2,2⎡⎤-⎣⎦. (1)求常数a ,b 的值;(2)当0a <时,设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,判断函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.26．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .27．已知向量9(sin ,1),(sin ,cos )8a x b x x ==-， 设函数(),0,2f x a b x π⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求()f x 的值域（Ⅱ）设函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像，若不等式()()sin 20f x h x x m ++-<有解，求实数m 的取值范围．28．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，最小值为()g t .（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()g t 的表达式； （3）当112t -≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围. 29．已知函数()f x 的图象是由函数()sin g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向左平移3π个单位长度.（1）求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）已知关于x 的方程2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β.求26cos(22)m αβ--的值.30．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值【参考答案】一、填空题1．3π 2．734．2⎝5．16538 6．567．489．742ω<<或91322ω<≤.10．⎡⎢⎣⎦二、单选题 11．A 12．D 13．C 14．A 15．C 16．B 17．C 18．B 19．C 20．A 三、解答题21．（1）点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【解析】 【分析】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出tan θ的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，显然有1tan tan 2FGD α∠==，因此有 2(2)tan DFFG x FGD==+∠，由//GE DF ,可得： 1.52(2)22(2)CE CG x y DF GF x x +-=⇒=++，化简得：21y x =+，因为02x ≤≤，所以15y ≤≤，即点C 离墙的水平距离的范围为： 1~5m m ；（2）222tan tan 2tan tan()21tan tan 21x x BCF ACF y y yBCF ACF x x BCF ACF y x x y yθ-+∠+∠=∠+∠===--∠⋅∠-+-⋅,因为21y x =+，所以有12y x -=，代入上式化简得： 2222228tan 11522()5622y y y y y x x y y yθ===---+-⋅++-， 因为15y ≤≤，所以有55562564y y y y+-≥⋅=（当且仅当55y y =时取等号，即1y =时，取等号），因此有0tan 2θ<≤，因此当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了平行线成比例定理，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力. 22．（1）3A π=；（2）6λ=. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简tan 3A =(0,)A π∈，可得A 的值；（2）由已知根据余弦定理可得2223a a bc λ+=，利用正弦定理可得26a bc =，联立即可解得λ的值． 【详解】（133sin cos 022b A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos sin 0b A a B ⇒-+=， 3cos sin sin 0B A A B ⇒-+=(0,)sin 0B B π∈∴≠，tan 3,(0,)3A A A ππ∴=∈∴=；（2）22sin 6sin sin 6A B C a ac =⋅⇒=，2222222cos )(3a b c bc B b c b bc bc c +⋅=++=--=-，而()b c a R λλ+=∈，22()3a a bc λ=-，而26a ac =，所以有2302λλλλ=⇒=>∴=【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.23．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解. 【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z πϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =，从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴2,3B k k Z ππ+=∈，∴:,62kB k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π=.∵3sin 5C =，∴4cos 5C =，∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.即cosD =. 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题.24．(1)1，,2212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈；(2)[)3,4，3-. 【解析】（1）由题得()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求出a 的值即得函数()y f x =图象的对称中心；（2）作出函数()y f x =在70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的大致图象，求出123523x x x π++=即得解.【详解】(1)()cos 23sin 212sin 216x x a x a f x π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，由已知可得()2110a ⨯-++=，∴1a =，()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令26x k ππ+=可得()y f x =图象的对称中心为,2212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈. (2)()y f x =在70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，由图可得[)3,4m ∈，所以123x x π+=，2343x x π+=，所以123523x x x π++=， 所以()1235tan 2tan33x x x π++==-.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查三角函数图象的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.25．(1)2a =,2b =-或2a =-,42b =函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【解析】 【分析】（1）先求得sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,再讨论0a >和0a <的情况,进而求解即可； （2）由（1）()2sin 224f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭则()2sin 224g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭进而判断单调性即可 【详解】解:(1)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦, ①当0a >时,由题意可得12a ab a a b ⎧⎛⨯++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩即22a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩解得2a =,2b =-； ②当0a <时,由题意可得21a a b a a b ⎧⎛⨯++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩,即22a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得2a =-,4b =(2)由（1）当0a <时,2a =-,4b =所以()2sin 224f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭所以()2sin 22224f x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈,解得388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, 当0k =时,388x ππ-≤≤,则3,0,0,8828ππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⋂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,同理,函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力 26．见解析 【解析】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC 的长；选择②：在ABC ∆，ACD ∆中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC 的长；【详解】解：选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC =由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭所以AC ==选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC AB ABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC θ=- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠，即4sin sin 6AC πθ= 所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4θθ=- ⎪⎝⎭2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ== 【点睛】 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.27．（Ⅰ）11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 【解析】（Ⅰ）根据向量的数量积的坐标运算可得函数()f x 的解析式，化成二次函数型函数，求得值域；（Ⅱ）首先根据三角函数的变换规则求得()h x 的解析式，要使()()sin 20f x h x x m ++-<在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，即不等式()()sin2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，令()()sin2y f x h x x =++求出函数的最小值，即可得实数m 的取值范围．【详解】解：（1）()222991sin cos 1cos cos cos cos 888f x x x x x x x =+-=-+-=-+- ()211cos 28f x x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 0cos 1x ∴≤≤()1188f x ∴-≤≤ ()f x ∴的值域为11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）函数()21cos cos 8f x x x =-+-的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像，()2211cos cos sin sin 2288h x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=-+++-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 依题意，不等式()()sin2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解， 设()()5sin2cos sin sin24y f x h x x x x x =++=--+ 52sin cos cos sin ,0,42y x x x x x π⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦，令[]cos sin ,0,1,142t x x x x t ππ⎛⎫⎡⎤=-=+∈∴∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则[]2211,1,142y t t t t ⎛⎫=-+-=--∈- ⎪⎝⎭∴函数()()sin2y f x h x x =++的值域为9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ∴ min 94m y >=- 故实数m 的取值范围为9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，二次函数的性质以及辅助角公式，属于中档题.28．（1）4-（2）22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】【分析】 （1）直接代入计算得解；（2）先求出1sin(2)[,1]42x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解.【详解】（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以48f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为[,]242x ∈ππ，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]42x π-∈- 2()[sin(2)]614f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ） 当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2min 5[()]54f x t t =-+ 当112t -≤≤时，则当sin(2)4x t π-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14x π-=时，2min [()]82f x t t =-+ 故22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）当112t -≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.29．（1）(2 )y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）6- 【解析】【分析】（1）先求出()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图像和性质求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）先化简得2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质求出cos)αβ-（的值得解. 【详解】（1）将()sin g x x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到2sin y x =的图象， 再将2sin y x =的图象向左平移3π个单位长度后得到2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 故()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (2)2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-++，k ∈Z 51212k x k ππππ-+，k ∈Z ,又[0,]x π∈所以(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭24sin 4sin 232x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 24cos 23x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭23cos 22x x =-+223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，所以23x m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，且52,333x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭， 所以2233ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或22333ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是56παβ+=或116παβ+=. 当56παβ+=时，5cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 23πα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 当116παβ+=时， 11cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23πα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 因此，26cos(22)m αβ--()2262cos ()1m αβ=---22621612m m ⎛⎫=⋅--=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的单调区间的求法，考查三角函数图像的零点问题，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.30．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x += （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．。
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一、选择题
1．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10
2
，则tan 2α等于( ) A.4
3 B.3
4 C ．－34
D
．－43
3.已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图，A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个
对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →
在x 轴上的投影为π12
，则ω，φ的值为( )
A ．ω＝2，φ＝π
3
B ．ω＝2，φ＝π
6
C ．ω＝12，φ＝π
3
D ．ω＝12，φ＝π
6
4．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．锐角非等边三角形
D ．钝角三角形
5．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )
A ．11
B ．9
C ．7
D ．5
二、填空题
6．已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2
.
7．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，7π6时，函数y ＝3－sin
x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．
8．若cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则β＝________.
9.如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：
A ，
B ，
C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100
m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚2
17 s ．在A 地测得该仪器至最高点H
时的仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH ＝________ m ．(声音在空气中的传播速度为340 m/s)
三、解答题
10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A －sin C (cos B ＋
3
3
sin B )＝0.
(1)求角C 的大小；
(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值．
答案精析
1．C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5
＝sin αcos π5＋cos αsin
π
5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α
tan π5＋1tan αtan
π
5－1
＝2＋1
2－1
＝3.]
2．C [∵sin α＋2cos α＝
102
， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2
α＝52.
用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－3
4
.故选C.]
3．A [因为A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，
所以T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.
因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3
＋φ
，
所以－π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，解得φ＝π
3＋2k π，k ∈Z .
又因为0<φ<π2，所以φ＝π
3.故选A.]
4．B [由正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 整理得sin A cos B ＝cos A sin B ， ∴tan A ＝tan B .
又∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B . ∵sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，
∴sin A sin B ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－⎝
⎛⎭⎪⎫1－2sin 2C 2＝sin 2C 2＋12，
∴sin A sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2C 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2C 2， ∴sin A sin B ＝1
2.
∵A ＝B ，∴sin A ＝sin B ＝
22. ∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B ＝
π4
. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π
2，
∴△ABC 是等腰直角三角形．]
5．B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T
4
＋
kT ，
即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *
)，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调， 所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π
2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]
6．1 2 1
解析 设扇形的圆心角为α，半径为r cm ，则2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4
r
－2，
∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2
＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2.
7.78
2 解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1.
又∵y ＝3－sin x －2cos 2
x ＝3－sin x － 2(1－sin 2
x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78，
∴当sin x ＝14时，y min ＝7
8
；
当sin x ＝－1
2或sin x ＝1时，y max ＝2.
8.π3
解析 ∵cos α＝17，α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
∴sin α＝43
7
.
又∵cos(α＋β)＝－1114，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin(α＋β)＝53
14
，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝1
2
.
又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，
∴β∈(0，π)，∴β＝π
3.
9．140 3
解析 由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －2
17×340＝(x －40) m ．在△ABC 中，由余弦定理，
得BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－2AB ·AC ·cos∠BAC ，即(x －40)2
＝10 000＋x 2
－100x ，解得x ＝420. 在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°，所以CH ＝AC ·tan∠CAH ＝1403(m)． 故该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m. 10．解 (1)由题意得，∵A ＋B ＋C ＝π， ∴sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )， ∴sin B cos C ＋sin C cos B －sin C cos B －3
3
sin B sin C ＝0， 即sin B (cos C －
3
3
sin C )＝0， ∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴tan C ＝3， 又0<C <π，故C ＝π
3
.
(2)∵S △ABC ＝12ab ×3
2＝3，∴ab ＝4，
又c ＝2，由余弦定理得a 2＋b 2
－2ab ×(12)＝4，
∴a 2
＋b 2
＝8. 则⎩⎪⎨
⎪
⎧
ab ＝4，a 2
＋b 2
＝8，
解得a ＝2，b ＝2.。