第一型曲线积分

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第一型曲线积分第一型曲线积分的定义

由 2 (t ) 2 ( t ) 的连续性与积分中值定Leabharlann Baidu, 有
si 2 ( i ) 2 ( i )ti (ti 1 i ti ).
所以
f ( , )s
i 1 i i
n
i

i 1
n
2 2 f ( ( i ), ( i )) ( i ) ( i )t i ,
(2) 近似求和：在每一个 i 上任取一点 Pi . 由于
f ( P ) 为上的连续函数, 故当 i 的弧长都很小时,
每一小段 i 的质量可近似地等于f ( Pi ) i , 其中 i
为小曲线段 i 的长度. 于是在整个上的质量就近似地等于和式
f ( P ) .
一．第一型曲线积分的定义
设某物体的密度函数 f ( P ) 是定义在上的连续函数当是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体的质量. 现在研究当是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.
(1) 分割：把分成 n 个可求长度的小曲线段 i
( i 1, 2, , n).
的第一型曲线积分, 并且记作

L
f ( x , y , z )ds .
于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质
量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得. 1. 若L f i ( x , y )ds( i 1, 2,

第一型曲线积分

f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) dt
a x b.
2. 曲线
L : y ( x)
则
L
f ( x , y )ds
a
b
f [ x , ( x )] 1 2 ( x ) dx.
3. 曲线
L : x ( y)
曲线积分 L f ( x , y )ds 存在.
4.
推广
f ( x , y , z )在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为

f ( x , y , z )ds lim
f ( i , i , i ) si . 0
i 1
n
注意：
1. 若 L (或 )是分段光滑的, ( L L1 L2 )
2a. 2
y 1.
oB e
0
x2 y2
ds
1 12 dx 0
2a 2
wenku.baidu.com
2a 2
e
x2 x2
e
2 x
2 dx
e a 1.
于是，
Le
x2 y2
ds ds AB e
x2 y2
oA e
x2 y2
ds oB e
x2 y2
ds
(e a 1) a e a (e a 1) 4 ( 2 a )e a 2. 4

第一型曲线积分的定义

第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，是微积分中的一种重要概念与计算方法，它涉及曲线和向量场之间的积分。本文将介绍第一型曲线积分的定义、性质和计算方法。

一、第一型曲线积分的定义

第一型曲线积分，也称为曲线的线积分，是指在曲线上某个有向长度元素$\mathrm{d}s$上的函数值与该长度元素的乘积$d\boldsymbol{s}$在整个曲线上的积分。

设$C$是曲线，其参数方程为

$\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), t\in[a,b]$，则$C$的长度由公式：

$$ L(C)=\int_{C}\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}\left[\ left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\r ight)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\f rac{1}{2}} \mathrm{d}t $$

计算曲线$C$上的一个标量函数$f(x,y,z)$在曲线上的第一型曲线积分，即为：

$$ \int_{C} f(x, y, z) \mathrm{d}

s=\int_{a}^{b}

f\left(\boldsymbol{r}(t)\right)\left[\left(x^{\prim e}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\le

ft(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}

第一型曲线积分

L f ( x, y, z)ds
2.存在条件：
当 f ( x, y)在光滑曲线弧L上连续时,
对弧长的曲线积分L f ( x, y)ds 存在.
3.推广
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f ( x, y, z)ds
lim
T 0
i 1
f (i ,i , i ) si .
n
lim
t0 i1
f ( ( i), ( i))
( i) 2( i)ti
f ((t), (t))
2(t ) 2(t )dt
因此当在(4)式两边取极限后,即所得要证的(3).
□
注1.当L:y= ( x), x [a, b]表示,则
f ( x, y)ds
b
f ( x, ( x))
1 2( x)dx;(5)
k
ci (1 i k )为常数，则 L ci fi ( x, y)ds也 i 1
存
在
，
且
k
k
L ci fi ( x, y)ds ci L fi ( x, y)ds
i 1
i 1
2 区间可加性若线段 L由线段
Li (1 i k )首尾相接而成，且
f ( x, y)ds(1 i k)都存在，则 f ( x, y)ds
x

数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章曲线积分 1第一型曲线积分

一、第一型曲线积分的定义

引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量.

当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i n

i i P f ∆Ω∑=1)(.

当对Ω有分割越来越细密(即d=i n

i ∆Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是

该物体的质量.

定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i n

i s ∆≤≤1max ，在L i 上任取一点

(ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i n

i i i T s f ∆∑=→1

),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：⎰L ds y x f ),(.

注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类

似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分⎰L ds z y x f ),,(.

高数9-1(第一型曲线积分)

(3) L : r r( ),
L f ( x, y)ds
f [r ) cos, r( )sin ]
r2 ( ) r2 ( )d
推广 : x (t), y (t), z (t) ( t )
f ( x, y, z)ds
f [(t), (t),(t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt ( )
2 f ( x, y)ds,当f ( x, y) 是L上关于x (或y)的偶函数 L1
L1是曲线L落在y (或x)轴一侧的部分.
运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x, y)与积分曲线L的对称性.
6/19
例计算 ( x y3 )ds. 其中L是圆周 x2 y2 R2. L
z f (x, y)
s
S柱面面积 f ( x, y)ds L
L
3/19
4．存在条件
当 f ( x, y, z)在光滑曲线弧上连续,
对弧长的曲线积分 L f ( x, y, z)ds 存在.
注意
若是分段光滑的, ( 1 2 )
12 f ( x, y, z)ds 1 f ( x, y, z)ds 2 f ( x, y, z)ds
OA
A⌒B
BO
y
B
解 OA : y 0, 0 x a,ds 1 02dx O
Ax

第一型曲线积分和第二型曲线积分的联系

第一型曲线积分和第二型曲线积分的联系区别：方法不同；积分对象不同；应用场合不同。

第一型曲线积分：在平面曲线或空间曲线上的函数关于该曲线的积分。第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲线，计算该曲线的质量。第二型曲线积分亦称关于坐标的曲线积分，是一种与曲线定向有关的曲线积分。

1、第一型曲面分数最基本的计算方法就是同第二型曲面分数一样, 也就是化成二重积分。

第二型曲面最基本的方法就是通过找投影化为二重积分. 想要提醒一点的是: 如果曲面是 x=c 的一部分, 这时候x'=0, 即 dx=0, 所以曲面积分中包含 dxdy 与 dzdx 的两项直接为零,。

而关于 p(x,y,z)dzdx 的分数, 也变成了 p(c,y,z)dydz 的分数, 然后融合方向就可以化成二重积分.。同理, 对于 y 或者 z 为常数的情况亦就是如此。

2、第一类曲线积分是对弧长积分，对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素；第二类曲线积分是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分，对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素。

3、第一类曲线分数求非密度光滑的线状物体质量等问题，第二类曲线分数化解作功类等问题。

第一型第二型曲线积分的区别联系

第一型曲线积分是对曲线上的标量函数进行积分，积分结果为一个实数。而第二型曲线积分是对曲线上的向量场进行积分，积分结果为一个向量。

虽然第一型和第二型曲线积分的目的不同，但它们在一些方面有相似之处。例如，它们都需要指定曲线的参数方程来进行积分。同时，它们也都可以通过曲线的参数方程来计算积分的上限和下限。

此外，第二型曲线积分有一个重要的应用，即计算环路线积分。环路线积分是将向量场沿着一个封闭曲线进行积分的过程。在这个过程中，曲线的起点和终点相同。环路线积分是一个非常重要的概念，因为它可以用来检验向量场是否有旋度。

总之，第一型和第二型曲线积分是两种不同的计算方法，它们在应用中有着各自的用途。同时，它们也有一些共同之处，例如需要指定曲线的参数方程来进行积分。

- 1 -

第一型曲线积分格林公式

曲线积分格林公式(Gauss Quadrature Formula)是一种高效的数值积

分的方法。该方法可以有效的用有限的线性组合来近似曲线积分。

格林公式的一类是第一型格林公式，它提供一个比较容易实现的计算，有效的计算出一阶及二阶以上被积函数不论奇偶或异类在指定定积区

间的积分值。

这类公式可以用如下等式来描述：

\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{b-a}{2}\sum_{k=1}^{n}w_{k}f\left(\frac{b-

a}{2}x_{k}+\frac{a+b}{2}\right)

其中$w_{k}$和$x_{k}$分别为积分时要用到的权重及积分点。

使用第一型格林公式通常来说有以下优点：

- 可以完成计算可以使计算极为高效快速；

- 结果有更高的精确度，相比传统的梯形法与辛普森法有更优越准确的

结果；

- 第一型格林公式可以很容易的使用，不需要反复研究甚至编程就可以

实现曲线积分；

- 这类公式可以有效适用于一阶及二阶以上的被积函数；

- 其实现与容易计算使第一型格林公式在计算实数积分的应用很广泛。

第一型曲线积分

L
f ( x, y )ds

2 ( t ) 2 ( t )dt . (3) f ( ( t ), ( t ))
证由弧长公式知道, L 上由 t ti 1 到 t ti 的弧长
si
i
i 1
2 (t ) 2 (t )dt .
由 2 (t ) 2 ( t ) 的连续性与积分中值定理, 有
(1) 分割：把分成 n 个可求长度的小曲线段 i
( i 1, 2, , n).
(2) 近似求和：在每一个 i 上任取一点 Pi . 由于
前页后页返回
f ( P ) 为上的连续函数, 故当 i 的弧长都很小时,
每一小段 i 的质量可近似地等于f ( Pi ) i , 其中 i
前页后页返回
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
si 2 ( i ) 2 ( i )ti ( ti 1 i ti ).
所以
f ( , )s
i 1 i i
n
i

i 1
n
), ( i)) 2 ( i ) 2 ( i )t i , f ( ( i
y
定义, 线密度为 ( x , y ) 的
x
x2 y2 a2
图 20 3
曲线状物体对于 x , y 轴的转动惯量分别为

第一型曲线积分

第一型曲线积分是微积分中一个重要的概念，用于计算曲线上的函数与曲线弧长之间的关系。它在物理学、工程学以及数学等领域中都有广泛的应用。本文将为您详细介绍第一型曲线积分的相关内容。

首先，我们需要明确什么是第一型曲线积分。第一型曲线积分也被称为曲线上的函数积分，是将一个函数沿着曲线路径进行积分的过程。其数学表示为∫f(x,y)ds，其中f(x,y)为函数，ds

表示曲线上的微小弧长。

在计算第一型曲线积分时，我们需要确定积分路径的参数方程。常见的参数方程有参数方程表示法、极坐标方程和向量值函数方程。通过确定参数方程，我们可以将曲线上的函数与弧长联系起来，并进行积分运算。

接下来，我们将详细介绍第一型曲线积分的计算方法。计算第一型曲线积分的一般步骤如下：

1. 确定积分路径的参数方程。根据题目给出的信息，选择合适的参数方程描述曲线路径。

2. 计算弧长微元ds。根据参数方程求得弧长微元ds的表达式。

3. 将函数f(x,y)表示为参数的形式。将参数方程中的x和y表

示为参数的函数形式。

4. 将函数f(x,y)与弧长微元ds进行乘积运算。将步骤3中的函数形式代入弧长微元表达式中，得到被积函数与弧长微元的乘积。

5. 对被积函数与弧长微元的乘积进行积分。将步骤4中得到的乘积函数进行积分运算，得到第一型曲线积分的结果。

除了以上计算步骤，我们还需要注意以下几点：

1. 曲线的方向：在计算第一型曲线积分时，需要注意曲线的定向。如果曲线是定向的，则与定向相反的方向计算的积分结果会有所不同。

2. 曲线的参数变换：有时候在计算第一型曲线积分时，可能需要对参数进行变换，以便更方便地进行积分计算。

1 第一型曲线积分的概念

二、第一型积分的性质
例 : 设D : ( x 2)2 ( y 1)2 2, 则
2 3
( x y ) d
D
( , )
( x y ) d
D
例 : 若f ( x , y )在D ( x , y ) | x 2 y 2 t 2 上连续,求 1 lim 2 t 0 t
上的函数，将任意细分成可测的小块： 1， 2，， n， ( k )表示 k的测度，记 max diam k
任取 Pk k，若和式极限 lim f Pk k 0 k 1 存在切与Ω的分割方式及 Pk k无关，则称之为函数u= f（p）沿Ω的第一型积分或第一类积分，记为 d f ,P即

f P gP d f P d gP d

积分可加性：设f P 在可积，将分为 1 2 两个可测的部分 1和 2 ，
则f P 在 1 和 2 都可积,且
1
f ( p)d f ( p)d f ( p)d
二、第一型积分的性质
sin x sin y I e d 例:估计二重积分 D
2 2 其中D为圆形域 x y 4.
解：（x , y） R 2 ,因 1 sin x sin y 1, 故有 1 e sin x sin y e 又（D） 4，所以 e 4 sin x sin y e dxdy 4e e D

第一类曲线积分的三种计算方式

1.参数方程法

参数方程法是最常用的计算第一类曲线积分的方法之一、它利用参数

方程将曲线分成若干小段，然后计算每一小段上的积分，最后将所有小段

上的积分相加得到整个曲线上的积分值。

具体步骤如下：

1.将曲线的参数方程表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中t的取

值范围为[a,b]。

2.求出曲线的切线向量T(t)和曲率向量K(t)。

3.将向量场F(x,y,z)表示为

F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k。

4. 计算曲线段的长度ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)，其中dx=f'(t)dt，dy=g'(t)dt，dz=h'(t)dt。

5.将向量场在曲线上的投影F·T计算出来。

6. 将F·T乘以ds，再积分得到曲线上的积分。

参数方程法的优点是适用于任意形状的曲线，缺点是当曲线的参数方

程比较复杂时，计算较为繁琐。

2.向量场法

向量场法是计算第一类曲线积分的另一种常见方法。它直接利用向量

场在曲线上的投影与曲线段的长度相乘然后积分，而无需转化为参数方程。

具体步骤如下：

1.将向量场F(x,y,z)表示为

F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k。

2.将曲线表示为r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k，其中t的取值范围为[a,b]。

3. 计算向量场在曲线上的投影F·dr，其中dr=dx i+dy j+dz k，dx=x'(t)dt，dy=y'(t)dt，dz=z'(t)dt。

4. 将F·dr积分得到曲线上的积分。

闭合曲线的第一型曲线积分

一、什么是闭合曲线？

闭合曲线是指在一个平面上形成的一条曲线，起点和终点相同，形成

一个封闭的图形。在数学中，闭合曲线是一种重要的几何概念，具有

丰富的性质和应用。闭合曲线可以是简单闭合曲线，也可以是复杂的，但始终保持起点和终点的相同。

二、什么是曲线积分？

曲线积分是一种将函数沿着曲线进行求和的数学运算。在数学分析和

物理学中，曲线积分是研究曲线上函数与路径长度的关系的重要工具。曲线积分可以分为两种类型：第一型和第二型曲线积分。

三、闭合曲线的第一型曲线积分

闭合曲线的第一型曲线积分是指将函数沿着闭合曲线进行积分。闭合

曲线的第一型曲线积分可以表示为∮f(x,y)ds。其中，f(x,y)是定义在曲

线上的函数，ds表示微元长度。闭合曲线的第一型曲线积分具有一些

特殊的性质和应用。

四、性质和应用

闭合曲线的第一型曲线积分的性质和应用十分广泛。首先，闭合曲线

的第一型曲线积分与路径无关，只与路径所围的区域有关。这意味着

无论路径如何选取，只要围成的区域相同，积分结果也相同。这一性

质为解决一些面积计算和质量分布问题提供了便利。

其次，闭合曲线的第一型曲线积分可以用于计算环量。环量是一个描述向量场在闭合曲线上的绕行情况的重要概念。通过计算曲线上的向量场在闭合曲线上的曲线积分，可以得到向量场的环量信息。环量在电磁学、流体力学等领域具有广泛的应用。

此外，闭合曲线的第一型曲线积分还被广泛应用于概率统计和物理学中。在概率统计中，闭合曲线的第一型曲线积分可以用于计算随机变量的期望值，从而得到一些重要的统计性质。在物理学中，闭合曲线的第一型曲线积分可以用于计算电流的磁场、电场的闭合环路中的感应电动势等问题。

第一型曲线积分t的范围

第一型曲线积分（线积分）的范围主要取决于被积函数的连续性和积分的路径。在理论上，只要路径是连续的，被积函数在路径上连续且可微，第一型曲线积分就可以进行。在实际应用中，常见的范围限制包括：

1.路径必须是光滑的（即二阶导数存在且连续）。

2.被积函数在路径上必须连续且可微。

3.路径的起点和终点必须在函数的定义域内。

4.如果有参数方程表示路径，那么参数的导数必须在路径上连续。

需要注意的是，这些限制并不是绝对的。在某些特殊情况下，即使路径不满足上述条件，第一型曲线积分仍然可以进行。然而，在这些情况下，积分结果可能不具有通常的定义，例如在曲率很大的路径上对平坦函数进行积分。

总之，第一型曲线积分的范围取决于被积函数、路径的连续性和可微性等因素。在大多数情况下，只要路径是光滑的，被积函数在路径上连续且可微，积分就可以进行。然而，这并不是绝对的，实际情况可能需要进一步分析。

第一型曲线积分计算公式

第一型曲线积分计算公式：

第一型曲线积分也称为路径积分或弧长积分，用于计算向量场沿着曲线的积分。其计算公式如下：

∫C F · dr

其中，C 是曲线，F 是向量场，dr 是曲线上的微元弧长向量。

以下是两个实例：

实例1：考虑曲线C，由参数方程r(t) = (cos(t), sin(t))，其中0 ≤ t ≤ π/2。向量场F(x, y) = (x, y)。

我们可以首先计算曲线的切向量r'(t) = (-sin(t), cos(t))。

然后计算F · dr：F · dr= (x, y) · (dx, dy) = (x, y) · (dx/dt, dy/dt) dt [使用链式法则将dr 转换为dt] = (cos(t), sin(t)) · (-sin(t), cos(t)) dt = -sin(t)cos(t) + sin(t)cos(t) dt = 0

由于F · dr = 0，因此该曲线上的第一型曲线积分为0。

实例2：考虑曲线C，由参数方程r(t) = (t, t^2)，其中0 ≤ t ≤ 1。向量场F(x, y) = (y, x)。首先计算曲线的切向量r'(t) = (1, 2t)。

然后计算F · dr：F · dr = (y, x) · (dx, dy) = (y, x) · (dx/dt, dy/dt) dt = (t^2, t) · (1, 2t) dt = t^2 + 2t^2 dt = 3t^2 dt

要计算第一型曲线积分，我们需要将积分限从参数t 转换为实际的曲线长度。曲线长度由下式给出：

第一型曲线积分

第一型曲线积分 第一型曲线积分的定义

第一型曲线积分

第一型曲线积分的定义

第一型曲线积分

数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

高数9-1(第一型曲线积分)

第一型曲线积分和第二型曲线积分的联系

第一型第二型曲线积分的区别联系

第一型曲线积分格林公式

第一型曲线积分

第一型曲线积分

1 第一型曲线积分的概念

第一类曲线积分的三种计算方式

闭合曲线的第一型曲线积分

第一型曲线积分t的范围

第一型曲线积分计算公式

第一型曲线积分第一型曲线积分的定义