高数9-1(第一型曲线积分)
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(3) L : r r( ),
L f ( x, y)ds
f [r ) cos, r( )sin ]
r2 ( ) r2 ( )d
推广 : x (t), y (t), z (t) ( t )
f ( x, y, z)ds
f [(t), (t),(t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt ( )
2 f ( x, y)ds,当f ( x, y) 是L上关于x (或y)的偶函数 L1
L1是曲线L落在y (或x)轴一侧的部分.
运用对称性简化对弧长的曲线积分 计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x, y)与积 分曲线L的对称性.
6/19
例 计算 ( x y3 )ds. 其中L是圆周 x2 y2 R2. L
(对路径具有可加性)
4/19
5.性质
(1) [ f ( x, y, z) g( x, y, z)]ds
f ( x, y, z)ds g( x, y, z)ds
(2) kf ( x, y, z)ds k f ( x, y, z)ds (k为常数)
(3) 与积分路径的方向无关, 即
(
⌒ f
f ( x, y)ds
b
f [ x, ( x)]
1 2( x)dx (a b)
L
a
ds 1 2( x)dx
(2) L : x ( y), c y d
f ( x, y)ds
d
f [( y), y]
1 2( y)dy (c d )
L
c
ds 1 2( y)dy
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解 对称性,得
y x2 y2 R2
( x y3 )ds xds y3ds 0
L
L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于y轴对称, L
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0 L
对 y3ds, 因积分曲线L关于x轴对称, L
被积函数 y3是L上关于y的奇函数 y3ds 0 L
z k 的一段. (0 2 )
解 I 2 a2 cos sin k a2 k2d 0 1ka2 a2 k 2 2 12/19
例 计算 e x2 y2ds, L :由圆周x2 y2 a2, L
直线y x及x轴在第一象限中所围图形的边界.
提示
e x2 y2 ds
L
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2.第一型曲线积分的物理意义
f ( x, y, z)ds的物理意义表示以f ( x, y, z)为线密度
的非均匀有质曲线的质量.
3.第一型曲线积分的几何意义
(1) 当 f ( x, y) 1时, L弧长 ds L
(2) 当 f ( x, y)表示立于L上的 柱面在点( x, y)处的高时,
➢第一型曲线积分的概念及性质 ➢第一型曲线积分的计算 ➢小结
1/19
一、第一型曲线积分的概念及性质
1.第一型曲线积分的概念
若几何形体是空间曲线时,三元函数f ( x, y, z) 在曲线上的积分称为第一型曲线积分,记为:
f ( x, y, z)ds
如果是封闭曲线,常记为 L f ( x, y, z)ds
7/19
二、第一型曲线积分的计算
定理 设 f ( x, y)在曲线弧 L上有定义且连续,
L的 参 数
方
程
为
x y
(t) (t)
( t ),其中
(t), (t)在[ , ]上 具有一阶连续导数, 且
f ( x, y)ds f [ (t), (t)] 2(t) 2(t)dt
z f (x, y)
s
S柱面面积 f ( x, y)ds L
L
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4.存在条件
当 f ( x, y, z)在光滑曲线弧上连续,
对弧长的曲线积分 L f ( x, y, z)ds 存在.
注意
若是分段光滑的, ( 1 2 )
12 f ( x, y, z)ds 1 f ( x, y, z)ds 2 f ( x, y, z)ds
OA
A⌒B
BO
y
B
解 OA : y 0, 0 x a,ds 1 02dx O
Ax
e x2 y2ds a e xdx ea 1
OA
0
⌒
AB
A⌒B
: e
x a cos
x2 y2 ds
, y a sin ,
4 eaad
0
4
0 aea
4
13/19
BO : y x, 0 x 2 a.
y
2
ds 1 12dx
e x2 y2ds
2a
2e
2x
O
2dx ea 1
BO
0
故 e x2 y2ds 2(ea 1) aea
L
4
B
Ax
14/19
设L为椭圆 x2 y2 1,其周长为a,则 43
(2xy 3x2 4 y2 )ds 12a L
解 (2xy 3x2 4 y2 )ds L
AB)
(
x,
y,
z)ds
f
(⌒BA)
(
x,
y,
z)ds
为简单起见,以平面曲线积分为例
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补充 在分析问题和算题时常用的 对称性质
设函数f ( x, y) 在一条光滑(或分段光滑)的 曲线L上连续, L关于y轴(或x轴)对称, 则
L f ( x, y)ds
0,
当 f ( x, y)是L上关于x (或y)的奇函数
L
( )
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f ( x, y)ds f [ (t), (t)] 2(t) 2(t)dt
L
( )
注:
(1)对弧长的曲线积分要求ds 0 ,定积分的
下限 一定要小于上限
(2) f ( x, y)中的x, y要满足L的方程
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特殊情形
(1) L : y ( x), a x b
对 称 性
2xyds (3x2 4 y2 )ds
L
0 L
0 12 1 (3x2 4 y2 )ds L 12
12
x2 (
y2 )ds
12
1ds 12a
L4 3
L
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三、小结
第一型曲线积分的概念及性质 (物理意义,几何意义,线性性质,与积分路 径的方向无关,对积分路径的可加性等) 第一型曲线积分的计算公式 (弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)
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例 求I yds,其中L为y2 2x上自原点到 L
(2,2)的一段.
对x积分? y
解 y2 2x x y2 (0 y 2)
y2 2x
• (2,2)
2
2
1
I
y
0
1 y2dy 3 (5
5 1)
O
x
例 求I xyzds,其中 : x a cos , y a sin ,