第一型曲线曲面积分的计算

ds x2(t) y2(t) z2(t)dt ，
f ( x, y,z)ds
f [ x(t ), y(t ), z(t )]
x2(t ) y2(t ) z2(t)dt .
L
5.若曲线L由极坐标方程 ( )( )给出,则有
f ( x, y)ds=
f [( )cos, ( ) sin]
来自百度文库 5.2 第一型面积分的计算:
根据二重积分及第一型曲面积分的定义,可把第 一型曲面积分化成二重积分计算。
设光滑曲面的方程为z z( x, y), 在 xy 面上的投影区 域 为Dxy , z( x, y)在Dxy上 有 一 阶 连 续 偏 导 数, f ( x, y, z)在上 连 续, 则
f ( x, y, z)dA
2() 2()d
L
注： 对 L f ( x, y)ds 来说， f ( x, y) 是定义在 L 上的，
被积函数中的 x，y 应满足 L 的方程，故可利 用 L 的方程化简被积函数.
故有“代入法”或“整体代入”
例 1．计算 xe x2 y2 ds ，其中L 是从 A(0,1) 沿圆周
L
x2 y2 1 到 B(1, 0) 处的一段弧。
1
x
2 y
x
2 z
dydz.
D yz
若的方程为 y y( x, z), Dxz : 在xz 平面上的投影,则
f ( x, y, z)dA f ( x, y( x, z), z)
简记为 L f ( x, y)ds L1
L2
.
4. 当f ( x, y) 1时, Lds 等于L的长度.
注: 若L 是闭曲线，则记为 L f ( x, y)ds .
L f ( x, y)ds的对称性类似于二重积分
第一型曲线积分的计算法
1．设 f ( x, y) 在曲线 L 上连续，L 的参数方程为 x x(t) ， y y(t) ( t ) ，其中 x(t) ， y(t) 在[,]上有
b
L f ( x, y)ds a f [ x, y( x)]
1 y2( x)dx .
3.若 L由 方程 x x( y) (c y d ) 给出，则
取 y 为参数 ， ds 1 x2( y)dy
d
L f ( x, y)ds c f [x( y), y]
1 x2( y)dy .
4. 若空间光滑曲线L的 参数方程为 x x(t) ， y y(t) ， z z(t) ( t ) ，则
Ñ 求 (3x2 4y2 2x2 y3)ds 的值。 L
例 5．设 L为球面x2 y2 z2 R2 与平面 x y z0 的
Ñ 交线，求 ( x2 y2 z)ds 。 L
第一型曲线积分的几何意义
设 L 为xoy 面上的光滑曲线，其方程为z(x0, y) 0 ， 在 L上 定义连续函数 f (x, y) 0 ，它的图形是空间曲线
第一型曲线积分的性质
1． L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds ；
2． Lkf ( x, y)ds k L f ( x, y)ds (k为常数) ； 3． L f ( x, y)ds L1 f ( x, y)ds L2 f ( x, y)ds, (L L1 L2 ) .
第五节 第一型曲面积分的计算
5.1 曲面的面积
１．设曲面 S 的方程为：
z f (x, y)
在 xoy 面上的投影区域为 D,
如图， 设小区域 d D,
z
s
dA M
点 ( x, y) d ,
o
为 S 上过 M ( x, y, f ( x, y))
的切平面.
x
(x, y) y d
以 d 边界为准线，母线平行于 z 轴的小 柱面，截曲面 s 为 ds；截切平面 为 dA， 则有dA ds.
连续的一阶导数，且 x2(t) y2(t) 0，则
ds x2(t) y2(t)dt ，
L f ( x, y)ds f [x(t), y(t)]
x2(t) y2(t)dt .
2．若L由 方程 y y( x) (a x b) 给出，则
取 x 为 参数， ds 1 y2( x)dx
1
x 2
y
x z
2dydz;
D yz
３．设曲面的方程为：y h(z, x)
曲面面积公式为：A
1
y 2
z
y x
2dzdx.
Dzx
例1
求球面x2 y2 z2 a2在 z b(a b 0)部分 的面积。
例 2 求由曲面x2 y2 az 和z 2a x2 y2 (a 0)所围立体的表面积.
d 为 dA 在 xoy 面上的投影, d dA cos ,
cos
1
,
1
f
2 x
f
2 y
dA
1
f
2 x
f
2 y
d
曲面S的面积元素
A
1
f
2 x
f
2 y
d
,
D
曲面面积公式为：A
Dxy
1
(
z x
)2
(
z y
)2
dxdy
同理可得
２．设曲面的方程为：x g( y, z)
曲面面积公式为：A
：
z f ( x,
(x, y) y) 0
，在柱面(x,
y)
0
上介于L与
之间的
曲面的面积就是L f (x, y)ds 。
z
o
x
f (x, y)ds
y
L
当f (x, y) 0 时, L f (x, y) ds 表示以 L 为准线,
母线平行于z轴,高为z f (x, y)的柱面面积。
例6
求圆柱面x2 y2 1位于平面z 0上方与z y 下方那部分的侧面积A.
f ( x, y, z( x, y))
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
.
Dxy
记忆口诀：“一代二换三投影”.
注 1. : z z( x, y)
dA
1
z
2 x
z
2 y
dxdy.
2. 若方程为 x x( y, z), Dyz : 在yz 平面上的投影,则
f ( x, y, z)dA f ( x( y, z), y, z)
y
A
o Bx
例 2．计算 L yds ，其中 L 为抛物线y x2 ，直线x1 及
x 轴所围成的曲边三角形的整个边界.
y
B
y x2 x1
o y0 A x
例 3．计算 ( x2 y2 z2 )ds ，其中 L 为曲线
L
x2 y2 z2 4 xz0
例 4．设 L 为椭圆 x2 y2 1 ，其周长为 a， 43