2013一元二次方程复习6
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结
一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
一元二次方程复习课件
初三数学第21章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，•并且未知数的最高次数是2，•这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）其中二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c ．例1．求方程2x 2+3=22x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．例2．若关于x 的方程（m+3）27m x -+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m 的值，•并计算这个方程的各项系数之和．例3．若关于x 的方程（k 2-4）x 2+1k -x+5=0是一元二次方程，求k 的取值范围．例4．若α是方程x 2-5x+1=0的一个根，求α2+21α的值．1．关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1-2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ） Ａ．11 Ｂ．11或13 Ｃ．13 Ｄ．11和13 3．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）二、一元二次方程的一般解法 基本方法有：（1）配方法； （2）公式法； （3） 因式分解法。
联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x 2 +8x+12=02、3x 23x-6=0用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=02、2x23、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x2-4x+1=x2+6x+95、（x-1）2-2（x2-1）=0注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，1．△=b2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；2．△=b2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；3．△=b2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．例1、不解方程判断下列方程根的情况1、x2-（2、x2-2kx+（2k-1）=0例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a 的值为例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，•则△ABC为例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求4)2(222-+-baab的值例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．四、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x 1x2x1 + x 2= -bax 1 x2=ca例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2, 则（x1 -1）（x 2-1）=例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-ba，x1·x2=ca；（2）•求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．五、一元二次方程与实际问题的应用步骤:①审②设③列④解⑤答应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
《一元二次方程》(复习课)说课稿
《一元二次方程》（复习课）说课稿枣阳市吴店一中田海俊《一元二次方程》（复习课）说课稿枣阳市吴店一中田海俊一、教材分析1.教材的地位和作用一元二次方程是中学数学的重要内容之一。
一方面，可以对以前学过的一元一次方程、因式分解等知识加以巩固，另一方面，又为以后学习二次函数等知识打下基础。
此外，一元二次方程对其它学科的学习也有重要意义。
因此，其地位可谓是“承上启下”，不可或缺。
2.教学目标分析知识与技能目标:1.理解一元二次方程的概念2.能灵活熟练的解一元二次方程3.会运用一元二次方程解决实际问题。
过程与方法目标:经历一元二次方程求解过程，提高观察分析能力，加深对转化等数学思想的认识。
情感态度与价值观目标:通过自主合作探究学习，养成独立思考的好习惯，培养团队合作意识。
3.教学重难点重点：构建一元二次方程知识体系，全面复习一元二次方程的解法及应用。
难点：利用根的判别式确定字母取值范围和运用一元二次方程解决实际问题。
二、教法与学法分析教法分析：叶圣陶先生主张：“教师务必启发学生的能动性，引导他们尽可能自己去探索。
”结合本节课的内容特点，我将采用启发式、讨论式以及探索式教学方法。
给学生留出足够的思考时间和空间，让学生自己去探索，归纳。
从真正意义上完成对知识的自我构建。
并用多媒体直观演示，最大限度地调动学生学习的积极性。
学法分析：人们常说：“现代文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因此教师要特别注重对学生学习方法的指导。
我贯彻的指导思想是把“学习的主动权还给学生”，倡导“合作交流、自主探究”的学习方式，具体的学法是利用学案导学，小组合作交流法，让学生养成自主学习的习惯，真正实现课堂的高效。
三、教学过程分析教学流程图：1.呈现诊断问题构建知识体系问题1：观察下列方程：⑴(x+3)²＝2 ； ⑵x ²-8x+1＝0 ； ⑶3x(x-1)＝2(x-1）；⑷x ²-4x-7＝0 ； ⑸x ²+17＝8x （无实数根）①这几个都是什么方程？诊断一: ②解这样的方程你有哪些方法？ ③它们都有实数根吗?为什么？【教后反思】问题1出示了五个方程，目的是为了引出一元二次方程的概念、解法，以及根的判别式等知识点。
10.《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --= 【答案】C ；【解析】A ：不是整式方程，故本选项错误；B ：当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C ：由原方程，得x 2+x-3=0，符一元二次方程的要求；故本选项正确；D ：方程3x 2-2xy -5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C ．【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．举一反三：【高清ID ：388528 关联的位置名称（播放点名称）：利用定义求字母的值】【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．【典型例题】 类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x2-4x-1=0； (4) (1-)x2=(1+)x．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴ 123x =，21x =． (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0．∴ 11t =，212t =．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ． a ＞1C ． a ≤1D ．a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∴a ≥1．故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．【高清ID ：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式． 【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=．∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1． 要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x （50﹣2x ）=300，解得：x 1=10，x 2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x 1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．答:BC 的长为20m ．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x 个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x 2-5x+6＝0．解得，x 1＝2，x 2＝3．∴ 当x ＝2时，2x ＝4；当x ＝3时，2x ＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x 个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．【巩固练习】一、选择题1.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ）A.1B.﹣1C.0D.无法确定2．若一元二次方程式ax （x ＋1）＋（x ＋1）（x ＋2）＋bx （x ＋2）＝2的两根为0．2，则|3a ＋4b |之值为何（ ）A ．2B ．5C ．7D ．83．（2015•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ）A ．2%B ． 5%C ． 10%D ． 20% 4．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（ ）A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+45．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）．A ．k ＜0B ．k ≤0C ．k ≠1且k ≠0D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( ) A.64 cm 2 B.100 cm 2 C.121 cm 2 D.144 cm 27．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．且D ．且二、填空题9．已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m = ，另一个根是 ．10．（2014秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为 和 ．11．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一个根为0，则a = .12．阅读材料：设一元二次方程似20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a +=-，12c x x a =，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为________． 15．问题1：设a 、b 是方程x 2＋x －2012＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为 ；问题2：方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1―1）（x 2―1）＝ ； 问题3：已知一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根为x 1、x 2且x 1x 2（x 1＋x 2）＝3，则m的值是 ；问题4：已知一元二次方程x 2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X 1,X 2，且X 1+3X 2=3,则m 的值是 .16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．19．（2015•十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m+3）x+m 2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．2.【答案】B；【解析】先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b 的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．3.【答案】D；【解析】设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）故选D．4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．5.【答案】D；【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.7.【答案】A；【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△.8．【答案】B ；【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题9．【答案】1；﹣3．【解析】根据一元二次方程的解定义，将x =2代入关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0，然后解关于m 的一元一次方程；再根据根与系数的关系x 1+x 2=﹣b a解出方程的另一个根． 10．【答案】 15m ，10m ；【解析】设留空宽度为xm ，则（20﹣2x ）（15﹣2x ）=20×15×，整理得：2x 2﹣35x+75=0，即（2x ﹣5）（x ﹣15）=0，解得x 1=15，x 2=2.5，∵20﹣2x ＞0，∴x＜10，∴x=2.5，∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．∴地毯的长、宽分别为15m 和10m ．11．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得1a =±,因为10a -≠，所以1a =-.12．【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系， 然后由待求式2112x x x x +变形为2221212121212()2x x x x x x x x x x ++-=，再整体代换． 具体过程如下：由阅读材料知 x 1+x 2＝-6，x 1x 2＝3． 而222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====． 13．【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解.14．【答案】7；【解析】∵ x 1，x 2是一元二次方程2320x x --=的两实数根，∴ x 1+x 2＝3，x 1x 2＝-2∴ 222222112211221212123(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+-= 15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=34. 【解析】由于a ，b 是方程x 2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a 2+a-2012=0，然后把a 2+2a+b 可以变为a 2+a+a+b ，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%；【解析】设该校捐款的平均年增长率是x ， 则， 整理，得，解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x），由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x］=736.整理,得x2－5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.18.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．19.【答案与解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．20.【答案与解析】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）⑵ ①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x2－10x+16=0解得：x1=2,x2=8经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）∴y= －10x2+100x+2000=－10(x－5)2+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．。
一元二次方程小结与复习
5 25 即： x x 0 6 3 或： 6 x 2 5 x 50 0
2
2.已知两个数的和等于 6 ，积等于 2 求这两个数
一元二次方程的应用。
1、数字问题 2、增长率问题 3、利润问题 4、面积问题 5、几何问题
注意： ① 设要有单位
② 解出方程后检验根的合理性
回顾与复习 5 • 列方程解应用题的一般步骤是:
③配——在方程两边同时加上一次项系数一半 的平方，使原方程变为（x+m）2=n （n≥ 0） 的形式。
④开——用直接开平方法解出方程。
3、公式法。
-b± b2 4ac 2 求根公式：x= （b -4ac ≥ 0） 2a 步骤：① 先化为一般形式； ②再确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式: ④当b2-4ac<0时，方程无实数解
直接开平方法 配方法 公式法
x2-6x-9=0 3x2-2x-1=0
(2x+3)2=(5x+1)2 直接开平方法或分解因式法
请用四种方法解下列方程:
2 4(x＋1)
=
2 (2x－5)
先考虑开平方法,
再用因式分解法;
最后才用公式法和配方法;
回顾与复习 3
根的判别式
对于方程的根起着关键的作用.
b2-4ac
1、一元二次方程的定义：
含有 一 个未知数，且未知数的 最高次数为 2 次的 整式 方程。 2、一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠ 0）
一元二次方程的解法
1、直接开平方法: （x+m）2=n（n≥ 0） 2、配方法。
①化——将二次项系数化为1。
一元二次方程复习
x 4 x 2 12 0 ( x 2 2 x ) 2 7( x 2 2 x ) 8 0
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用配方法证明：关于x的方程（m² -12m +37）x ² +3mx+1=0， 无论m取何值，此方程都是一元二次方程
练习1、用最好的方法求解下列方程 1、（3x -2）² -49=0 3 3、4y = 1 - 2 y²
两边开平方，得：3x -2=±7 27 所以：x= 5 3 所以x1=3，x2=-
；
接动手扁人吧. 最重要の是巫山还对自己…使了个眼色,这说明什么?说明巫山这个不咋大的不咋大的の统领,还是很惧怕自己家の老头啊,看来是想来当个和事佬吧！、 龙葵为自己在眨眼间,就想清楚这么多事情,微微自傲起来.只是…和事佬?这事情能和吗?这不咋大的杂种不仅辱骂自己, 最重要の是还辱骂了他老子,现在又如此不可一世の让自己钻他裤裆? 叔叔可忍,婶婶不可忍！ 龙葵迅速拿定了主意,他想着这事怕是自己老子肯定也不会善罢甘休吧！这事要算了,他の面子哪里放?他老子の面子哪里放?他住在高高在上の四层の大伯面子哪里放? 于是,他面色变得阴沉起来, 盯着巫山说道："巫山统领,俺给你呀这个面子,你呀让开,今天这事算不了！" "啥?" 巫山眨了眨眼睛,有些不敢相信の望着龙葵.一愣之后便瞬间醒悟过来,菊花一阵隐痛,蛋都差点碎了… 心里大骂龙逆英明一世却生出一些蠢蛋儿子,真以为这雨帝山,是你呀们龙家の了?自己这个眼色,很明 显是告诉他,有些事情,别在台面上搞,你呀龙家不是牛逼吗?暗地里搞就是了,别把俺扯进去.没想到这蠢货还以为自己在求他
一元二次方程复习题
篇一: 一元二次方程总复习知识点梳理一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的整式方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。
[]注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=?b?x1=-a+ x2=-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二?b?b2?4ac2次方程的求根公式是x?(b －4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，2ab，c的值；③求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：一元二次方程一元二次方程总复习知识点梳理⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) =3（x＋4）中，不能随便约去x＋4。
一元二次方程 复习
• 解：设商品的单价是(50+x)元，则每个商品的利 润是[(50+x)-40]；销售量是(500-10x)个。 • [(50+x)-40](500-10x)=8000 • 整理，得：x²-40x-300=0 • 解方程，得：x1=10,x2=30 • 故商品的的单价可定为50+10=60元或50+30=80元 • 当商品每个单价为60元时，其进货量只能是50010×10=400个；当商品每个单价为80元时，其进 货量只能是500-10×30=200个 • 答：售价定为60元时，进货是400个；售价定为80 元时，进货是200个。
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• 传播问题： • 【例3】 某种电脑病毒传播非常快，若一台 电脑被传染，经过两轮感染就会有81台电脑 被传染，请你用学过的知识分析，每轮传染 中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得 不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑 会不会超过700台？ • 增长率问题的一般形式：a（1±x）²=b（a 为起始时间的有关数量，b为终止时间的有 关数量）
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• 2、2x²+(7/3)x=1 6x²+7x-3=0 △=b²-4ac＞0 x=（-7±9）/12 解得：x1=1/6,x2=-4/3 ∴原方程的解为：x1=1/6,x2=-4/3 • 四、解：1、6x²+x-15=0 (2x-3)(3x-5)=0 2x-3=0 或 3x-5=0
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• • • • • • • •
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• 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台 电脑，则依题意得：（1+x）+（1+x）x=81 整理，得：（1+x）²=81 解得：x1=8，x2=-10（不合题意，舍去） ∴x=8 3轮感染后，被感染的电脑有 81+81×8=729>700 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电 脑；若病毒得不到有效控制，3轮感染后， 被感染的电脑会超过700台。
沪教版八年级数学-一元二次方程的复习-教师版
一元二次方程的复习知识精要1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式a x2+bx+c=0(a W0),其中a x2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3.一元二次方程的解法解法1:直接开平方法解法2:因式分解法：一般步骤：(1)将方程右边化为0(2)将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程(3)令每一个因式分别为0,得到两个一元一次方程(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解解法3:配方法：一般步骤：(1)先把二次项系数化为1:方程两边同除以二次项的系数(2)移项：把常数项移到方程右边(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为x m 2 n当的形式(4)当n>0时，用直接开平方法解变形后的方程。
解法4:公式法：一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b, c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)c b b24ac ,,(3)在b2-4ac>0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出x= ------------------ 的值，取后与出2a方程的根.4、一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw0)的根的判别式△ =b2- 4ac.当△ >0时，？方程有两个不相等的实数*H X 1= b 也 4ac , X 2=b心 4ac；当△ =0时，方程有两个相等实数根X 1=X 2=—上；当2a2a2a△ <0时，方程没有实数根. 5、二次三项式的因式分解：(1)形如ax 2+bx+c (a, b,c 都不为0)的多项式称为二次三项式。
(2)当^ = b 2-4ac>0,先用公式法求出方程ax 2+bx+c=0 (aw0)的两个实数根 x i, X 2再写出分解式ax 2+bx+c=a (x —xi) (x —x2).当^ = b 2-4ac<0,方程ax 2+bx+c=0 (aw0)没有实数根，ax 2+bx+c 在实数范围内不能分解因式。
一元二次方程复习题
一元二次方程的复习知识框架一元二次方程 一元二次方程的解法 一元二次方程的应用 一元二次方程根的判别式⎪⎩⎪⎨⎧⇔<-⇔=-⇔>-040404222ac b ac b ac b一元二次方程的根与系数的关系：若x 1、x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根，则x 1＋x 2＝ ，x 1x 2＝ 。
要点回顾1、方程的两边都是 ，只含有 ，并且未知数的最高次数是 的方程是一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是 。
2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① ，使方程左边为 项及 项，方程右边为 项；②二次项系数化为 ；③配方，即方程两边都加上 ，从而把方程化为(x ＋m) 2＝n 的形式；④当n 时，用直接开平方法把二次方程 为一次方程；当n 时，方程无实数根，⑤解变形后的方程即为原方程的解。
3、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公式是 ，用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把原方程化为 ，确定 的值；②计算 的值；③当 时，则代入求根公式求出方程的解；当 时，原方程无实数解。
4、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ，将方程的左边分解为 的乘积；②令每个因式分别为 ，得到两个 方程；③解这两个 方程，它们的解是原方程的解。
例题分析：例1：⑴当k 时，关于x 的方程k x 2＋3x ＋2＝3（x ＋1）（x －2）是一元二次方程。
⑵已知关于x 的方程（a ＋1）x 2－4x ＋a 2＋2a ＋5＝0的一个根为1，则a 的值为 。
⑶关于x 的方程（2m 2＋m －3）x 1+m +5x ＝13是一元二次方程吗？为什么？例2：用适当的方法解下列方程。
⑴2(x ＋3)2=x(x ＋3) ⑵x 2－25x ＋2＝5 ⑶2 x 2＋8x －3＝0（用配方法解）⑷（x ＋1）2－3（x ＋1）＋2＝0 ⑸25（3x －4）2＝16（x ＋3）2例3：①已知关于x 的一元二次方程（1－2k ）x 2－k x －1＝0有实数根，试求k 的取值范围。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
一元二次方程期末复习课
考点六：动点问题
如下图，AO＝BO＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB， 一只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向点B爬行，同时另一只蚂 蚁由点O以3cm/s的速度沿OC方向爬行，几秒后两只蚂蚁所 与点O组成的三角形的面积为450cm2?
O A B
10秒、15秒、30秒
C
方法一：用因式分解法解
3x 5 x 2
C、若x2+x-k=0的一个根是1，则k=2
D、若
2 x 3x 2
x 2
的值为零，则x 2
解一元二次方程的方法
①因式分解法
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）
②直接开平方法 （ (x+m)2=k k≥0 ） ③公式法
(化方程为一般式）
④配方法
（二次项系数为1，而一次项系数为偶数）
C. 0或2
(1) x2+3=3(x+1)
(2) x2－4x－1=0 (3) x2－x－1=0
考点三：求代数式的值
1.已知x是一元二次方程x2＋3x－1=0的实数根，那么代数式
x 3 5 的值为 x 2 2 3x 6 x x2
1 3
2.当代数式x2＋3x+4的值为6时，代数式3x2+9x+10的值为 16
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;
2 即形如x =a(a≥0)
x1 a ,x2 a
本章主要方法和公式
开平方法：
2 对 于形 如 ax c 0（ ac 0） 的 方程 ， 得
c c x1 ， x2 a a
例： (1) 3x 27 0
2
(2) 3( x 2) 2 27 0
一元二次方程复习
一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法,并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程; )0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论;例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时,关于x 的方程3222+=+xx kx 是一元二次方程;例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 ; ★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 ;★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程,⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程;★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 ;★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程,则下列不可能的是C.n=2,m=1 =n=1,就是方程的解;例1、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 ;例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 ; 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程 必有一根为 ;例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根,c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根, 则m 的值为 ;★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 ;★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同; ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解;★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根,则代数式=-m m 2 ;★★4、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 ;★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为 A 1- B 1 C c b - D a -★★★6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 ;()m x m m x ±=⇒≥=,02※※对于()m a x =+2,()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x例2、若()()2221619+=-x x ,则x 的值为 ;A.12322-=+x xB.()022=-x C.x x -=+132 D.092=+x)()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或,右边为“0”,()()22n bx m ax +=+,()()()()c x a x b x a x ++=++ , 0222=++a ax x例1、()()3532-=-x x x 的根为A 25=xB 3=xC 3,2521==x xD 52=x例2、若()()044342=-+++y x y x ,则4x+y 的值为 ; 变式1：()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a ; 变式2：若()()032=+--+y x y x ,则x+y 的值为 ;变式3：若142=++y xy x ,282=++x xy y ,则x+y 的值为 ; 例3、方程062=-+x x 的解为A.2321=-=，x xB.2321-==，x xC.3321-==，x xD.2221-==，x x例4、解方程： ()04321322=++++x x例5、已知023222=--y xy x ,则yx y x -+的值为 ; 变式：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y x y x -+的值为 ;★1、下列说法中： ①方程02=++q px x 的二根为1x ,2x ,则))((212x x x x q px x --=++② )4)(2(862--=-+-x x x x .③)3)(2(6522--=+-a a b ab a ④ ))()((22y x y x y x y x -++=- ⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x正确的有个 个 个 个★2、以71+与71-为根的一元二次方程是A ．0622=--x xB ．0622=+-x xC ．0622=-+y yD ．0622=++y y ★★3、⑴写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为倒数：⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为相反数：★★4、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ,则x+y 的值为A 、-1或-2B 、-1或2C 、1或-2D 、1或25、方程：2122=+x x 的解是 ;★★★6、已知06622=--y xy x ,且0>x ,0>y ,求yx y x --362的值; ★★★7、方程()012000199819992=-⨯-x x 的较大根为r,方程01200820072=+-x x 的较小根为s,则s-r 的值为 ;()002≠=++a c bx 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ ※在解方程中,多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题;例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0;例2、 已知x 、y 为实数,求代数式74222+-++y x y x 的最小值;例3、 已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数,求y x 的值; 例4、 分解因式：31242++x x★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0;★★2、已知041122=---+x x x x ,则=+x x 1 . ★★★3、若912322-+--=x x t ,则t 的最大值为 ,最小值为 ;★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 ;)04,02≥-≠ac b a 且aac b b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式： 13222--x x ； 21842-+-x x . ⑶22542y xy x --说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这种方法首先令c bx ax ++2=0,求出两根,再写成 c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组;例1、 已知0232=+-x x,求代数式()11123-+--x x x 的值;例2、如果012=-+x x ,那么代数式7223-+x x 的值; 例3、已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根,求1152223++--a a a a 的值;例4、用两种不同的方法解方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(.065)1(,6222y xy x y x说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元,再降次；②先降次,再消元;但都体现了一种共同的数学思想——化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题.①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它;例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 ;例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根,则m 的取值范围是 A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x 1求证：无论k 取何值时,方程总有实数根；2若等腰∆ABC 的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求∆ABC 的周长;例4、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式,试求m 的值.例5、m 为何值时,方程组⎩⎨⎧=+=+.3,6222y mx y x 有两个不同的实数解有两个相同的实数解★1、当k 时,关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式;★2、当k 取何值时,多项式k x x 2432+-是一个完全平方式这个完全平方式是什么★3、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根,则m 的值是 .★★4、k 为何值时,方程组⎩⎨⎧=+--+=.0124,22y x y kx y1有两组相等的实数解,并求此解；2有两组不相等的实数解；3没有实数解.★ ★★5、当k 取何值时,方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m ⑴有两个实数根,则m 为 ,⑵只有一个根,则m 为 ;例2、 不解方程,判断关于x 的方程()3222-=+--k k x x 根的情况;例3、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根,问这两方程是否有相同的根若有,请求出这相同的根及k 的值；若没有,请说明理由;⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题1、五羊足球队的庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯990次,问晚宴共有多少人出席2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了90张,那么这个小组共多少人3、北京申奥成功,促进了一批产业的迅速发展,某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场,根据计划,第一年投入资金600万元,第二年比第一年减少31,第三年比第二年减少21,该产品第一年收入资金约400万元,公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回,还要盈利31 ,要实现这一目标,该产品收入的年平均增长率约为多少结果精确到,61.313≈4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答：1当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;2商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少5、将一条长20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形;1要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2,那么这两段铁丝的长度分别为多少2两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗若能,求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由;3两个正方形的面积之和最小为多少6、A 、B 两地间的路程为36千米.甲从A 地,乙从B 地同时出发相向而行,两人相遇后,甲再走2小时30分到达B 地,乙再走1小时36分到达A 地,求两人的速度.02=++c bx ax 而言,当满足①0≠a 、②0≥∆时,才能用韦达定理;ac x x a b x =-=+2121, ;例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根,则这个直角三 角形的斜边是A.3 .3 C D.6例2、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ,1求k 的取值范围；2是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数若存在,求出k 的值；若不 存在,请说明理由;例3、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程二次项系数为1时,小明因看错 常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1;你知道 原来的方程是什么吗其正确解应该是多少例4、已知b a ≠,0122=--a a ,0122=--b b ,求=+b a 变式：若0122=--a a ,0122=--b b ,则ab b a +的值为 ; 例5、已知βα,是方程012=--x x 的两个根,那么=+βα34 .1、解方程组⎩⎨⎧=+=+)2(5)1(,322y x y x 2．已知472-=-a a ,472-=-b b )(b a ≠,求ba ab +的值; 3、已知21,x x 是方程092=--x x 的两实数根,求663722231-++x x x 的值;。
第二章 一元二次函数、方程和不等式章节复习与小结课件(人教版)
方法二：令g(x)=x2-2ax+2-a,
由已知，得x2-2ax+2-a≥0在［-1，+∞)上恒成立，
0,
即Δ=4a2-4(2-a)≤0或 a 1解, 得-3≤a≤1.
g 1 0.
即所求a的取值范围为［-3,1］.
利用基本不等式求最值 【名师指津】 利用基本不等式求最值的方法
基本不等式通常用来求最值问题：一般用a+b≥ 2 ab (a>0, b>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤ (a b)2 解
f
2 0, 2 0
解得 1 7 x 1 3 .
2
2
即x的取值范围是（ 1 7 ,1） . 3
2
2
课堂小结
y
y
x1 O x2 x
O x1 =x2 x
y Ox
方程ax2 + bx + c = 0 有两个不等
(a > 0)的根
实根 x1 < x2
有两个相等实根
x1 = x2
无实根
ax2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
ax2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集
x x < x1或x > x2
性质6同向同正可乘性：
a c
b dLeabharlann 00⇒_a_c_>__b_.d
性质7可乘方性：a>b>0⇒_a_n_>__bn(n∈N，n≥1).
性质8可开方性：a>b>0⇒ n a n b (n∈N，n≥2).
知识梳理
Δ= b2 - 4ac
2.一元二次不等式及其解法
一元二次方程解法复习
反思:
1:先考虑开平方法, 1:先考虑开平方法, 先考虑开平方法 2:再用因式分解法 再用因式分解法. 再用因式分解法 3:最后才用公式法或配方法 最后才用公式法或配方法. 最后才用公式法或配方法
注意点: ax2+bx+c=0(a≠0)有实数 有实数 b2-4ac≥0 解的前提是:________ 解的前提是
2
一元二次方程解法的复习
课堂要求
心静思维动
相关问题2: 已知ax +bx+c=0一元二次方程的一根为 相关问题2: 已知ax2+bx+c=0一元二次方程的一根为1, 一元二次方程的一根为1, 的值. 的值. 求 , b满足b = 的值 求c的值 的值 且aa+b+c的值 a − 2 + 2 − a − 4, 求关于 y 的方 1 2 程 y − c = 0的根. 通过观察,可以求的一元二 若a+b+c=0,通过观察 可以求的一元二 通过观察 6 1 的一根是x=___ 次方程 ax2+bx+c=0的一根是 的一根是 尝试园地
m− 2 ≠ 0
m=1
说明：当二次项系数也含有待定的字母时， 说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次 项系数不能为0 还要注意题目中待定字母的取值范围. 项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围.
求证：关于x的方程： 例3、求证：关于x的方程： 证明：∆= −( m+ 2) − 4( 2m−1) 证明：
− 5 x − 1的值总
练一练
ｘ＋２ 的根的情况是（ 3、方程ｘ2－２ｘ＋２＝０的根的情况是（ 方程ｘ （Ａ）只有一个实数根 （Ａ）只有一个实数根
D）
第2章 一元二次方程素养集训 一元二次方程的六种解法 作业课件
3．解方程：x2＋4x＝5. 解：x2＋4x＝5，x2＋4x＋4＝5＋4， 即(x＋2)2＝9，则x＋2＝±3. ∴x＝－2±3，即x1＝1，x2＝－5.
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4．【中考·梧州】解方程：2x2－4x－30＝0. 解：2x2－4x－30＝0，x2－2x＝15， x2－2x＋1＝15＋1，(x－1)2＝16， x－1＝±4. ∴x1＝5，x2＝－3.
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8．解方程：3(x－5)2＝x2－25.
【点技巧】先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用 这两种方法时，再用公式法，没有特殊要求的，尽量少 用配方法．
解：3(x－5)2＝x2－25， 3(x－5)2＝(x＋5)(x－5)， 3(x－5)2－(x＋5)(x－5)＝0， (x－5)[3(x－5)－(x＋5)]＝0， (x－5)(2x－20)＝0， x－5＝0或2x－20＝0. ∴x1＝5，x2＝10.
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9．解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8. 解：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8， x2－1＋2x＋6＝8，x2＋2x＝3， x2＋2x＋1＝3＋1，(x＋1)2＝4， x＋1＝±2. ∴x1＝1，题】阅读下面的材料： 为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1 视为一个整体，然后可设x2－1＝y，则原方程可化为y2 －5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4. 当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝± 2； 当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝± 5. ∴原方程的解为x1＝ 2，x2＝－ 2，x3＝ 5，x4＝－ 5.
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7．【2021·罗湖区模拟】解下列方程： (1)x2＋4x－5＝0；
解：∵x2＋4x－5＝0，∴(x＋5)(x－1)＝0， 则x＋5＝0或x－1＝0，解得x＝－5或x＝1.
一元二次方程的解法复习
(2)解 : 5 x 4 x 0, x5x 4 0.
2
x 0, 或5x 4 0.
4 x1 0; x2 . 5
用分解因式法解方程: (3)x-2=x(x-2);
3解：x 2 xx 2 0,
x 21 x 0.
x1 2; x2 1.
∵A● B=0
∴A=0 或 B=0
亲，你知道的：
∵(x-1)(x+2)=0
∴ x-1 = 0 或 x+2 = 0 ∴x1 = 1 x2 = -2
1(1)把下列各式分解因式 x2 + 3x+2=0
x x
1
(x+1)(x+2)=0
x+1=0或x+2=0
2
x1=0
x2=0
1(2)把下列各式分解因式
x2 - 5x+6=0
2
解：化简为一般式： x2
2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
2 3 0 2 3 x 21 2
即：x1= x2=
3,
3
2 1.解方程： x +2x+2=0
解：a=1，b=2，c=2
1.解方程：x2-7x-18=0．
b b 4ac x 2a
2
解：这里 a=1, b= -7, c= -18. ∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
7 121 7 11 x , 21 2
即：x1=9, x2= -2．
2.解方程
x 3 2 3x
一元二次方程的复习(根的判别式及应用题)
一元二次方程根的判别式专及应用题（培优）例题1. 如果方程2210ax x ++=有两个不等实根，则实数a 的取值范围是________练习1、已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ． 练习2、关于x 的一元二次方程 k -42-x 2x -4k =0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．练习3．关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 例题2、（根的判别式与化简求值综合）已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，则4)2(222-+-b a ab 的值为练习4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，（1）求a 的取值范围 （2）求代数式的值a a a -++-21682例题3、关于x 的一元二次方程.012=-+-m mx x（1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根大于3，求m 的取值范围.练习5. 已知：关于x 的方程0122=-+kx x（1）求证：方程有两个不相等的实数根。
（2）若方程的一个根是－1，求它的另一个根及k 的值。
例题4、若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a ²+b ²+c ²-ab-bc-ac=0，则△ABC 的形状是？练习6、已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，判断△ABC 的形状（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 练习7、c b a ,,是△ABC 的三条边，且一元二次方程02)(2)(2=-++---b c a x b a x c a 有两个相等的初数根，判断△ABC 的形状，并证明你的结论。
练习8、筹腰三角形的边长分别为a ，b ,3，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x ²-6x+n-1=0 的两根，则n 的值为练习9、已知：∆ABC 的三边分别是a b c 、、，方程02442=-++c b x a x 有两个相等的实数根，且a b c 、、 满足b c a =-23.（1）求证：∆ABC 是等边三角形.（2）若a b 、为方程0)32(22=+-+-k kx x 的两根，求k 的值.练习10、2011年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2013年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．（1）求2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2014年底全市汽车拥有量不超过．．．155.52万辆．预计2014年报废的汽车数量是2013年底汽车拥有量的10%，求2013年底至2014年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．例题6、某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？练习11、今年夏天，某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0．1元/千克，每天可多出售40千克。
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透过题目表象，提高解题能力，对于分类讨论的渗透， 对于几何图形性质的关注，既会答，又要答全答完美。
10、圆与代数知识的结合
旋转 旋转一章，主要关注旋转的定义、旋转与其它知识 的融合、旋转有难度的综合型大题。引导学生回顾旋转 的定义，领会旋转的本质特征，从一些难题的难点来看 ，往往在山穷水尽之时，退回到知识的最基本属性上， 或一些最基本和典型的图形关系上，联想，对比，常常 会收到意想不到的效果。
根据一般规律，全卷有多处区分，8，12题难度 略有起伏，后三道大题综合性较强，但均设置多问。 需在复习时提醒学生养成良好答题习惯，鼓励学生 多拿分。
总体复习建议
1.研究《说明》，把握教材，夯实基础，提炼解题规律和方法，发展学生能 力.要对考查的章节中的知识全面复习,明确应知必会的知识、突出主干知识, 进行系统梳理,形成知识体系. 2.一定先立足基础, 确保准确理解并掌握基本概念、法则、公式、定理，并能 运用其解决有关问题, 掌握基本技能和基本方法,提高运算能力、逻辑思维能 力和空间想像能力. 3.重视数学的实际运用, 会解决一些简单的、典型的实际问题：比如在实际背 景的信息中抽丝剥茧，提炼有用信息，并选择合适的数学手段加以解决；从 实际图案中辨别数学图形和关系等。 4.重视教材,以课本为载体,对所学的知识进行归纳整理,用好课本中应知必会 的例习题,并真正落实. 做题要学会总结和反思，才能事半功倍，从而加深对 知识深层次的理解,从中领会基本的数学思想方法,提高分析问题、解决问题 的能力. 5.注重数学思想方法的渗透，领会，使用：归纳、概括与比较的思维方法， 数形结合、方程思想、分类讨论等思想方法. 6.注重解题能力的培养，强调运算的第一遍准确率。
一般来说，就不同类型的旋转问题，我们常常运用如下的解题 方法： 遇中点，旋180度，构造重点对称； 遇90度，旋90度，造垂直； 遇60度，旋60度，造等边； 遇等腰，旋顶角。 综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋 转。
A
A
D
D
C B
C B
分析：很显然，四边形ＯＢＰＡ就是我们研究的基础图形， m 2 n 2 a 2 (1), s mn (2), 2 因为点P是等腰直角三角形直角顶点，所以点Ｐ到对边ＯＡ 的距离ｈ就是与此四边形面积相等的正方形的边长。那么， a 2 4 s ( m n ) 2 0, 求出正方形面积的范围，也就是该四边形ＯＢＰＡ的面积 2 2 2 a a a 2 ,即 h , 的范围，问题就迎刃而解。四边形ＯＢＰＡ由固定的三角 0 s 4 4 2 形ＡＢＰ和动三角形ＯＡＢ构成。要求四边形ＯＢＰＡ的 a 2a 面积，需要先确定三角形ＯＡＢ的面积范围。不妨设ＯＡ h . 长度为ｍ，ＯＢ长度为ｎ， 2 2 根据已知条件，可得
1、由圆的定义出发，决定了圆的完美的对称性，从轴对称的角度，有 垂径定理；从旋转不变性，有三等量定理； 2、一个属性的三种解释角度：一条弦所对的圆周角有无数个，分为两 种度数，这两种度数互补；一条弧所对的和所含的圆周角之间的数量关 系；圆内接四边形的对角互补性质。 3、点、线、圆与圆的位置关系对照复习。 4、从整体与部分的角度推导扇形弧长和面积公式，理解而不用死记硬 背，等等。
二次根式
A 基本要求： （1）了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件； （2）理解二次根式的加、减、乘、除运算法则； B 略高要求： （1）会利用二次根式的性质进行化简； （2）能根据二次根式的性质对代数式作简单变形； （3）在特定条件下，确定字母的值； （4）会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算
初三上期中考试复习
主要内容：
关于期中考试 总体复习建议 具体复习内容 关于复习的一些想法
关于期中考试
（一）、命题指导思想
体现基础性，同时突出个性发展，使不同 的学生有不同的收获和提高. 体现考试也是学习的过程, 创设学习情境, 提供学习方法, 考查过程性目标. 体现好考试说明的指导作用以及教材的落 实和加工处理效果，落实三基，提升能力.
引入意识，培养能力， 深入理解和运用圆的性质，锻炼思维的灵活性
谢 谢！
关于一些附带知识的复习
1、尺规作图：做一条线段等于已知线段，做一 个已知角的角平分线。 2、三角形简单全等的证明
3、实际问题与数学知识相联系
正方形边长已知，直角C被三等分，求线段AB’的长度
关于复习的一些想法
“广义”辅助圆专题
第一大类：已经有圆，利用圆的性质来提供解题信息， 例如：动态最值问题
关于复习的一些想法
3、应用题（常见三大类：增长率、 面积问题、利润问题）
例6、为落实房地产调控政策，某县加快了经济适 用房的建设力度．2011年该县政府在这项建设中 已投资3亿元，预计2013年在这项建设中投资5.88 亿元，求该项投资的年平均增长率．
例7、市政府为了解决市民看病难贵的问题，决定 下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后 ，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每 次降价的百分率是多少？
“广义”辅助圆专题
第二大类：动态轨迹为圆，从而产生出圆，再根据圆 的”辅助圆专题
第三大类：直线型图形，具有某些特殊性质，可以构 造辅助圆求解。
1、可以构造辅助圆的条件： （1）若干点到同一个点的距离都相等 （2）有共同斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，利用四个 点到斜边中点的距离相等 （3）可以证明四点共圆的定理有很多，例如对角互补的四边形 四个顶点共圆；共边同侧角相等的四点共圆；相交弦定理的逆 定理；割线定理的逆定理；等等。但是这些一般都不作要求， 也不能直接使用。 2、构造辅助圆后的意图 （1）利用圆内弦之间的长度关系 （2）利用直径、半圆、直角之间的关系 （3）利用圆周角与圆心角之间的对应关系 特别是第（3）种用法，往往可以起到事半功倍的效果。
对于考察范围和内容心中有数；
有系统的进行知识梳理； 基础一定要着重落实，同时突出重点，提
升能力；
立足眼前，着眼未来。
具体复习内容
由于实际教学中二次根式和一元二次方程已经学过一段时间了，这部分 的知识又偏琐碎，计算居多。所以学生有可能遗忘的程度也比较高，手比较 生。因此，引导学生详细整理回顾相关内容，并加强基础知识的训练，是必 不可少的复习环节。
圆
A基本要求 （1）理解圆及其有关概念 . （2）知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系. （3）了解圆周角与圆心角的关系和直径所对圆周角的特征 . （4）会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论. （5）了解点与圆的位置关系 . （6）了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的 关系；会过圆上一点画圆的切线，了解切线长的概念 . （7）了解圆与圆的位置关系 B略高要求 （1）会过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决有关 问题 . （2）会用圆的对称性解释和圆有关的图形的对称性，能运用弧、弦、圆心角的关系 解决有关问题 . （3）会求圆周角的度数，能合理运用所学的圆周角的知识解决一些与角有关的问题 （4）能运用垂径定理解决有关的问题 . （5）会根据切线长知识解决简单问题 . （6）会利用点与圆的位置关系解释生活中的有关问题 . （7）会判定一条直线是否为圆的切线；利用直线和圆的位置关系解决简单问题 . （8）能利用圆与圆的位置关系解决简单的实际问题.
（三）、卷面设计 答题时间：120分钟 试卷满分：120分 全卷共25道题.其中选择题8道,填空题4道, 解答题13道（计算题，应用题，证明题等）. 易、中、难比约为5：3：2 代数、几何分值比大约为 6：4
（四）、考查范围 考察范围：二次根式，一元二次方程，圆，旋转， 附带以往学过的一些知识。
体现初三阶段性特点, 同时体现进一步向中 考过渡的特点。
（二）、考试功能定位 检测功能：检查新授课阶段教与学的状况, 及 时发现问题, 找到差距, 调整教学.
导向功能：进一步引导教学注重基础落实，进一 步体现的中考导向，发展学生能力. 激励功能：发挥考试的激励功能, 增强学生学习 信心. 评估功能：对现阶段教与学的现状作定量的评 价，为下一步教学提供依据.
注意： •对于阅读理解型的问题，学生需理解题阅读材料 中的新定义、新方法或解题思路等，并会运用题 中给出的新知识、及方法、思路等解决新问题， 培养学生获取信息、类比迁移及解决问题的能力 •能够分析新定义或方法与已经掌握的知识和方法 之间的联系和区别，从而将问题转化为用已有的 知识和方法进行解决。 •注意灵活使用运用整体代入、分类讨论等方法解 决有关问题.
较高要求 （1）能运用圆的性质解决实际问题 . （2）能综合运用几何知识解决与圆周角有关的实际问题. （3）能解决与切线等知识有关的简单的实际问题.
由于圆是刚刚学完的一个大章的内容，学生对于这部分 内容还比较熟悉，记忆也比较深刻。因此在这一章节的期中 复习中，可以与二次根式和一元二次方程的复习方式有所区 别。例如，是否可以采用根据圆的性质，重新整合部分知识 点，让学生在学完知识后，居高临下的理清知识脉络，特别 是对于我们研究的圆的本质属性，有更深入的了解，从而提 高解题的能力。
性质的熟练掌握 运算的熟练准确
一元二次方程
A 基本要求 （1）会识别一元二次方程. （2）会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数. （3）了解一元二次方程根的意义，并会检验. （4）理解配方法，经历用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法解 简单的数字系数的一元二次方程的过程，理解各种解法的依据. B 略高要求 （1）能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围. （2）会由已知方程的根求待定系数的值 . （3）会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数 的一元二次方程，会选择适当的方法解一元二次方程. （4）会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题 的实际意义，检验所得的结果是否合理.（重点掌握增长率、面积问题） （5）对一元二次方程根的判别式有初步的认识. C 较高要求 （1）能够利用判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况. （2）能由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围. （3）会用配方法对代数式作简单的变形. （4）能求解有实际背景的方程问题