高一数学基本不等式2
高一数学必修一第二章第二课基本不等式
高一数学必修一第二章第二课基本不等式摘要：一、基本不等式的概念与性质1.基本不等式的定义2.基本不等式的性质二、基本不等式的证明方法1.作差法2.替换法3.柯西-施瓦茨不等式三、基本不等式的应用1.求最值问题2.证明其他不等式四、练习与解答1.例题解析2.巩固练习正文：一、基本不等式的概念与性质在高中数学必修一第二章第二课中，我们学习了一个非常基础且重要的不等式——基本不等式。
基本不等式是指对于任意的实数a和b，都有a^2 + b^2 >= 2ab。
这个不等式在很多数学问题中都有广泛的应用，因此我们需要熟练掌握它的性质和证明方法。
二、基本不等式的证明方法1.作差法作差法是证明基本不等式最常用的方法。
具体操作如下：我们将a^2 + b^2 - 2ab分解因式，得到(a - b)^2。
因为一个数的平方一定大于等于0，所以(a - b)^2 >= 0，即a^2 + b^2 >= 2ab。
2.替换法替换法是将基本不等式中的a和b替换成其他表达式，从而简化证明过程。
常用的替换方法有柯西-施瓦茨替换和排序替换。
3.柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是基本不等式的一个推广，它是指对于任意的实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，都有(a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(b1^2 + b2^2 + ...+ bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)^2。
这个不等式在求解某些问题时，可以提供更强的工具。
三、基本不等式的应用1.求最值问题基本不等式可以用来求解一些最值问题，如求函数的最值、求解不等式的最值等。
2.证明其他不等式基本不等式是许多其他不等式的基础，如柯西不等式、排序不等式等。
通过基本不等式，我们可以证明这些不等式，从而进一步解决实际问题。
四、练习与解答1.例题解析我们来看一道例题：已知a + b = 2，求a^2 + b^2的最小值。
2.2 基本不等式(第二课时)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
解: ∵ ＞-1，∴ + >0.
当且仅当2（ + ） =
即= −
+
∴ 函数 f(x) 的最小值是 −
取“=”号.
概念讲解
例2. 若 < <
，求函数 = ( − ) 的最大值.
分析: + ( − ) 不是 常数.而 + ( − ) = 为常数
人教A版2019必修第一册
第 2 章 一元二次函数（第二课时）
教学目标
1.熟练掌握基本不等式的应用条件，能够利用基本不等式求最值.
2.掌握常见的利用基本不等式求最值的题型
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
01
温故知新
情景导入
1．基本不等式的两种常用变形形式
2
02
类型一：配凑法
概念讲解
例1. 求函数() = +
+
(x＞ -1) 的最小值.
解: ∵ ＞-1，∴ + >0.
当且仅当 + =
即=0
+
取“=”号.
∴当 =0 时， 函数 f(x) 的最小值是 1
概念讲解
练习. 求函数() = +
+
(x＞ -1) 的最小值.
解: ∵ < <
配凑系数
，∴ − > .
∴ = ( − ) =
=
当且仅当 = ( − )，即 =
时，取“=”号.
∴ = ( − ) 的最大值为
2.2基本不等式(共2课时)课件高一上学期数学人教A版
练一练
②
目
2 基本不等式的几何解释
录
02 新知2——基本不等式的几何解释
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上
一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦
DE,连接AD、BD、OD.
ab
1.何用a, b表示圆的半径OD?
OD=____2__
A
2.如何用a, b表示圆的弦CD?
解（1）由题意，得由x>0，且l－3x>0，
可得
x
的范围为
1 0<x<3l.
当且仅当 3x＝l－3x，即 x＝6l 时，等号成立， 此时 l－3x＝2l ，
因此当围成的长方形场地的长为2l ，宽为6l 时，这块长方形场地的面积最大， 这时的长为 l－3x＝2l ，最大面积为1l22.
课堂小结
1.重要不等式： 公式
所以x－2y>0，即x>2y.
例 2.(多选)下列条件可使 ba＋ab≥2成立的有（ AC）D
A.ab>0
B.ab<0
C.a>0，b>0
D.a<0，b<0
04 题型2－利用基本不等式证明
∴a1＋1 1b≤2 1 a1b，即a1＋2 1b≤ ab.
又∵a＋2 b2＝a2＋2a4b＋b2≤a2＋a2＋4 b2＋b2＝a2＋2 b2，
(a、b∈R)
使用公式:正定等
2.基本不等 式的公式
变形1
积为定值，和最小
变形2
使用公式: 一正二定三相等和为定值，积最大源自本课结束 课后要记得巩固哦!
CD=___a_b__
3.OD与CD的大小关系如何? 4.什么情况下OD与CD相等？
【课件】基本不等式(第二课时)2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第一册)
出发使用基本不等式，求得最值.
练一练
2+1
已知a>1,b>0,则
+2a的最小值为
(−1)
提示：
目标式局部：b2+1≥2b,
所以
2+1
2
+2a≥
(−1)
−1
+2(a-1)+2≥…
.
用基本不等式求最值
( )
例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的
条
件
最
值
之
最小值为
.
2
+2
+
2 (−2)2 (−1)2
=
+
+1
4 1
=(m+n)+( + )-6(以下逆代）
用基本不等式求最值
( )
七
条
件
最
值
之
等
价
变
形
1
例6.已知x>0,y>0,且
+2
+
1 1
= ，求xy的最小值.
+2 3
1
解：由等式
+2
1
3
变形得xy=x+y+8
+
1
+2
=
所以xy≥2 +8 解得xy最小值为16
( )
一
直
接
求
最
值
例1. 已知 x>0,
则y= 2
的最大值
+2+4
1
高一数学复习知识讲解课件15 基本不等式(第2课时)
2.2基本不等高一数学复习知本不等式(第2课时)
复习知识讲解课件
探究1 利用基本不等式求最值的关键条件和欲求的式子，运用适当的“拆项、基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不向；二不定，应凑出定和或定积；三不等数的单调性．
的关键是获得定值条件．解题时应对照已知、添项、配凑、变形”等方法创设使用一不正，用其相反数，改变不等号方不等，一般需用其他方法，如尝试利用函
探究2 (1)拼凑法的实质在于代数式的利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利整，做到等价变形．
②代数式的变形以拼凑出和或积的定值③拆项、添项应注意检验利用基本不等(2)常数代换法求最值的方法步骤： 常数代换法适用于求解条件最值问题为：
数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，方面的问题：
注意利用系数的变化以及等式中常数的调的定值为目标． 本不等式的前提．
问题．应用此种方法求解最值的基本步骤
①根据已知条件或其变形确定定值②把确定的定值(常数)变形为1.
③把“1”的表达式与所求最值的表达式式．
④利用基本不等式求解最值．
(3)对含有多个变量的条件最值问题，尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表只含有一个变量的最值问题．
(常数)． 表达式相乘或相除，进而构造和或积的形，若无法直接利用基本不等式求解，可变量表示另一个，再代入代数式中转化为
课
后 巩 固
自 助 餐。
基本不等式(第2课时)(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3
2 做一个体积为32 m ，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么
值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ，
下面这些结论是否正确？错误的说明理由.
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2 2.
正确
错误，因为a，b不是正数
1
1
(3)当x>1时，函数y＝x＋−1≥2
1
(4)若x∈R，则 2 ＋2＋ 2+2≥2.
高一数学必修一第二章第二课基本不等式
第一节从简到繁：基本不等式的核心概念基本不等式在高一数学必修一中是一个非常基础且重要的概念，它为我们理解和解决各类不等式问题奠定了基础。
在本节中，我们将从简到繁，逐步深入探讨基本不等式的定义、特点和应用。
1.1 基本不等式的定义基本不等式是指形如a≥b或a≤b的不等式，其中a和b是两个数。
当a≥b时，我们称a大于等于b；当a≤b时，我们称a小于等于b。
在这里，我们需要深入理解等号的含义：等号在不等式中表示两个数相等或等价。
基本不等式并不仅仅局限于大于或小于的关系，更包括了等于的情况。
1.2 基本不等式的特点基本不等式有许多特点，其中最重要的是传递性和对称性。
传递性指的是如果a≥b且b≥c，则a≥c；如果a≤b且b≤c，则a≤c。
对称性则表示如果a≥b，则-b≥-a；如果a≤b，则-b≤-a。
这些特点使得基本不等式在推导和转化过程中能够起到重要作用，也为后续的应用奠定了基础。
1.3 基本不等式的应用基本不等式在实际问题中有着广泛的应用，例如在代数、几何和概率等领域。
特别是在二元一次不等式的求解中，基本不等式的运用尤为重要。
通过将不等式转化为标准形式，我们可以利用基本不等式的特点进行简化和求解，从而解决各类实际问题。
第二节深入探讨：基本不等式的转化和应用2.1 基本不等式的转化在实际问题中，我们经常会遇到需要将不等式进行转化或简化的情况。
在这里，我们可以运用基本不等式的传递性和对称性进行变形，并通过加减乘除等运算来实现不等式的转化。
通过加减同一个数或式子，我们可以将不等式的左右两边进行平移或合并；通过乘除正数或负数，我们可以改变不等式的方向或大小。
这些转化方法为我们解决实际问题提供了有力的工具。
2.2 基本不等式在二元一次不等式中的应用二元一次不等式是指形如ax+by≤c的不等式，其中a、b和c为已知数，x和y为未知数。
在实际问题中，通过运用基本不等式的转化和特点，我们可以将二元一次不等式转化为标准形式，并利用基本不等式进行求解。
基本不等式(第二课时)课件 高一上学期数学 必修第一册
索 引
4.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是__2__1_0___.
解析 a＋b≥2 ab＝2 10，当且仅当 a＝b＝ 10时等号成立.
索 引
5.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是__5_0_____.
解析 由m2＋n2≥2mn， ∴mn≤m2＋2 n2＝50. 当且仅当 m＝n＝±5 2时等号成立.
索 引
1、x>0，y>0，xy=16，求 x+2y 的最小值，
并说明此时x，y的值。
解： x 0, y 0 x 2 y 2 2xy 2 32 8 2
一正 二定
当且仅当 xxy21y6
x y
4 2
2时，等号成立 2
三相等
x 2y min 8 2
索
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
引
2、x>0，y>0，2x+3y=2，求 xy 的最大值，
索 引
例题分析：
例2: 某工厂要建造一个长方 体无盖贮水池 ,其容积
为4800m3 , 深为3m, 如果池底每1m2的造价为150元,
池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池能使总 造价最低, 最低总造价是多少?
解: 设矩形长为x m，宽为y m 总造价为W 元
4800 3xy
xy 1600
(1)当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，
和 定 积
xy有最大值___1_S__2 _；
4
最 大
(2)当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， ，
x+y有最小值__2___P__。
积 定
用最值定理求最值的三个条件:
和
①各项皆为正数；
2.2 基本不等式(重难点突破)解析版 2023-2024学年高一数学重难点突破
2.2 基本不等式【基本不等式(或)均值不等式】知识点一：基本不等式1.对公式222a b ab +≥及2a b+≥的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”.2a b+≤的证明方法一：几何面积法如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形.方法二：代数法∵2222()0a b ab a b +-=-≥，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()0a b -=.所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.2a b+≤的几何意义如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =，BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2a b +，它大于或等于CD ，即2a b+≥其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.知识点诠释：在数学中，我们称2a b+为,a b 的算术平均数，称,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2a b+≤求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.【基本不等式的变形与拓展】1．(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+；(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）．2．(1)若00a ,b >>,则ab ba ≥+2；(2)若00a ,b >>,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）；(3)若00a ,b >>,则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）．3．若0x >,则12x x +≥（当且仅当1x =时取“=”）；若0x <,则12x x+≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠,则12x x+≥,即12x x +≥或12x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）．4．若0>ab ,则2≥+ab b a （当且仅当b a =时取“=”）；若0ab ≠,则2a b b a +≥,即2a b b a +≥或2a bb a +≤-（当且仅当b a =时取“=”）．5．一个重要的不等式链：2112a b a b+≤≤≤+．6．函数()()0,0bf x ax a b x=+>>图象及性质(1)函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如右图所示：(2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质：①值域：(),⎡-∞-+∞⎣；②单调递增区间：,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调递减区间：0,,0⎛⎡⎫- ⎪⎢ ⎪⎝⎣⎭．7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．重难点突破(一) 基本不等式的简单应用重难点突破(二) 利用基本不等式求最值例2.（1）、（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）函数()4111y x x x =++>-+的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】利用基本不等式直接求解即可【详解】因为1x >-，所以10x +>，所以4141y x x =++≥=+，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号，所以()4111y x x x =++>-+的最小值为4，故答案为：4【变式训练2-2】．（2023·山东烟台·统考三模）（多选题）已知0,0a b >>且42a b +=，则（ ）【变式训练3-1】、（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x ，y 满足111x y +=，则4x y +最小值为______．【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.【详解】正数x ，y 满足：111x y+=，∴()11444559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即2x y =，233x y ==，时 “=”成立，故答案为：9.重难点突破(四) 不等式的证明技巧与综合处理技巧重难点突破(五) 均值不等式在实际问题中的应用【答案】()800f x ⎛=⨯ ⎝价为36000元．重难点突破(六) 挑战满分（压轴题）【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质的应用，同时考查转化思想和计算能力．。
高一数学2.2基本不等式笔记
高一数学2.2基本不等式笔记一、基本不等式的内容。
1. 定义。
- 对于任意实数a,b，有a^2+b^2≥slant2ab，当且仅当a = b时，等号成立。
- 证明：(a - b)^2=a^2-2ab + b^2≥slant0，移项可得a^2+b^2≥slant2ab。
2. 基本不等式√(ab)≤slant(a + b)/(2)(a>0,b>0)- 当且仅当a = b时，等号成立。
- 证明：- 因为(√(a)-√(b))^2=a - 2√(ab)+b≥slant0（a>0,b>0）。
- 移项可得a + b≥slant2√(ab)，即√(ab)≤slant(a + b)/(2)。
二、基本不等式的几何解释。
1. 对于a^2+b^2≥slant2ab- 设直角三角形的两条直角边为a和b，则斜边为√(a^2)+b^{2}。
- 根据直角三角形的面积，S=(1)/(2)ab，同时S≤slant(1)/(2)×frac{a^2+b^2}{2}（当且仅当a = b时取等号），这就从几何角度解释了a^2+b^2≥slant2ab。
2. 对于√(ab)≤slant(a + b)/(2)(a>0,b>0)- 设a，b为正数，以a + b为长的线段AB，点C将AB分成AC=a，CB = b。
- 以AB为直径作半圆，过点C作CD⊥ AB交半圆于点D，则CD=√(ab)，半径r=(a + b)/(2)。
- 由图形可知CD≤slant r，即√(ab)≤slant(a + b)/(2)，当且仅当a = b时，C为AB中点，等号成立。
三、基本不等式的应用。
1. 求最值。
- 已知x>0,y>0，若xy = P（定值），则x + y≥slant2√(xy)=2√(P)，当且仅当x = y=√(P)时，x + y取得最小值2√(P)。
- 若x + y = S（定值），则xy≤slant((x + y)/(2))^2=frac{S^2}{4}，当且仅当x = y=(S)/(2)时，xy取得最大值frac{S^2}{4}。
高一【数学(人教A版)】基本不等式(2)-练习题
【参考答案】
1．（1）当这两个正数均为6时，它们的和最小；
（2）当这两个正数均为9时，它们的积最大．
2．当矩形与墙垂直的边长为7.5m，其邻边长为15m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．
3．当房屋底面与墙垂直的边长为6m，其邻边长为8m时，房屋的总造价最低，最低总造价是63400元．
课程基本信息
课例编号
2020QJ10SXRA011
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
基本不等式（2）
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册
出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
课Байду номын сангаас练习
1．（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
2．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
3．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
第2课时 基本不等式的实际应用 高一数学
已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利
用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为
y(单位:元).
(1)将总费用y用旧墙长度x表示出来;
(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求
出最小总费用.
· =9,
当且仅当 = ,即 y=2x 时,等号成立.
故(x+y) + 的最小值为 9.
防范措施
1.在运用基本不等式时,要特别注意等号成立的条件,尤其多
次使用基本不等式时,等号成立的条件必须相同,否则会造成
错误.
2.尽量对式子进行化简、变形,利用一次基本不等式求最值.
的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+
=-
当且仅当
- +
+3≤-2+3=1,
-
5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.
(2)∵0<x<,∴1-2x>0,
+-
x=y= 时,取等号.
=
=
,
答案:(1)2
(2)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
2.2基本不等式课件高一上学期数学人教A版2
拓展-基本不等式的灵活运用
拓展-基本不等式的灵活运用
解析 正数x，y满足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
则x＋4 2＋y＋1 1＝14[(x＋2)＋(y＋1)]x＋4 2＋y＋1 1
＝145＋xy＋ ＋21＋4（xy＋＋21）≥145＋2 xy＋ ＋21·4（xy＋＋21）＝14×(5＋4)＝94，
当且仅当 x＝2y＝23时，取得最小值94.
拓展-基本不等式的灵活运用
变式 (1)已知 2a＋b＝1，a>0，b>0，则1a＋1b的最小值是( )
A.2 2
B.3－2 2
C.3＋2 2
D.3＋ 2
(2)已知 a，b，c 都是正数，且 a＋2b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值是( )
A.3＋2 2
B.3－2 2
C.6－4 2
D.6＋4 2
基本不等式
基本不等式（均值不等式）:
a b ab （a 0,b 0） 2
算术 平均值
几何 平均值
（当且仅当a=b时，等号成立）
基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
基本不等式的证明
分析法
基本不等式的证明
思考：我们是否还可以用其他方法证明基本不等式？
证明：a b a（b a 0,b 0）（当且仅当a=b时，等号成立）
(3)解 ∵0<x<m，∴x>0，m－x>0.∴x(m－x)≤x＋m2 －x2＝m42. 当且仅当 x＝m－x 时，即 x＝m2 时，x(m－x)(0<x<m)取最大值m42.
高一数学2.2基本不等式
x 1
x 1
当且即仅当x 1 1 ,即(x 1)2 1, x 2时，等号成立， x 1
因此所求的最小值为3.
2.变式: (2). 若 0 x 1 , 求 x(1-2x) 的最大值. 2
分析: 2x+(1-2x) 不=1是为 常数.
解 :因0 x 1 ,所以1-2x 0,
2 所以x(1-2x)
A
D
矩形花园的面积为x(24－2x) m2 x
令y x(24 2x)
B
C
则y 24x 2x2 2(x 6)2 72 (0 x 12)
当x=6时，函数y取得最小值为72
因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2
5. 变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边
5.重要不等式与基本不等式的比较
适用范围
a2 b2≥2ab
a,b∈R
a b≥ ab 2
a>0,b>0
文字叙述
两数的平方和不 两个正数的算术平均数 小于它们积的2倍 不小于它们的几何平均数
“=”成立条件
a=b
a=b
注意：从不同角度认识基本不等式
三、巩固新知
1.例1 若x＞ 0ห้องสมุดไป่ตู้求 x 1 的最小值. x
xy ≤ 81 即x=y=9
因菜此x园y，面≤这积x个最2矩大y形，的最S2长大 、面宽积x都y是≤为81149mmS2时2 ，
5. 变式:如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠
墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
解：设AB=x ，BC=24－2x ，
菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积
高一数学基本不等式2
睛，两边是怪异的淡白色粉丝耳朵，鼻子下面是威猛的蓝宝石色电闸一样的嘴唇，说话时露出笨拙的紫玫瑰色树皮般的牙齿，一条奇特的浅灰色扫帚一般的舌头确实非
常猜疑和超脱。他极似天蓝色肥肠似的身材的确绝对的猛爆却又透着一丝霸气，高大的暗灰色细小菱角般的胡须好像绝无仅有的绝妙和威猛。那一双精悍的青兰花色面
条样的眉毛，真的有些时尚但又有些标准。再看Ｐ．妥奥姆斯政委的身形，他有着瘦瘦的极似弯刀造型的肩膀，肩膀下面是结实的极似香肠造型的手臂，他怪异的水白
傲的蓝宝石色丸子造型的神态感觉空前粗野却又透着一丝标新立异。…………那个身穿多变的流峰袄的副ｌ官是
女议长Ｕ．赫泰娆嘉妖女。她出生在Ｊ．荷赤
可星国的纽扣草原，绰号：银拳警棍！年龄看上去大约十四五岁，但实际年龄足有五六千岁，身高两米八左右，体重约六百公斤。此人最善使用的兵器是『红火跳神花
卷锤』，有一身奇特的武功『银光杖妖鸟巢头』，看家的魔法是『白金瀑祖折扇理论』，另外身上还带着一件奇异的法宝『粉烟秋妖贝壳石』。她有着浮动的深灰色橘
高一数学必修5第三章《不等式》 3.4 基本不等式 第2课时
复习巩固
利用
求最值的要点:
（1）最值存在的条件的: 一正, 二定,三相等.
（2）积一定, 和有最小值
（3）和一定, 积有最大值
典例讲评
例. 若x>0,y>0,且
,求xy的最小值.
典例讲评
例2.（1）用篱笆围成一个面积为100m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少
子模样的身材
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典例讲评
例3. 某工厂要建造一个长方形无盖 蓄水池, 其容积为4800 m3, 深为 3m， 如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元, 怎样 设计水池能使总造价最低? 最低总 造价是多少?
沪教版 高一数学《基本不等式第二课时 和积定理》课件
例题与练习二
已知ab 0,求 b a 的最小值,并指出等何时取到最值。 ab
变式1：已知ab 0,求 b a 的最值,并指出取得最值的条件。 ab
5
例题与练习一
1)若x>0,f(x)= 12 3x的最小值为_______;此时x=_______. x
变式1：若x<0,f(x)=12 3x 的最大值为_______;此时x=_______. x
变式2：若x>0,f(x)= y x2 x 1的最大值为_______;此时 x
x=_______.
例题与练习三
x+1 1 (x>-1)的最小值为______,此时x=______. x 1
变式1： x+ 1 (x >-1)的最小值为______,此时x=______. x 1
变式2: 2x 5 1 (x 1)的最值是？并说明取得最值时x的值。 x+1
故结果错。
换1法
例题与练习五
已知正数x、y满足2x+y=1，求
11 xy
的最小值
变式1：已知x 0, y 0 ，2 5 1 ,求x+y的最小值。 xy
变式2：已知正数x、y满足2x+y=2，求
1 x
1 y
的最小值
变式3：已知x 0, y 0 ，x 3y xy ,求x+y的最小值。
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如果说我比别人看得更远些,那是因为我站 在了巨人的肩上. ——牛顿
和积定理( a , b都是正数
基本不等式2：若a 0,b
):0,那么a
b
ab
(1)若积ab是定值P,则当且仅当_a___b2时,和a b有最
__小__ 值 _2__P_;
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那年在这小院结束了单身生活，与爱妻喜结连理。我觉得这是门前竹带来的桃花运，李老先生说，这门前竹也是凤凰竹，是有凤凰相伴的竹子。凤凰是美丽的爱情象征，是门前竹成就了我们这对凤 凰眷侣。一年后，在这里我们又有了爱情的结晶，女儿在这里出生。门竹吉星高照，已经预示着女儿将来的富贵吉祥了。
二
那时还是单身，工作之余回到空巢小院，与我相伴的只有这刚落户的门前竹了。小院不大，除去一间小厨房，只有不到二十见方了。空闲时间，院内摆一钢木小圆桌，捧一本书来读最是悠闲惬意了， 看见青绿的竹子心里便觉清凉和爽心，读书累了，起身活动一下筋骨，给竹子浇点水，蹲下来抚弄赏玩田田的叶片，亲近感油然而生。真是翠竹相伴好读书，一枝一叶总关情。天游8娱乐注册
我知道，门前竹为什么叫蓬莱竹了，蓬莱是神仙之地，竹子当然是神仙把玩的心爱之物了。莫非我这“天光云影”的“半亩方塘”也有神仙之气？是的，单身生活的自由自在，无拘无束，不正是有 着神仙般的逍遥浪漫么？美酒佳肴酌一杯，醉意朦胧中，仿佛是“西窗下，风摇翠竹，疑是故人来”。
不到两年的功夫，门前竹已是“儿女满堂”了，从刚开始的两株，变为门前的蓬松一片了，小小的院落，已是满眼的葱绿了。门前两片竹仿佛是一对恩爱夫妻，微风吹过，频频挠首弄姿，很是可爱。