高一数学基本不等式2
高一数学必修一第二章第二课基本不等式
高一数学必修一第二章第二课基本不等式摘要：一、基本不等式的概念与性质1.基本不等式的定义2.基本不等式的性质二、基本不等式的证明方法1.作差法2.替换法3.柯西-施瓦茨不等式三、基本不等式的应用1.求最值问题2.证明其他不等式四、练习与解答1.例题解析2.巩固练习正文：一、基本不等式的概念与性质在高中数学必修一第二章第二课中，我们学习了一个非常基础且重要的不等式——基本不等式。
基本不等式是指对于任意的实数a和b，都有a^2 + b^2 >= 2ab。
这个不等式在很多数学问题中都有广泛的应用，因此我们需要熟练掌握它的性质和证明方法。
二、基本不等式的证明方法1.作差法作差法是证明基本不等式最常用的方法。
具体操作如下：我们将a^2 + b^2 - 2ab分解因式，得到(a - b)^2。
因为一个数的平方一定大于等于0，所以(a - b)^2 >= 0，即a^2 + b^2 >= 2ab。
2.替换法替换法是将基本不等式中的a和b替换成其他表达式，从而简化证明过程。
常用的替换方法有柯西-施瓦茨替换和排序替换。
3.柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是基本不等式的一个推广，它是指对于任意的实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，都有(a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(b1^2 + b2^2 + ...+ bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)^2。
这个不等式在求解某些问题时，可以提供更强的工具。
三、基本不等式的应用1.求最值问题基本不等式可以用来求解一些最值问题，如求函数的最值、求解不等式的最值等。
2.证明其他不等式基本不等式是许多其他不等式的基础，如柯西不等式、排序不等式等。
通过基本不等式，我们可以证明这些不等式，从而进一步解决实际问题。
四、练习与解答1.例题解析我们来看一道例题：已知a + b = 2，求a^2 + b^2的最小值。
2.2 基本不等式(第二课时)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
解: ∵ ＞-1，∴ + >0.
当且仅当2（ + ） =
即= −
+
∴ 函数 f(x) 的最小值是 −
取“=”号.
概念讲解
例2. 若 < <
，求函数 = ( − ) 的最大值.
分析: + ( − ) 不是 常数.而 + ( − ) = 为常数
人教A版2019必修第一册
第 2 章 一元二次函数（第二课时）
教学目标
1.熟练掌握基本不等式的应用条件，能够利用基本不等式求最值.
2.掌握常见的利用基本不等式求最值的题型
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
01
温故知新
情景导入
1．基本不等式的两种常用变形形式
2
02
类型一：配凑法
概念讲解
例1. 求函数() = +
+
(x＞ -1) 的最小值.
解: ∵ ＞-1，∴ + >0.
当且仅当 + =
即=0
+
取“=”号.
∴当 =0 时， 函数 f(x) 的最小值是 1
概念讲解
练习. 求函数() = +
+
(x＞ -1) 的最小值.
解: ∵ < <
配凑系数
，∴ − > .
∴ = ( − ) =
=
当且仅当 = ( − )，即 =
时，取“=”号.
∴ = ( − ) 的最大值为
2.2基本不等式(共2课时)课件高一上学期数学人教A版
练一练
②
目
2 基本不等式的几何解释
录
02 新知2——基本不等式的几何解释
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上
一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦
DE,连接AD、BD、OD.
ab
1.何用a, b表示圆的半径OD?
OD=____2__
A
2.如何用a, b表示圆的弦CD?
解（1）由题意，得由x>0，且l－3x>0，
可得
x
的范围为
1 0<x<3l.
当且仅当 3x＝l－3x，即 x＝6l 时，等号成立， 此时 l－3x＝2l ，
因此当围成的长方形场地的长为2l ，宽为6l 时，这块长方形场地的面积最大， 这时的长为 l－3x＝2l ，最大面积为1l22.
课堂小结
1.重要不等式： 公式
所以x－2y>0，即x>2y.
例 2.(多选)下列条件可使 ba＋ab≥2成立的有（ AC）D
A.ab>0
B.ab<0
C.a>0，b>0
D.a<0，b<0
04 题型2－利用基本不等式证明
∴a1＋1 1b≤2 1 a1b，即a1＋2 1b≤ ab.
又∵a＋2 b2＝a2＋2a4b＋b2≤a2＋a2＋4 b2＋b2＝a2＋2 b2，
(a、b∈R)
使用公式:正定等
2.基本不等 式的公式
变形1
积为定值，和最小
变形2
使用公式: 一正二定三相等和为定值，积最大源自本课结束 课后要记得巩固哦!
CD=___a_b__
3.OD与CD的大小关系如何? 4.什么情况下OD与CD相等？
【课件】基本不等式(第二课时)2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第一册)
出发使用基本不等式，求得最值.
练一练
2+1
已知a>1,b>0,则
+2a的最小值为
(−1)
提示：
目标式局部：b2+1≥2b,
所以
2+1
2
+2a≥
(−1)
−1
+2(a-1)+2≥…
.
用基本不等式求最值
( )
例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的
条
件
最
值
之
最小值为
.
2
+2
+
2 (−2)2 (−1)2
=
+
+1
4 1
=(m+n)+( + )-6(以下逆代）
用基本不等式求最值
( )
七
条
件
最
值
之
等
价
变
形
1
例6.已知x>0,y>0,且
+2
+
1 1
= ，求xy的最小值.
+2 3
1
解：由等式
+2
1
3
变形得xy=x+y+8
+
1
+2
=
所以xy≥2 +8 解得xy最小值为16
( )
一
直
接
求
最
值
例1. 已知 x>0,
则y= 2
的最大值
+2+4
1
高一数学复习知识讲解课件15 基本不等式(第2课时)
2.2基本不等高一数学复习知本不等式(第2课时)
复习知识讲解课件
探究1 利用基本不等式求最值的关键条件和欲求的式子，运用适当的“拆项、基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不向；二不定，应凑出定和或定积；三不等数的单调性．
的关键是获得定值条件．解题时应对照已知、添项、配凑、变形”等方法创设使用一不正，用其相反数，改变不等号方不等，一般需用其他方法，如尝试利用函
探究2 (1)拼凑法的实质在于代数式的利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利整，做到等价变形．
②代数式的变形以拼凑出和或积的定值③拆项、添项应注意检验利用基本不等(2)常数代换法求最值的方法步骤： 常数代换法适用于求解条件最值问题为：
数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，方面的问题：
注意利用系数的变化以及等式中常数的调的定值为目标． 本不等式的前提．
问题．应用此种方法求解最值的基本步骤
①根据已知条件或其变形确定定值②把确定的定值(常数)变形为1.
③把“1”的表达式与所求最值的表达式式．
④利用基本不等式求解最值．
(3)对含有多个变量的条件最值问题，尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表只含有一个变量的最值问题．
(常数)． 表达式相乘或相除，进而构造和或积的形，若无法直接利用基本不等式求解，可变量表示另一个，再代入代数式中转化为
课
后 巩 固
自 助 餐。
基本不等式(第2课时)(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3
2 做一个体积为32 m ，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么
值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ，
下面这些结论是否正确？错误的说明理由.
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2 2.
正确
错误，因为a，b不是正数
1
1
(3)当x>1时，函数y＝x＋−1≥2
1
(4)若x∈R，则 2 ＋2＋ 2+2≥2.
高一数学必修一第二章第二课基本不等式
第一节从简到繁：基本不等式的核心概念基本不等式在高一数学必修一中是一个非常基础且重要的概念，它为我们理解和解决各类不等式问题奠定了基础。
在本节中，我们将从简到繁，逐步深入探讨基本不等式的定义、特点和应用。
1.1 基本不等式的定义基本不等式是指形如a≥b或a≤b的不等式，其中a和b是两个数。
当a≥b时，我们称a大于等于b；当a≤b时，我们称a小于等于b。
在这里，我们需要深入理解等号的含义：等号在不等式中表示两个数相等或等价。
基本不等式并不仅仅局限于大于或小于的关系，更包括了等于的情况。
1.2 基本不等式的特点基本不等式有许多特点，其中最重要的是传递性和对称性。
传递性指的是如果a≥b且b≥c，则a≥c；如果a≤b且b≤c，则a≤c。
对称性则表示如果a≥b，则-b≥-a；如果a≤b，则-b≤-a。
这些特点使得基本不等式在推导和转化过程中能够起到重要作用，也为后续的应用奠定了基础。
1.3 基本不等式的应用基本不等式在实际问题中有着广泛的应用，例如在代数、几何和概率等领域。
特别是在二元一次不等式的求解中，基本不等式的运用尤为重要。
通过将不等式转化为标准形式，我们可以利用基本不等式的特点进行简化和求解，从而解决各类实际问题。
第二节深入探讨：基本不等式的转化和应用2.1 基本不等式的转化在实际问题中，我们经常会遇到需要将不等式进行转化或简化的情况。
在这里，我们可以运用基本不等式的传递性和对称性进行变形，并通过加减乘除等运算来实现不等式的转化。
通过加减同一个数或式子，我们可以将不等式的左右两边进行平移或合并；通过乘除正数或负数，我们可以改变不等式的方向或大小。
这些转化方法为我们解决实际问题提供了有力的工具。
2.2 基本不等式在二元一次不等式中的应用二元一次不等式是指形如ax+by≤c的不等式，其中a、b和c为已知数，x和y为未知数。
在实际问题中，通过运用基本不等式的转化和特点，我们可以将二元一次不等式转化为标准形式，并利用基本不等式进行求解。
基本不等式(第二课时)课件 高一上学期数学 必修第一册
索 引
4.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是__2__1_0___.
解析 a＋b≥2 ab＝2 10，当且仅当 a＝b＝ 10时等号成立.
索 引
5.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是__5_0_____.
解析 由m2＋n2≥2mn， ∴mn≤m2＋2 n2＝50. 当且仅当 m＝n＝±5 2时等号成立.
索 引
1、x>0，y>0，xy=16，求 x+2y 的最小值，
并说明此时x，y的值。
解： x 0, y 0 x 2 y 2 2xy 2 32 8 2
一正 二定
当且仅当 xxy21y6
x y
4 2
2时，等号成立 2
三相等
x 2y min 8 2
索
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
引
2、x>0，y>0，2x+3y=2，求 xy 的最大值，
索 引
例题分析：
例2: 某工厂要建造一个长方 体无盖贮水池 ,其容积
为4800m3 , 深为3m, 如果池底每1m2的造价为150元,
池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池能使总 造价最低, 最低总造价是多少?
解: 设矩形长为x m，宽为y m 总造价为W 元
4800 3xy
xy 1600
(1)当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，
和 定 积
xy有最大值___1_S__2 _；
4
最 大
(2)当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， ，
x+y有最小值__2___P__。
积 定
用最值定理求最值的三个条件:
和
①各项皆为正数；
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那年在这小院结束了单身生活，与爱妻喜结连理。我觉得这是门前竹带来的桃花运，李老先生说，这门前竹也是凤凰竹，是有凤凰相伴的竹子。凤凰是美丽的爱情象征，是门前竹成就了我们这对凤 凰眷侣。一年后，在这里我们又有了爱情的结晶，女儿在这里出生。门竹吉星高照，已经预示着女儿将来的富贵吉祥了。
二
那时还是单身，工作之余回到空巢小院，与我相伴的只有这刚落户的门前竹了。小院不大，除去一间小厨房，只有不到二十见方了。空闲时间，院内摆一钢木小圆桌，捧一本书来读最是悠闲惬意了， 看见青绿的竹子心里便觉清凉和爽心，读书累了，起身活动一下筋骨，给竹子浇点水，蹲下来抚弄赏玩田田的叶片，亲近感油然而生。真是翠竹相伴好读书，一枝一叶总关情。天游8娱乐注册
我知道，门前竹为什么叫蓬莱竹了，蓬莱是神仙之地，竹子当然是神仙把玩的心爱之物了。莫非我这“天光云影”的“半亩方塘”也有神仙之气？是的，单身生活的自由自在，无拘无束，不正是有 着神仙般的逍遥浪漫么？美酒佳肴酌一杯，醉意朦胧中，仿佛是“西窗下，风摇翠竹，疑是故人来”。
不到两年的功夫，门前竹已是“儿女满堂”了，从刚开始的两株，变为门前的蓬松一片了，小小的院落，已是满眼的葱绿了。门前两片竹仿佛是一对恩爱夫妻，微风吹过，频频挠首弄姿，很是可爱。