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八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质同步练习 (新版)新人教版

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人教版八年级上数学12.3《角平分线的性质》同步练习(有答案)

人教版八年级上数学12.3《角平分线的性质》同步练习(有答案)

八年级上数学12.3 《角均分线的性质》同步练习一、选择题：1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的均分线．若AB=6，则点D到AB的距离是 ______．2、如图，△ ABC中，∠ C=90°， AC=BC， AB=a（ a>0），∠ CAB的均分线交BC于点 D， DE⊥AB 垂足为 E，则△ DEB的周长等于 ( )A. aB. 1.5aC. 2aD. 1.2a3、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的均分线BD交 AC于点 D，AD=3，BC=10，则△ BDC 的面积是 ( )A. 13B. 12C. 24D. 154、如下图，OP均分∠ AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A.PC＞ PDB.PC=PDC.PC ＜ PDD. 不可以确立5、如图，BD均分∠ABC， DE⊥ AB 于E， DF⊥ BC于F， AB=6， BC=8.若S△ABC=28，则 DE=( )A. 3B. 3.6C. 4D. 56、如图，在△中，∠=50°，∠=60°，点E 在的延伸线上，∠的均分线ABC ABC ACB BC ABC 与∠的均分线订交于点，连结，以下结论中不正确的选项是（）BD ACE CD D ADA. ∠ BAC=70°B. ∠D OC=90°C. ∠ BDG=35°D. ∠D AC=55°7、如图 , 已知 DB⊥AE 于点 B,DC⊥AF 于点 C,且 DB=DC,∠BAC=40°, ∠ADG=130°, 则∠ DGF如图 , 已知 DB⊥AE 于点 B,DC⊥AF 于点 C, 且 DB=DC,∠BAC=40°, ∠ADG=130°, 则∠ DGF 的角度为（）A. 15 0°B.130°C. 120°D. 160°8、如下图，已知△ABC的周长是21， BO， CO分别均分∠ ABC和∠ ACB，OD⊥ BC于 D，且()OD=3，则△ABC的面积是A. 31.5B. 30C. 12D. 16.59、如图, 在△ ABC中, ∠ABC=50°, ∠ACB=60°, 点 E 在BC的延伸线上 , ∠ABC 的均分BD与线∠ACE的均分线CD订交于点D, 连结 AD,以下结论中不正确的选项是()A. ∠BAC=70°B. ∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°10、如下图，在△ABC中， AB=AC，∠ ABC、∠ ACB的均分线BD，CE订交于点O，且 BD交AC于点 D，CE交 AB于点 E. 某同学剖析图形后得出以下结论：①△ BCD≌△ CBE；②△ BAD≌△ BCD；③△ BDA≌△ CEA；④△ BOE≌△ COD；⑤△ ACE≌△ BCE.()此中必定正确的选项是A. ①②③B. ②③④C. ①③⑤D. ①③④二、填空题：11 、在△ABC 中 ,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是.12、如图， AD是△ ABC的角均分线， DF⊥ AB，垂足为F， DE=DG，△ ADG和△ AED的面积分别为 50 和 39，则△ EDF的面积为.13、如图，在△ABC中，∠ A=90°， BD均分∠ ABC， AD=2cm， AB+BC=8， S△ABC=。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (12)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (12)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOE 的度数等于（）A．145°B．135°C．35°D．120°【答案】A【解析】因为OA平分∠EOC,∠EOC=70°,所以∠EOA=70°÷2=35°,所以∠BOE=180°－35°=145°,故选A.12．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有( )①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】试题解析：AD不一定平分∠BAF，①错误；AF不一定平分∠DAC，②错误；∵∵1=∵2，∵AE平分∠DAF，③正确；∵∵1=∵2，∵3=∵4，∵∵1+∵3=∵2+∵4，即∠BAE=∵CAE，∵AE平分∠BAC，④正确；故选C．13．如图，△ABC中，∠C=90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE=DB，下列结论：①∠DEA＋∠B=180°；②∠CDE=∠CAB；③AC=1(AB2S四边形ABDE，其中正确的结论个数为( )＋AE)；④S△ADC=12A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】在AB上截取AF＝AE，交AB于点F，如图所示：∵AD是∠CAB的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD,在△AED和△AFD中，()AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝公共边， ∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴∠DEA ＝∠DFA ，DF ＝DE ，又∵DE =DB ，∴DF ＝DB ，∴∠DFB ＝∠B ，又∵∠DFA+∠DFB ＝180o ，∠DEA ＝∠DFA ，∴∠DEA ＋∠B =180°(等量代换),又∵∠CED+∠AED ＝180o ,∴∠CED=∠B,又∵∠C+∠CED+∠CDE ＝180o ，∠C+∠CAB+∠B ＝180o ，∴∠CDE ＝∠CAB ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，如图所示：∵DG ＝DB （已证），∴DG 是BF 的垂直平分线，∴FG ＝BG ，∵AD 是是∠CAB 的角平分线，∠C =90°，DG ⊥AB ，∴DC ＝DG ，在△ADC 和△AGD 中90oC AGD CAD GAD AD AD ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△AGD （AAS ），∴AC ＝AG ，又∵AC ＝AE+CE ，AG ＝AF+FG ，∴AE+CE ＝AF+FG ，又∵AE ＝AF ，∴CE ＝FG ，又∵FG ＝BG ，∴CE ＝BG ，∴AC ＝AE+BG ，又∵AB+AE ＝AG+BG+AE ，AG ＝AC ，∴AB+AE ＝AC+AC ＝2AC ，即AC =12(AB ＋AE )， ∵S 四边形ABDE ＝S △ABD +S △AED ＝11··22AB DG AE DC +， ∴S 四边形ABDE 11·()2?22DG AB AE DC AC DC AC =+=⨯⨯=， 又∵S △ADC ＝1•2AC DC ， ∴S △ADC =12S 四边形ABDE . 故①②③④都正确，共计4个正确.故选A.【点睛】主要运用了角平分线到角两边的距离相等，类似题型：有角平分线和角平分线上的点到一边的垂线段，做辅助线的常用方法是过这个点作另一边的垂线段，解决本题关键是作辅助线.14．如图,∠MON为锐角.下列说法:①∠MOP=12∠MON;②∠MOP=∠NOP=12∠MON;③∠MOP=∠NOP;④∠MON=∠MOP+∠NOP.其中,能说明射线OP 一定为∠MON的平分线的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的角平分线,当OP在∠MON外部时不成立,故①错误,∠MOP=∠NOP=12∠MON,则OP在∠MON内部,且平分角,故②正确,当∠MOP,∠NOP为钝角(OP是角平分线的反向延长线)时不成立,故③错误,OP可以是∠MON内的任意射线,无法证明∠MOP=∠NOP,故④错误,综上,只有②正确,故选A.15．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D向AB，AC两边作垂线，垂足分别为E，F，那么下列结论中不一定正确的是( )A ．BD ＝CDB ．DE ＝DFC ．AE ＝AFD ．∠ADE ＝∠ADF 【答案】A【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF ，然后利用“HL ”证明Rt △ADE 和Rt △ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF ，∠ADE=∠ADF ．【详解】解：如图，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF ，在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，AD AD DE DF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ），∴AE=AF ，∠ADE=∠ADF ，即只有AB=AC 时，BD=CD ．综上所述，结论错误的是BD=CD ．故选A ．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．16．观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等．其中逆命题为假命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题为：等腰三角形是两边相等的三角形，此命题是真命题；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题为：角平分线上的点到角的两边的距离相等，此命题为真命题；③直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形为直角三角形，此命题为真命题；④全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，此命题为假命题。

新人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质(第1课时)课时同步习题(含答案)

新人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质(第1课时)课时同步习题(含答案)

12.3 角的平分线的性质一、选择题1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA2. 如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO＝∠EPOD 、PD ＝OD 3. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm4. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A. 4㎝B. 6㎝C. 10㎝D. 不能确定 21D A PO EB第2题图 第3题图 第4题图 5.如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A.PA PB = B.PO 平分APB ∠ C.OA OB = D.AB 垂直平分OP6.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥A B 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）第5题图 第6题图 第7题图7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ）DCA EBF E O D C ABA 、11B 、5.5C 、7D 、3.5 8.已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o ，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB 、AC 和BC 的距离分别等于（ ） （A ）2cm 、2cm 、2cm ． （B ）3cm 、3cm 、3cm ．（C ）4cm 、4cm 、4cm ． （D ）2cm 、3cm 、5cm ．二、填空题 9．如图，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .10．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．11 .如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为 ．第9题图 第10题图 第11题图12.如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 ．第12题图 第13题图 第15题图13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若BC=10，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD ：CD=3：2，则点D 到线段AB 的距离为 ．14.已知△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5，AC=3，且S △ADC =6，则S △ABD = ．15.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，连接EF ，则EF 与AD 的关系是 ．16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P 是△ABC 的内角平分线的交点，已知P 点到AB 边的距离为1，△ABC 的周长为10，则△ABC 的面积为 ．17.如图，AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，作PE ⊥AB 于点E ．若PE=2，则两平行线AD 与BC 间的距离为 ．第16题图 第17题图 第18题图18. 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO = ．三、解答题19．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C. 20. 如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB 的平分线OCP 上，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F21.如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB 的度数；（2）若CN ⊥AM ，垂足为N ，求证：△ACN ≌△MCN ．22. 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，若∠A=90°，那么BC 、B A 、AE 三者之间有何关系？并加以证明．23. 如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥A G交AC的延长线于G．求证：BF=CG．12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质一、选择题1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空题9.PC=PD（答案不唯一）10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 1015. AD垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6三、解答题19．证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C．理由是：过点∴∠ACD+∠CAB=18的平分线，∴∠MAB=∠CAB=33°22 . 解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．∵EF⊥AB EG⊥A G，。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (18)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (18)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OF平分∠AOE．（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系并说明理由；（2）若∠COF=34°26′，求∠BOD．【答案】解：（1）∠AOC=∠BOD，理由见解析；（2）∠BOD=21°08′．【解析】试题分析：（1）根据对顶角的性质即可判断，∠AOC=∠BOD；（2）根据直角的定义可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC=∠AOF-∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．试题解析：（1）∠AOC=∠BOD，理由如下：因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等，所以∠AOC=∠BOD；（2）∵∠COE是直角，∴∠COE=90°，∴∠EOF=∠COE−∠COF=90°−34°26′=55°34′，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠COE=55°34′，∴∠AOC=∠AOF−∠COF=55°34′−34°26′=21°08′，∴∠BOD=∠AOC=21°08′．72．已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E．已知∠A=45°，∠C=105°，求∠EDB的度数．【答案】15°【解析】试题分析：先由三角形的内角和求出∠ABC的度数，再由BD是∠ABC的平分线求出∠DBC的度数，最后由DE∥BC求出∠EDB的度数.试题解析：在ΔABC中，∠A=45°，∠C=105°，∴∠ABC=30°∵BD平分∠ABC∴∠DBC=15°∵DE∥BC∴∠BDE=∠DBC=15°73．如图，在△ABC 中，∠B=32°，∠C =48°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，DF⊥AE于点F，求∠ADF的度数.【答案】∠ADF=82°.【解析】试题分析：由在△ABC中，∠B=32°，∠C=48°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠CAE 的度数，由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠CAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF的度数．试题解析：在△ABC中，∠B=32°，∠C=48°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=50°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=90°−∠C=42°，∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=8°，∵DF⊥AE，∴∠ADF=90°−∠DAE=82°.74．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；（2）作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（3）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，再以F、N为圆心，大于12交AC于D，线段BD就是∠B的平分线；（2）分别以A、B为圆心，大于1AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过2X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点；（3）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，再加上条件AE=BE，ED=ED，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE．试题解析：（1）作出∠B的平分线BD；（2）作出AB的中点E.（3）证明：∵∠ABD=12×60°=30°,∠A=30°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，在△ADE和△BDE中，AE BE ED ED AD BD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ADE≌△BDE(SSS).75．读句画图并填空：（1）画平角AOB，画射线OC，再分别画∠AOC、∠BOC的角平分线OD、OE；（2）图中，∠∠COE= ∠COB，∠COD= ∠AOC，∠∠DOE=∠COE+∠COD= ∠AOB= ×180°＝．【答案】（1）见解析图；（2）12，12，12，12，90°【解析】试题分析：根据基本作图进行作图即可．试题解析：解：（1）如下图所示：（2）∵COE ∠= 12COB ∠，12AOC ∠（角平分线的定义）∵DOE COE COD ∠=∠+∠ 12AOB =∠=1180902⨯︒=（等量代换）． 76．已知下列条件，求角的度数。

八年级数学上册第十二章全等三角形12-3角的平分线的性质同步练习含解析新版新人教版

八年级数学上册第十二章全等三角形12-3角的平分线的性质同步练习含解析新版新人教版

《12.3 角的平分线的性质》一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则______=______．（2）若∠3=∠4,则______=______．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD=______．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于______．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD=______．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．258．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．《12.3 角的平分线的性质》参考答案与试题解析一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则BC = DC ．（2）若∠3=∠4,则AB = AD ．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）根据角平分线性质推出即可；（2）根据角平分线性质推出即可．【解答】解：（1）∵∠B=∠D=90°,∴AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠1=∠2,∴BC=CD,故答案为：BC,DC．（2）∵AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠3=∠4,∴AB=AD,故答案为：AB,AD．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边距离相等．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD= 45 ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先根据△ABD的面积计算出DE的长,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF,然后计算出DF的长,再利用三角形的面积公式计算出△BCD的面积即可．【解答】解：∵S△ABD=36,∴•AB•ED=36,×12×ED=36,解得：DE=6,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,∴DE=DF,∴DF=6,∵BC=15,∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45,故答案为：45．【点评】此题主要考查了角平分线的性质,关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于2：3：4 ．【考点】角平分线的性质；三角形的面积．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得,点O到三角形三边的距离相等,即三个三角形的AB、BC、CA的高相等,利用面积公式即可求解．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵O是三角形三条角平分线的交点,∴OD=OE=OF,∵AB=20,BC=30,AC=40,∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4．故答案为：2：3：4．【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法,难度不大,作辅助线很关键．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD= 2 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,根据角平分线性质得出DM=DN,根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,∵AD是△ABC的角平分线,∴DM=DN,∴S△ABD：S△ACD=（AB×DN）：（AC×DM）=AB：AC=2AC：AC=2,故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】角平分线的性质．【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等．6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质得出CD长,代入BC=BD+DC求出即可．【解答】解：∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵DE⊥AB,AD平分∠BAC,∴DE=DC=1.5cm,∵BD=3cm,∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm,故选D．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．25【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE,然后求出BD 的长,再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．【解答】解：如图,过点D作DE⊥AB于E,∵点D到AB的距离为6,∴DE=6,∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,∴DC=DE=6,∵BD：DC=3：2,∴BD=×3=9,∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键,作出图形更形象直观．8．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定【考点】角平分线的性质．【分析】根据三角形的角平分线相交于一点,连接AO,则AO平分∠BAC,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图,连接AO,∵∠B、∠C的角平分线交于点0,∴AO平分∠BAC,∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴OD=OE．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,根据三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判断出AO平分∠BAC是解题的关键．三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DC；（2）在△BDE和△FDC中,,∴△BDE≌△FDC（SAS）,∴BD=DF．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,是基础题,熟记性质是解题的关键．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据“SSS”可得到△ABC≌△ADC,则∠BCA=∠DCA,再利用角平分线的性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC（SSS）,∴∠BCA=∠DCA,∵PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,∴PE=PF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等,对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS）,然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND,最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN．【解答】证明：在△ABD和△CBD中,AB=BC（已知）,∠ABD=∠CBD（角平分线的性质）,BD=BD（公共边）,∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°；又∵PD=PD（公共边）,∴△PMD≌△PND（AAS）,∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥BC于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF,然后根据三角形的面积列出方程求解即可．【解答】解：如图,过点D作DF⊥BC于F,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=90,即×18•DE+×12•DE=90,解得DE=6．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,三角形的面积,熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP,根据勾股定理起床AR=AQ,CQ=CP,BR=BP,得出方程组,求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘,ON⊥AB于N,求出OM=ON,证出△FON≌△EOM即可．【解答】解：连接AO,OB,OC,∵OP⊥BC,OQ⊥AC,OR⊥AB,∠A、∠B的角平分线交于点O,∴OR=OQ,OR=OP,∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2,AQ2=AO2﹣OQ2,∴AR=AQ,同理BR=BP,CQ=CP,即O在∠ACB角平分线上,设BP=BR=x,CP=CQ=y,AQ=AR=z,则x=3,y=5,z=4,∴BP=3,CQ=5,AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,∵O在∠A的平分线,∴OM=ON,∠ANO=∠AMO=90°,∵∠A=60°,∴∠NOM=120°,∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上,∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°,∴∠FON=∠EOM,在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM,∴OE=OF．【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．。

8年级数学人教版上册同步练习角的平分线的性质(含答案解析)

8年级数学人教版上册同步练习角的平分线的性质(含答案解析)

8年级数学人教版上册同步练习角的平分线的性质（含答案解析）专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，21∠∠，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥ABBAC B∶∶于点E，AC=3 cm，求BE的长．专题二角平分线的性质在实际生活中的应用4．如图，三条公路把A﹨B﹨C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在AC﹨BC两边高线的交点处B．在AC﹨BC两边中线的交点处C．在∠A﹨∠B两内角平分线的交点处D．在AC﹨BC两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留作图痕迹）状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．参考答案:1．证明：∵DF AB DG AC DF DG ⊥⊥=，，，∴AD 是BAC ∠的平分线，∴BAD CAD =∠∠．在ABD △和ACD △中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已求）已知）AD AD DAC DAB AC AB (∴SAS)ABD ACD (△≌△．∴ADB ADC =∠∠．又∵180BDA CDA +=︒∠∠，∴90BDA =︒∠，∴AD BC ⊥．2．证明：∵AO 平分∠BAC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OD =OE ，在Rt △BDO 和Rt △CEO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,COE DOB OEOD CEO BDO ∴(ASA)BDO CEO △≌△．∴OB =OC ．3．解：∵∠C =90°，∴∠BAC +∠B =90°，又DE ⊥AB ，∴∠C =∠AED =90°，又21BAC B =∶∶∠∠，∴∠A =60°，∠B =30°， 又∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DC =DE ，∴3AE AC ==cm ．在Rt △DAE 和Rt △DBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.DE DE BEDAED B DAE∴△DAE ≌△DBE （AAS ），∴3BE AE == cm ． 4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A ﹨∠B 两内角平分线的交点处．故选C ．5．∠A 的角平分线上，且距A1cm 处 角平分线上的点到角两边的距离相等6．解：作两个角的平分线，交点P 就是所求作的点．。

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习解析版

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习解析版

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习一．选择题（共11小题）1．下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN＝3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4B．2C．3D．64．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（）A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB 5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（）A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（）A．两角平分线交点在三角形内B．两角平分线交点在第三个角的平分线上C．两角平分线交点到三边距离相等D．两角平分线交点到三顶点距离相等9．给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（）A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD二．填空题（共8小题）12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：（1）若∠1＝∠2，则＝；（2）若∠3＝∠4，则＝．13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为．14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝cm．15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB 的距离为．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝cm．18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1∠2．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝．三．解答题（共9小题）20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：（1）DE＝DC；（2）BD＝DF．22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥P A于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在P A 上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE 的长．27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．参考答案一．选择题（共11小题）1．下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN＝3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α【解答】解：A、画线段MN＝3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B、用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；C、用三角尺作过点A垂直于直线L的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；D、正确．故选：D．2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE＝DC＝1.5cm，∵BD＝3cm，∴BC＝BD+DC＝3cm+1.5cm＝4.5cm，故选：D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4B．2C．3D．6【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD＝4，∴DE＝4．故选：A．4．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（）A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB 【解答】解：∵AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，∴EF＝EB，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），∴AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，∴结论不正确的是AE＝CE．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定【解答】解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE．故选：C．6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定【解答】解：∵PC⊥OC，PD⊥OD，PC＝PD，∴P在∠COD的角平分线上，即∠1＝∠2，故选：B．7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（）A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定【解答】解：∵DE⊥OA，DF⊥OB，DE＝DF，∴点D在∠AOB的平分线上，∴∠AOD＝∠BOD．故选：B．8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（）A．两角平分线交点在三角形内B．两角平分线交点在第三个角的平分线上C．两角平分线交点到三边距离相等D．两角平分线交点到三顶点距离相等【解答】解：A、两角平分线交点在三角形内，正确；B、两角平分线交点在第三个角的平分线上，正确；C、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，正确；D、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，不是到三顶点距离相等，故本选项错误．故选：D．9．给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①根据角平分线性质的逆定理，在角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，故本选项错误；②角平分线是射线，三角形的角平分线是线段，故本选项错误；③任何一个命题都有逆命题，正确；④假命题的逆命题不一定是假命题，如：假命题“相等的两个角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，故本选项错误．故选：A．10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE．故选：B．11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（）A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD【解答】解：A、根据HL可求得Rt△POE≌Rt△POD，∴∠DOP＝∠EOP，故正确；B、OD＝OE，正确；C、DPO＝∠EPO，正确；D、错误．故选：D．二．填空题（共8小题）12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：（1）若∠1＝∠2，则BC＝DC；（2）若∠3＝∠4，则AB＝AD．【解答】解：（1）若∠1＝∠2，则BC＝DC；（2）若∠3＝∠4，则AB＝AD．故答案为：BC，DC；AB，AD．13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为6．【解答】解：∵点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，∴点M到OB的距离＝6．故答案为：6．14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝2cm．【解答】解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM ＝2cm，∴PN＝PM＝2cm．故答案为：2．15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有①②．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△ADE与Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠ADF＝∠ADE，AE＝AF，∴DA平分∠EDF；故①②正确，∵无法判定AD⊥BC且平分BC，∴AD上的点到B，C两点的距离相等错误，∵图中只有1对全等三角形，故③④错误．故答案为：①②．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB 的距离为3．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵BC＝5，BD＝2，∴CD＝5﹣2＝3，∵AD为角平分线，∴CD＝DE＝3，故答案为：3．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝8cm．【解答】解：∵∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE，∵DE＝3cm，BD＝5cm，∴BC＝CD+BD＝3+5＝8cm．故答案为：8．18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE＝DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1＝∠2．【解答】解：（1）∵已知∠1＝∠2∴AD为∠BAC的平分线又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴由角平分线性质得DE＝DF．（2）∵已知DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE，DF为点D到角两边的距离．又∵DE＝DF，∴由角平分线性质知AD为角平分线．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝2．【解答】解：作OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠C＝∠CFO＝∠OEC＝90°，∴四边形CFOE是矩形；∵∠CAB，∠CBA的平分线相交于点O，OE⊥BC，OF⊥AC，OP⊥AB，∴OE＝OP＝OF，∴四边形CFOE是正方形，设OE＝OP＝OF＝x，则AP＝AF＝5﹣x，BP＝BE＝12﹣x，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，∴OP＝OE＝2．故答案为2．三．解答题（共9小题）20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．【解答】解：点P如图所示．21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：（1）DE＝DC；（2）BD＝DF．【解答】证明：（1）∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DC；（2）在△BDE和△FDC中，，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD＝DF．22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．【解答】证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF，在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF．23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥P A于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在P A 上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．【解答】解：∵CE⊥P A，ED⊥PB，CE＝ED，∴∠APE＝∠APB＝×60°＝30°，在△PEF中，∠CFE＝∠APE+∠PEF＝30°+15°＝45°．24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，∴EC＝EF，∵EB＝EC，∴EF＝BE，又∵∠B＝90°，∴AE是∠DAB平分线．25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．【解答】解：∵BD：DC＝9：7，BC＝64，∴CD＝＝28，∵AD为角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝28．答：D到AB的距离为28．26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE 的长．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∴S△ABC＝AB•DE+BC•DF＝90，即×18•DE+×12•DE＝90，解得DE＝6．27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．【解答】证明：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则S△ABD＝AB•DM，S△ACD＝AC•DN，∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC，∴DM＝DN，∴AD平分∠BAC．28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．【解答】证明：设BM，CN交于点P，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为：D，E，F，∵BM平分∠ABC，CN平分∠ACB，∴PD＝PE，PE＝PF，∴PD＝PF，∴AP平分∠BAC，即AQ，BM，CN交于一点P．。

人教版 初中数学八年级上册 12.3角平分线的性质 同步练习(含答案)

人教版 初中数学八年级上册 12.3角平分线的性质 同步练习(含答案)

人教版初中数学八年级上册12.3角平分线的性质同步练习（含答案）一、选择题（本大题共7道小题）1. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是()A. 1B. 2C. 3D. 42. 用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图，则能说明OC是∠AOB的平分线的依据是()A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA3. 如图，AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N.若ON＝8 cm，则OM的长为()A．4 cm B．5 cm C．8 cm D．20 cm4. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OB的距离是()A．4 B. 3 C．2 D．15. 下面是黑板上给出的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交__○__于点N；②分别以点__⊕__为圆心，大于__△__的长为半径画弧，两弧在__⊗__的内部交于点C；③画射线OC，OC即为所求．则下列回答正确的是()A．○表示OA B．⊕表示M，CC．△表示MN D．⊗表示∠AOB6. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为()A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.57. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝16，则△ABD的面积是()A．14 B．32 C．42 D．56二、填空题（本大题共5道小题）8. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．9. 如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空：(1)若∠1＝∠2，则________＝________．(2)若∠3＝∠4，则________＝________．10. 如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，DE⊥AB于点E.若DE＝5 cm，则BC＝________cm.11. 将两块大小一样的含30°角的三角尺ABD和ABC如图所示叠放在一起，使它们的斜边AB重合，直角边不重合，当OD＝4 cm时，点O到AB的距离为________ cm.12. 如图，请用符号语言表示“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．条件：____________________________________.结论：PC＝PD.三、解答题（本大题共2道小题）13. 探究题如图，P为∠ABC的平分线上的一点，点D和点E分别在AB和BC 上(BD＜BE)，且PD＝PE，试探究∠BDP与∠BEP的数量关系，并给予证明．14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC 上，BE＝FC.求证：BD＝FD.人教版 初中数学八年级上册 12.3角平分线的性质 同步练习-答案一、选择题（本大题共7道小题）1. 【答案】B【解析】如解图，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，PG ＝PD ＝2.2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】C[解析] 如图，过点P 作PE ⊥OB 于点E.∵P 是∠AOB 的平分线OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PE ＝PD ＝2.5. 【答案】D6. 【答案】D[解析] 如图，过点D 作DH ⊥AC 于点H.又∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ， ∴DF ＝DH.在Rt △ADF 和Rt △ADH 中，⎩⎨⎧AD ＝AD ，DF ＝DH ，∴Rt △ADF ≌Rt △ADH(HL)． ∴S Rt △ADF ＝S Rt △ADH .在Rt △DEF 和Rt △DGH 中，⎩⎨⎧DE ＝DG ，DF ＝DH ，∴Rt △DEF ≌Rt △DGH(HL)． ∴S Rt △DEF ＝S Rt △DGH .∵△ADG 和△AED 的面积分别为60和35， ∴35＋S Rt △DEF ＝60－S Rt △DGH .∴S Rt △DEF ＝12.5.7. 【答案】B [解析] 如图，过点D 作DH ⊥AB 于点H.由作法得AP 平分∠BAC.∵DC ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DH ＝DC ＝4. ∴S △ABD ＝12×16×4＝32.5道小题）8. 【答案】3 【解析】如解图，过点P 作PD ⊥OA 于点D ，∵OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OB 于点C ，∴PD ＝PC ，∵PC ＝3，∴PD ＝3，即点P 到点OA 的距离为3.9. 【答案】(1)BC CD (2)AB AD10. 【答案】15[解析] ∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴DC ＝DE ＝5cm.∴BD ＝2CD ＝10 cm ，则BC ＝CD ＋BD ＝15 cm.11. 【答案】4[解析] 过点O 作OH ⊥AB 于点H.∵∠DAB ＝60°，∠CAB ＝30°，∴∠OAD ＝∠OAH ＝30°. ∵∠ODA ＝90°，∴OD ⊥AD.又∵OH∵AB ，∵OH ＝OD ＝4 cm.12. 【答案】∵AOP ＝∵BOP ，PC∵OA 于点C ，PD∵OB 于点D 三、解答题（本大题共2道小题）13. 【答案】解：∠BDP ＋∠BEP ＝180°.证明：过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥BC 于点N. ∵BP 是∠ABC 的平分线， ∴PM ＝PN.在Rt △DPM 和Rt △EPN 中， ⎩⎨⎧PD ＝PE ，PM ＝PN ，∴Rt △DPM ≌Rt △EPN(HL)． ∴∠ADP ＝∠BEP.∵∠BDP ＋∠ADP ＝180°， ∵∵BDP ＋∵BEP ＝180°.14. 【答案】证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∠C ＝90°， ∴DC ＝DE.在△DCF 和△DEB 中，⎩⎨⎧DC ＝DE ，∠C ＝∠BED ＝90°，FC ＝BE ，∵∵DCF∵∵DEB(SAS)．∵BD ＝FD.。

人教版八年级上数学12.3 角的平分线的性质 _同步练习及答案(含答案)

人教版八年级上数学12.3 角的平分线的性质 _同步练习及答案(含答案)

第12章《全等三角形》同步练习班级学号姓名得分一、填空题（每题3分，共30分）1．到一个角的两边距离相等的点都在_________.2．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________. 3．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_________ cm．5．如图，已知AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________．6．三角形内一点到三角形的三边的距离相等，则这个点是三角形_________的交点．7．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：CD=3：2，BC=15cm，则点D到AB的距离是__________．8．角平分线的性质定理：角平分线上的点_____________________________．9．（1）如图，已知∠1 =∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE____DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE = DF，则∠1_____∠2．10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度．二、选择题（每题3分，共24分）11．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是（）A．PC = PD B．OC = ODC．∠CPO = ∠DPO D．OC = PC12．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，（第3题）（第4题）（第5题）21ABCDEF（第9题）ABCDOP（第11题）④ ①②③ （第14题）DE ⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( )A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．9cm13．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点 14． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 15．给出下列结论，正确的有（ ）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与 三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的 逆命题一定是假命题A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 16．已知，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．12 17．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A ．两个三角形全等B ．两个三角形一定不全等C ．如果还有一角相等，两三角形就全等D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等18．如图，OB 、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，若∠MON =α，∠BOC =β，则表示∠AOD 的代数式为（ ）A ．2α－βB ．α－βC ．α+βD ．2α三、解答题（共46分） 19．（7分）如图，已知OE 、OD 分别平分∠AOB 和∠BOC ，若∠AOB =90°，∠EOD =70°，求∠BOC 的度数．ED CB A （第12题）（第18题）20．（7分）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）21．（8分）如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF 于F ． 求证：CE = CF22．（8分）已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + ADF A B EC D D A23．（8分）如图，PB 和PC 是△ABC 的两条外角平分线． ①求证：∠BPC =90°-12∠BAC ． ②根据第①问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？24．（8分）如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点P 在∠BAC 的角平分线上．求证：CP 是△ABC 的外角平分线．PC B AD E参考答案一、填空题1．这个角的平分线上2．1.5cm 3．30°4．8 5．MN⊥PQ 6．三条角平分线7．6cm 8．到角的两边的距离相等9．（1）=（2）= 10．135二、选择题11．D 12．B 13．D 14．D 15．B 16．C 17．D 18．A三、解答题19．50°20．画两个角的角平分线的交点P 21．略22．提示：过点D做DM⊥BC 23．①略；②锐角三角形24．提示：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF。

12.3.1 角的平分线的性质 初中数学人教版八年级上册课时习题(含答案)

12.3.1 角的平分线的性质 初中数学人教版八年级上册课时习题(含答案)

12.3角的平分线的性质一、选择题（本大题共10小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，点P到AE，AD，BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点．其中正确的是( )A. ①②③④B. ①②③C. ④D. ②③2.如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是( )A. ④B. ②③C. ①②③D.①②③④3.到三角形的三边距离相等的点是( )A. 三角形三条高的交点B. 三角形三条内角平分线的交点C. 三角形三条中线的交点D. 无法确定4.如图所示，∠B=∠C=90∘，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC =110∘，则∠MAB= ( )A. 30∘B. 35∘C. 45∘D. 60∘5.三角形内部到三边距离相等的点是( )A. 三边中线的交点B. 三边垂直平分线的交点C. 三内角平分线的交点D. 三边上高的交点6.如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD=8，则点P到BC的距离是( )A. 8B. 6C. 4D. 27.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是．( )A. 点CB. 点DC. 点ED. 点F8.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q9.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为( )A. 3B. 10C. 12D. 1510.如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小）11.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠A=60∘，则∠BOC=°．12.如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB=________．13.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC与BC边交于点D，BD=2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为cm．14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，大于12若CD=3，AB=10，则△ABD的面积是________．三、解答题（本大题共3小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AP平分∠BAC．16.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：AM平分∠DAB．17.如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB=AC，DE=DF.求证：BD=CD．参考答案1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】12012.【答案】60°13.【答案】1514.【答案】1515.【答案】证明：过P作PQ⊥AB于Q，PN⊥BC于N，PM⊥AC于M，∵∠1=∠2.∠3=∠4，∴PQ=PN，PN=PM，∴PQ=PM，∵PQ⊥AB，PM⊥AC，∴AP平分∠BAC．16.【答案】证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，∵∠B=∠C=90°，∴MC⊥CD，MB⊥AB，∵DM平分∠ADC，∴∠CDM=∠EDM，又∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC，又∵MC=MB，∴ME=MB，又∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB．17.【答案】证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中AB=AC∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ABD≌△ACD，(SAS)，∴BD=CD．。

12.3角平分线的性质同步练习2021-2022人教版八年级上册数学

12.3角平分线的性质同步练习2021-2022人教版八年级上册数学

12.3角平分线的性质一．选择题1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．8B．7.5C．15D．无法确定2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（）处．A．1B．2C．3D．44．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（）A．2B．3C．4D．65．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接P A、PB、PC，若△P AB、△PBC、△P AC的面积分别为S1、S2、S3，则（）A．S1＜S2+S3B．S1＝S2+S3C．S1＞S2+S3D．无法确定S1与（S2+S3）的大小6．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（）A．3B．4C．5D．67．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝9.6cm，则D到AB的距离为（）A．2.2cm B．3.2cm C．4.8cm D．6.4cm9．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（）A．8B．7C．6D．510．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠AGH＝∠BAE+∠ACB；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正确的结论有（）个．A．0B．1C．2D．3二．填空题11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则BE的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为．14．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC＝．15．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为cm2．三．解答题16．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．17．如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．18．如图，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，若AC＝5，BC＝4，△ABC的面积为9，求DE的长．参考答案一．选择题1．解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．故选：B．2．解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，∴EC＝ED＝3cm．故选：C．3．解：如图，油库的可选位置有4处．故选：D．4．解：过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH＝DF，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴△DEF的面积＝△DGH的面积，设△DEF的面积＝△DGH的面积＝S，同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，∴△ADF的面积＝△ADH的面积，∴24﹣S＝18+S，解得，S＝3，故选：B．5．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，∴PD＝PE＝PF，∵S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，∴S2+S3＝•（AC+BC）•PD，∵AB＜AC+BC，∴S1＜S2+S3．故选：A．6．解：过D作DG⊥AC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DG＝DE＝2，∵AB＝6，AC＝4，∴S△ABC＝AC•BF＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DG，∴×4•BF＝×6×2+×4×2，∴BF＝5，故选：C．7．解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．8．解：过D点作DE⊥AB于E，如图，∵BD：DC＝2：1，∴DC＝BC＝×9.6＝3.2（cm），∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3.2cm，即D到AB的距离为3.2cm．故选：B．9．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝4．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，∴28＝×8×4+×AC×4，∴AC＝6．故选：C．10．解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∵∠AED＝∠MEF，∴∠DAE＝∠F；故①正确；②∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，∴∠AGH＝∠MEF，∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故②正确；③∵AE平分∠BAC交BC于E，∴，∵S△AEB：S△AEC＝，∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，故选：D．二．填空题11．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝1.6，∴CD＝1.6，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．故答案为：2.412．解：∵AD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC＝3，∵BD＝5，∴BE＝＝＝4，故答案为4．13．解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝3，又∵AB＝10，∴△ABD的面积为＝15，故答案为：15．14．解：∵在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∴O为△ABC的三内角平分线的交点，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∴∠OBC+∠OCB＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，故答案为：125°．15．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，∴PF＝PG＝PE＝3，∵S△BPC＝7.5，∴BC•3＝7.5，解得BC＝5，∵△ABC的周长为14cm，∴AB+AC+BC＝14，∴AB+AC＝9，∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP＝（AB+AC﹣BC）×3＝×（9﹣5）×3＝6（cm2）．故答案为：6．三．解答题16．证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C．17．证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，∴＝，∵CE＝BF，∴DM＝DN，∴AD平分∠BAC．18．解：作DF⊥BC，垂足为F．如图：∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC．∴DF＝DE．∵AC＝5，BC＝4，△ABC的面积为9．∴．即：．∴DE＝2．。

人教版八年级上册数学角的平分线的性质同步练习(含答案)

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人教版八年级上册数学12.3角的平分线的性质同步练习一、单选题1．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠1=∠2，BC =16cm ，点D 到AB 的距离为6cm ，则BD 的长为（ ）A ．7cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm 2．如图，ABC 中，ABC ∠的角平分线与ACB ∠的角平分线交于点P ，若点P 到边BC 的距离为1，ABC 的周长为12，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 3．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，15,3,6ABC S DE AB ===，则AC 的长是（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．6 4．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，若AD =5cm ，4cm CD =，则点D 到直线AB 的最小值是（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm 5．如图，AI 、BI 、CI 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ，ID ∠BC ，∠ABC 的周长为18，ID ＝3，则∠ABC 的面积为（ ）A ．18B ．30C ．24D ．27 6．点P 在AOB ∠的角平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ 7．如图，已知72AOB ∠=︒，以点O 为圆心、任意长为半径作弧、交OA 、OB 于点D 、E ，分别以D 、E 为圆心、以大于12DE 长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点C ，作射线OC ．则AOC ∠的度数是（ ）A ．32°B ．34°C ．36°D ．38° 8．如图，在ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线AE ，BF 相交于点O ，AE 交BC 于E ，BF 交AC 于F ，过点O 作OD ∠BC 于D ，下列三个结论：∠∠AOB ＝90°+∠C ；∠若AB ＝4，OD =1，则2ABO S =△；∠当∠C ＝60°时，AF +BE ＝AB ；∠若OD =a ，AB +BC +CA ＝2b ，则OBC S ab =△．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 9．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若BC ＝10，AD ＝3，则△BCD 的面积为______．10．如图，在ABC 中，BH AC ⊥交AC 于点H CD ，平分ACB ∠交BH 于点D ，过点D 作DE BC ⊥于E DCH ，的面积为4BCD ，的面积为83CH =，，则BC 的长为_____．11．如图，∠ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别是100，110，120，其三条角平分线将∠ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BOC ：S △CAO ＝_____．12．如图，已知∠ABC 的周长是6，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ∠BC 于D ，且OD =2，则∠ABC 的面积是_________．13．如图，在ABC 中，O 是ABC 内一点，且点O 到ABC 三边的距离相等，134∠=︒BOC ，则A ∠的度数为____________．14．已知，如图DC 平分ACB ∠，DB 平分ABC 的外角ABE ∠，若20CDB ∠=︒，则DAB ∠=__________．15．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为_____．16．如图，在四边形中ABCD中，BD平分∠ABC，∠DAB＋∠DCB＝180°，DE∠AB于点E，AB＝8，BC＝4，则BE的长度是______．三、解答题17．如图，在Rt∠ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∠AB，BC=4cm．(1)若ED=2cm，则DC=______cm；(2)求证：BE=BC；(3)若∠AED的周长是4cm，AC=3cm，求AB的长．18．已知：如图，在∠ABC 中，角平分线BM 与角平分线CN 相交于点P ，过点P 分别作AB ，BC ，AC 的垂线，垂足分别为D ，E ，F ．(1)求证：PD ＝PE ＝PF ；(2)点P 在∠BAC 的平分线上吗？说明理由．19．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，点F 在AC 上，且BD ＝DF ．(1)求证：CF ＝EB ；(2)请你判断AE 、AF 与BE 之间的数量关系，并说明理由．20．如图，在四边形ABCD 中，,AD CD BD =平分,ABC DF BC ∠⊥于F ，DE BA ⊥，交BA 的延长线于点E ．(1)求证：180DAB C ∠+∠=︒；(2)猜想BF 与AB BC 、存在的的数量关系并证明；(3)若,ABD BDC S m S n ==△△，请用含有m ，n 的式子直接写出DFC S 的值．答案第1页，共1页 参考答案：1．D2．A3．A4．C5．D6．B7．C8．B9．1510．611．10：11：12 12．613．88︒ 14．70︒ 15．216．617．(1)2(3)518． (2)在， 19．(2)AF +BE ＝AE ， 20． (2)2BF AB BC=+ (3)2n m-。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (1)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (1)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)一、单选题1．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）A．点O一定在△ABC的内部B．点O到△ABC的三边距离一定相等C．∠C的平分线一定经过点O D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等【答案】D【解析】由三角形的三条角平分线在三角形内相交于一点可知：A、C正确；而由角平分线的性质可证得点O到△ABC的三边距离相等，所以B正确；而三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离不一定相等，所以D错误.故选D.2．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM ，再根据角平分线的判定定理可得PB 平分∠ABC ，即可判定①；证明⊥PAN ⊥⊥PAH ，⊥PCM ⊥⊥PCH ，根据全等三角形的性质可得⊥APN=⊥APH ，⊥CPM=⊥CPH ，由此即可判定②；在Rt ⊥PBN 中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由⊥BPN=⊥CPA=60°即可判定④.【详解】如图，作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．⊥⊥PAH=⊥PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，⊥PN=PH ，同理PM=PH ，⊥PN=PM ，⊥PB 平分∠ABC ，⊥⊥ABP=12⊥ABC=30°，故①正确， ∵在Rt ⊥PAH 和Rt ⊥PAN 中，PA PA PN PH =⎧⎨=⎩， ⊥⊥PAN ⊥⊥PAH ，同理可证，△PCM ⊥⊥PCH ，⊥⊥APN=⊥APH ，⊥CPM=⊥CPH ，⊥⊥MPN=180°-⊥ABC=120°，⊥⊥APC=12⊥MPN=60°，故②正确，在Rt⊥PBN中，∵∠PBN=30°，⊥PB=2PN=2PH，故③正确，⊥⊥BPN=⊥CPA=60°，⊥⊥CPB=⊥APN=⊥APH，故④正确．综上，正确的结论为①②③④.故选D.【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.3．如图，AD是△ABC中△BAC的角平分线，DE△AB于点E，S△ABC=9，DE=2，AB=5，则AC长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】如图，作DF⊥AC交AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF,∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=12AC·DF+12AB·DE=12DE（AC+AB）=9，∴12×2×（AC+5）=9，∴AC=4.故选B.点睛：（1）遇到角平分线较常用的一类辅助线的作法是过角平分线上一点向角的两边作垂线.（2）三角形的面积除了用公式法还可以用割补法将三角形的面积用别的形式表示出来，此题将三角形面积表示为两个三角形的面积之和，然后列方程求解.4．若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC（）的交点．A．角平分线B．高线C．中线D．边的中垂线【答案】A【解析】试题分析：由角平分线性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，则这个点是三角形三条角平分线的交点，即可确定答案.解：∵到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，∴这个点是三角形三条角平分线的交点.故选A.5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BD=5cm，DE=3cm，则AC的长为（）A．8 cm B．10 cm C．6cm D．16 cm【答案】A【解析】解：⊥AD平分⊥BAC，⊥C=90°，DE⊥AB，⊥CD=DE，⊥BD=5，DE=3，⊥CD=3，⊥AC=BC=CD+DB=3+5=8．故选A．6．如图，在△ABC中，△1＝△2，G为AD的中点，BG的延长线交AC 于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（）△AD是△ABE的角平分线；△BE是△ABD的边AD上的中线；△CH是△ACD的边AD上的高；△AH是△ACF的角平分线和高A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．点睛：本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．7．如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，若∠=︒，则∠D的度数是（）A70A．40°B．50°C．65°D．55°【答案】D【解析】∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∴∠EBC+∠FCB=360°－110°=250°，∵BD、CD分别平分∠CBE、∠BCF，∴∠DBC=∠DBE，∠DCB=∠DCF，∴∠DBC+∠DCB=125°，∴∠D=55°.故选D.点睛:充分利用三角形的内角和，平角的性质，以及角平分线的性质.8．如图，△1＝△2，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A．PD＝PE B．OD＝OE C．△DPO＝△EPO D．PD＝OP【答案】D【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得：PD=PE，根据题意HL判定定理可得：Rt△POE△Rt△POD，则OD=OE，△DPO=△EPO.考点：角平分线的性质9．若∠α与∠β互为余角，则∠α的补角与∠β的补角之和为( )A．90°B．180°C．270°D．360°【答案】C【解析】∵∠α与∠β互为余角，∴∠α+∠β=90°，∵∠α的补角为180°-∠α，∠β的补角为180°-∠β，∴(180°-∠α)+(180°-∠β)=360°-(∠α+∠β)=360°-90°=270°．故选C．【点睛】这是一道有关余角和补角的题目，需明确余角和补角的含义；由于互补的两角之和为180°，于是可以表示出∠α和∠β的补角，进而得到它们的之和；再根据互余的两角之和为90°得到∠α+∠β=90°，即可求出∠α与∠β的补角之和.10．在ABC △内部取一点P ，使得点P 到ABC △的的三边距离相等，则点P 是ABC △的（ ）．A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三边的垂直平凡线的交点【答案】B【解析】如图：PD PF PE ==．故选B ．。

人教版八年级数学上册第12单元第3节 第1课时 角平分线的性质 同步练习题(含答案)

人教版八年级数学上册第12单元第3节 第1课时 角平分线的性质 同步练习题(含答案)

12.3 角的平分线的性质一、选择题1．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中∠BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E,且DE=3cm,则点D 到AC 的距离是( ) A.2cm; B.3cm; C.4cm; D.6cm3．如图1，已知CE 、CF 分别是△ABC 的内角和外角平分线，•则图中与∠BCE 互余的角有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．如图2，已知点P 到AE 、AD 、BC 的距离相等，则下列说法：①点P 在∠BAC 的平分线上；②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P 在∠BCD 的平分线上；④点P 是∠BAC 、∠CBE 、∠BCD 的平分线的交点，其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．④D ．②③D CBA EFPDCBAEPDCBA E（1） (2) (3) 二、填空题5．用直尺和圆规平分已知角的依据是______________．6．角的平分线上的点到_______________相等；到___________________________相等的点在这个角的平分线上．7．如图3，AB ∥CD ，AP 、CP 分别平分∠BAC 和∠ACD ，PE ⊥AC 于E ，且PE=•2cm ，则AB 与CD 之间的距离是___________． 三、解题题8．请你画一个角，并用直尺和圆规把这个角两等分．9．如图，四边形ABCD 中AB=AD ，CB=CD ，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥CD 于F ，求证PE=PF ．PDC BAEF10．如图，四边形ABCD 中AB=AD ，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，P 是对角线AC 上一点，•求证：PB=PC ．PDCBA参考答案:1．B 2．B 3．C 4．A 5．SSS6．角的两边的距离；角的两边的距离 7.4cm 8．略 9．证明AC 平分∠BCD10．先证Rt△ABC≌Rt△ADC，再证△APB≌△APD。

12.3角的平分线性质培优训练人教版2024—2025学年八年级上册

12.3角的平分线性质培优训练人教版2024—2025学年八年级上册

12.3角的平分线性质培优训练人教版2024—2025学年八年级上册一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形例1.已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+CD．提示：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．例2.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC的角平分线AD、∠ACB的角平分线CE相交于点O，求证：AE+CD＝AC；练习1.如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD．求证：BC＝AB+CE．练习2.如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠CAB．（1）如图1，若∠ACB＝90°，求证：AB＝AC+CD；（2）如图2，若AB＝AC+BD，求∠ACB的度数；（3）如图3，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD+CD．练习3.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD为角平分线，P为AD上任意一点，连接PB、PC，求证：AB﹣AC＞PB﹣PC．（提示：在AB上取一点E，使AE ＝AC，连接PE）二、“角平分线+ 垂线”构造全等三角形或等腰三角形例3.已知：∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E．求证：BD＝2CE．提示：延长CE、BA交于点F．例4．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D．求证：AC＝2BD．例5.如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．提示：延长BD交AC于E，练习4．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，BE＝（AC﹣AB）．求证：∠ABC＝3∠C．练习5如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．三、“角平分线+ 平行线”构造等腰三角形例6.如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．练习6.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN ∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，求线段MN的长练习7.在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D．（1）如图1，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F．请你写出BE，CF，EF之间的关系：；（不用证明）（2）如图2，过点D作DE∥AB交BC于点E．DF∥AC交BC于点F．若BC ＝10，求△DEF的周长．（3）若将已知条件中“∠ACB的平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，其他条件同（1）（如图3），请你写出BE，CF，EF之间的关系，并证明．四、“角平分线+ 对角互补”构造全等三角形例7.例如图，在四边形ABCD中，连接BD，已知BD是∠ABC的平分线，且∠A+∠C＝180°，求证：AD＝CD．五、角平分线分线段成比例例8.如图，已知AD是△ABC的角平分线，求证：＝．（提示：过C点作CE∥AD交BA的延长线于E）练习8.△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；六、双角平分线模型（导角模型）【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A ∠=︒+∠ 例9.如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝ ．4231DAEFCB4321DACBM1902BDC A ∠=︒-∠12BDC A ∠=∠例10.（1）如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是cm（2）如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC．练习8.BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（）A．30°B．40°C．50°D．60°课后练习1.如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB 于E，交AC于F，求证：AE=DF=DE=AF2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD上一点，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．求证：（1）AE⊥BE；（2）DE＝CE．3.如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋1∠ABC；2(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (51)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (51)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，已知四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AD，E为垂足．求证：AB＋AD＝2AE.【答案】证明见解析.【解析】【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H.利用角平分线性质得CH＝CE，∠HCA＝∠ECA，证△ACH≌△ACE(AAS)，得AH＝AE.∠HBC＝∠D.再证△BHC≌△DEC(AAS)，得HB＝DE，所以AB＋AD＝AB＋AE＋DE＝AB＋AE＋HB＝AH＋AE＝2AE.【详解】证明：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H.∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，∴CH＝CE，∠HCA＝∠ECA(等角的余角相等)．在△ACH和△ACE中，∴△ACH≌△ACE(AAS)，∴AH＝AE.又∵∠ABC＋∠HBC＝180°，∠ABC＋∠D＝180°，∴∠HBC＝∠D.在△BHC和△DEC中，∴△BHC≌△DEC(AAS)，∴HB＝DE，∴AB＋AD＝AB＋AE＋DE＝AB＋AE＋HB＝AH＋AE＝2AE.【点睛】本题考核知识点：角平分线，全等三角形.解题关键点：利用角平分线性质和全等三角形判定和性质证线段相等.62．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，按要求完成下列各题：（1）作△ABC的角平分线AE；（2）根据你所画的图形求∠BAE的度数．【答案】（1）作图见解析；（2）∠BAE =30°．【解析】分析：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交BC于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，做过这点和点A的直线交BC于点E即可；(2) ）利用三角形内角和计算出∠BAC,然后利用角平分线的定义可得∠DAE的度数．详解：（1）如图，AE为所作；（2）∵∠B=40°，∠C=80°，∴∠BAC=180°﹣40°﹣80°=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=BAC=30°．点睛：本题考查了基本作图，三角形的角平分线的画法以及三角形内角和定理的运用．63．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD，若∠BOE=2∠BOD，求∠AOF的度数．【答案】54°【解析】分析：设∠BOD=x，∠BOE=2x；根据题意列出方程2x+2x+x=180°，得出x=36°，求出∠AOC=∠BOD=36°，即可求出∠AOF=90°-∠36°=54°．详解：设∠BOD=x，∠BOE=2x；∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠EOB=2x，则2x+2x+x=180°，解得：x=36°，∴∠BOD=36°，∴∠AOC=∠BOD=36°，∵FO⊥CD，∴∠AOF=90°-∠AOC=90°-36°=54°．点睛：本题考查了垂线、对顶角、邻补角的知识；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．64．如图，在中，，点O是BC上一点，以点O圆心，OC为半径的圆交BC于点D，恰好与AB相切于点E．求证：AO是的平分线；若，，求及AC的长．【答案】(1)证明见解析；（2）12cm.【解析】【分析】（1）由∠ACB=90°，且OC为圆O的半径，判断得到AC与圆O相切，又AB与圆O相切，根据切线长定理得到AO为∠BAC的平分线，且AE=AC；（2）由BE为圆O的切线，BC为圆O的割线，利用切割线定理列出关系式，将BD及BE的长代入，求出BC的长，用BC-BD求出直径CD的长，进而确定出圆O的半径，由OD+BD求出OB的长，连接OE，由切线的性质得到OE垂直于BE，在直角三角形OEB中，利用锐角三角函数定义求出sinB的值，同时由OB及OE的长，利用勾股定理求出BE的长，由∠ACB=90°，OC为圆O的半径，可得出AC为圆O的切线，由AE与AC都为圆的切线，根据切线长定理得到AE=AC，设AC=AE=xcm，由AE+EB表示出AB，再由BC及AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x 的值，即为AC的长．【详解】，OC为圆O的半径，为圆O的切线，又AB与圆O相切，E为切点，，AO平分；为圆O的切线，BC为圆O的割线，，又，，，即，，连接OE，由BE为圆O的切线，得到，在直角三角形BEO中，，，，，在直角三角形ABC中，设，则，，根据勾股定理得：，即，解得：，则．【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握和灵活应用相关性质及定理是解本题的关键．65．如图，中，，，E，F分别是BC，AC的中点，若，求线段AB的长．【答案】6.【解析】【分析】作BH平分交AC于H，连结HE，如图，由于，则，可得为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，可得，根据平行线分线段成比例定理得，再根据角平分线的性质定理得，则可得，然后把BC=2CE代入计算即可求得AB=6.【详解】作BH平分交AC于H，连结HE，如图，平分，，，，为等腰三角形，点E为BC的中点，，，，，为的平分线，，，即，．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，角平分线的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关性质与定理是解题的关键.66．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．求证：AM、BN、CP交于一点．证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD△BC，OF△AB，垂足分别为点D，E，F．△O是△BAC角平分线AM上的一点（），△OE=OF（）．同理，OD=OF．△OD=OE（）．△CP是△ACB的平分线（），△O在CP上（）．因此，AM，BN，CP交于一点．【答案】已知角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等等量代换已知角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上【解析】【分析】根据已知条件和角平分线的性质定理与判定定理即可解答.【详解】证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．⊥O是⊥BAC角平分线AM上的一点（已知），⊥OE=OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．同理，OD=OF．⊥OD=OE（等量代换）．⊥CP是⊥ACB的平分线（已知），⊥O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．因此，AM，BN，CP交于一点；【点睛】本题综合考查角平分线的性质定理与判定定理，熟练应用角平分线的性质定理与判定定理是解题的关键．67．如图，∠CAD和∠ACE的角平分线AF，CF相交于点F.求证：点F在∠DBE的平分线上．【答案】见解析【解析】【详解】过点F作FG⊥BD于点G，FH⊥AC于点H，FK⊥BE于点K.由角平分线性质定理得FG＝FH＝FK，根据逆定理可得点F在∠DBE的平分线上.证明：过点F作FG⊥BD于点G，FH⊥AC于点H，FK⊥BE于点K.∵AF平分∠CAD，CF平分∠ACE，∴FG＝FH，FH＝FK，∴FG＝FK.又∵FG⊥BD, FK⊥BE，∴点F在∠DBE的平分线上.【点睛】本题考核知识点：角平分线性质定理和逆定理.解题关键点：熟记角平分线性质定理和逆定理.68．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC．求证：EB＝FC．【答案】见解析【解析】【分析】根据角平分线性质得DE＝DF，根据HL证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得EB ＝FC.【详解】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.又∵DB＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴EB＝FC.【点睛】本题考核知识点：角平分线性质，直角三角形全等的判定.解题关键点：熟记角平分线性质，直角三角形全等的判定.69．如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD＝CD，请证明点D 在∠BAC的平分线上．【答案】见解析【解析】【分析】在Rt△BDE和Rt△CDF中，由∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，证△BDE≌△CDF，得DE＝DF.可进一步证点D在∠BAC的平分线上.【详解】证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上.【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理的逆定理. 解题关键点：熟记全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理的逆定理.70．如图,在△ABC中,点E在AC上,△AEB=△ABC．(1)图1中,作△BAC的角平分线AD,分别交CB、BE于D、F两点,求证:△EFD=△ADC；(2)图2中,作△ABC的外角△BAG的角平分线AD,分别交CB、BE的延长线于D、F两点,试探究(1)中结论是否仍成立?为什么?【答案】（1）证明见解析；（2）（1）中结论仍成立，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD=∠ADC；（2）首先根据角平分线的性质可得⊥BAD=⊥DAG，再根据等量代换可得⊥FAE=⊥BAD，然后再根据内角与外角的性质可得⊥EFD=⊥AEB-⊥FAE，⊥ADC=⊥ABC-⊥BAD，进而得⊥EFD=⊥ADC．【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC；（2）探究（1）中结论仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD=∠GAD，∵∠FAE=∠GAD，∴∠FAE=∠BAD，∵∠EFD=∠AEB-∠FAE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．。

人教版八年级数学上册角的平分线的性质同步练习题(含答案)

人教版八年级数学上册角的平分线的性质同步练习题(含答案)

人教版八年级数学上册角的平分线的性质同步练习题（含答案）12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质要点感知1 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离_____.预习练习1-1 如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB,垂足为D,则PC与PD的大小关系是( )A.PC>PDB.PC=PDC.PC<PDD.不能确定要点感知2 命题证明的一般步骤为：(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意画出图形,并用数学符号表示已知和求证；(3)写出证明过程.预习练习2-1 命题“全等三角形对应角的角平分线长度相等”的已知是____,求证是____.知识点1 角平分线的作法1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等2.已知△ABC,用尺规作图作出∠ABC的角平分线,保留作图痕迹,但不写作法.知识点2 角平分线的性质3.如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4 cm，则点P到边BC的距离为cm.4.如图所示,E 是∠AOB 的平分线上一点,EC ⊥OA,ED ⊥OB,垂足分别为C ，D.求证：OC=OD.5.如图，BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，△ABC 的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE 的长.知识点3 命题证明6.命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是____,结论是____.7.证明：全等三角形对应边上的中线相等.8.如图,AD ∥B C,∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P,作PE ⊥AB 于点E.若PE ＝2,则两平行线AD 与BC 间的距离为____.9.如图，在△ABC ，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ；②分别以点E,F 为圆心，大于21EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 边于点D ，则∠CDA 的度数为____. 10.已知，如图所示，△ABC 的角平分线AD 将BC 边分成2∶1两部分，若AC=3 cm ，则AB=____.11.已知:如图所示,点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,垂足分别为D ，E,求证：OB ＝OC.12.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB 的周长.13.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.挑战自我14.如图，∠AOB=90°，OM 平分∠AOB ，直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由.参考答案课前预习要点感知1 相等 预习练习1-1 B预习练习2-1 全等三角形对应角的角平分线 对应角的角平分线长度相等 当堂训练 1.A 2.图略. 3.4 4.证明：∵E 是∠AOB 的平分线上一点,CE ⊥OA,ED ⊥OB ，∴EC=ED.在Rt △OCE 和Rt △ODE 中,OE=OE,EC=ED,∴Rt △OCE ≌Rt △ODE(HL).∴OC=OD.5.∵BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，∴点D 到BC 的距离等于DE 的长度.∵AB=18，BC=12，∴S △ABC =S △ABD +S △BCD =21×18·DE+21×12·DE=21DE(18+12)=15·DE.∵△ABC 的面积等于90，∴15·DE=90.∴DE=66.全等三角形对应边的高线 对应边的高线相等7.已知:△ABC ≌△A ′B ′C ′,AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线.求证：AD=A ′D ′.证明：∵△ABC ≌△A ′B ′C ′,∴AB=A ′B ′,∠B=∠B ′,BC=B ′C ′.又∵AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线,∴BD=21BC,B ′D ′=21B ′C ′.∴BD=B ′D ′.∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(SAS).∴AD=A ′D ′.课后作业 8.4 9.65° 10.6 cm 11.证明:∵点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,∴OE ＝OD,∠BEO ＝∠CDO ＝90°.在△BEO 与△CDO 中,∠BEO ＝∠CDO,OE ＝OD,∠EOB ＝∠DOC,∴△BEO ≌△CDO(ASA).∴OB ＝OC.12.∵AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∴Rt △ACD ≌Rt △AED.∴AE=AC.∴△DEB 的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10 cm. 13.已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD,A ′D ′分别是∠BAC,∠B ′A ′C ′的平分线,且AD=A ′D ′.求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′.证明：∵∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的角平分线,∴∠BAD=∠B ′A ′D ′.∵∠B=∠B ′,AD=A ′D ′，∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(AAS).∴AB=A ′B ′.在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,AB=A ′B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA).14.PC=PD.理由如下：过点P 分别作PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为点E ，F.又∵OM 平分∠AOB ，∴PE=PF.又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF=90°.∴∠EPC+∠CPF=90°.又∵∠CPD=90°，∴∠CPF+∠FPD=90°.∴∠EP C=∠FPD.在△PCE 与△PDF 中，∠PEC=∠PFD ，PE=PF ，∠EPC=∠FPD ，∴△PCE ≌△PDF(ASA).∴PC=PD.第2课时 角的平分线的判定要点感知1 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的______上.预习练习1-1 已知点P 为∠AOB 内部的一点,PD ⊥OB 于点D,PC ⊥OA 于点C,且PC=PD,则OP 平分_____.要点感知2 三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到_____.预习练习2-1 如图,在△ABC 中,BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB,并且BD ，CE 相交于点O,过O 点作OP ⊥BC 于点P,OM ⊥AB 于点M,ON ⊥AC 于点N,则OP ，OM ，ON 的大小关系是_____.知识点1 角平分线的判定1.已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中:①∠AOC=∠BOC，②PD=PE，③OD=OE，④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的角平分线的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.知识点2 角平分线的性质与判定的综合运用3.如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O，下面结论中正确的是( )A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.不能确定4.如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.知识点3 角平分线的性质与判定的实际应用5.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA，OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.6.某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭子,供人们休息,而且要使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭的中心位置.7.如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1＞∠2C.∠1＜∠2D.无法确定8.如图所示,P为△ABC外部一点,D，E分别在AB，AC的延长线上,若点P到BC，BD，CE 的距离都相等,则关于点P的说法最佳的是( )A.在∠DBC的平分线上B.在∠BCE的平分线上C.在∠BAC的平分线上D.在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上9.三条公路两两相交于A，B，C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路距离相等,则可供选择的地方有_____处.10.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.11.如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.12.如图所示,△ABC中,∠B＝∠C,D是BC边上一动点,过D作DE⊥AB,DF⊥AC,E，F分别为垂足,则当D 移动到什么位置时,AD 恰好平分∠BAC,请说明理由.挑战自我13.已知：如图所示，在△ABC 中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.参考答案课前预习要点感知1 平分线 预习练习1-1 ∠AOB要点感知2 三边的距离相等 预习练习2-1 OP=OM=ON 当堂训练 1.D 2.证明：∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BDE 和△CDF 中，∠BDE=∠CDF, ∠DEB=∠DFC,BE=CF,∴△BDE ≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴AD 平分∠BAC. 3.B 4.证明：过点D 分别作DE ⊥AB,DG ⊥AC,DF ⊥BC,垂足分别为E,G,F.又∵BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACF,∴DE=DF,DG=DF.∴DE=DG.∴AD 平分∠EAC,即AD 是∠BAC 的外角平分线.5.图略.提示：作∠AOB 的角平分线，与AB 的交点即为点M 的位置.6.在三角形内部分别作出两条角平分线,其交点O 就是小亭的中心位置,图略. 课后作业7.A8.D9.410.(1)证明：∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°.在△BOD 和△COE 中，∠BOD=∠COE ，OD=OE ，∠ODB=∠OEC,∴△BOD ≌△COE(ASA).∴OB ＝OC. (2)证明：在△BOD 和△COE 中，∠ODB=∠OEC ，∠BOD=∠COE ， OB=OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS).∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.11.证明：过点D 作DH ⊥AB 于H ，DG ⊥AC 于G.∵S △DCE =21CE ·DG,S △DB F=21BF ·DH,S△DCE=S △DBF ,∴21CE ·DG=21BF ·DH.又∵CE=BF,∴DG=DH.∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC.12.移动到BC 的中点时,AD 恰好平分∠BAC.理由如下:∵D 是BC 的中点,∴BD ＝CD.∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C,∴△DEB ≌△D FC(AAS).∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴AD 平分∠BAC.13.证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.在△BED 和△CFD 中，∠BED=∠CF D=90°,∠1=∠2,BD=CD,∴△BED ≌△CFD(AAS).∴DE=DF.又DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.。

人教版八年级上册第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 同步练习

人教版八年级上册第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 同步练习

角的平分线的性质同步练习一．选择题（共11小题）1．点P是△ABC内一点，且点P到三角形三边的距离相等，则点P是（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点2．如图，已知△ABC中，△C=90°，AD平分△BAC，且CD：BD=3：4．若BC=21，则点D到AB边的距离为（）A．7B．9C．11D．143．如图，△ABC的△B的外角的平分线BD与△C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（）A．4B．3C．2D．14．如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是△ABD中的中线，若△ABC的面积是24，AB=5，AC=3，则△ABE的面积是（）A．15B．12C．7.5D．65．已知：如图，△ABC中，△C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD△BC，OE△AC，OF△AB，点D，E，F分别是垂足，且AB=5，BC=4，CA=3，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（）A．1，1，1B．2，2，2C．3，3，3D．1，2，36．如图，△ABC中，AD△BC交BC于D，AE平分△BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG△AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：△△DAE=△F；△△AGH=△BAE+△ACB；△S△AEB：S△AEC=AB：AC，其中正确的结论有（）个．A．0B．1C．2D．37．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分△ABC，交CD于点E，BC=5，DE=，则△BCE的面积等于（）A．3B．C．D．158．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，BD是△ABC的角平分线，DE△AB于点E，AF△BC 于点F，若DE=2，则AF的长为（）A．3B．C．3.5D．9．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（）A．12B．15C．16D．1810．如图，已知在Rt△ABC中，△ACB=90°，BD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，且AE=AD，连接ED，作EF△BD于F，连接CF．则下面的结论：△CD=CF；△△EDF=45°；△△BCF=45°；△若CD=4，AD=5，则S△ADE=10．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，AB△CD，BE和CE分别平分△ABC和△BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD=8，则PE的最小值为（）A．8B．6C．5D．4二．填空题（共5小题）12．如图所示，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分△ABC和△ACB，OD△BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是．13．如图，△ABC中，△ABC与△ACB的平分线相交于点O，EF经过点O，分别交AB，AC于点E，F，BE=OE，OF=3cm，点O到BC的距离为4cm，则△OFC的面积为cm2．14．如图，点E在△BOA的平分线上，EC△OB，垂足为C，点F在OA上，若△AFE=30°，EC=3，则EF= ．15．如图，AB△CD，BP和CP分别平分△ABC和△DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为A，交CD于D，若AD=8，则点P到BC的距离是．16．如图，四边形ABCD中，△A=△B=90°，AB边上有一点E，CE，DE分别是△BCD和△ADC 的角平分线，如果△CDE的面积是12，CD=8，那么AB的长度为．三．解答题（共6小题）17．如图，BD平分△ABC交AC于点D，DE△AB于E，DF△BC于F，AB=6，若S△ABD=12，求DF的长．18．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM△AB于点M，PN△AC于点N．求证：PA平分△MAN．19．已知：如图，AD△BC，DB平分△ADC，CE平分△BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．20．如图，在△ABD中，△BAD=80°，C为BD延长线上一点，△BAC=130°，△ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE．（1）求证：点E到DA、DC的距离相等；（2）求△BED的度数．21．如图，△ABC中，AD平分△BAC，DG△BC且平分BC，DE△AB于E，DF△AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．22．在△ABC中，△ABC与△ACB的平分线相交于点P．（1）如图△，若△BPC=α，则△A= ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）（2）如图△，作△ABC外角△MBC、△NCB的角平分线交于点Q，试探究△Q与△BPC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图△，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求△A的度数参考答案1-5：BBACA 6-10:DBBBC 11:D12、513、614、615、416、617、：∵AB=6，S△ABD=12，∴×AB×DE=12，∴DE=4，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF=DE=4．18、作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM=PD，同理，PN=PD，∴PM=PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．19、证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD=90°，∴∠DOC=90°，又CE平分∠BCD，∴CB=CD，∴OB=OD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB=ED，又∠DOC=90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．20、：（1）过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD，∴EH=EF，∵∠BAC=130°，∴∠FAE=∠CAD=50°，∴EF=EG，∴EG=EH，∴ED平分∠CDG，∴点E到DA、DC的距离相等；（2）∵ED平分∠CDG，∴∠HED=∠DEG，设∠DEG=y，∠GEB=x，∵∠EFA=∠EGA=90°，∴∠GEA=∠FEA=40°，∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBF=∠EBH，∴∠FEB=∠HEB，∴2y+x=80-x，2y+2x=80，y+x=40，即∠DEB=40°．21、（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB-BE，AF=AC+CF，∴5-x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB-BE=5-1=4．22、：（1）如图①中，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A），=90°+∠A，∵∠BPC=α，∴∠A=2α-180°．故答案为2α-180°．（2）结论：∠BPC+∠BQC=180°．理由：如图②中，∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB=（∠MBC+∠NCB）=（360°-∠ABC-∠ACB）=（180°+∠A）=90°+∠A，∴∠Q=180°-（90°+∠A）=90°-∠A，∵∠BPC=90°+∠A，∴∠BPC+∠BQC=180°．（3）延长CB至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ABF=2∠EBF，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ECB，∵∠EBF=∠ECB+∠E，∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E，即∠ABF=∠ACB+2∠E，又∵∠ABF=∠ACB+∠A，∴∠A=2∠E，∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ=∠ACB+∠NCB=90°，如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E，则90°-∠A=∠A，解得∠A=60°；④∠E=2∠Q，则∠A=2（90°-∠A），解得∠A=120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．。

人教版八年级上册数学12.3角平分线性质证明题训练

人教版八年级上册数学12.3角平分线性质证明题训练

人教版八年级上册数学12.3角平分线性质证明题训练1．已知，如图，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，求证：CE 平分∠BCD．（提示：需过点E作CD的垂线段）2．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AB＝12，AC＝20，求BE的长．3．四边形ABCD中（BC＞AB），BD平分∠ABC，且AD＝CD，DE⊥BC于E．（1）求证：∠BAD＋∠BCD＝180︒；（2）如果BC＝5，AB＝3，求CE的长．4．如图，BD 是∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点E 在BD 上，连接AE ，CE ，DF ⊥AE ，DG ⊥CE ，垂足分别是F ，G ． （1）求证：△ABE ≌△CBE ； （2）求证：DF ＝DG ．5．已知：如图，,BD AC CE AB ⊥⊥，垂足分别为D ，E ，BD 与CE 相交于点O ，AO 平分BAC ∠．求证：OB OC =．6．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ､F ，连接EF ，EF 与AD 相交于点G ．AD 与EF 垂直吗？证明你的结论．7．如图，四边形ABCD 中，AB CB AD CD ==，，对角线AC ，BD 相交于点O ，,OE AB OF CB ⊥⊥，垂足分别是E 、F ，求证：OE OF =．8．已知:如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，过点E 作EF AB ⊥于交AB 于,F EC AC ⊥交AC 的延长线于G .求证:BF CG =.9．如图，在ABC △中，BM MC =，ABM ACM ∠=∠．求证：AM 平分BAC ∠．10．如图，PB 、PC 分别是ABC △的外角平分线且相交于点P ．求证：点P 在A ∠的平分线上．11．如图，AP 、CP 分别是ABC 外角MAC ∠，NCA ∠的平分线，它们交于点P ，PD BM ⊥，PF BN ⊥，垂足分别为D 、F ，则BP 是MBN ∠的平分线吗？请说明理由．12．如图，AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G ，3E ∠=∠．求证：AD 平分BAC ∠．13．如图，△ABC 中，∠A =46°，CE 是∠ACB 的平分线，B 、C 、D 在同一直线上，FD ∥EC ，∠D =42°，求证：∠B =50°．14．如图，OC 是∠AOB 的平分线，且∠1＝∠2，试说明EF∥OB．15．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，高CD 和角平分线AE 交于点F ，EH⊥AB 于点H ，那么CF=EH 吗？说明理由．16．如图所示，点B，C在∠A的两边上，且AC＝AB，P为∠A内一点，PC＝PB，PE⊥AB、PF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：PE＝PF．17．如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD=CD．(1)求证：D在∠BAC的平分线上；(2)若将条件：BD=CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗？试说明理由．18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠BDC的度数．19．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．20．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．(1)如图1，若点O在边BC上，求证：∠ABC＝∠ACB；(2)如图2，若点O在△ABC的内部，则∠ABC＝∠ACB成立吗？并说明理由；(3)若点O在△ABC的外部，则∠ABC＝∠ACB成立吗？请画图表示．参考答案1．证明：如图，过E 作EQ CD ⊥于,Q 而∠A =∠B =90°，90,A DQE ∴∠=∠=︒DE 平分∠ADC ，,ADE QDE ∴∠=∠,DE DE =,ADE QDE ∴≌,AE QE ∴=E 是AB 的中点，,EA EB ∴=,QE BE ∴= 而90,B EQC ∠=∠=︒CE ∴平分.BCD ∠2．（1）证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠E ＝∠DFC ＝90°， 在Rt △BED 和Rt △CFD 中，BD CD BE CF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD （HL ）， ∴DE ＝DF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴AD 平分∠BAC ；（2）由（1）知，Rt △ADE ≌Rt △ADF ， ∴AE ＝AF ，∵AB ＝AE −BE ＝AF −BE ＝AC −CF −BE ，BE ＝CF ， ∴AB ＝AC −2BE ， ∵AB ＝12，AC ＝20， ∴BE ＝2012422AC AB --==． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL （直角三角形），全等三角形的对应边相等，对应角相等．3．（1）证明见解析；（2）1 【分析】（1）过点D 作DF ⊥BA ，交BA 延长线于F ，由角平分线的性质即可得到DF =DE ，由此证明△DFA ≌△DEC 得到∠ECD =∠FAD ，再由∠FAD +∠BAD =180°，即可得到∠BCD +∠BAD =180°；（2）由△DFA ≌△DEC ，即可得到AF =CE ，DE =DF ，从而可证△BFD ≌△BED 得到BF =BE ，则BE =BF =AB +AF =AB +CE =3+CE ，再由BC =BE +CE =5求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 延长线于F ， ∵DF ⊥BA ，DE ⊥BC ，BD 是∠ABC 的角平分线， ∴∠DFA =∠DEC =90°，DF =DE ， 又∵AD =CD ，∴△DFA ≌△DEC （HL ）， ∴∠ECD =∠FAD ， ∵∠FAD +∠BAD =180°， ∴∠BCD +∠BAD =180°；（2）∵△DFA≌△DEC，∴AF=CE，DE=DF，又∵BD=BD，∠BFD=∠BED=90°，∴△BFD≌△BED（HL），∴BF=BE，∴BE=BF=AB+AF=AB+CE=3+CE，∵BC=BE+CE=5，∴3+CE+CE=5，∴CE=1．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质．4．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据BD是∠ABC的平分线，可得ABE CBE∠=∠，进而根据边角边证明≌即可；ABE CBE△△（2）由(1)得AEB CEB∠=∠，由DF AE DG CE∠=∠，从而AED CED，，根据角⊥⊥平分线上的点到角的两边的距离相等，可得DF DG=．【详解】（1） BD是∠ABC的平分线，∴ABE CBE∠=∠，在ABE△与CBE△中，AB BC ABE CBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBE △△≌，（2）ABE CBE △△≌∴AEB CEB ∠=∠，∴AED CED ∠=∠， 又∵DF AE DG CE ⊥⊥，， ∴DF DG =． 5．证明：∵AO 平分BAC ∠，,BD AC CE AB ⊥⊥ ∴ OEOD ，90,90BEO CDO ∠=∠=在BOE △和COD △中，90BEO CDO OE OD BOE COD ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BOE COD ≌ ∴OB OC = 6．证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE =DF ，∠AED =∠AFD =90°， 在Rt △AED 和Rt △AFD 中，AD ADDE DF =⎧⎨=⎩，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ， ∴AE =AF ， ∵DE =DF ，∴AD 是EF 的垂直平分线， ∴AD 与EF 垂直． 7．在△ABD 和△CBD 中，AB CB AD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABD≌△CBD（SSS ），∴∠ABD=∠CBD，∴BD 平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．8．证明：连接BE 、EC ，∵ED⊥BC，D 为BC 中点，∴BE＝EC ，∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE 平分∠FAG，∴FE＝EG ，在Rt△BFE 和Rt△CGE 中BE CE EF EG ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL ），∴BF＝CG9．证明：如图，过点M 作ME AB ⊥，MF AC ⊥，垂足分别为E 、F ．∴90BEM CFM∠=∠=︒．在BEM△和CFM△中，BEM CFMEBM FCM BM CM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BEM△≌CFM△．∴ME MF=．又ME AB⊥，MF AC⊥，∴点M在BAC∠的平分线上，即AM平分BAC∠．10．证明：如图，过点P作PE、PF、PG分别垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G．∵PB、PC分别是ABC△的外角平分线，∴PE PF=，PF PG=，∴PE PG=．∴点P在A∠的平分线上．11．解：BP为MBN∠的平分线．理由如下：作PE AC⊥，垂足为E．∵AP ，CP 分别是MAC ∠与NCA ∠的平分线，且PD BM ⊥，PF BN ⊥， ∴PD PE =，PF PE =．∴PD PF =．又PD BM ⊥，PF BN ⊥，∴点P 在MBN ∠的平分线上．∴BP 为MBN ∠的平分线．12．∵AD BC ⊥，EG BC ⊥，∴90ADC EGC ∠=∠=︒．∴AD EG ．∴13∠=∠，2E ∠=∠．又3E ∠=∠，∴12∠=∠．∴AD 平分BAC ∠．13．证明：∵FD ∥EC ，∠D =42°，∴∠BCE =42°，∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠ACB =2∠BCE =84°，∵∠A =46°，∴∠B =180°-84°-46°=50°14．∵OC 平分∠AOB(已知)，∴∠1＝∠BOC(角平分线的定义)∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠BOC(等量代换)，∴EF∥OB(内错角相等，两直线平行)．15．【详解】∵在△ABC中，∠ACB=90°，高CD和角平分线AE交于点F，EH⊥AB于点H，∴CE=HE，∠CAE=∠EAH，∵∠CAE+∠AEC=90°，∠EAH+∠AEF=90°∴∠AEC=∠AEH，∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CD∥EH，∴∠EFC=∠AEH，∴∠AEC=∠E FC，∴CE=CF，∴CF=EH．16．【详解】证明：如图连接AP，在△ABP和△ACP中，∵AB ACAP APPB PC=⎧⎪=⎨⎪=⎩（公共边），∴△ABP≌△ACP（SSS），∴∠BAP＝∠CAP（三角形全等对应角相等），又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF．17．（【详解】（1）证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠B ED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，∵BED CFDEDB FDCBD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等），∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS），∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等），∴D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：成立．理由如下：∵点D在∠BAC的平分线上，且BF⊥AC，CE⊥AB，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，∵BED CFDDE DFEDB FDC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA），∴BD＝DC（全等三角形的对应边相等）．18．（1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE=DC，∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC．（2）解：∵∠C=90°，∠A=36°，∴∠ABC=54°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=27°．19．解：证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，∴PQ=PT，PS=PT，∴PQ=PS，∴AP 平分∠DAC，即PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；（2）∵PA 平分∠BAC 的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△AED 和△AEC 中，DAE CAE AE AEDEA CEA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AED≌△A EC （ASA ），∴CE=ED．20．（1）证明：如图1，过O 作OE⊥AB 于E ，OF⊥AC 于F ，则∠OEB=∠OFC=90°，∵点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，∴OE=OF，在Rt△OE B 和Rt△OFC 中，OB OC OE OF⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL ），∴∠ABC=∠ACB；（2）证明：如图2，过O 作OE⊥AB 于E ，OF⊥AC 于F ， 则∠OEB=∠OFC=90°，∵点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，∴OE=OF，在Rt△OEB 和Rt△OFC 中OB OC OE OF⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL ），∴∠ABO=∠ACO，∵∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB；（3）解：若O 点在△ABC 的外部，∠ABC=∠ACB 不一定成立， 理由是：①当∠A 的平分线和BC 的垂直平分线重合时，如图3，过O 作OE⊥AB 交AB 的延长线于E ，OF⊥AC 交AC 的延长线于F ， 则∠OEB=∠OFC=90°，∵点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，∴OE=OF，在Rt△OEB 和Rt△OFC 中OB OC OE OF⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL ），∴∠EBO=∠FCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠ABC=180°-（∠OBC+∠EBO），∠ACB=180°-（∠OCB+∠FCO）， ∴∠ABC=∠ACB；②当∠A 的平分线和BC 的垂直平分线不重合时，如图④，此时∠ABC 和∠ACB 不相等．。

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12.3 角的平分线的性质
一、选择题
1．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中∠BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2. 已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E,且DE=3cm,则点D 到AC 的距离是( ) A.2cm; B.3cm; C.4cm; D.6cm 3．如图1，已知CE 、CF 分别是△ABC 的内角和外角平分线，•则图中与∠BCE 互余的角有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
4．如图2，已知点P 到AE 、AD 、BC 的距离相等，则下列说法：①点P 在∠BAC 的平分线上；②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P 在∠BCD 的平分线上；④点P 是∠BAC 、∠CBE 、∠BCD 的平分线的交点，其中正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．①②③
C ．④
D ．②③
D
C
B
A E
F
A
P
D
C
B
A E
（1） (2) (3) 二、填空题
5．用直尺和圆规平分已知角的依据是______________．
6．角的平分线上的点到_______________相等；到___________________________相等的点在这个角的平分线上．
7．如图3，AB ∥CD ，AP 、CP 分别平分∠BAC 和∠ACD ，PE ⊥AC 于E ，且PE=•2cm ，则AB 与CD 之间的距离是___________． 三、解题题
8．请你画一个角，并用直尺和圆规把这个角两等分．
9．如图，四边形ABCD 中AB=AD ，CB=CD ，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥CD 于F ，求证PE=PF ．
P
D
C B
A
E
F
10．如图，四边形ABCD 中AB=AD ，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，P 是对角线AC 上一点，•求证：PB=PC ．
P
D
C
B
A
11．如图，已知CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD 交BE 于点O ． ①若OC=OB ，求证：点O 在∠BAC 的平分线上． ②若点O 在∠BAC 的平分线上，求证：OC=OB ．
C
A
E
O
参考答案:
1．B 2．B 3．C 4．A 5．SSS
6．角的两边的距离；角的两边的距离 7.4cm 8．略 9．证明AC 平分∠BCD
10．先证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，再证△APB ≌△APD
11．①证明△COE ≌△BOD 得到OE=OD ；②先由角平分线的性质证明OE=OD ，•再证明△COE ≌△BOD。

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