南开大学金融数学随机过程讲义

舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮
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随机过程讲义
(内部交流)
目 录
目 录
1 Poisson 过程 舱舮舱 定义 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舲 另一个等价定义 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舳 艐良艩艳艳良艮过程的其它性质 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舳舮舱 顺序统计量 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舳舮舲 过程的稀疏 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舴 复合艐良艩艳艳良艮过程及应用 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舴舮舱 复合艐良艩艳艳良艮过程 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舴舮舲 复合艐良艩艳艳良艮过程在保险风险理论中的应用 舱舮舵 艐良艩艳艳良艮 过程的其它扩展 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舵舮舱 非齐次 艐良艩艳艳良艮 过程 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舵舮舲 条件 艐良艩艳艳良艮 过程 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舵舮舳 艐良艩艳艳良艮 随机测度 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 2 离散时间马氏链 舲舮舱 定义与例 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舲舮舲 状态分类 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舲舮舲舮舱 状态空间的分解 舮 舲舮舲舮舲 状态的常返 舮 舮 舮 舲舮舲舮舳 状态的周期性 舮 舮 舲舮舳 不变测度和平稳分布 舮 舮 舲舮舴 极限定理 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舲舮舴舮舱 极限分布 舮 舮 舮 舮 舲舮舴舮舲 比率定理 舮 舮 舮 舮 舲舮舵 一些例子 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 1 舱 舳 舵 舵 舶 舷 舷 舸 舱舰 舱舰 舱舰 舱舱 12 舱舲 舱舴 舱舴 舱舵 舲舰 舲舰 舲舳 舲舳 舲舶 舲舷 33 舳舳 舳舳 舳舵 舳舶 舳船 舴舳 舴舶 舴舸
舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮
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−λt (λt) k
k!
,
k = 0, 1, . . . .
§1.2
பைடு நூலகம்
另一个等价定义
设 N (t) 是 参 数 为 λ 的 艐良艩艳艳良艮 过 程 。 令 S0 = 0般 Sn = inf {t > 0, N (t) ≥ n}般 Tn = Sn − Sn−1 般 n = 1, 2, . . .舮 定理 1.3 Tn , n = 1, 2, . . . 独立同分布且服从参数 λ 的指数分布。 证明 由 P (T1 > t) = P (N (t) = 0) = e−λt , T1 服从参数为 λ 的指数分布。对 0 < t1 < t2 和充分小的 h1 般 h2 > 0般 P (t1 − h1 < S1 ≤ t1 + h1 , t2 − h2 < S2 ≤ t2 + h2 ) =P (N (t1 − h1 ) = 0, N (t1 + h1 ) − N (t1 − h1 ) = 1, N (t2 − h2 ) − N (t1 + h1 ) = 0, N (t2 + h2 ) − N (t2 − h2 ) = 1) =e−λ(t1 −h1 ) · λ2h1 e−2λh1 · e−λ(t2 −h2 −t1 −h1 ) · λ2h2 e−2λh2 =4λ2 h1 h2 e−λ(t2 +h2 ) . 所以，(S1 , S2 ) 的联合密度函数为 g (s1 , s2 ) = λ2 e−λs2 , 0 < s1 < s2 ; 0, 其它。 舨舱舮舳舩
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§1.1
(i) N (t)是计数过程，N (0) = 0;
定义
定义 1.1 称 {N (t), t ≥ 0} 为参数为 λ 的（齐次） Poisson 过程，若
(ii) N (t) 具有平稳独立增量，即对任意的 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn , t ≥ 0, h > 0, 有 N (t1 ) − N (t0 ), . . ., N (tn ) − N (tn−1 ) 独立，且 N (t + h) − N (t) 与 N (h) 同分布； (iii) 当 h ↓ 0 时， P (N (h) = 1) = λh + o(h), P (N (h) ≥ 2) = o(h). 舨舱舮舱舩
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3 连续时间马氏链 舳舮舱 定义 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舳舮舱舮舱 马氏性与等价条件 舳舮舱舮舲 转移概率 舮 舮 舮 舮 舮 舳舮舲 标准转移矩阵的分析性质 舳舮舳 Q 矩阵及其概率意义 舮 舮 舮 舳舮舴 向前与向后微分方程组 舮 舮 舳舮舵 一类马氏链的构造 舮 舮 舮 舮 舳舮舶 强马氏性 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮
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舭艩舭
第一章 艐良艩艳艳良艮 过程
第一章
Poisson 过程
k
称随机变量 X 服从参数为 λ 的 艐良艩艳艳良艮 分布，若 P (X = k ) = e−λ λ 般 k = 0, 1, . . .舮 k! −λt 称随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布，若 P (X > t) = e 舮 此时，X 的密度 函数为 λe−λt 般 t > 0般 分布函数为 1 − e−λt 般 t > 0舮 指数分布满足无记忆性，即 P (X > t + s) = P (X > t)P (X > s). 引理 1.1 设随机变量 X , Y 独立，f : R × R → R 有界可测。令 g (x) = E [f (x, Y )]. 则 g (X ) 可积，且 E [f (X, Y )] = E [g (X )]. 称 {N (t), t ≥ 0} 为 计 数 过 程 ， 若 N (t) 表 示 在 时 刻 t 之 前 发 生 事件 的 次 数 。 因 此，计数过程 N (t) 满足： 舨艩舩 N (t) ≥ 0舻 舨艩艩舩 N (t) 为整数值； 舨艩艩艩舩 对 0 ≥ s ≤ t般 N (s) ≤ N (t)舻 舨艩艶舩 对 0 ≤ s < t般 N (t) − N (s) 表在区间 (s, t] 发生事件的次数。
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第一章 艐良艩艳艳良艮 过程
这样，艐良艩艳艳良艮 过程有如下的等价定义。 定义 1.2 称 {N (t), t ≥ 0} 为参数为 λ 的 Poisson 过程，若 (i) N (t) 是计数过程，且 N (0) = 0; (ii) N (t) 是独立增量过程； (iii) 对任意的 t ≥ 0, h > 0, 有 P (N (t + h) − N (t) = k ) = e
定理 1.2 设 N (t) 是参数为 λ 的 Poisson 过程，则对任意的 h > 0, P (N (t + h) − N (t) = k ) = e−λt (λt)k , k! k = 0, 1, . . . . 舨舱舮舲舩
舭舱舭
第一章 艐良艩艳艳良艮 过程 证明 记 pn (t) = P (N (t) = n) = P (N (t + s) − N (s) = n)舮 艩舩 先考虑 n = 0 的情形。对 h > 0般 有 p0 (t + h) = P (N (t + h) = 0) = P (N (t) = 0, N (t + h) − N (t) = 0) = P (N (t) = 0)P (N (t + h) − N (t) = 0) = p0 (t)p0 (h). 应用 p0 (h) = P (N (h) = 0) = 1 − P (N (h) = 1) − P (N (h) ≥ 2) = 1 − λh + o(h), 得 p0 (t + h) − p0 (t) = (1 − p0 (h))p0 (t) = λhp0 (t) + o(h). 从而 p0 (t) 在 t 右可导，且右导数为 −λp0 (t)舮 而 p0 (t − h) − p0 (t) p0 (t − h) − p0 (t − h)p0 (h) = h h 1 − p0 (h) p0 (t) = , h p0 (h) 令 h → 0 可得 p0 (t) 在 t 的左导数也存在，且为 −λp0 (t)舮 这样 p0 (t) = −λp0 (t), 于是 p0 (t) = e−λt 舮 艩艩舩 当 n > 0 时 pn (t + h) = P (N (t + h) = n) = P (N (t) = n, N (t + h) − N (t) = 0) + P (N (t) = n − 1, N (t + h) − N (t) = 1) + P (N (t + h) = n, N (t + h) − N (t) ≥ 2) = pn (t)p0 (h) + pn−1 (t)p1 (h) + o(h) = (1 − λh)pn (t) + λhpn−1 (t) + o(h). 对 h > 0般 有 pn (t + h) − pn (t) o(h) = −λpn (t) + λpn−1 (t) + , h h 从而 pn (t) 在 t 的右导数为 −λpn (t) + λpn−1 (t)舮 类似的可知 pn (t) 的左导数也存在。 这样 pn (t) = −λpn (t) + λpn−1 (t), pn (0) = 0, n ≥ 1. 上面方程等价于 (eλt pn (t)) = eλt pn−1 (t). 容易得到 pn (t) = e−λt 舭舲舭 (λt)n . n! p0 (0) = 1,