2016-2017年广东省广州市执信中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)

2016-2017学年广东省广州市执信中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡相应的区域．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|x≥0}D．{x|﹣1＜x≤0}2．（5分）已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是（）A．①②③B．②④C．②D．④3．（5分）2014年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（）A．92 B．94 C．116 D．1184．（5分）如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的m，n 分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．905．（5分）如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量，，则∠ABC=（）A．30°B．60°C．120° D．150°7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），直线x=是它的一条对称轴，且（，0）是离该轴最近的一个对称中心，则φ=（）A．B．C．D．8．（5分）如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（）A．cm2 B．cm2 C．8cm2D．14cm29．（5分）给出如下列联表：参照公式K2=，P（K2≥10.828）≈0.001，p（K2≥6.635）≈0.010得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病无关”B．有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病有关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病无关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病有关”10．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式﹣﹣≤0恒成立，则m的最大值为（）A．4 B．16 C．9 D．311．（5分）两定点F1（﹣3，0），F2（3，0），P为曲线=1上任意一点，则（）A．|PF1|+|PF2|≥10 B．|PF1|+|PF2|≤10 C．|PF1|+|PF2|＞10 D．|PF1|+|PF2|＜10 12．（5分）将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为a ij，例如a42=15，若a ij=2015，则i﹣j=（）A．26 B．27 C．28 D．29二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置13．（5分）如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于，解释变量和预报变量之间的相关系数等于．14．（5分）若方程表示椭圆，则m的取值范围是．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是．三．解答题：必做大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若2cos2﹣2sin2=，且A＜B，求．18．（10分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．20．（12分）某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如图，已知分数在100﹣110的学生数有21人．（1）求总人数N和分数在110﹣115分的人数n；（2）现准备从分数在110﹣115的n名学生（女生占）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x（满分150分），物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩．已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程=x+．若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？（参考公式：=，=﹣）21．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为，动点M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以O M（O为坐标原点）为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作O M的垂线与以O M为直径的圆交于点N，证明线段O N的长为定值，并求出这个定值．22．（12分）已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）．（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论f（x）零点的个数．2016-2017学年广东省广州市执信中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡相应的区域．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|x≥0}D．{x|﹣1＜x≤0}【解答】解：由N中y=，得到x≥0，即N={x|x≥0}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}．故选：B．2．（5分）已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是（）A．①②③B．②④C．②D．④【解答】解：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，因此不正确；②已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则p与q都为假命题，∴￢p，￢q都为真命题，∴“￢p∧￢q为真命题”，正确；③“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，不正确；④“若xy=0，则x=0且y=0”是假命题，因其逆否命题为假命题，因此不正确．综上可得：其中所有真命题的序号是②．故选：C．3．（5分）2014年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（）A．92 B．94 C．116 D．118【解答】解：在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为x，则，解得x=94，故选：B．4．（5分）如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的m，n 分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件； 故输出的m 值为45， 故选：C ．5．（5分）如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵由题意知在正方形中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 点落入Ω中，∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积=m ：n ∴不规则图形Ω的面积=×正方形的面积=×a 2=．故选：C ．6．（5分）已知向量，，则∠ABC=（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 【解答】解：∵向量，，∴=（﹣，﹣），||=1，||=1，∴=﹣•+•（﹣）=1×1×cos ∠ABC ，∴cos ∠ABC=﹣，∴∠ABC=150°， 故选：D ．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），直线x=是它的一条对称轴，且（，0）是离该轴最近的一个对称中心，则φ=（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，=﹣=，∴T=2π，∴ω=1；又函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）图象过点（，0），∴sin（+φ）=0，+φ=kπ，k∈Z；解得φ=kπ﹣，k∈Z；当k=1时，φ=满足题意．故选：B．8．（5分）如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（）A．cm2 B．cm2 C．8cm2D．14cm2【解答】解：由已知中的三视图，我们可以得到该几何体是一个正四棱锥，又由主视图与左视图是边长为2的正三角形可得棱锥的底面上的棱长为2，棱锥的高为则棱锥的侧高（侧面的高）为2故棱锥的侧面积S=4×=8cm2故选：C．9．（5分）给出如下列联表：参照公式K2=，P（K2≥10.828）≈0.001，p（K2≥6.635）≈0.010得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病无关”B．有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病有关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病无关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病有关”【解答】解：因为P（K2≥10.828）≈0.001，p（K2≥6.635）≈0.010，所以有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病有关”．故选：B．10．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式﹣﹣≤0恒成立，则m的最大值为（）A．4 B．16 C．9 D．3【解答】解：不等式恒成立⇒的最小值，∵a＞0，b＞0，=10+≥10+=16，当且仅当，即a=b时取等号．∴m≤16，即m的最大值为16．故选：B．11．（5分）两定点F1（﹣3，0），F2（3，0），P为曲线=1上任意一点，则（）A．|PF1|+|PF2|≥10 B．|PF1|+|PF2|≤10 C．|PF1|+|PF2|＞10 D．|PF1|+|PF2|＜10【解答】解：∵F1（﹣3，0），F2（3，0），∴满足|PF1|+|PF2|=10的点在以F1、F2为焦点，2a=10的椭圆上可得椭圆的方程为，∵曲线=1表示的图形是图形是以A（﹣5，0），B（0，4），C（5，0），D（0，﹣4）为顶点的菱形∴菱形ABCD的所有点都不在椭圆的外部，因此，曲线=1上的点P，必定满足|PF1|+|PF2|≤10故选：B．12．（5分）将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为a ij，例如a42=15，若a ij=2015，则i﹣j=（）A．26 B．27 C．28 D．29【解答】解：根据正奇数排列的正三角图表知，2015是第1008个奇数，应排在i行（其中i∈N*），则1+2+3+…+（i﹣1）=i（i﹣1）≤1008①，且1+2+3+…+i=i（i+1）＞1008②；验证i=45时，①②式成立，所以i=45；第45行第1个奇数是2××44×45+1=1981，而1981+2（j﹣1）=2015，∴j=18；∴i﹣j=45﹣18=27．故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置13．（5分）如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于0，解释变量和预报变量之间的相关系数等于1或﹣1．【解答】解：设样本点为（x i，y i），i=1，2，3，…n，回归直线为；若散点图中所有的样本点都在一条直线上，则此直线方程就是回归直线方程．所以有；残差平方和；解释变量和预报变量之间的相关系数R满足，∴R=±1．故答案为0，1或﹣1．14．（5分）若方程表示椭圆，则m的取值范围是（1，2）∪（2，3）．【解答】解：∵方程表示椭圆，∴，解得1＜m＜3，且m≠2．故答案为（1，2）∪（2，3）．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（13，49）．【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴f（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立，∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2，∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立，设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则d=表示区域内的点和原点的距离．由下图可知：d的最小值是OA=，OB=OC+CB，5+2=7，当x＞3时，x2+y2的范围为（13，49）．故答案为：（13，49）．三．解答题：必做大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若2cos2﹣2sin2=，且A＜B，求．【解答】解：（Ⅰ）将（a，b）代入直线解析式得：a（sinA﹣sinB）+bsinB=csinC，由正弦定理==得：a（a﹣b）+b2=c2，即a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理得cosC==，∵0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）∵2cos2﹣2sin2=1+cosA﹣1+cosB=cosA+cos（﹣A）=cosA+sinA=sin（A+）=，∵A+B=，且A＜B，∴0＜A＜，∴＜A+＜，即A+=，∴A=，B=，C=，则===．18．（10分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n．设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．【解答】解：（1）当点Q为棱PB的中点时，QM∥面PAD，证明如下…（1分）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以，在菱形ABCD中AD∥BC可得QM∥AD…（3分）又QM⊄面PAD，AD⊂面PAD所以QM∥面PAD…（5分）（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．…（7分）在Rt△POC中，，，在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，所以△PAC的面积，…（9分）设点D到平面PAC的距离为h，=V P﹣ACD得…（10分）由V D﹣PAC，又，所以，…（11分）解得，所以点D到平面PAM的距离为．…（12分）20．（12分）某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如图，已知分数在100﹣110的学生数有21人．（1）求总人数N和分数在110﹣115分的人数n；（2）现准备从分数在110﹣115的n名学生（女生占）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x（满分150分），物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩．已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程=x+．若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？（参考公式：=，=﹣）【解答】解：（1）分数在100﹣110内的学生的频率为P1=（0.04+0.03）×5=0.35，…（1分）所以该班总人数为N==60，…（2分）分数在110﹣115内的学生的频率为P2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，分数在110﹣115内的人数n=60×0.1=6．．…（4分）（2）由题意分数在110﹣115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为A1，A2，A3，A4，女生为B1，B2，从6名学生中选出3人的基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A 3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15个．其中恰好含有一名女生的基本事件为（A1，B1），（A1，B2），（A2，B2），（A2，B1），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），共8个，所以所求的概率为P=．…（9分）（3）=100，=100；…（10分）由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到==0.5，=100﹣0.5×100=50，∴线性回归方程为=0.5x+50，…（11分）∴当x=130时，=115．…（12分）21．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为，动点M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以O M（O为坐标原点）为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作O M的垂线与以O M为直径的圆交于点N，证明线段O N的长为定值，并求出这个定值．【解答】（1）解：由题意得，①∵椭圆经过点，∴②又a2=b2+c2③由①②③解得a2=2，b2=c2=1．∴椭圆的方程为．（2）解：以OM为直径的圆的圆心为，半径，故圆的方程为．∵以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，∴圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离．∴，即2|2t+2|=5t，故4t+4=5t，或4t+4=﹣5t，解得t=4，或．又t＞0，故t=4．所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．（3）证明：方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K．直线OM的方程为，直线FN的方程为．由，解得，故．∴；．又．∴．∴线段ON的长为定值．方法二：设N（x，y0），则，，，．∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0．∴2x0+ty0=2．又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0．∴．∴为定值．22．（12分）已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）．（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论f（x）零点的个数．【解答】解：（1）当m=2，且x＜0时，是单调递减的．证明：设x1＜x2＜0，则===又x1＜x2＜0，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故当m=2时，在（﹣∞，0）上单调递减的．（2）由f（2x）＞0得，变形为（2x）2﹣2x+m＞0，即m＞2x﹣（2x）2而，当即x=﹣1时，所以．（3）由f（x）=0可得x|x|﹣x+m=0（x≠0），变为m=﹣x|x|+x（x≠0）令作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得：当或时，f（x）有1个零点．当或m=0或时，f（x）有2个零点；当或时，f（x）有3个零点．。