第五章 异方差性
《计量经济学》第五章 异方差性
25
（一）残差图形分析
设一元线性回归模型为： Yi β1 β2 X i ui
运用OLS法估计,得样本回归模型为： ˆ ˆ ˆ Yi = β1 + β2 X i
由上两式得残差：
ˆ ei Yi - Yi
绘制出 ei2 对 X i的散点图 ◆如果 ei 2 不随 X i 而变化，则表明不存在异方差； ◆如果 ei 2 随 X i 而变化，则表明存在异方差。
●图示检验法 ● 帕克检验 ● 格莱泽检验 ● Goldfeld-Quanadt检验 ● White检验
24
在经济研究中，对应于一个具体的 X 值， 多数情况都只有一个样本 值。所以 Y 没有任何办法能从仅仅一个 Y 观测值去获 得 i 2 。因此在大多数的计量经济调查研 究中，异方差不过是一种直觉，深思熟虑 的猜测，先前经验或纯粹猜想。
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）检验的特点
不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异
方差随某个解释变量变化的函数形式
该检验要求变量的观测值为大样本。
进行诊断。
28
（三）检验的步骤
1.建立模型并求 ei 根据样本数据建立回归模型，并求残差序列
ˆ ei = Yi - Yi
2.寻找 ei 与 X 的最佳函数形式
用残差绝对值 ei 对 X i 进行回归，用各种函数
13
一、对参数估计统计特性的影响
（一）参数估计的无偏性仍然成立 参数估计的无偏性仅依赖于基本假定中的零均值 假定（即 E(ui ) 0 ）。所以异方差的存在对无偏性 的成立没有影响。 （二）参数估计的方差不再是最小的 同方差假定是OLS估计方差最小的前提条件，所 以随机误差项是异方差时，将不能再保证最小二 乘估计的方差最小。
计量经济学庞皓课件(第五章 异方差性)
绘制出
ei2
对
X
的散点图
i
◆如果 ui 不随 Xi 而变化，则表明不存在异方差；
◆如果 ui 随 Xi 而变化，则表明存在异方差。
19
二、Goldfeld-Quanadt检验
作用：检验递增性(或递减性)异方差。
基本思想：将样本分为两部分，然后分别对两个样 本进行回归，并计算两个子样的残差平方和所构成 的比，以此为统计量来判断是否存在异方差。
E(Yi ) 1 2 X 2i 3X3i ... k X ki （5.2）
的分散程度，因此同方差性指的是所有观测值的
分散程度相同。
6
异方差性的含义
设模型为
Yi 1 2 X2i 3 X3i ... k X ki ui i 1, 2,..., n
如果对于模型中随机误差项 ui 有：
即认为存在异方差性。
38
第四节 异方差性的补救措施
主要方法:
●模型变换法 ●加权最小二乘法 ●模型的对数变换
39
一、模型变换法
以一元线性回归模型为例：
Yi 1 2 X i ui
经检验 ui 存在异方差，且
var(ui )
2 i
2
f
(Xi)
其中 σ 2是常数，f (Xi ) 是 X i的某种函数。
40
变换模型时，用 f (Xi) 除以模型的两端得：
Yi = f(Xi )
β1 f(X i
)
+
β2
Xi + f(Xi )
ui f(Xi )
记 Yi* 则有：
Yi f (Xi)
;
X
* i
Xi f (Xi)
; 1*
Yi*
第五章 异方差性
26
异方差性的检验
问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：
Var(ui ) E(uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2) ei2
图示检验法
图示检验法
（一）相关图形分析 方差描述的是随机变量取值的（与其均值的）离散程度。因为被解释
变量Y与随机误差项u有相同的方差，所以分析Y与X的相关图，可以初 略地看到Y的离散程度与X之间是否有相关关系。
ui 的某些分布特征，可通过残差 ei 的图形对异方差进行观察。
对于一元回归模型，绘制出ei2 对Xi的散点图,对于多元回归模型，绘制出ei2 对Yi的散点图或ei2 与认为和异方差有关的X的散点图。
31
图示检验法
（二）残差图形分析
e~i 2
e~i 2
X 同方差
e~i 2
X 递增异方差
e~i 2
X 递减异方差
每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机
误差项的异方差性
产生异方差性的原因
产生异方差性的原因
（一）模型设定误差
假设正确的模型是：
Yi 1 2 X2i 3 X3i ui
假如略去了重要的解释变量X3 ，而采用 Yi 1 2 X2i vi
排序，再按戈德菲尔德匡特检验方法回归，否则即使存在异方差，也有可能用戈德菲
尔德匡特方法检验不出来。
用 EViews 给截面数据排序的方法：在 Workfile 窗口点击 Procs 键并选 Sort current page
功能，在打开的 Sort Workfile Series 对话窗填写以哪一个序列为标准（基准序列）排
5异方差性
钱还很多，这些余钱可用于购买奢侈消费品，也可用于储蓄或投资，其消费支出的方差 将会很大。显然，这里存在异方差现象。
又例如，使用截面资料建立储蓄模型（可能存在异方差）
Yi 1 2 X i ui
Yi : 第i个家庭的储蓄额; X i : 第i个家庭的可支配收入 ui : 除可支配收入之外的其它因素(如 : 利息、家庭人口、文化背景等)
销售收入 利润总额
商店名称
X
Y
回归值
残差
1、百货大楼 2、城乡贸易中心
… 19．新街口百货商场 20．星座商厦
160.0
12.8
10.2
2.634705
151.8
8.9
9.6
-0.717881
…
…
…
…
22.2
1.0
1.0
0.033928
20.7
0.5
0.9
-0.365935
资料来源：《北京统计年鉴》1997年卷 利润总额对销售收入的线性回归, Kt增大），观测误差降低， 引起ui偏离均值的程度不同，会产生异方差。
又例如，边学边改学习模型（人们在学习过程中，其行为误差随时间而减少）。
在给定的一段时间内，打字出错个数与用于打字练习的小时数的关系。随着打字练 习时间的增加，平均打错个数及打错个数的方差都有所下降。
E(2
xi u i xi2
2)2
E(
xi u i xi2
)2
xi2
u
2 i
E(
2
i j
xi x juiu j
)
E（
xi2
u
2 i
）
(xi2 ) 2
(xi2 ) 2
xi2
庞浩 计量经济学5第五章 异方差性
同方差
递增型异方差
递减型异方差
复杂型异方差
18
2.借助X-e2散点图进行判断 观察散点的纵坐标是否随解释变量Xi的变化而 变化。
~2 e2e i ei e2 ~2
X 同方差 递增异方差
X
e2
~2 e i
~2 e 2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
X
19
二、戈德菲尔德—夸特 （Goldfeld-Quanadt）检验
3
说明1
矩阵表示： Y X u 随机扰动项向量 其方差—协 u1 u 方差矩阵不 2 u 再是： un n1 而是：
2 2 Var Cov ( ui ) 2 nn
ei X i v i
ei
1 vi Xi
ei X i v i 1 ei vi Xi
③利用上述回归的R2、t统计量、F统计量等判断，R2 好、t统计量和F统计量显著，即可判定存在异方差。 28
说明： 1.也可以用 e i 与可能产生异方差的多个解释变 量进行回归模拟； 2.戈里瑟检验的优点在于不仅检验了异方差是否 存在，同时也给出了异方差存在时的具体表现 形式，为克服异方差提供了方便。 3.试验模型选得不好，也可能导致检验不出是否 存在异方差性。
12 2 2 Var Cov ( ui ) 2 n nn
4
说明2
随机扰动项 ui具有异方差性，可理解释为被解释变量 的条件分散程度随解释变量的变化而变化，如下图所 示：var( ui ) i2 2 f ( X i)(i 1,2,, n)
10
第二节 异方差性的后果
第5章 异方差性
估计量不具有最佳性。 但OLS估计量不具有最佳性。 估计量不具有最佳性
5.2.3对模型参数估计值显著性检验的影响 对模型参数估计值显著性检验的影响
e′e 并非随机误差项 并非随机误差项 在异方差情况下， ˆ 在异方差情况下， σ = n − k −1 方差的无偏估计量。 方差的无偏估计量。
2
ˆ 导致在此基础上估计的 s ( b j ) 也出现偏误。
e t 来近似代表随机误差项
5.3.1图示检验法 图示检验法
的估计值） （1）用X（或Y的估计值）与残差平方的散点图进 ） （ 的估计值 行初步判断
~ ei 2 ~ ei 2
X 同方差 递增异方差
X
~ ei 2
~ ei 2
X 递减异方差 复杂型异方差
X
（2）用X-Y的散点图进行判断 ） 的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大 缩小 复杂型趋势 散点扩大、缩小 散点扩大 缩小或复杂型趋势 （即不在一个固定的带型域中）
. 0 . 0 . ... σ nn ...
5.1.2产生异方差的原因 产生异方差的原因
1、解释变量的遗漏。 2、来自不同抽样单元的因变量观察值的差异。 3、异常观测值的出现。 4、时间序列数据中，观测技术的改进引起的观测值的变化。
注意： （1）时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差，其 中截面样本中更为常见。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时 间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。
yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut
1、用普通最小二乘法估计模型，求出残差平方序 2 列：e t
2、以残差平方作为因变量，以原方程中所有解释变 解释变 解释变量的平方项和交叉积项 量以及解释变量的平方项 交叉积项 解释变量的平方项 交叉积项做辅助回归：
第五章异方差ppt课件
f
ˆ 2
2
w i (Yˆ ( ˆ1 ˆ2 X i ))( X i ) 0
ˆ2
wi xi* yi*
w
i
x
* i
2
ˆ1 Y * ˆ 2 X *
其中， X * w i X i ， Y * w iYi
wi
wi
xi*
Xi
X
* i
,
yi*
Yi
Yi*
Econometrics 2005
将是不可靠的。
Econometrics 2005
13
5.3 异方差的检验
方法有 （1）图示法（ X _ e2）； （2）解析法：
戈德菲尔德－匡特检验 怀特检验 ARCH检验
Econometrics 2005
14
5.3.1 图示法及其类型
1. 异方差指u的方差随着x的变化而变化。 2. 故可以根据x-e2的散点图，对异方差是否
Y的预测值的精度降低；
2
（2）由于 i 难以确定， Y的方差也就难以确定， Y
的预测区间的确定也出 现困难；
2
（3）在 ＝ ei2 /( n k )是 2的无偏的证明中用到了
2
同方差的假定，由于异 方差性，使得 ＝ ei2 /( n k )
是有偏的。在此区间估 计基础上区间估计和假 设检验
基本思路:
（以二元回归为例Y：t 1 2 X2t 3X3t ut）
如果有异方差，则i2与解释变量有关系。：如
i2＝0
1X2i
3 X3i
2
X
2 2i
4 X32i
5 X2i
X3i＋vi
但是i2一般未知，用模型回剩归余ei2作为i2的渐进
第5章 异方差性
5、计算统计量：
RSS2
F
nc ( k 1) nc nc 2 ~ F( k 1, k 1) RSS1 2 2 nc ( k 1) 2
6、在给定的显著性水平下比较判断。
注意： （1） 当模型含有多个解释变量时，应以每一个解释变 量为基准检验异方差。 （2）对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据 按解释变量的值从小到大排序。 （3）G—Q检验仅适用于检验递增或递减型异方差。 （4）检验结果与数据剔除个数c的选取有关。 （5） G—Q检验无法判定异方差的具体形式。
5.2异方差性的后果
5.2.1对模型参数估计值无偏性的影响
以简单线性回归模型为例，对模型 yt = b0 + b1 xt + ut ˆ 当Var(ut) = t 2，为异方差时，以 b1 为例：
ˆ b1
k
t
yt b1 kt ut
ˆ E (b1 ) E (b1 kt ut ) b1
划分方法是： 把成对（组）的观测值按解释变量的大小顺序排列， 略去c个处于中心位置的观测值 （通常n 30时，取c n/ 4）， 余下的n- c个观测值自然分成容量相等，(n- c) / 2的两 个子样本。
{x1, x2, …, xt-1, xt, xt+1, …, x n-1, xn}
n1 = (n-c) / 2
5.2.3对模型参数估计值显著性检验的影响
ee ˆ 并非随机误差项 在异方差情况下， n k 1 方差的无偏估计量。
2
ˆ 导致在此基础上估计的 s ( b j ) 也出现偏误。
ˆ bj 而变量的显著性检验中，构造了t统计量 t ˆ s(b j )
变量的显著性检验失去意义。
计量经济学第五章异方差性
计量经济学第五章异⽅差性第五章异⽅差性本章教学要求：根据类型，异⽅差性是违背古典假定情况下线性回归模型建⽴的另⼀问题。
通过本章的学习应达到，掌握异⽅差的基本概念包括经济学解释，异⽅差的出现对模型的不良影响，诊断异⽅差的⽅法和修正异⽅差的若⼲⽅法。
经过学习能够处理模型中出现的异⽅差问题。
第⼀节异⽅差性的概念⼀、⼆个例⼦例1，研究我国制造业利润函数，选取销售收⼊作为解释变量，数据为1998年的⾷品年制造业、饮料制造业等28个截⾯数据（即n=28）。
数据如下表,其中y表⽰制造业利润函数，x表⽰销售收⼊（单位为亿元）。
Y对X的散点图为从散点图可以看出，在线性的基础上，有的点分散幅度较⼩，有的点分散幅度较⼤。
因此，这种分散幅度的⼤⼩不⼀致，可以认为是由于销售收⼊的影响，使得制造业利润偏离均值的程度发⽣变化，⽽偏离均值的程度⼤⼩的不同，就是所谓的随机误差的⽅差存在变异，即异⽅差。
如果⾮线性，则属于哪类⾮线性，从图形所反映的特征看，并不明显。
下⾯给出制造业利润对销售收⼊的回归估计。
模型的书写格式为212.03350.1044(0.6165)(12.3666)0.8547,..56.9046,152.9322213.4639,146.4905Y Y X R S E F Y s =+=====通过变量的散点图、参数估计、残差图，可以看到模型中（随机误差）很有可能存在异⽅差性。
例2，改⾰开放以来，各地区的医疗机构都有了较快发展，不仅政府建⽴了⼀批医疗机构，还建⽴了不少民营医疗机构。
各地医疗机构的发展状况，除了其他因素外主要决定于对医疗服务的需求量，⽽医疗服务需求与⼈⼝数量有关。
为了给制定医疗机构的规划提供依据，分析⽐较医疗机构与⼈⼝数量的关系，建⽴卫⽣医疗机构数与⼈⼝数的回归模型。
根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与⼈⼝数资料对模型估计的结果如下：i iX Y 3735.50548.563?+-= （291.5778） (0.644284) t =(-1.931062) (8.340265)785456.02=R 774146.02=R 56003.69=F式中Y 表⽰卫⽣医疗机构数（个），X 表⽰⼈⼝数量（万⼈）。
第五章异方差性
第五章异方差性u模型违反五项基本假定之三——误差项的同方差性假定的情形，称为异方差性。
u此时，OLS估计量失去BLUE优良性。
需要发展估计模型参数的补救方法。
u本节内容：Ø异方差的定义及其产生的背景与后果Ø异方差性的检验Ø加权最小二乘法（WLS）Ø异方差的处理同方差:x t 1234收入xx1x2x3x ty t ..............................................收入n异方差是相对于同方差而言的。
异方差在横截面数据中比时间序列数据更为常见n同方差：在经典线性回归模型的基本假定3中，随机扰动项ut 的对每一个样本点的方差是一个等于su2的常数，即：Var(ut )=su2=常数t=1,2,…,nn异方差：是指随机扰动项u t随着解释变量X t的变化而变化，即：Var(ut )= s2t= su2f(Xt)t=1,2,…,n。
但ut仍然是服从正态分布。
•异方差一般可归结为三种类型：2随X的增大而增大；（1）单调递增型：si2随X的增大而减小;（2）单调递减型：si2与X的变化呈复杂形式。
（3）复杂型：siØ2、样本数据的观测误差1、参数估计量非有效Ø普通最小二乘法参数估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性。
Ø而且，在大样本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有效性，这就是说参数估计量不具有一致性。
以一元线性回归模型为例进行说明：（1）仍存在无偏性：证明过程与方差无关12（2）不具备最小方差性由于åååå==-=222222222)()()()ˆ()ˆvar(i i i i i i x x E x x E E m m b b b 2222)()(åå=i i i x E x m （注：交叉项å¹))((,j j i i j i j i x x m m 的期望为零）在i m 为同方差的假定下，22)()var(sm m ==i i E ååå==2222222)()ˆvar(i i i x x x s s b (2. 4.3)在i m 存在异方差的情况下)()()var(222i i i i X f E s s m m ===假设2)(i i X X f =，并且记异方差情况下2b 的OLS 估计为2~b ，则ååååå×==2222222222)()()~var(ii i i i i i x X x x x X f x s s b (2.4.4)对大多数经济资料有：1222>ååi i i x X x ，比较(2.4.3)与(2.4.4)，)ˆvar()~var(22b b >（2.4.5）2、变量的显著性检验失去意义关于变量的显著性检验中，构造了t 统计量)ˆ(/ˆi i S t b b =在该统计量中包含有随机误差项共同的方差，并且有t 统计量服从自由度为(n-k)的t 分布。
第五章-异方差性-答案说课讲解
第五章-异方差性-答案第五章 异方差性一、判断题1. 在异方差的情况下，通常预测失效。
（ T ）2. 当模型存在异方差时，普通最小二乘法是有偏的。
（ F ）3. 存在异方差时，可以用广义差分法进行补救。
（F ）4. 存在异方差时，普通最小二乘法会低估参数估计量的方差。
（F ）5. 如果回归模型遗漏一个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势。
（ T ）二、单项选择题1.Goldfeld-Quandt 方法用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性2.在异方差性情况下，常用的估计方法是（ D ）A.一阶差分法B.广义差分法C.工具变量法D.加权最小二乘法3.White 检验方法主要用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性4.下列哪种方法不是检验异方差的方法（ D ）A.戈德菲尔特——匡特检验B.怀特检验C.戈里瑟检验D.方差膨胀因子检验5.加权最小二乘法克服异方差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数，从而提高估计精度，即（ B ）A.重视大误差的作用，轻视小误差的作用B.重视小误差的作用，轻视大误差的作用C.重视小误差和大误差的作用D.轻视小误差和大误差的作用6.如果戈里瑟检验表明，普通最小二乘估计结果的残差与有显著的形式的相关关系（满足线性模型的全部经典假设），则用加权最小二乘法估计模型参数时，权数应为（ B ）A. B. C. D. 7.设回归模型为，其中()2i2i x u Var σ=，则b 的最有效估计量为（ D ）i e i x i i i v x e +=28715.0i v i x 21i x i x 1ix 1i i i u bx y +=A. B. C. D. ∑=i i x y n 1b ˆ 8.容易产生异方差的数据是（ C ）A. 时间序列数据B.平均数据C.横截面数据D.年度数据9.假设回归模型为i i i u X Y ++=βα,其中()2i 2i X u Var σ=，则使用加权最小二乘法估计模型时，应将模型变换为（ C ）。
计量经济学第五章 异方差
X 20000
5.3异方差的侦查
利用残差图——绘制残差平方与X散点图
（一般把异方差看成是由于解释变量的变化而引起的）
5.1异方差的概念
三、异方差产生的原因 模型设定误差：省略了重要的解释变量
例：真实模型 Yi 1 2 X 2i 3 X 3i i 采用模型 Yi 1 2 X 2i i
如果X3随着X2的不同而对Y产生不同的影响，则 该影响体现在扰动项中。
测量误差： 一方面，测量误差常常在一定时间内逐渐增加，如X 越大，测量误差就会趋于增大 另一方面，测量误差随时间变化趋于减少，如抽样技 术的改进使得测量误差减少。
)
2 i
5.1异方差的概念
6 Y
4
300 Y
200
2
100
0 0
X
0
X
10
20
30
0
5000
10000
15000
20000
250
Y
二、常见的异方差类型： 200
递增型异方差：
150
100
递减型异方差：
50
条件异方差（略）：
0 0
X
10
20
30
时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。
经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。
ˆ 2 ei2 (Yi ˆX i )2 (( ˆ) X i i )2
n 1
n 1
n 1
5.2异方差的后果
E (vaˆr(ˆ ))
E(
ˆ 2
X
2 i
)
E(
(( ˆ)X
(n 1)
第五章异方差性
∑
2
ˆ σ 2 = ∑ ei2 n − k 是有偏的，在此基础上的区间估 是有偏的，
计和假设检验都将不可靠。 计和假设检验都将不可靠。
第三节 异方差性的检验
一. 图形分析法
基本思想： 基本思想： 异方差性的表现是 u i 的方差随某个解释变量的变 化而变化， 的分散程度随X的变化而变化 化而变化 ， 或 Y的分散程度随 的变化而变化 。 因此可 的分散程度随 的变化而变化。 与某解释变量的散布图， 利用 u i 的代表 ei 与某解释变量的散布图，观察是否存 在异方差及其异方差的形式。 在异方差及其异方差的形式。 具体方法： 具体方法： ●假定不存在异方差，进行回归，并计算剩余平方 e 2,描绘 假定不存在异方差，进行回归， 假定不存在异方差
⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
Yi
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
⋅
C个
Xi
●将前后两部分分别作回归，分别计算出各部 将前后两部分分别作回归， 分剩余 ei ， 2 ● 比较前后两个回归的剩余平方和 ∑ ei ： ei2 之比接近于 ，为同方差； 如果两个 ∑ 之比接近于1，为同方差； ei2 之比不同于 ，为异方差 如果两个 ∑ 之比不同于1， 前提条件： 前提条件： ●样本容量较大 服从正态分布， ● ui 服从正态分布，并除异方差外满足其他 基本假定
具体步骤： 具体步骤：
●排序 将观测值按解释变量 大小顺序排列 排序:将观测值按解释变量 排序 将观测值按解释变量X大小顺序排列 数据分组:去掉中间的 去掉中间的C个 ●数据分组 去掉中间的 个（约1/4）观测值，分别 ）观测值， 进行前后两部分 (n − c) 2 个观测值的回归 ●提出假设:分别进行前后两部分回归的基础上，提出 提出假设 分别进行前后两部分回归的基础上， 分别进行前后两部分回归的基础上 检验假设： 检验假设： o : ui H 即
05- 异方差性.
R 2 0.89
Ama = 1661.54+ 0.135income -20.64priceama t: (14.44) (-1.18)
由于各个省市的收入差距比较大，文化娱乐支出的差距也 会比较大，因此可能存在异方差性。下面通过white检验来判 断是否存在异方差性。
22
先对该模型作OLS回归，得到残差； 然后做如下辅助回归：
e 0 1 X1i 2 X 2i 3 X 4 X 5 X1i X 2i i
2 i 2 1i 2 2i
2018/12/15
这里 X1i = income, X2i = priceama 使用EViews软件，得到辅助回归的R 2 0.812 ，因此
其中：S=储蓄
Y=收入
1951—60年，
1970—79年，
ˆ 12
2
=0.01625 =0.9725
2018/12/15
ˆ3 F0 = 0.9725/0.01625=59.9
查表得: d.f.为（8，8）时，5% Fα=3.44 ∵F0＞Fα 因而拒绝H0。 结论：存在异方差性。
从检验过程可以看出， G-Q 检验适用于检验样本容量
具体的检验步骤类似于t检验和F检验，大家看书可以知道。 思考一个问题：这2种检验方法同怀特检验的关系？
（残差回归检验法）
24
5.4、解决异方差问题的方法
解决异方差的基本思路就是：变异方差为同方差以满足经 典假设。通常用到的方法有：模型变换法和加权最小二乘法。
2018/12/15Leabharlann 5.4.1模型变换法
2 1 2 ， 3
e
2
2 ˆ3
第五章异方差
(2).计算残差序列及残差平方序列； (3).求辅助回归函数：
e ˆt2 a 0 a 1 e ˆt2 1 a 2 e ˆt2 2 a p e ˆt2 p
(4).由辅助回归函数求得判定系数 R 2 (5).在H0原假设成立的条件下：
4.实际经济问题中的异方差性
例1：横截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i，Yi:第i个家庭的 储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入
• 高收入家庭：储蓄的差异较大 • 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 • i的方差呈现单调递增型变化
例2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型：Yi Ai1Ki2Li3ei 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。
D12Ω D1D12D D D 1 2I
对上述新模型进行OLS估计就是原始模型的GLS估计。
β ˆ*(X *X *)1X *Y * (XD1D1X)1XD1D1Y (XW1X)1XW1Y
这就是原模型Y=X+的GLS估计量，是无偏、有效
的估计量。
3 通过对数据取对数减弱异方差的影响
1. 2E+ 12 1. 0E+ 12
uˆt = a0 + a1 xt2
uˆt = a0 + a1 xt , ….
Glejser 检验的特点是： ①既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。 ②一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。 ③当原模型含有多个解释变量值时，可以把 uˆt 拟合成多变量回归形式。
（4）自回归条件异方差（ARCH）检验（不要求掌握）
e~i2
X 递减异方差
第五章 异方差性1
第一节 异方差性的概念
重点： 对异方差性的基本认识
第一节 异方差性的概念
一、异方差的含义
二、异方差的类型
同方差的含义
同方差性：对所有的 i (i 1,2,..., n) 有：
Var(ui ) = σ 2
（5.1）
因为方差是度量被解释变量 Y的观测值围绕回归 线 E(Yi ) 1 2 X 2i 3 X 3i ... k X ki （5.2）
异方差的图形表示
储蓄与收入的关系的模 型 Y 1 2 X i ui 其中：Yi 是储蓄；X i 是收入
概 率 密 度 储 蓄 Y
概 率 密 度
同 方 差
储 蓄 Y
异 方 差
1 2 X i 1 2 X i
(A) 收入X 收入X (B)
（A）与（B）的比较：
相同点：收入增加，储蓄平均来说也增加。 不同点： （A）储蓄的方差在所有的收入水平上保持不变。 （B）储蓄的方差随收入的增加而增加。
ui 对生产函数Yi AL ，随企业规模（通常用K和L反映） K i i e
的扩大，管理水平提高包括统计监督功能的落实，观测误
u i 的方差也较小，因此， 差较小， u i 具有异方差性。
3.由于测量误差引起
异方差性还会因为异常观测的出现而产生。一个超越 正常范围的观测值（异常观测），是指和其他观测值相比 相差很多（非常小或非常大）的观测值。更具体地，异常
1.参数估计量非有效
2.无法正确估计标准误差和估计区间
3.参数显著性检验失效
4.预测的精确度降低
4.模型预测精度降低
一方面，由于上述后果，使得模型不具有良 好的统计性质；必然造成被解释变量的点预测值
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Qt
ALt
K
t
eut
• U为随机误差项，它包含了资本K和劳动力L
以外的因素对产出Q的影响，比如能源、环境、
政策等。由于不同的地区这些因素不同造ui 成了 对产出的影响出现差异，使得模型中的 具有
异方差，并且这种异方差的表现是随资本和劳 动力的增加而有规律变化的。
(二）样本数据的观测误差
• 一方面，样本数据的观测误差常随着时间的 推移而逐步积累，引起随机误差项的方差增 加。另一方面，随着时间的推移，样本观测 技术会随之提高，也可能使得样本的观测误 差减少，引起随机误差项的方差减小。因此， 随着时间的推移，样本数据的观测误差会发 生变化，从而引起随机误差项的变化。
Yt 1 2 X 2i 3 X 3i ui (1)
Y 1 2 X 2 3 X 3
(2)
Yt 1' 2 X 2i ui'
(3)
Y 1' 2 X 2
(4)
由(2)、(4)得:1' 1 3 X3 (5)
由(1)、(3)、(5)得:
Var(ui )
2 i
f
(X
ji )
i 1, 2, , n
则称随机误差项存在异方差.
( 即回归模型中随机误差项的方差不是常数 )
例2：使用截面数据研究储蓄函数
假设 储蓄函数模型Y i 0 1X i ui
式中：Y i第i个家庭的储蓄额，X i第i个家庭的可支配收入，ui 代表除可支配收入以外影响储蓄额的其它因素，如利率、家庭 人口、文化背景等等。这里，同方差假设显然与事实不符。
ui' 1 3 X 3i ui 1'
ui
（3 X 3iX来自）31.由于一些客观原因，使得某些重要的解释变量无 法包括在模型中；
• 例1：用截面数据研究消费函数，根据绝对收 入消费原理，设消费函数为：
Yi 1 2 X i / Pi ui
其中 Yi 为家庭消费支出，Xi / Pi 为家庭实际收 入； X i 为名义收入，Pi 为综合物价总指数。
例1：食品的支出与收入之间的关系模型
假定：Yt
1 2 Xt
3
X
2 t
t
其中Yt为食品支出，Xt为收入水平，且2 0, 3 0
Y
X
300 800 1200 2000
对于低收入家庭来说，食品消费的波动不大，其 随机扰动项的方差将不会很大；
而对于高收入家庭来说，家庭食品消费行为差异 性就很大。有些家庭投在食品消费的收入很少，有 些投在食品消费的收入很大，其随机扰动项的方差 将会很大。
• 例：用时间序列数据建立生产函数，设模型为：
Q AL K eut
t
tt
随着时间的推移和样本观测技术的提高，一方
面生产规模的扩大使得要素投入增加，另一方
面观测误差会随之降低，这时随机误差项的方
差可能会随着Lt和Kt 的增大而变小。
由于不同时间的观测技术、评价标准不同；随时间的推移，企业 的投资环境、管理水平、生产规模（如Lt , Kt增大），观测误差降低， 引起ut 偏离均值的程度不同，会产生异方差。
经典（古典）线性回归模型的一个重要假定是：总体回归函数中的随机 误差项满足同方差性，即它们都有相同的方差:
Var(ui ) 2 i 1,2,, n
设线性回归模型为：Yi 1 2 X2i k Xki ui i 1, 2, , n
随机误差项ui的方差随某个解释变量X ji的变化而变化,即
在该模型中，人们的消费心理没有包括在 解释变量中，而是归入随机误差项，但它对消 费支出是有影响的，若它对消费支出影响显著， 就可能使 的u方i 差变动呈现异方差性。
2.由于一些主观原因，在变量的选择上遗漏了某些重 要的解释变量（设定偏误）。
• 例2：用截面数据研究某一时点上不同地区的 某类企业的生产函数，其模型为：
Y
X 300 600 1000
高收入家庭由于收入较高，基本消费支出 之外剩余较多，在消费方式的选择上有更大的 余地，因而储蓄的差异性较大，即方差较大；
而低收入家庭除了必要支出之外剩余较少， 为了某种目的参加储蓄，储蓄比较有规律， 储蓄的差异性较小，即方差较小。
其他举例
• 边错边改学习模型：人们在学习的过程中，其行 为误差随时间而减少，σi2会减小。例如，在给定 的一段时间里，打字出错个数与打字练习的小时 数有关。随着打字练习小时数增加，不仅平均打 错个数会有所减小，而且打错个数的方差也会有 所下降。
• 在分红政策方面，利润较丰厚的公司比利润微薄 的公司，一般均可预料有较大的变化；而且以增 长为导向的公司比已发展定型的公司，在红利支 付方面也可能表现更多的变异。
异方差的类型
• 异方差一般可归结为三种类型:
•
1、单调递增型：
2 i
随 X ji
的增大而增大
Y
X
2、单调递减型：
2 i
随 X ji 的增大而减小
一、异方差性的含义与产生的背景 二、异方差性的影响 三、异方差性的检验 四、异方差性的补救措施 五、实例——北京市人均储蓄与人均收入的关系
分析
古典假定：
1.零均值，即 E(ui ) 0 ； 2.同方差，即 Var(ui ) 2 ； 3.无自相关，即 cov(ui ,u j ) 0, i j ； 4.解释变量非随机性，即 cov(ui, Xi ) 0 ; 5.无多重共线性，即 不存在一组不全为零的数2、3 k，使
Y
X
3、复杂型：
2 i
随 X ji 的变化呈复杂形式
Y
X
二、产生异方差性的原因
• 引进 ui 的原因：
1. 作为未知影响因素的代表； 2. 作为无法取得数据的已知因素的代表； 3. 作为众多细小影响因素的综合代表； 4. 模型的设定误差； 5. 变量的观测误差； 6. 变量的内在随机性；
（一）模型中缺失了某些重要解释变量
2 X2 3 X3 k Xk 0；或秩（XX）=k,得XX可逆
6.正态性，即 ui ~ N (0, 2 )。
第一节 异方差性的含义与产生背景
一、异方差性的定义 定义: 类型（补充） 二、产生异方差性的原因 （一）模型中缺失了某些重要解释变量 客观原因： 主观原因： （二）样本数据的观测误差
设真实模型为： Yt 1 2 X 2i 3 X 3i ui 但由于认识的不足，所建模型为：
Yt 1' 2 X 2i ui'
其中 1' 1 3X , ui' ui 3(X3i X ) ，这时，新的 误差 ui' 的方差会随着 X3i 的变化而发生变化，可能 会产生异方差。