第1讲 函数

函数零点问题板块一 根所在的区间判断【例1】 若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a >-B ．1a <-C ．1a >D ．1a <【变式】 已知函数()34f x m x =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 ．【例2】 （2010上海卷高考）若0x 是方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则0x 属于区间（ ） A ．213⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1223⎛⎫⎪⎝⎭， C ．1132⎛⎫⎪⎝⎭，D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，【变式】 （2010天津高考）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）A ．(21)--，B ．(10)-，C ．(01)，D ．(12)，【变式】 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）．A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【例3】 函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f ⋅>，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）．A ．没有零点B ．有2个零点C ．零点个数为偶数D ．零点个数为k ，N k ∈【例4】 （2009福建文）若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）A ．()41f x x =-B ．()2(1)f x x =- C ．()1xf x e =- D ．()1ln 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【例5】 （2010一模石景山理题8）已知函数21()log 3xf x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭，正实数,,a b c 是公差为正数的等差数列，且满足()()()0f a f b f c <．若实数d是方程()0f x =的一个解，那么下列四个判断：①d a <；②d b <；③d c <；④d c >中有可能成立的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例6】 （2009西城一模20）已知函数()()32f x x ax b a b =-++∈R ，．⑴若1a =，函数()f x 的图象能否总在直线y b =的下方？说明理由？ ⑵若函数()f x 在()02，上是增函数，求a 的取值范围． ⑶设123x x x ，，为方程()0f x =的三个根，且()110x ∈-，，()201x ∈，，()()311x ∈-∞-+∞ ，，，求证：1a>．板块二 根的个数：【例7】 关于x 的方程lg(1)lg(3)1ax x ---=有解，则a 的取值范围是 ．【变式】 若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．01m <≤B ．01m ≤≤C ．10m m<或≥ D ．10mm ><或【例8】 若关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一的实根，求实数a 的取值范围．【变式】 设a 为常数，若关于x 的方程l g (1)l g (3)l g (x x a x-+-=-有解，则a 的取值范围是_______．若此方程有且仅有一解，则a 的取值范围是_________．【例9】 若关于x 的方程22210x x a a +++=有实根，求实数a 的取值范围．【变式】 已知关于x 的方程2113(1)(31)(3)30x x x m m +++----⋅=有两个不同的实根，求m 的取值范围．【例10】 试判断方程22x x -+=【例11】 （2009石景山一模）已知函数)(x f y =和)(x g y =在[2,2]-的图象如下所示：()f x ()g x 给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）．【例12】 设定义域为R 的函数|lg |1||,1()0,1x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同的实数解的充要条件是（ ）A ．0b <且0c >B ．0b >且0c <C ．0b <且0c= D ．0b ≥且0c=【变式】 （2010全国卷Ⅰ高考15）直线1y =与曲线2||yx x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是．板块三 根的分布一元二次方程的根的分布【例13】 若方程2(1)2(1)0m x m x m -++-=的根都为正数，求m 的取值范围．【变式】 已知2()2(1)421f x m x mx m =+++-：⑴m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；⑵如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数m 的取值范围．【例14】 已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=．⑴若方程有两根，其中一根在区间()1,0-内，另一根在区间()1,2内，求m 的范围．⑵若方程两根均在区间()0,1内，求m 的范围．【变式】 已知关于x 的方程22(28)160x m x m --+-=的两个实根1x 和2x ，满足2132x x <<，求实数m 的取值范围．【例15】 方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，求实数a 的取值范围．【例16】 已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求实数a 的取值范围．【变式】 （2010二模朝阳理题8）已知函数222()(1)2f x a x bx b =--+（11b a -<-<）．用()card A 表示集合A 中元素的个数，若使得()0f x >成立的充分必要条件是x A ∈且()4card A =Z I ，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4轴对称【例17】 设函数()f x 对x ∈R 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）A ．0B ．9C ．12D ．18【例18】 （2009新课标山东卷16）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[02]，上是增函数，若方程()(0)f x m m =>在区间[88]-，上有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ， 则1234x x x x +++=_______．【变式】 （2009新课标福建卷10）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b x a=-对称，据此可推测，对任意的非零实数a b c m n p ，，，，，，关于x 的方程()()2m f x nf x p ++=⎡⎤⎣⎦的解集都不可能．．．．是（ ） A ．{}12，B ．{}14，C ．{}1234，，，D ．{}141664，，，同底的指对函数的图象对称性【例19】 设αβ，分别是方程2log 3x x +=和23x x +=的根，则____αβ+=．【变式】 （2009新课标辽宁卷12）若1x 满足225+=x x ，2x 满足()222log 15+-=x x ，则12+=x x （ ） A ．52B ．3C ．72D ．4【例20】 设123,,x x x 依次是方程12l o g 2x x +=，2log (2)x +=，22x x +=的实数根，试比较123,,x x x 的大小．习题 1. （2010一模宣武·理·题4）设函数231()2x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其零点所在的区间为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）习题 2. （2010一模宣武文题6）设函数32()log x f x ax+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3(1,log 2)--B ．3(0,log 2)C ．3(log 2,1)D ．3(1,log 4)习题 3. 若关于x 的方程123()35x a a+=-有负根，则实数a 的取值范围是 ．习题 4. 方程223x x -+=的实数解的个数为 ．习题 5. 若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围．习题 6. 已知二次方程2(2)310m x mx -++=的两个根分别属于()1,0-和()0,2，求m 的取值范围．习题 7. 0x 是方程log x a a x =(01)a <<的解，则0,1,x a 这三个数的大小关系是 ．。