13级高二数学暑假作业2试卷及答案

高三数学高考模拟练习题第一部分 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填在后面的括号内1．设全集U =R ，集合}14|{2<=x x A ，}1|1||{<-=x x B ，则=B A （ ） （A ）}20|{<<x x （B ）}10|{<<x x （C ）}210|{<<x x （D ）}410|{<<x x2．复数31ii-化简为（ ）（A ）i --1 （B ）i -1 （C ）i +-1 （D ）i +13．函数)0(,1log )(2>=x xx f 的反函数的大致图像为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 4．抛物线24x y =的焦点到准线的距离为（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）41 （D ）815．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-0302y y x y x ，则式子y x -的最小值等于（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）26．已知函数⎩⎨⎧<+≥=)0(,)0(,2)(x c x x x f x ，“函数)(x f 在R 上递增”是“函数)(x f 在R 上连续”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 7．在ABC ∆中，角C B A ,,所对边长分别为c b a ,,，且满足=-+-)2sin (sin )2sin (sin A B b B A aC c sin ，则C sin 的值为（ ）（A ）21 （B ）41 （C ）23 （D ）4158．已知m l ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，在下列条件中，能成为m l ⊥的充分条件的是（ ）（A ）l =βα ，m 与βα、所成角相等 （B ）m l ,在α内的射影分别为//,m l ，且//m l ⊥ （C ）l =βα ，αβ⊥⊂m m , （D ）βα⊥，βα//,m l ⊥9．已知函数)(,|ln |1ln )(R k x x k x f ∈+=，且1)75(tan = f ，则)15(tanf 的值等于( )（A ）1- （B ）1 （C ）0 （D ）与k 有关10．已知P 是正四面体S-ABC 表面SAB 内任意一点，P 到点S 的距离为1d ，P 到直线AB 的距离为2d ，P 到面ABC 的距离为3d ，若321,,d d d 成等差数列，则P 的轨迹为（ ）（A ）圆的一部分 （B ）椭圆的一部分 （C ）抛物线的一部分 （D ）双曲线的一部分 11．从集合}3,2,1,0,1,2,3{---=A 中，任取2个元素y x ,作向量),(y x OP =，从这些向量中任取两个向量，两个向量为一对，则互相垂直的向量共有（ ）对 （A ）66 （B ）60 （C ）54 （D ）4812．定义在),1[+∞上的函数)(x f 满足)2(2)(x f x f =，当]2,1[∈x 时，|32|44)(--=x x f ，设函数)(x f 在)(],2,2[*1N n x n n ∈∈-上的极大值为n a ，则数列}{n a 的所有项之和为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16第二部分 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上 13．在6)12(xx -的展开式中，常数项为 ．14．半径为R 的球面上有三点A 、B 、C ，任意两点的球面距离都等于π，且球心到平面ABC 的距离为R 36，则该球的表面积为 ．15．已知直线2=+by ax 经过点)(),sin ,(cos R P ∈ααα，则2211ba+的最小值等于 ．16．已知单位向量j i ,的夹角为)0(πθθ<<，若j y i x a +=则),(y x 叫做向量a 的][θ坐标，记作θ),(y x a =，有以下命题： ①已知60)1,2(-=a ，则5||=a ；②若θθ),(,),(2211y x b y x a ==，则=+b a θ),(2121y y x x ++； ③若θθ),(,),(2211y x b y x a ==，则=⋅b a 2121y y x x +；④向量θ),(11y x OA =，θθ),(,),(3322y x OC y x OB ==，若C B A ,,三点共线，则)(,)1(213R x x x ∈-+=λλλ上述命题中正确的有 ．（将你认为正确的都写上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分 17．（12分）已知函数)0(),3sin(cos 4)(>-⋅=ωπωωx x x f 的图像的相邻两条对称轴的距离为2，（1）求函数)(x f 的最大值及相应的x 的值；（2）若函数)(x f 按向量),(k h a =平移后得奇函数)(x g y =，求当||a 最小时的a 的坐标．18．某学科共开设有必修一、必修二、选修一和选修二共四门课程，要求必修一、二都要合格，且选修一和选修二至少有一门合格，则才能修得该学科的学分，现有甲、乙、丙三位同学报名参加该学科的学习，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，（1（2）记ξ表示三位同学中能修得该学科学分的人数，求ξ的分布列及数学期望ξE ．19．（12分）在三棱锥ABC S -中，⊥SA 平面ABC ，60,1,2,2=∠===CAB AC AB SA ，E D ,分别为AB 、SB 上的点，且AD AB SE SB 4,2==，（1）证明：BC SC ⊥；（2）求二面角E AC S --的大小； （3）求点A 到平面CDE 的距离．20．（12分）定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足对任意的正数b a ,都有bb f aa f abab f )()()(+=，且1)2(-=f ，记数列)21(nn f a =，（1）证明数列}2{n na ⋅为等差数列，并求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ， 证明1<n S ．BCASDE21．（12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的离心率为21，焦点到对应准线的距离为3，斜率为1的直线l 与椭圆相交于不同两点21,P P ，O 为坐标原点， （1）若7321-=⋅OP OP ，求直线l 的方程；（2）以21P P 为直径作圆，P 是圆上任意一点，求||OP 的最大值．22．（14分）已知函数)1ln()(+=x x f ，x x g 21)(=，（1）求函数)()(x g x f y -=的极值； （2）不等式2)(++>x t x x f )(*N t ∈，当1≥x 时恒成立，求t 的值；（3）证明：852ln )]1(3)2([3213+<--<∑=n k f k f n nk ．参考答案：一、选择题1．C ，提示：142<x 的解集为)21,21(-，1|1|<-x 的解集为)2,0(，故)21,0(=B A 2．D ，提示：i ii i ii ii +=--=--=-1)1(11233．B ，提示：x x xxx f 212122logloglog1log)(=-===-，所以xx f)21()(1=-4．D ，提示：抛物线)0(,22>=p py x 焦点到准线的距离为p 5．A ，提示：画出可行域得2,1==y x 时，y x -取最小值1-6．B ，提示：当1≤c 时，函数)(x f 在R 上递增，当1=c 时，函数)(x f 在R 上连续 7．C ，提示：由正弦定理得ab cb a ca b b b a a =-+⇒=-+-2222)2()2(，由余弦定理得21cos =C ，故23sin =C8．C ，提示：因为αβ⊥⊂m m ,，所以l m ⊥9．A ，提示：)(|ln |1ln )1(x f x xk x f -=+-=，又75t a n 115t a n =，1)75tan 1()15(tan -==∴f f10．D ，提示：3122d d d += ，由正四面体ABC S -得23322d d =，所以2123222d d d +=，化简得),1(322221+∞∈-=d d11．B ，提示：设),(),,(2211y x b y x a ==互相垂直，当都不含0时，必有一向量的横纵坐标同号，故分三类，第一类：021==y x ，共有3666=⨯对，第二类：0,011>>y x ，共有12223=⨯A 对，第三类：0,011<<y x ，共有12223=⨯A 对，12．C ，提示：函数)(x f 当)(],2,2[*1N n x n n ∈∈-时，|]32)21(|1[)21()(13--=--x x f n n ，所以函数在1223-⋅=n x 的取得极大值，且3)21(-=n n a ，所以数列}{n a 的所有项之和为811=-=qa S二、填空题13．60，提示：2366626612)1()1()2(r r rr r rrr r xC xx C T ----+⋅-=-=，所以4=r 时得常数项 14．π36，提示：由题意知ABC O -为正四面体（O 是球心），所以33=⇒=R R ππ15．4，提示：即直线2=+by ax 与圆122=+yx 有公共点，所以111222≤+ba16． ②④，提示：若60)1,2(-=a，则360cos 414||=⋅-+==a ；若θθ),(,),(2211y x b y x a ==，j y y i x x j y i x j y i x b a )()(21212211+++=+++=+， θcos )()()(122121212211y x y x y y x x j y i x j y i x b a +++=+⋅+=⋅若θ),(11y x OA =，θθ),(,),(3322y x OC y x OB ==，则θ),(2121y y x x BA --=， θ),(2323y y x x BC --=，所以)(2123x x x x -=-λ三、解答题17．解（1）32cos 32sin ]cos 23sin 21[cos 4)(--=-=x x x x x x f ωωωωω3)32sin(2)(--=∴πωx x f …………………….3分由条件知函数周期为4，即2422πωωπ=⇒= …………………….5分所以函数的最大值为32-，其中)(,265Z k k x ∈+= ……………………6分（2）函数3)3sin(2)(--=ππx x f 按向量),(k h a =平移后得：k h x x g +---=3]3)(sin[2)(ππ为奇函数， …………………….8分即0)0(=g ,所以3),(,3=∈=--k Z n n h πππ …………………….10分 当||a 最小时，3,31=-=k h ，即)3,31(-=a …………………….12分18．解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件D C B A ,,,，则“甲能修得该学学分”的概率为)()()(D C AB P D ABC P ABCD P ++ ………….3分 事件D C B A ,,,相互独立，)()()(D C AB P D ABC P ABCD P +++⋅⋅⋅=21323243+⋅⋅⋅2132324312521313243=⋅⋅⋅ …………….6分 （2）303)127()0(C P ==ξ， 2113)127()125()1(C P ==ξ1223)127()125()2(C P ==ξ 333)125()3(C P ==ξ …………….8分因为)125,3(~B ξ ……………10分 所以451253=⨯=ξE …………….12分19．解法一：（1）在ABC ∆中，60,1,2=∠==CAB AC AB 由余弦定理得：3=BC ，即AC BC ⊥ …………………….2分又⊥SA 平面ABC ，所以AC 为SC 在平面ABC 内的射影， BC SC ⊥∴ …………………….4分 （2）分别取AC SC ,中点G F ,，连接EG FG EF ,,由（1）知⊥EF 平面SAC ，且AC FG ⊥，所以AC EG ⊥， 即EGF ∠为所求二面角的平面角， …………………….6分 在EFG ∆中，22,23==FG EF ，26tan ==∠∴FGEF EGF所以所求二面角大小为26arctan …………………….8分BCA SDEFG（3）在SBC ∆中，E 是SB 中点，且3==SC BC ，CE SB ⊥∴在ABC ∆中，由平几知识得AB CD ⊥，所以CD SB ⊥所以⊥SB 平面CDE ，即BE 为点B 到平面CDE 的距离，且26=BE …………………….10分又因为点A 到平面CDE 的距离是点B 到平面CDE 的距离的31所以点A 到平面CDE 的距离为66 …………………….12分解法二：（1）同解法一， ……………………4分 （2）如图建立空间直角坐标系)22,23,21(),0,3,1(),2,0,0(),0,0,1(E B S C ∴设平面ACE 的法向量为),,(1z y x n =由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥02223011z y x AE n AC n ，令1-=z 得)1,36,0(1-=n …………………….5分 取平面SAC 的法向量)0,1,0(2=n …………………….6分 所以510,cos 21>=<n n …………………….8分（3）同理取平面CDE 的法向量为)2,3,1(-=n ，…………………….10分6661||===∴d …………………….12分20．解（1）令21,)21(1==-b a n 得：21)21(21)21(21)21(11f f f n n n n+=--，即)21(22211f a a n n n n =---再令2,21==b a 得：2)2()21(21)1(f f f +=，又0)1(1)1(1)1(1)1(=⇒+=f f f f ，所以41)21(=f ……………………2分 21)21(22211==-∴--f a a n n n n ，记}2{n na 是以21为公差，21为首项的等差数列……………4分1)21(+⋅=∴n n n a …………………….6分（2）132)21()21(2)21(1+⋅++⋅+⋅=n n n S243)21()21(2)21(121+⋅++⋅+⋅=n n n S 相减得2132)21()21(1)21(1)21(121++⋅-⋅++⋅+⋅=n n n n S …………………….10分 21)21()21(1)21(1)21(1)21(212132-⋅-⋅++⋅+⋅+=⇒++n n n n S化简得1212111<⋅--=+n nn n S ……………………12分21． 解答：（1）由已知得椭圆方程为13422=+yx…………………….2分设直线m x y l +=:， 设),(),,(22111y x P y x P联立0124871342222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m mx x yx m x y 78,712421221m x x m x x -=+-=∴，所以7123)(22212121-=+++=m m x x m x x y y37324773222121=⇒-=-⇒-=+mmy y x x ，…………………….4分又702<⇒>∆m3:±=∴x y l …………………….5分（3）设21P P 中点为M ，即M 为圆心，||||||MP OM OP +≤∴||21||21P P OM += ……………………6分设m x y l P P +=:21，由椭圆的对称性不妨设0≥m联立0124871342222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m mx x yx mx y 由韦达定理得)73,74()2,2(2121mm M y y x x M -⇒++75)2()2(||221221m y y x x OM =+++=∴ …………………….7分 由弦长公式得7762||21221m P P -⋅= ……………………8分≤∴||OP ||21||21P P OM +776252m m -⋅+= 令)20(,sin 7παα<<=m 所以)sin(77cos 422sin 7576252ϕααα+=+=-+m m ………………10分所以当1)sin(=+ϕα时，7777776252==-⋅+m m 所以7||max =OP …………………….12分 22．证明（1）102111/=⇒=-+=x x y ， …………………….1分 且当11<<-x 时，0/>y ，当1>x 时，0/<y 所以212ln -=极大值y …………………….3分 （2）x x x t x tx x f -++<⇒++>)1ln()2(2)(令x x x x h -++=)1ln()2()(， 则0)1ln(111)1ln(12)(/>+++=-++++=x x x x x x h ，（1≥x ）…………5分所以12ln 3)(min -=x h ，即)2,0(12ln 3∈-<t …………………6分 1=∴t …………………….7分（3）因为)11ln()1(3)2(333k k k f k f ++=-- ……………………8分 当1>x 时，由（1）知212ln 21)1ln(-+<+x x ， ………………9分 由（2）知21)1ln(++>+x x x ………………10分 所以当2≥k 时，])1)(1(1[212ln 2ln 21)11ln(333+-+<+<++∴k k k k k k ])1(1)1(1[412ln +--+<k k k k852ln )]1(3)2([13+<--∴∑=n k f k f nk ………………12分 另一方面，321312)11ln(3333>++>++∴k k k k ，即n k f k f n k 32)]1(3)2([13>--∑=综上得原不等式成立 ………………14分。