《二次根式的加减》教案2
(完整)二次根式的加减教案
课题：16。
3 二次根式的加减教学时间：教学目标：知识与技能1、理解二次根式的加减运算法则。
2、掌握二次根式的加减运算步骤。
3、掌握二次根式的加减、乘除混合运算。
4、会借助公式进行二次根式的简化运算。
过程与方法1、经历探索二次根式的加减的过程，能解决一些实际问题。
2、经历探索二次根式的乘除的过程,能解决一些实际问题.情感、态度与价值观1、经历探索二次根式的加减乘除发展推理能力和有条理的表达能力；2、学习二次根式的加减乘除，提高解决问题的能力；3、在探究二次根式的加减乘除，发展推理能力和有条理的表达能力。
教学重点:1、会正确进行二次根式的加减运算。
2、会正确进行二次根式的混合运算.教学难点：1、如何合并最简二次根式.2、由整式运算知识迁移到二次根式的混合运算。
教学方法、手段、准备、课型等：1、启发引导式、问题探究式、合作交流式；2、多媒体教学;3、备教材和备学生；4、新授课。
教学时数：3课时教学过程：第一课时教学内容及步骤：一、导入新课活动1：二次根式的除法法则（学生回答或展示)教师点评:二次根式的除法法则反过来利用它可以进行二次根式的化简。
二、讲解新课 活动1：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
活动2:例题讲解例1 计算:；4580)1(- 。
a a 259)2(+；解：553544580)1(=-=- 。
a a a a a 853259)2(=+=+例2 计算:);0,0(>≥=b a b a ba ，)0,0(>≥=b a ba b a二、课堂练习 教科书第13页练习1题及2题(1)（2）。
三、作业布置教科书第13页练习2题（3)（4）。
四、板书设计五、教学反思第二课时教学内容及步骤：一、导入新课活动1:二次根式加减法法则（学生回答或展示) ;483316122)1(+-。
)53()2012)(2(-++4833234483316122)1(+-=+-解：3123234+-=；314=535232)53()2012)(2(-++=-++。
21.3 二次根式的加减(第2课时)
48 1 4 6) 27
2 2
5)Βιβλιοθήκη 21 2 分析说明：○中补充（3）是不能除尽（含分数线）的类型。○中补充完全平方公式应 用. 归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完
全平方公式、平方差公式来简化运算. (二)二次根式混合运算的应用 1.若 x= 2 1 ,则 x2+x+1= 2.已知 x 3 2 , y 3 2 ， 求 1
九年级数学上册教案 课题：21.3 二次根式的加减 教学内容： 21.3 知识 技能 教学 目标 过程 方法
备课人：杨贤
情感 态度 重点 难点 教学 准备
二次根式的加减(第 2 课时) 在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算 与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算． 1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算 的顺序及运算律在计算过程中的作用．并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的 一致性以及数式通性. 2. 在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整 式的运算的联系. 培养学生的类比运用意识
y x x y
; 2 2 x
6 xy 2 y
2
的值. ⊥ ABCD 的面 积.
3.如图，四边形 ABCD 中，AB⊥BC,AD AB,AB=1,BC=CD=2, 求 四 边 形
三、课堂训练 完成课本练习 .补充： 1.海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 a ,b,c,设 p = a 角形的面积为 S=
p p a p b p c
b c 2
, 则三
二次根式的加减教案
二次根式的加减教案教案：二次根式的加减教学目标：1.了解二次根式的概念和基本性质。
2.学会二次根式的加减运算方法。
3.掌握二次根式的加减运算技巧，并能在实际问题中应用。
教学重点：1.二次根式的概念和基本性质。
2.二次根式的加减运算方法和技巧。
教学难点：1.二次根式的加减运算技巧的掌握。
2.解决实际问题时运用二次根式的加减运算。
教学准备：1.板书：二次根式的加减。
2.教学工具：计算器、试卷和笔记本。
教学过程：Step 1：引入新知识教师用板书展示标题“二次根式的加减”，并与学生进行互动对话。
教师：大家好！今天我们要学习关于二次根式的加减运算。
二次根式在我们的日常生活中经常出现，比如平方根、立方根等。
在实际问题中，我们需要对二次根式进行加减运算，以求得更准确的答案。
那么，你们对二次根式的加减运算有什么了解吗？学生：二次根式是一个带有根号的数，可以是有理数，也可以是无理数。
加减运算就是将同类项的系数相加减。
教师：很好，你们对加减运算的基本概念有一定的了解。
接下来，我们将深入学习二次根式的加减运算方法和技巧。
Step 2：学习二次根式的基本性质教师以板书的形式呈现二次根式的基本性质，并向学生解释。
1.同类项相加减，系数相加减。
2.不同根号下的项不能相加减，只能合并。
教师：同类项是指根号内的数相同的项，例如√2、√8是同类项；不同根号下的项是指根号内的数不相同的项，例如√3和√8就不是同类项。
大家明白了吗？学生：明白了。
Step 3：二次根式的加减运算教师通过几个示例向学生介绍二次根式的加减运算方法。
示例1：1.化简：√3+2√3解：√3是带有根号的数，而2√3是带有系数的根号。
它们是同类项，所以系数相加，即：3+2=5、因此，√3+2√3=5√3示例2：2.化简：2√5+3√2解：2√5和3√2是属于不同根号下的项，无法直接合并。
所以，2√5+3√2是最简形式。
不过，我们可以通过近似计算或使用计算器来得到结果。
12.3二次根式的加减(1)(2)教案
怀文中学2013—2014学年度第二学期教学设计初 二 数 学 12.1 二次根式的加减（1）主备：姬文林 审校：汤明祥 日期：2014年4月16日教学目标：1．通过自主探究概括同类二次根式的概念及二次根式加减法法则；2.了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式，用法则进行二次根式的加减运算；教学重点：同类二次根式的概念及二次根式加减运算法则．教学难点：探讨二次根式加减法运算的方法，快速准确进行二次根式加减法的运算．一、自主探究1. 学校要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是10米，宽是22米，第二块草坪的长是20米，宽也是22米．你能告诉运动场的负责人要准备多少面积的草皮吗？问题：202＋402是什么运算？二、自主合作1. 下列3组二次根式各有什么特征？（1）2，23，22-，215，232；（2）3，35-，36，317，3132； （3）5，203-，125，51． 经过化简以后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．三、自主展示1.计算．(1)202＋402； (2)5－203＋125＋51． 2.例1 计算：（1）32＋43－22＋3； （2）12＋18－8－32； （3）40－5101＋10练习：1.课本练习1．2. 计算下列各式．（1）2 （2）2（3） （4）四、自主拓展1.如图，两个圆的圆心相同，半径分别为R 、r ，面积分别是18cm 2、8 cm 2．求圆环的宽度（两圆半径之差）．2.计算（1）483316122+-（2）()()532012-++3. 下列各式：①17其中错误的有（ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个4. （1、是同类二次根式的有________．（2）计算二次根式________．5. 2.236-（结果精确到0.01）五、自主评价这节课你学到了什么知识？你有什么收获？布置作业：1．《同步练习》12.3 二次根式的加减（1）．教学反思：怀文中学2013—2014学年度第二学期教学设计初 二 数 学 12.1 二次根式的加减（2）主备：姬文林 审校：汤明祥 日期：2014年4月16日教学目标： 1．回顾同类二次根式的概念及二次根式加减法法则；2．类比整式运算的法则、公式和运算律进行二次根式的混合运算；3．学生通过复习整式运算知识培养学生的知识迁移能力；通过在二次根式运算中运用乘法公式以激发学生用类比的数学思想解题的兴趣．教学重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律．教学难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．一、自主探究1. 二次根式有哪些性质？（1）2a ＝（a≥0） （2||a（3（4（5（a≥0，b ＞0） （6b ＞0） 2．整式运算的法则、公式和运算律有哪些？（7）()()22a b a b a b ＋－＝－ （8）()2222a b a ab b ＝＋±± （9）()()a b n m an am bn bm ＋＋＝＋＋＋二、自主合作 例1 计算：（1）)32125(＋×15 （2）)52)(103(－＋练习：课本165页练习1．例2 计算：（1）)23)(23(－＋ （2）2)523(＋练习：课本165页练习2．三、自主展示例3．若，求2x 2+2 y 2+4xy 的值。
二次根式的加减法教案
二次根式的加减法优秀教案第一章：二次根式的概念回顾1.1 教学目标：让学生理解二次根式的概念。
让学生掌握二次根式的基本性质。
1.2 教学内容：二次根式的定义：形如√a的式子，其中a是一个非负实数。
二次根式的基本性质：√a ×√a = a，√a ÷√a = 1，√a ×√b = √(ab)，其中a、b是非负实数。
1.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的概念。
通过练习题，让学生掌握二次根式的基本性质。
第二章：二次根式的加法2.1 教学目标：让学生掌握二次根式的加法运算规则。
2.2 教学内容：二次根式的加法运算规则：√a + √b = √(a + b)，其中a、b是非负实数。
2.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的加法运算规则。
通过练习题，让学生熟练掌握二次根式的加法运算。
第三章：二次根式的减法3.1 教学目标：让学生掌握二次根式的减法运算规则。
3.2 教学内容：二次根式的减法运算规则：√a √b = √(a b)，其中a、b是非负实数，且a ≥b。
3.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的减法运算规则。
通过练习题，让学生熟练掌握二次根式的减法运算。
第四章：二次根式的混合运算4.1 教学目标：让学生掌握二次根式的混合运算规则。
4.2 教学内容：二次根式的混合运算规则：先进行二次根式的乘除运算，再进行加减运算。
4.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的混合运算规则。
通过练习题，让学生熟练掌握二次根式的混合运算。
第五章：综合练习5.1 教学目标：让学生综合运用二次根式的加减法知识，解决实际问题。
5.2 教学内容：综合练习题，包括不同难度的题目。
5.3 教学活动：提供综合练习题给学生，让学生独立完成。
解答学生的疑问，并进行讲解和指导。
第六章：二次根式的加减法在实际问题中的应用6.1 教学目标：让学生能够将二次根式的加减法应用到实际问题中。
人教版数学八年级下册16.3.1二次根式的加减运算(教案)
1.教学重点
-理解并掌握二次根式的加减运算规则，能够准确进行相关计算。
-学会化简二次根式，提高运算速度和准确度。
-将二次根式的加减运算应用于解决实际问题。
举例解释：
-重点一：讲解并练习如何将不同二次根式进行加减，如√18 + √50，要求学生掌握合并同类项的方法，理解根号内数的分解对简化运算的重要性。
2.提高学生的逻辑思维能力和运算能力，通过化简二次根式和计算二次根式加减，锻炼学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的数感和符号意识，让学生在二次根式加减运算过程中，更加熟悉数学符号的使用，增强对数学表达式的理解和运用。
4.培养学生的合作意识和团队精神，通过小组讨论和互助学习，使学生学会倾听、交流、分享，提高合作解决问题的能力。
-在运算过程中，保持对数的敏感度和对运算符号的准确使用。
举例解释：
-难点一：学生对合并同类项时，如何处理根号内数的分解和合并感到困惑，例如将√18和√50合并时，需要先将√18分解为√9×√2，√50分解为√25×√2，然后再进行合并。
-难点二：在解决应用题时，学生可能难以将问题中的长度、宽度等转化为二次根式，例如需要将长方形的长度和宽度表示为√20 cm和√15 cm。
人教版数学八年级下册16.3.1二次根式的加减运算（教案）
一、教学内容
人教版数学八年级下册16.3.1二次根式的加减运算。本节课主要内容包括：
理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学习二次根式的加减运算规则，能够正确进行二次根式的加减运算。
3.掌握化简二次根式的方法，提高运算速度和准确度。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了二次根式的加减运算，整个教学过程让我有了以下几点思考。
二次根式的加减法 优秀教案
二次根式的加减法【教学目标】1．类比同类项概念，了解同类二次根式的意义，学会识别同类二次根式。
2．能熟练进行简单二次根式的运算。
【教学重点】1．同类二次根式的概念。
2．二次根式加减运算的方法【教学难点】熟练掌握二次根式的加减法运算。
【教学过程】一、情景导入与练习：1．同类项的特点？如何合并同类项？2．计算：a +a = ，a +2a = ，a +2b －b +2a = ， 类似地：33+= ，323+= ，223+－32+= ，3．思考并尝试说明：你对以上加减法的理解？二、探究与训练：活动1：例题探究，计算：3233-，a a 23+学生根据前面的经验体验，讨论尝试，交流互助，达成共识教师引导学生归纳所感要点：①同类二次根式：根号和根号内的部分完全相同的根式就是同二次根式(分类区别标志，只需看根号内是否相同)②同类二次根式的合并方法：合并同类二次根式时，根号部分(视为一个整体)不变，只需将根号的系数相加减。
③利用整体思想和类比方法，合并同类项与合并二次根式实际上是同一种变形。
活动2：例题探究，计算：a b b a 4223-+-3223-，a b b a 2323-+-学生练习研究、分歧及争论教师引导学生叙述所思所得：非同类二次根式不能合并活动3：同类二次根式的识别：指出下列各组二次根式是否同类二次根式：2与22 2 与 －2 a b 与 b a ab b 与 ba a －8与22 b a b 2 与 2ab a (其中a 、b 是正数)8、50 与 －18 b a b 3 与 3ab a (其中a 、b 是正数)讨论：还能简单地认为“只有根号内完全相同的二次根式才是同类二次根式”吗？ 究竟怎样的式子才是同类二次根式？教师点评：同类二次根式是化简后被开方数相同的根式。
如遇到还可以化简的根式，应化简后再作判断。
活动4：计算与训练：3250+18128-+ 453227-- 1827227+- 学生练习，教师综合点评，提醒学生注意相关要点。
21.3二次根式的加减教案
§21.3 二次根式的加减教学目标【知识与技能】1. 掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2. 掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度与价值观】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，能运用所学的知识解决问题.【教学重点】能正确地合并同类二次根式，进行二次根式加减法.【教学难点】能根据同类二次根式的定义，判断几个二次根式是否是同类二次根式.【教学过程】一、导入计算下列各式：．1.当x_______时，2-x 有意义．二、探究新知（一）同类二次根式观察第4题猜想：二次根式的被开方数相同是可以合并的． 思考：3233与是同类二次根式，那么218与是同类二次根式吗？是同类二次根式与218232918∴=⨯=归纳：同类二次根式：（1）被开方数相同；（2）二次根式不能再化简；（3）与二次根式的系数无关.练习：判断下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？27631与）（ （二）二次根式的加减.____423)2(___;3233)1(:.4_____;423)2(____;23)1(:.3_____;24____;31:.2=+-=-=+-=-==a a a y y y x x 猜想计算化简272322与）（二次根式的加减,与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并.思考：这里的三个“加数”中有同类二次根式吗？将它们化简后再看一看分析：（先化简，再合并同类二次根式，请同学们自己完成）归纳：二次根式加减计算步骤：（1）化成最简二次根式；（2）合并同类二次根式．例2：1832225)2(;451227)1(-++-计算： 例3：2)12)(2();12)(12)(1(--+计算：三、运用课本第12页 练习1、2四、课堂总结1、什么是同类二次根式？2、二次根式加减运算的步骤？3、怎么合并同类二次根式？五、应用拓展五、作业布置1、课本 第12页 第1题（1）（3）)333()2223(-+-=原式3322323--+计算：322-=12188++计算：第2题（1）（4）2、练习册必做：第9-10页A、B组选做：C组。
21.3二次根式的加减(第2课时)
教
学
目
标
知识技能
利用二次根式加减法解决一些实际问题.
数学思考
培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力.
解决问题
获得把实际问题转化为数学问题的体验.
情感态度
通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自我意识.
重点
将实际问题抽象为数学问题是本节课的重点.
难点
被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．
答:要焊接一个如图所示的钢架约需要13.7m的钢材.
学生复习二次根式加减法的一般步骤.
学生独自审清题意.
教师与学生一起分析题意,得出解题方法.
请学生自己审清题意,观察图中所给的已知条件,力争使学生能独自解决这一问题.
教师在讲解时尽可能将步骤写完整.
复习回顾二次根式加减法,引入本节课的内容.
训练学生的审题能力.
解:求圆环的宽度d实际上是求两圆的半径的差;因此
（cm）
答:圆环的宽度
d=( )（cm）.
活动四复习总结
1.数学来源于生活,应用于生活,因此我们应该热生活,热爱数学;
2.将实际问题转化为数学问题,只要审清题意弄明白,就一定可以做出来.
作业：
1.已知 ，求 的近似值.
2.如图21.3-3在平行四边形ABCD中，得DE⊥AB,E点在AB上，DE=AE=EB= ,求平行四边形ABCD的周长.
带领学生寻找将实际问题转化为数学问题的思路.
培养学生观察图形分析图形的能力.
让学生进一步体会数学来源于生活,应用于生活.
培养学生严谨的思维习惯.
问题与情境
师生行为
设计意图
活动三小试牛刀
二次根式的加减法 教案 2
课题：二次根式的除法教学目的1、使学生掌握商的算术平方根的性质；2、使学生会用商的算术平方根的性质化简被开方数为简单的分数或分式的二次根式（也就是分母开方能开尽）；3、使学生掌握分母有理化知识，并能利用它进行二次根式的化简及近似计算；教学难点商的算术平方根与二次根式的除法的关系与应用；知识重点商的算术平方根与二次根式的除法的关系与应用；教学过程教学方法和手段课程引入一、知识导向：从教材的编排看，二次根式的乘除法着重讲乘法，除法给学生自己去探索，有了乘法的经验，应当不难归纳除法运算法则。
在教学中主要让学生充分地进行讨论、交流，发表见解，应注重二次根式乘除法公式的对比，并复习有关因数分解的知识，多练习，发现问题及时解决。
新课解析二、新课讲解：1、知识设疑：其一、积的算术平方根的性质：baab∙=(0,0)a b≥≥其二、76)76(49362==而764936=，所以4936=4936。
2、知识形成商的算术平方根：概括：商的算术平方根的性质：ba=ba（a≥0，b＞0）。
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注意：(1)若根式中的被开方数的分子与分母都是两个因数之积，因此先运用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根的性质将自主探究，合作交流，当堂训练，让学生感受到成功的喜悦。
激发学生的学习兴趣。
分子与分母分别化简.(2)若根式中的被开方数的分子是多项式，可先分解因式，再应用商的算术平方根的性质和积的算术平方根的性质分别将分子及分母化简。
例题精讲3、例题讲解：例1、化简：（1）49151；（2）1003；（3）24925yx 例2、化简：（1）642516⨯；（2）10036.01219.0⨯⨯例3、式子5454--=--xxxx成立的条件是什么？例4、计算：（1）672；（2）61211÷课堂练习三、巩固训练：Ｐ12 “做一做”、exc1（3、4）补充：1、把下列各式分母有理化：（1）245；（2）mm63。
二次根式的加减教案
二次根式的加减教案教案标题：二次根式的加减教案一、教学目标：1. 理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本性质；2. 能够进行简单的二次根式的加减运算；3. 运用所学知识解决实际问题。
二、教学内容：1. 二次根式的概念及性质介绍；2. 二次根式的加法运算；3. 二次根式的减法运算；4. 综合运用。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）引入二次根式的概念和背景知识，通过问题引导学生思考：如何将平方根的结果进行加减运算？2. 知识讲解（15分钟）a. 讲解二次根式的概念和基本性质，包括二次根式的定义和表示方法；b. 解释二次根式的加法运算，展示相同底数的二次根式相加运算的步骤；c. 解释二次根式的减法运算，展示相同底数的二次根式相减运算的步骤。
3. 拓展练习（15分钟）学生通过多个例题进行拓展练习，巩固和加深对二次根式加减运算的理解。
教师可提供一些基础的练习题，并逐步增加难度，引导学生思考不同情况下的加减运算方法。
4. 实践应用（15分钟）以实际问题为背景，让学生运用所学知识解决实际问题。
例如：“小明的花园边长为√5米，小红的花园边长为√7米，两个花园的总面积是多少？”等。
5. 梳理归纳（10分钟）回顾整堂课的内容，梳理归纳二次根式的加减法运算步骤以及注意事项，并提醒学生独立完成课后作业。
6. 课堂小结（5分钟）对本节课所学内容进行总结，提出相关问题，鼓励学生积极思考并提问。
四、教学资源：1. PowerPoint课件；2. 教案和作业；3. 教学板书。
五、课堂评价：通过课堂讲解、练习和实践应用环节中的学生表现、问题解决能力以及课堂参与度来评价学生的掌握程度。
六、课后作业：1. 完成课堂上未完成的练习题；2. 预习下一节课的内容。
七、教学反思：根据学生在课堂上的表现和理解情况，及时调整教学内容和方法，对学生的学习进行指导和辅导，提供更多的练习机会和帮助。
同时，根据学生的反馈和问题，改进教学设计和教学策略。
(最新)数学八年级下册第十六章《二次根式的加减 》省优质课一等奖教案
《二次根式的加减》教学设计（1）【教学内容】：教材P12-13【教学目标】：1.能进行二次根式的加减运算，掌握其运算步骤.2.通过实际问题理解并掌握二次根式的加减法法则，通过与整式的加减法进行比较及动手练习掌握二次根式的加减法的运算技巧.3.通过二次根式的加减法与整式的加减法比较，感受知识之间的迁移与联系.【教学重点】：二次根式加减法的运算.【教学难点】：找出能合并的最简二次根式（同类二次根式），快速准确进行二次根式加减法的运算.【教法学法】：使用导学法、讨论法；运用合作学习的方式，分组学习和讨论；运用多媒体辅助教学.【教具准备】：多媒体课件【教学过程】：一、自主明标复习引入1.什么是同类项？2.合并同类项方法是什么？3.计算：（1）2x+5x （2）2x-5x明标预习1.板书目标：能进行二次根式的加减运算2.自主预习：（1）阅读教材p12 思考：如何进行二次根式加减运算？（2）预习自测：2+22= 33-53=2+18= 27-75= 二、互动达标探究一：二次根式的加减运算法则观察下列各组式子，你有什么发现？（1）2322与 （2）32与 （3）205与 （4）1218与归纳：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做 同类二次根式.（1）类比迁移 学习新知计算： （1）323+； （2）5253-（口答） （3）8+18（思考）结论：在进行二次根式加减时，首先把不是最简二次根式的二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. （2）反思总结 巩固新知问题：53+能合并吗？为什么？82+呢？ 结论：53+不能合并；2322282=+=+ 归纳：二次根式能够进行合并的条件：（1）首先将二次根式化成最简二次根式；（2）观察被开方数是否相同. 判定：（1）2，8，18 （2）3，27，48 （3）实际练习 深化新知有一个三角形，它的两边长分别为cm 20和cm 80，如果该三角形的周长为cm 59，你能求出第三边长吗？探究二：二次根式的加减运算运用例1. 计算（1）80-45 （2）a 9+a 25练习： （1）32+50 （2）a 24-a 54 例2. 计算（1）212-631+348 (2)(12+20)+(3-5) 练习：(48+20)+(12-5) （80-311）-（1051+27）归纳小结（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同. （2）二次根式加减的实质：合并被开方数最简二次根式. 三、多元测标当堂检测（对抗组1,2号互换，1-3每题2分，4题各2分） 1.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A ．xy 与y x 2B ．22y x +与22y x -C ．mn 与n m +D ．ab 2与ba 2 2.下列下列计算正确的有（ ）①532=+；②552332=+；③xy xy xy 532=+；④223218=- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.计算：1231-的结果是（ ） A ．337-B ．2333-C ．3D ．335- 4.计算（1）348-913+312 （2）（48+20）+（12-5）拓展练习1. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．A BC D2. 是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④3.计算 （1）)27131(12-- （2）（3（4）7672- （5）52080+- （6）)2798(18-+（7）)681()5.024(--+8）（9） （10）yyx y x x 1241+-+ （11）232282xy x x +-4. 已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x。
人教版-数学-八年级下册《二次根式的加减》教学详案
《二次根式的加减》教学详案1.将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式,再进行合并.2.能对含有二次根式的式子进行加减运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.3.会计算二次根式的加减乘除混合运算,能准确地进行化简求值.1.通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想.2.培养学生的计算能力.鼓励学生自主探究,提高学生自主学习的能力.【重点】二次根式的加减运算.【难点】探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算.第课时理解和掌握二次根式加减的方法.先提出问题,分析问题,在分析问题过程中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.体会合作学习的乐趣.【重点】二次根式加减法的运算.【难点】快速准确进行二次根式加减法的运算.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习整式的计算.导入一:(出示教材第12页问题)现有一块长7.5 dm,宽5 dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板?提问:①大、小正方形木板的边长分别为dm和dm,木板是否够宽?②木板是否够长呢?③怎样计算+的结果呢?引导学生思考,并进行交流.两个小正方形的边长分别为dm和dm,均小于5 dm,所以木板的宽度够,下面考虑木板是否够长,两个正方形的边长的和为dm,实际上是求和的和,然后再比较+与7.5的大小.怎样计算+呢?下边我们来探究二次根式的加减.设置问题情境,引出课题,体现了数学与生活的密切关系,激发学生探究二次根式加减运算法则的学习兴趣.导入二:我们一起来回顾一下:最简二次根式必须要满足哪几个条件?(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.二次根式的乘除法,可以用被开方数乘或者除以被开方数,然后化简得出结果.那么,二次根式的加法能用被开方数加上或减去被开方数吗?提问:-=正确吗?本节课,我们一起学习二次根式的加减之后就会明白上面的计算是否正确.复习最简二次根式,为合并被开方数相同的二次根式打下基础,通过类比设疑,唤起学生的探究欲望.1.二次根式的加减法我们可否用整式的加减的方法来计算二次根式的加减呢?思路一教师引导学生将导入一中的二次根式化成最简二次根式:+=2+3.追问:可以像合并同类项那样合并吗?学生小组讨论回答:相当于x,则合并同类项2x+3x=(2+3)x=5x,用类比的方法可知:根号前边的数字相当于系数,把系数相加得:(2+3)=5.师生归纳:一般地,二次根式相加减时,可先将二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并.使学生应用类比思想解决问题,培养学生观察、归纳的能力.思路二(1)合并同类项:①2x+3x=;②2a2-3a2+5a2=.(2)请同学们用类似合并同类项的方法计算下列各题,并说说计算过程有什么规律.①2+3=;②2-3+5=.学生回顾,合并同类项就是把系数相加减,字母部分不变.2x+3x=(2+3)x=5x,2a2-3a2+5a2=(2-3+5)a2=4a2,教师提醒要注意不是同类项的不能合并.追问:第(1)问中的①中x换成,②中a2换成,就成了第(2)问中的两个题目了,又该怎样运算呢? 学生用类似合并同类项的方法,得:①2+3=(2+3)=5;②2-3+5=(2-3+5)=4.引导学生总结:第(2)问中的①和②都是将被开方数相同的二次根式进行合并,如果二次根式不是最简二次根式,需先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.例如,+=3+2=5.教师归纳:二次根式加减时,先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.(1)合并就是把二次根式根号外的因式或因数加起来,包含前面的符号,被开方数和根指数不变.(2)当二次根式的系数是带分数时,必须将其化成假分数.(3)化简后,被开方数不相同的根式不能合并.2.例题讲解(教材例1)计算:(1)-;(2)+.引导学生对二次根式,,,化简,并进行检查、指正.由学生独立完成解答过程,按照被开方数相同的合并在一起.解:(1)-=4-3=.(2)+=3+5=8.(教材例2)计算:(1)2-6+3;(2)+.指导学生对二次根式进行化简,再加减,并追问:与能合并吗?学生能成功化简,并在明白与的被开方数不相同,不能合并的基础上,再计算.解:(1)2-6+3=4-2+12=14.(2)(+)+(-)=2+2+-=3+.二次根式的加减运算,第一步是将不是最简二次根式的化成最简二次根式;第二步是将被开方数相同的最简二次根式合并,如果有括号,先去括号.师生共同回顾本节课所学主要内容:二次根式的加减运算,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.①二次根式加减的实质是将被开方数相同的最简二次根式进行合并,与整式加减中合并同类项类似,即只把系数相加减,根指数和被开方数不变;②在进行运算时还要注意,根号外的因式就是这个根式的系数,二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式;③被开方数不相同的最简二次根式不能合并,对于没有合并的二次根式一定不能丢掉,其也是结果的一部分.1.(2015·天门中考)下列各式计算正确的是()A.+=B.4-3=1C.2×3=6D.÷=3解析:A.不是同类二次根式,不能合并,故错误;B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉,故错误;C.应为2×3=6×3=18,故错误;D.原式===3,正确.故选D.2.以下二次根式:①,②,③,④中,化简后与被开方数相同的是()A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④解析:①=2;②=2;③=;④=3.故选C.3.(2015·重庆中考)计算3-的值是()A.2B.3C.D.2解析:3-=(3-1)=2.故选D.4.一个等腰三角形的两边长分别为2,3,则三角形的周长为.解析:当2为腰长,3为底边长时,周长为3+4;当3为腰长,2为底边长时,周长为6+2.故填3+4或6+2.5.若最简二次根式与的被开方数相同,则a=解析:由题意得4a2+1=6a2-1,解得a=±1.故填±1.6.计算:(1)2+3-3+;(2)-5+.解:(1)2+3-3+=(2-3)+(3+)=(2-3)+(3+1)=-+4.(2)-5+=2-5×+==.第1课时1.二次根式的加减法2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第13页练习第1,2,3题;教材第15页习题16.3第1,2,3题.【选做题】教材第15页习题16.3第5题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015·衡阳中考)计算-=.2.(2014·遵义中考)计算+=.3.若+2+x=10,则x的值等于.【能力提升】4.计算4+3-的结果是()A.+B.C. D.-5.若的整数部分为x,小数部分为y,则x-y的值是()A.3-3B.C.1D.36.计算:(1)-2;(2)+;(3)5+5-+;(4)-2.7.如图所示,面积为48 cm2的正方形的四个角都是面积为3 cm2的小正方形,请动手操作,将四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子,求这个长方体盒子的底面边长.【拓展探究】8.已知a为实数,化简:-a.阅读下面李东的解答过程,请判断是否正确.若不正确,请写出正确的解答过程.李东的解答过程:-a=a-a·=(a-1).【答案与解析】1.(解析:原式=2-=.)2.4(解析:+=3+=4.)3.2(解析:+2+x=10化简得=2,故x=2.)4.B(解析:先把二次根式化成最简二次根式,然后合并同类二次根式,原式=2+-2=.故选B.)5.C(解析:的整数部分x=1,小数部分y=-1,所以x-y=1.故选C.)6.解:(1)-2=5-2=3.(2)+=+=.(3)5+5-+=5+5-3+3=2+8.(4)-2=--+4=.7.解:长方体盒子的底面边长为:-2=4-2=2(cm).8.解:不正确.正确解答过程如下:因为所以a<0.原式=-a=-a+=(1-a).在授课过程中,以学生为主体,进行探究性学习,让学生自己发现规律,得出概念.在例题的选择上由简到难,符合学生的认知规律,便于掌握.在得到定义、法则的过程中,让学生经历发现、思考、探究的过程,体会学习知识的成功与快乐.在教学过程中,存在着一些不足之处.一是对学情分析不足,主要是过高估计学生的学习能力,对以前学过的二次根式的化简复习工作做得不够,导致后续的新知识的学习遇到许多麻烦.二是在学生自主学习方面还存在着不足.遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强.这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导.适当增加习题练习量,被开方数有分母时化简易出错,对此类题目重点训练.练习(教材第13页)1.解:(1)不正确.-=2-.(2)不正确.+=2+3=5.(3)正确.3-=(3-1)×=2.2.解:(1)2-6=(2-6)=-4.(2)-+=4-2+=(4-2+1)=3.(3)+(-)=3+(7-3)=10-3.(4)(+)-=2+-+=3+.3.解:d=R-r=-≈-=-=2-2≈0.83.答:圆环的宽度d约为0.83.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别运算二次根式的乘除法二次根式的加减法系数系数相乘除系数相加减被开方数被开方数相乘除被开方数不变化简结果化成最简二次根式先化成最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式(同类二次根式)计算:(1)+3--;(2)--a2+(a>0,b≥0).解:(1)原式=2+2--=0.(2)原式=a-b-a +=(1-b).第课时在有理数的混合运算及整式的混合运算基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系,在比较中得到方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算.1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较,注意运算顺序及运算律在计算过程中的作用.2.通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法.1.学会知识间的类比,进一步体会数学学习方法的重要性.2.通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度.【重点】能熟练进行二次根式的混合运算.【难点】灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习总结二次根式的加减运算的方法.导入一:教师节快要到了,为了表示对老师的敬意,小波做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师.其中一张面积为800 cm2,另一张面积为4500 cm2,他想如果再用金彩带镶上边会更漂亮.他现在有一条长1.2 m的金彩带,请你帮忙算一算,他的金彩带够用吗?若不够用,还需要购买多长的金彩带?引导学生计算所需金彩带的总长,列式为4(+),思考计算方法.如何计算呢?通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题.创设问题情境,激起学生的探索兴趣和求知欲望.导入二:让我们一起来回顾一下二次根式的基本运算,你会计算下面几个式子吗?计算:(1)+;(2)×;(3)÷.学生计算交流后,提出问题:(+)应怎样计算?乘法分配律依然可以应用吗?本节课我们重点探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用和二次根式的混合运算的问题.通过复习二次根式的运算,自然过渡到二次根式的混合运算,明确本节课的目标.1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用思路一下面我们看看,整式乘法法则和公式在二次根式混合运算中仍然适用吗?(1)怎样计算4(+)?引导学生回忆学习过的整式乘法中的乘法分配律,仿照a(b+c)=ab+ac尝试计算,并全班交流.4(+)=4+4=4×20+4×30=80+120.(2)怎样计算(+2)(-2)?引导学生回忆整式乘法公式,仿照(a+b)(a-b)=a2-b2尝试计算,并全班交流.(+2)(-2)=()2-(2)2=3-8=-5.(3)(+2)2和(-2)2又该如何计算呢?学生讨论,用完全平方公式计算.(+2)2=()2+2××2+(2)2=3+4+8=11+4.(-2)2=()2-2××2+(2)2=3-4+8=11-4.进一步引导学生总结:整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用.用类比的方法探索二次根式混合运算的特点,使学生弄清楚新旧知识的区别和联系.让学生亲自动手,进行实验、探究,得出结论,激发学生的求知欲望.思路二(1)请同学们完成下列各题:计算:①(2x+y)·zx;②(2x2y+3xy2)÷xy;③(2x+3y)(2x-3y);④(2x+1)2+(2x-1)2.学生计算后,老师点评.这些内容是对八年级上册整式运算的再现.主要有:单项式×单项式;单项式×多项式;多项式×多项式;多项式÷单项式;完全平方公式的运用;平方差公式的运用.如果把上面的x,y,z改成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢?仍成立.整式运算中的x,y,z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有的式子,当然也可以代表二次根式,所以整式中的运算规律也适用于二次根式.下面,我们来验证一下用乘法分配律计算(+)×.(+)×=(2+3)×=5×=10,(+)×=×+×=4+6=10.引导学生观察,发现:这两种方法的结果是相同的.在二次根式运算中,乘法分配律依然可以应用.(2)自己举例验证平方差公式和完全平方公式是否可以应用于二次根式的运算.小组讨论后,全班交流.(1)适用于二次根式的乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.(2)乘法公式的变式:①位置变化:(x+y)(-y+x)=x2-y2;②符号变化:(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2;③指数变化:(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4;④系数变化:(2a+b)(2a-b)=4a2-b2;⑤换式变化:=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2;⑥增项变化:(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=x2-2xy+y2-z2;⑦连用公式变化:(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4;⑧逆用公式变化:(x-y+z)2-(x+y-z)2==2x(-2y+2z)=-4xy+4xz.2.二次根式的混合运算怎样计算(-2)(2-)?同桌讨论,类比(a-2b)(2a-b)的计算方法计算上式.(-2)(2-)=×2-×-2×2+2×=6--4+4=-5+10.教师明确:二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样:先乘方,再乘除,最后加减;有括号时先算括号内的.3.例题讲解刚才已经分析,二次根式仍然满足整数的运算律和有理数的混合运算顺序,下面我们直接运用这些运算律和公式来解决一些问题.(教材例3)计算:(1)(+)×;(2)(4-3)÷2.引导学生先观察式子的特点,确定:(1)属于“多项式×单项式”,直接用乘法分配律计算;(2)属于“多项式除以单项式”,“用多项式的每一项除以单项式,再将结果加在一起”即可.解:(1)(+)×=×+×=+=4+3.(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.(教材例4)计算:(1)(+3)(-5);(2)(+)(-).学生观察发现,两个都是“多项式×多项式”的类型,可以根据整式乘法中多项式乘多项式的法则计算即可,而(2)根据平方差公式计算更简便.解:(1)(+3)(-5)=()2+3-5-15=2-2-15=-13-2.(2)(+)(-)=()2-()2=5-3=2.(1)像(+)与(-)乘积可以运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,同时它们的积是有理数,不含有二次根式,就属于互为有理化因式.一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形:①和;②+和-;③a+和a-;④m+n和m-n.(2)分母有理化是指把分母中的根号化去,通常在分子、分母上同乘一个二次根式,达到化去分母中的根号的目的.把分母有理化得==.通过例题训练,使学生逐步形成类比意识,理解新旧知识的联系.师生共同回顾本节课所学主要内容:关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.1.下列各式计算正确的是()A.-2=-B.=4a(a>0)C.=×D.÷=解析:-2=(1-2)=-,故选项A正确;=2a(a>0),故选项B错误;与无意义,故选项C错误;÷=,故选项D错误.故选A.2.下列计算正确的是()A.(3-2)(3+2)=9-2×3=3B.(2+)(-)=2x-yC.(3-)2=32-()2=6D.(+)(-)=1解析:(3-2)(3+2)=9-8=1,所以A选项错误;(2+)(-)=2x-2+-y=2x--y,所以B选项错误;(3-)2=9-6+3=12-6,所以C选项错误;(+)(-)=(+)(-)=x+1-x=1,所以D选项正确.故选D.3.(2015·孝感中考)已知x=2-,则代数式(7+4)x2+(2+)x+的值是()A.0B.C.2+D.2-解析:把x=2-代入代数式(7+4)x2+(2+)x+得:(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+4-3+=49-48+1+=2+.故选C.(1)×;(2)-;(3)÷-×+.解:(1)原式=×+×-3×=+10-15=-4.(2)原式=-=3+2--1=2+.(3)原式=-+2=4+.第2课时1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用2.二次根式的混合运算3.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第14页练习第1,2题;教材第15页习题16.3第4题.【选做题】教材第15页习题16.3第6,7,8,9题.二、课后作业【基础巩固】1.化简-(1-)的结果是()A.3B.-3C.D.-2.如图所示,数轴上与1,对应的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x-|+等于()A. B.2 C.3 D.23.计算(-)+的值是.4.计算-(5-)的值为.【能力提升】5.计算:--+|2-|.(1)-2;(2)+-;(3)(5+2)(5-2);(4).7.先化简,再求值:+÷,其中a=1+.8.已知x=-1,y=+1,求+的值.【拓展探究】9.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求x+y2-的值.10.(2015·山西中考)阅读与计算:阅读以下材料,并完成相应的任务.斐波那契(约1175~1250)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用表示.任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.【答案与解析】1.A(解析:原式=-+3=3.故选A.)2.C(解析:根据对称的性质:对称点到对称中心的距离相等,得到x的值后代入代数式化简求值.由题意得x=1-(-1)=2-,原式=-x+=-2++=2-2+=2-2+(+1)=3.故选C.)3.2(解析:原式=2-+=2.)4.-2+2(解析:二次根式的加减运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.-(5-)=3+-5+=-2+2.)5.解:原式=2--2+2-=.6.解:(1)-2=+1-2=-1=1.(2)+-=+-=+2-10=+2-10=-.(3)(5+2)(5-2)=52-(2)2=25-12=13.(4)=12-2××+=12-8+=.7.解:原式=+×=+=,当a=1+时,原式===.8.解:因为x+y=-1++1=2,xy=(-1)(+1)=2,所以+====4.9.解:∵4x2+y2-4x-6y+10=0,∴4x2-4x+1+y2-6y+9=0.∴(2x-1)2+(y-3)2=0.∴x=,y=3.原式=x+y2-x2 +5x=2x+-x+5=x+6.当x=,y=3时,原式=×+6=+3.10.解:第1个数:当n=1时,n-==×=1.第2个数:当n=2时,n-===××1=1.教学中强调了前面学过的运算法则和运算律对二次根式同样适用,反映了数学理论的一贯性,使学生在学习中感到所学并不难.整节课,始终以练习为主,通过例题练习,将新旧知识紧密联系在一起,并不断巩固运算法则和运算律在二次根式的运算中的运用.过分注重了探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用的问题,让学生运用法则和公式计算二次根式的混合运算的练习时间较少,一些学生还容易出现运算顺序出现错误和错用公式的现象.适当增加变式练习,增加二次根式混合运算的例题,提高分析问题和解决问题的能力,真正达到灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便的目的.练习(教材第14页)1.解:(1)(+)=+.(2)(+)÷=+=4+2.(3)(+3)(+2)=5+2+3+6=11+5.(4)(+)(-)=()2-()2=6-2=4.2.解:(1)(4+)(4-)=42-()2=16-7=9. (2)(+)(-)=()2-()2=a-b.(3)(+2)2=()2+4+22=7+4.(4)(2-)2=(2)2-2×2+()2=22-4.习题16.3(教材第15页)1.解:计算均不正确.理由如下:(1)(2)题不能合并,因为它们不是同类二次根式;(3)题在合并同类二次根式时,误把的系数看作0,并去掉,导致运算错误;(4)题是二次根式化简错误,==.2.解:(1)2+=4+3=7.(2)-=3-=.(3)+6=2+3=5.(4)a2+3a=2a2+15a2=17a2.3.解:(1)-+=3-4+=0.(2)-+-=5-3+4-6=-.(3)(+)-(-)=(3+3)-(2-5)=3+3-2+5=8+.(4)(+)-(+)=+--=--.4.解:(1)(+5)=×+5×=+5=6+10.(2)(2+3)×(2-3)=(2)2-(3)2=12-18=-6.(3)(5+2)2=(5)2+(2)2+2×5×2=75+20+20=95+20.(4)+÷=÷+÷=+=+.5.解:5-+=-+3=,∵≈2.236,∴原式=≈×2.236≈7.83.6.解:∵x=+1,y=-1,∴x+y=(+1)+(-1)=2,x-y=(+1)-(-1)=2.(1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(2)2=12.(2)x2-y2=(x+y)·(x-y)=2×2=4.7.解:如图所示,作AB边上的高CD,∵∠ACB=90°,CB=CA=a,∴△ABC,△ACD,△BCD都是等腰直角三角形,∴CD=BD=AD=AB,若设CD=BD=AD=x,则AB=2x,S△ABC=S△ACD+S△BCD,∴a2=x2+x2,∴x2=a2,∴x=a(x=-a不符合题意,舍去),∴AB=2x=2×a=a.8.解:∵a+=,∴=()2,∴a2++2=10,∴a2+=8,∴a2+-2=6,即=6,∴a-=±.9.提示:(1)x1=,x2=-.(2)x1=-5+2,x2=-5-2.复习题16(教材第19页)1.解:(1)由二次根式的意义,可知3+x≥0,∴x≥-3,∴当x≥-3时,在实数范围内有意义.(2)由二次根式的意义及分母不能为0,可知2x-1>0,∴x>,∴当x>时,在实数范围内有意义.(3)由二次根式的意义及分母不能为0,可知2-3x>0,∴x<,∴当x<时,在实数范围内有意义.(4)由二次根式的意义及分母不能为0,可知(x-1)2>0,∴x≠1,∴当x≠1时,在实数范围内有意义.2.解:(1)==10.(2)==2.(3)===.(4)==.(5)=··=xy.(6)==.3.解:(1)-=-=2---=-.(2)2×÷5=(×÷)=×==.(3)(2+)(2-)=(2)2-()2=12-6=6.(4)(2-3)÷=2÷-3÷=2-3 =4-=-.(5)(2+3)2=(2)2+2×2×3+(3)2=8+12+27=35+12.(6)===-2××+=-+=5-.4.解:由题意可知a2=96×12,∴a===24(负值已舍去).5.解:∵x=-1,∴x2+5x-6=(-1)2+5(-1)-6=5-2+1+5-5-6=3-5.6.解:∵x=2-,∴(7+4)x2+(2+)x+=(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+22-()2+=72-(4)2+4-3+=49-48+1+= 2+.7.解:由Q=I2Rt,得I=,当R=5,t=1,Q=30时,I==≈2.45(A).8.解:∵==3,且是整数,n是正整数,∴n的最小值为21.9.解:(1)略.(2)由题意可知由①得OD=OA,把OD=OA代入②中,得OC=OA,把OC=OA代入③中,得OB=OA,∴OB=OA,OC=OA,OD=OA.10.解:三个式子都成立,举例:=5,=6,=7.规律:=n.证明如下:左边===n=右边,所以结论=n成立.二次根式的大小比较策略二次根式的大小比较,是二次根式内容中的一种题型,如果能根据不同的特点,掌握二次根式比较大小的常用方法、解法技巧,会起到事半功倍的作用.比较二次根式的大小,通常有被开方比较法、平方比较法、作差比较法、作商比较法、倒数比较法、分子有理化法、设参比较法、比较整数部分法等.(1)运用被开方法比较4和3的大小.解:∵4==,3==,又32>27,∴4>3.(2)运用平方法比较4和3的大小.解:∵(4)2=42×2=32,(3)2=32×3=27,又32>27,∴4>3.(3)运用作差法比较4和3的大小.解:∵4-3=-=->0,∴4>3.(4)运用作商法比较4和3的大小.解:∵===>1,∴4>3.(5)运用倒数法比较-与-的大小(其中n为正整数).解:∵=+,=+,其中n为正整数,且+>+,∴-<-.(6)运用分子有理化法比较与的大小.解:∵==,==,而<,∴<.(7)运用设参法比较A=与B=的大小.解:设x=54321,则A==,B==, ∵x2+3x<x2+3x+2,∴<,∴A<B.。
3.3二次根式的加减(2)
二次根式的加减（2）教学目标 ：1．理解分母有理化与除法的关系． 2．掌握二次根式的分母有理化．3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想 教学重点、难点解决办法： 1．教学重点：分母有理化． 2．教学难点：分母有理化的技巧一、新课：例1：计算：（1）6)35278(⋅-（2）)3225)(65(-+例2：计算：（1）)2332()2332(-⋅+ （2）2)534(+（3）2)336(-二、随堂练习：（1）)63)(63(-+（2）)52)(52(by ax by ax +-（5）50511221832++- （6）．12)323242731(⋅--（7）．)32)(532(+- （8）．)()3(33ab ab ab b a ÷+- （a>0,b>0）三、提高题1 ）A ．①和③B ．②和③C ．①和④D ．③和④2已知y=x 3－3，且y 的算术平方根为4，则x= ．3 如果最简根式b-a3b 和2b-a+2 是同类二次根式，那么a 、b 的值为 （ ） A ．a ＝0，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝0 C ．a ＝－1．b ＝1 D . a ＝1，b ＝－24 05计算:2233121--+6计算:62)21218(⨯+- 7计算:)0,0)()((≥≥++-b a b ab a b a二次根式的加减（2）一、弹性练习：1、)13)(12)(21)(31(-+-+2、)62332)(62332(---+3、2)2332()3527)(3223(+++-二、前面我们在讲完二次根式的除法后就引入了分母有理化，我们知道，将分母中的根号化去，就叫做分母有理化。
1练习：将下列各式分母有理化：（1）403 （2）63 （3）xxy 242、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。
22.3.2二次根式的加减法 学案
22.3.2 二次根式的加减法（二）学案教学目标1.会运用二次根式的概念、性质、法则解决实际问题2.经历探究二次根式的应用过程，掌握其应用方法3.感受数学中的数感，体验过程性学习中的知识延伸和变化研讨过程一、回顾知识，复习检测计算：（1）123319483+-；（2）())512(2048-++；（3）x x x x 1246932-+ 二、复习引入二次根式的加减解题方法：第一步，先把二次根式化成 ；第二步，合并 .范例学习，拓展新知1、如图22.3-1所示的Rt △ABC 中，∠B=090，点P 从点B 开始沿BA 边以每秒1厘米的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以每秒2厘米的速度向点C 移动，请同学们探究：几秒后△PDQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）解：设x 秒钟后△PBQ 的面积为35平方厘米。
则有x BQ x BP 2,==_______35___________35___________35___________====x 所以35秒钟后△PBQ 的面积为35平方厘米。
___________________________________________====PQ 答：2．要焊接如图22.3-2所示的钢架，大约需要多少钢材？（精确到0.1m ）解：由勾股定理得)________(__________________________________________________________________________________________m BD AC BC AB ：BC AB ≈==+++=======所需要的钢材和长度为答：焊接一个如图所示的钢架，大约需要 m 的钢材。
评析：本题是勾股定理与二次根式的综合运用.三、随堂练习，加深理解1．张村有一个长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽是2倍，它的面积是1600㎡，鱼塘的宽是 m2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，那么这个等腰直角三角形的周长是 .（结果用二次根式）3．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长度应为（结果用最简二次根式表示）（ ） A 25 B 50 C 52 554．小刚想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 长方形木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线上又是钉上了一根木条，木条的长应为（结果用最简二次根式表示）（ ） A cm 10013 B 1300cm C 1310cm D cm 1355．设三角形三边是C a 、、b、c 周长是（1）如果C ，，c ，b a 求982724507===（2）如果b m ，m ，，c m ，，b a 求10916040===6．如图22.3-3在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，E 在AB 上，DE=AE=EB=a ，求平行四边形ABCD 的周长C.四、课堂总结，提高认识本节课主要掌握 布置作业：课本P 12习题22.3第3（1）（2）、5题课后反思：。
初中数学二次根式的加减的教案
练习 2
活动 3 问题 要焊接一个如教科书图 21.3-2 所 示的钢架，大约需要多少米钢材（精确 到 0.1 m）？
此题是与实际相联系的题目， 需要学生先列式， 再计算，并将结果精确到 0.1m．学生考虑问题要全 面，不能漏掉任何一段钢材． 本次活动中，教师应重点关注： （1）学生解决问题的方案是否得当； （2）考虑问题是否全面； （3）计算是否准确．
（2）分析 8 18 的计算过程．
（1） 是否能准确地将 8 和 18 化成最简二次 根式； （2）是否能将分配律运用到此题的计算当中 去． 最后学生在小组讨论的基础上总结计算过程：
（3）下列计算是否正确？为什 么？ ① 8 3 83 ； ② 4 9
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简两题的类似 错误，在做这组练习时，教师着重强调什么样的二 次根式能进行加减运算，运算到哪一步为止．由此 也可以看到二次根式的加减与乘除的不同，只有通 过找出被开方数相同的二次根式的途径，才能进行 加减运算．
课后作业： 教科书第 19 页第 3 题； 21 页第 第 2、3 题． 况．
（2）学生对作业中的实际应用问题的理解情
确性．
教学过程设计
问题与情境 活动 1 问题 （1）现有一块长 7.5dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如教科书图 21．3-1 所示的方式， 在这块木板上截出两个面 积分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木 板？ 师生行为 这是一道解决实际问题的题目，学生分组讨 论，探求方案．教师倾听学生的交流，指导学生探 究． 本次活动中，教师应重点关注： （1）学生是否能设计出解决问题的正确方案； （2）如何比较 8 18 与 7.5 的大小． 在总结计算过程中，教师应重点关注：
八年级数学下册22.3二次根式的加减教案华师大版
二次根式的加减(1)课型：新讲课第一课时学习内容二次根式的加减学习目标明白得和把握二次根式加减的方式．学习重难点1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点：会判定是不是是最简二次根式．教学进程设计一、温故互查（小组完成）1.什么是二次根式？2.二次根式的乘除法法那么是什么？3.整式的加减法，事实上确实是归并同类项，什么是同类项？二.设问导读请同窗们阅读教材，设疑自探1. 自探（学生活动）：计算以下各式．（1）（2）（3（4）2.二次根式的被开方数相同是能够归并的，如们能够归并吗？（能够的．）（板书）因此，二次根式加减时，能够先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行归并．合作探讨（小组合作）1．计算（1（2（3）（4））+教师点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行归并．三、自我检测1是同类二次根式的是（）．A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④2．以下各式：①②17；；，其中错误的有（）．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3.是同类二次根式的有________．4．计算二次根式的最后结果是________．四、应用拓展1-）的值．（结果精准到）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．五、归纳小结（师生一起归纳）本节课应把握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行归并．六、布置作业习题二次根式的加减(2)课型:新讲课第二课时学习内容利用二次根式化简的数学思想解应用题．学习目标运用二次根式、化简解应用题．学习重难点讲清如何解许诺用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．教学进程设计一、温故互查1.上节课，咱们已经学习了二次根式如何加减的问题，咱们把它归为两个步骤：第一步，第二步，2.计算（1（2（3）+二.设问导读，自学探讨1．如下图的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）ACQ P（分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•依照三角形面积公式就能够够求出x 的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 那么有PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12x ·2x=35 x 2PBQ 的面积为35平方厘米．===PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为厘米．）自探2．要焊接如下图的钢架，大约需要多少米钢材（精准到0.1m ）？（分析：此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成，因此要求钢架的钢材，•只需明白这四段的长度．BC2m1m4mD解：由勾股定理，得==所需钢材长度为≈3×+7≈（m ）答：要焊接一个如下图的钢架，大约需要13.7m 的钢材．） 三、自学检测选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长别离为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式）A ．B．．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽别离为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳固性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示）A ．．．填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是_______m ．（结果用最简二次根式） 2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么那个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式） 四、应用拓展1与2n是同类二次根式，求m、n的值．2.假设最简根式3a求a、b的值．（•同类二次根式确实是被开方数相同的最简二次根式。
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《二次根式的加减》教案2
教学内容
二次根式的加减
教学目标
理解和掌握二次根式加减的方法．
先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
重难点关键
1．重点：二次根式化简为最简根式．
2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．
教学过程
一、复习引入
学生活动：计算下列各式．
(1)2x+3x； (2)2x2-3x2+5x2； (3)x+2x+3y； (4)3a2-2a2+a3
教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．
二、探索新知
学生活动：计算下列各式．
(1)2)
(34)
老师点评：
(1)x，不就转化为上面的问题吗？
2+3
(2)y；
2-3+5
(3)z；
21+2+3
(4x y．
3-2
因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如但
它们可以合并吗？可以的．
(板书)
所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例1．计算
(12
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
解：(12+3
(2=4+8 例2．计算
(1)-2
解：(1)12-3+6
(2
= 三、巩固练习
教材P 13 练习1、2．
四、应用拓展
例3．已知4x 2+y 2-4x -6y +10=0，求(23+y x 5)的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x -1)2+(y -3)2=0，即
x =12
，y =3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2-4x -6y +10=0 ∴4x 2-4x +1+y 2-6y +9=0
∴(2x -1)2+(y -3)2=0 ∴x =12
，y =3
原式=23+y x 5
=2
当x =12，y =3时，原式=12 五、归纳小结
本节课应掌握：(1)不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；(2)相同的最简二次根式进行合并．
六、布置作业
教材P 15 习题16.3
1、2、3.。