高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.1实际问题中导数的意义课件北师大版选修1-1
2017-2018学年高中数学 第四章 导数应用 4.2 导数在实际问题中的应用 4.2.1 实际问题中导数的意义课件 北师
1.利用实际问题巩固和加强对导数概念的理解. 2.理解瞬时速度、边际成本等概念,并能利用导数解决有关实际 问题.
实际问题中导数的意义 在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理解的量.在 物理学中,速度是路程关于时间的导数,线密度是质量关于线长的导 数,功率是功关于时间的导数,加速度是速度关于时间的导数;在经 济学中,边际成本是生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数.
(1)当x从100变到200时,平均每米的成本为
;
(2)f'(100)=
,其实际意义为
.
解析:(1)f(100)=1 010.3,f(200)=4 020.3,
∴������(220000)--���1���(01000)=30.1(万元/米),
即平均变化率为 30.1 万元/米. (2)f'(x)=110(2x+1),
1234
1.一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s=t,则( )
A.物体做匀速运动
B.物体做匀加速运动
C.物体做匀减速运动 D.物体处于静止状态
解析:∵s'=1,∴物体做匀速运动.
答案:A
1234
2.如果物体做直线运动的方程为s(t)=3(2-t)2,则其在t=3 s时的瞬时 速度为( )
A.6
题型一
题型二
题型三
题型四
易错辨析 易错点 忽略实际意义而致误 【例4】 在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度是 h(t)=-4.9t2+6.5t+10(单位:m),求高台跳水运动中运动员在t=1 s时的 瞬时速度,并解释此时的运动状况. 错解:h'(t)=-9.8t+6.5,
4.2导数在实际问题中的应用 课件(北师大版选修1-1)
一、物体的比热
设有单位质量的物体从 0oC 加热到 ToC 所吸收的 热量 Q 是温度 T 的函数：Q=Q(T).给温度 T 以增 量 T，则可求得物体在 T 这段温度内的平均比 热为
c Q Q (T T )Q (T ) , T T Q Q(T ) T 0 T
C C(q) 100 6q 0.4q 2 0.02q 3 ，
间的函数关系(即总成本函数)为 试问当生产水平为 q 10 (万件)时，从降低成本角度看，继续 提高产量是否合适？ 解 当 q 10 时的总成本为
C(10) 100 6 10 0.4 102 0.02103 140 （万元)，
25 Q(t ) 20sin t 现设通过截面的电量 ，则通 2 （C）
过该截面的电流为
25 25 25 I (t ) 20sin t 20 cos t 2 2
25 cos t 2 ． 500
（3）边际利润 设总利润函数为 L L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量，则 L (q ) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L (q) 个 单位．
例 4.5.3
某种产品的总成本 C (万元)与产量 q (万件)之
例 4.5.4
设生产 q 件某产品的总成本函数为：
C(q) 1500 34q 0.3q 2
如果该产品销售单价为： p 280元／件，求 （1）该产品的总利润函数 L(q ) ； （2）该产品的边际利润函数以及销量为 q 420 个 单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释． （3）销售量为何值时利润最大？
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用十分重要。
物体运动的描述与预测中，导数可以帮助我们计算速度、加速度等参数，从而更好地预测物体的运动轨迹。
在成本与收益优化中，导数可以帮助企业优化生产成本，最大化利润。
在信号处理与数据分析中，导数可以帮助我们提取信号中的有用信息，进行数据分析和预测。
医学和工程领域中，导数也有着广泛的应用，比如在医学影像分析和工程设计中起着至关重要的作用。
导数在实际生活中有着丰富的应用场景，帮助我们更好地理解和应用数学知识。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、成本、收益、优化、信号处理、数据分析、医学、工程技术、应用、广泛应用1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用的重要性导数在实际生活中的运用是非常重要的。
导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
在实际生活中，导数可以帮助我们描述和预测物体的运动。
通过对物体位置或速度的导数进行计算，我们可以更准确地预测物体未来的位置或速度，这在航天飞行、交通运输等领域具有重要意义。
除了物体运动的描述与预测，导数还在成本与收益优化中扮演着重要角色。
在商业领域，通过对成本函数或收益函数的导数进行分析，我们可以找到使利润最大化或成本最小化的最优决策方案，从而提高企业的竞争力。
导数在信号处理与数据分析、医学、工程技术等领域也有着广泛的应用。
在信号处理中，导数可以帮助我们分析信号的频率、幅度等特性；在医学中，导数可以帮助医生分析患者的生理数据；在工程技术领域，导数可以帮助工程师设计更高效的系统和设备。
导数在实际生活中有着广泛的应用，对于提高生产效率、提升科技发展水平具有重要意义。
通过深入理解和应用导数，我们可以更好地解决现实生活中的问题，推动社会的发展和进步。
2. 正文2.1 物体运动的描述与预测物体运动的描述与预测是导数在实际生活中的一个重要应用领域。
在物理学和工程学中，导数被广泛用于描述和预测物体的运动状态。
通过对物体位置关于时间的导数，我们可以得到物体的速度和加速度，进而了解物体运动的特性。
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。
高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2
∴f(x)在[-2,2]上的最大值为92,最小值为-5207.
题型一
题型二
题型三
反思1.当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时,可 考虑用导数的方法求解.
2.比较极值与端点函数值大小时,有时需要利用作差或作商,甚至 需要分类讨论,由函数的最值求参数值.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知函数f(x)=ax3+c,且f'(1)=6,函数在[1,2]上的 最大值为20,则c的值为( )
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的递减区间; (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 解:(1)f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3). 令f'(x)<0,得x<-1或x>3. 故函数f(x)的递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
【做一做1】 设f(x)是[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下 面结论中正确的是( )
A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点 C.f(x)在区间(a,b)上可能没有极值点 D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点 答案:C
【做一做 2】 函数 f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最大值为 ( )
题型一
题型二
题型三
这也是函数f(x)在区间[1,5]上的最小值. 又因为f(1)=-1,f(5)=15, 所以函数f(x)在区间[1,5]上的最大值为f(5)=15. 综上所述,函数f(x)在区间[1,5]上的最大值为15,最小值为-9. 反思函数的最值与极值及单调性密切相关,因此在求解函数的最 值的问题时,一般都要判断函数的单调性与极值点.导数是研究函 数与极值的有力工具.
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以帮助我们理解函数的增减性、极值等性质。
1.2 导数的计算方法介绍导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数的导数等。
讲解导数的运算法则：导数的四则运算、复合函数的导数等。
1.3 导数的应用解释导数在实际应用中的意义：例如，求解物体的速度、加速度等问题。
举例说明导数在实际问题中的应用：如优化问题、物理运动问题等。
第二章：导数与函数的增减性2.1 引入增减性的概念解释函数的单调递增和单调递减：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
2.2 利用导数判断函数的极值解释函数的极值概念：函数在某一点的导数为0，且在该点附近导数符号发生变化的点。
讲解如何利用导数判断函数的极值：通过导数的正负变化来确定函数的极大值和极小值。
2.3 应用实例分析举例说明如何利用导数判断函数的增减性和极值：如函数f(x) = x^3的增减性和极值分析。
第三章：导数与曲线的切线3.1 切线方程的导数表示解释切线的概念：函数在某一点的导数即为该点处的切线斜率。
推导切线方程的一般形式：y y1 = m(x x1)，其中m为切线斜率，(x1, y1)为切点坐标。
3.2 利用导数求解曲线的切线讲解如何利用导数求解曲线的切线：求出切点坐标，求出切线的斜率，写出切线方程。
3.3 应用实例分析举例说明如何利用导数求解曲线的切线：如函数f(x) = x^2的切线求解。
第四章：导数与函数的单调性4.1 单调性的定义与性质解释函数的单调性：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
强调单调性的重要性：单调性可以帮助我们理解函数的变化趋势。
4.2 利用导数判断函数的单调性讲解如何利用导数判断函数的单调性：通过导数的正负来确定函数的单调递增或递减区间。
高中数学第四章导数应用4.2.1实际问题中导数的意义课件北师大版选修11
2.一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量 y(单位： g)是工作时间 x(单位：h)的函数，设这个函数表示为 y＝ f(x)＝2x02＋4 x. (1)求 x 从 1 h 变到 4 h 时，y 关于时间 x 的平均变化率， 并解释它的实际意义；
(2)求 f′(1)，f′(4)，并解释它的实际意义．
(链接教材第四章 2.1 例 3)
[解] (1)当 x 从 200 变到 220 时，总成本 c 从 c(200)＝540(元) 变到 c(220)＝626(元)． 此时总成本 c 关于产量 x 的平均变化率为 c（2220） 20－－c2（00200）＝8260＝4.3(元/件)， 它表示产量从 x＝200 件到 x＝220 件变化时平均每多生产一 件产品时，总成本平均增加 4.3 元． (2)根据导数公式和求导法则可得 c′(x)＝110＋5x0，于是 c′(200) ＝110＋4＝4.1(元/件)． 它指的是当产量为 200 件时，每多生产一件产品，需增加
4．若某段导体通过的电量 Q(单位：C)与时间 t(单位：s)的函 数 关 系为 Q＝ f(t)＝210t2＋ t－ 80， t∈ [0， 30]，则 f′(15)＝
_52__C__/s___，它的实际意义是_t_＝__1_5_s_时__的__电__流__强__度__为__52__C_/_s. 解析：Q′＝f′(t)＝110t＋1，令 t＝15，则 f′(15)＝52 (C/s)，它表 示 t＝15 s 时的电流强度，即单位时间内通过的电量．
s′(1)和 s′(2)分别表示 t＝1 s 和 t＝2 s 时，位移 s 关于时间 t 的瞬时变化率，即瞬时速度．
方法归纳 (1)套用ΔΔst公式即可求出平均变化率，即质点在该段时间内 的平均速度；
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用非常广泛。
在物体运动中，导数可以帮助我们计算速度和加速度，从而预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数也被广泛应用，帮助我们找到函数的最大值和最小值。
在经济学中，导数被用于边际分析，帮助企业和政府做出决策以最大化利润或效益。
在医学领域，导数可以帮助分析身体的变化和疾病的发展趋势。
而在工程领域，导数则被用于解决各种实际问题，例如设计建筑结构和优化生产过程。
导数在不同领域中都起着重要作用，通过综合运用导数，我们能够更好地解决各种实际生活中的问题。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、速度、加速度、最优化、边际分析、医学、工程领域、重要作用、解决问题1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用是一种重要的数学概念，它广泛应用于各个领域，为解决实际生活中的问题提供了有效的数学工具。
导数是函数在某一点处的变化率，它可以帮助我们理解事物的变化规律，并从中得出一些有用的结论。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动速度和加速度，帮助我们预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产和经营活动。
在经济学中，导数被应用于边际分析中，帮助我们确定最优的生产和消费决策。
在医学领域，导数被用来描述生物体的变化规律，帮助医生做出诊断和治疗方案。
工程领域的实际情况中，导数被广泛应用于设计和优化工程系统，提高生产效率和质量。
导数在不同领域中均起着重要作用，综合运用导数能够解决各种实际生活问题，为我们的生活带来更多便利和效率。
2. 正文2.1 物体运动的速度和加速度物体运动的速度和加速度是导数在实际生活中的一个重要应用领域。
在物理学中，我们经常需要研究物体在运动中的速度和加速度变化情况，而导数提供了一种有效的工具来描述这些变化。
我们知道速度是描述物体在单位时间内所经历的位移量，而加速度则是描述速度在单位时间内的改变量。
简单来说，速度是位移关于时间的导数，而加速度则是速度关于时间的导数。
高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.1实际问题中导数的意义导学案(无答案)北师大版选修
4.2.1 实际问题中导数的意义学习目标：能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题，体会导数在解决实际生活问题中的作用。
学习重点用导数方法解决实际生活中的问题学习难点用导数方法解决实际生活中的问题学习方法 师生共研讨、生生互助学习过程一、自主学习1.要点梳理解应用题的基本程序是：读题 建模 求解 反馈（文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答）利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:① 分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =；注意x 的范围。
② 利用导数求函数()f x 的极值和函数的最值；给出数学问题的解答。
③ 把数学问题的解答转化为实际问题的答案。
2.基础训练：1．周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________。
2 某产品的销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数：2117y x =，生产总成本2y （万元）也是产量x （千台）的函数：3222(0)y x x x =->，为使利润最大，应生产产品________台。
3 一轮船以v 千米/时的速度航行，每小时用煤30.30.001v +吨，____v =千米/时，才能使轮船航行每千米用的煤最少。
4 设正三棱柱的体积为v ，那么其表面积最小时的底面边长为________。
5 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是：21400(0400)()280000(400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，则总利润最大时，每年生产的产品是________个单位。
二、新知探究1.知识运用.例1 用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问：该长方体长，宽，高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？例2 经过点(1,1)M 作直线分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于,A B 两点，设直线的斜率为k ，OAB ∆的面积为S（1） 求S 关于k 的函数关系式()S f k =；（2） 求S 的最小值以及相应的直线的方程。
通信数学实用教程 第四章 导数的应用
′
′′
lim
= lim ′
= lim ′′
→0
→0
→0
且可以依次类推。
1+ −1
例1.求lim
（为常数）
→0
0
0
解：这是 → 0时的 型未定式，且满足洛必达法则的条件，所以
1+ −1
lim
→0
= lim
→0
1+ −1 ′
→0
2
1
−
−1
→1 2 −1
4、lim
1
1
=
2
→0 2 2 2
= lim
1−
−1
1
=lim
=−
2
→1 2 −1 →1 2
= lim
3
33
3
=lim
=−
5
→ 5 → 5 2 5
5、lim
−
=lim
=cosa
→0
→0
（2） 及 在点0 的某一去心领域内可导，且
′
（3） lim ′
→0
存在（或为无穷大），
那么
′
lim
= lim ′
→0
→0
说明：
0
0
∞
∞
（1）上述定理对于 → ∞时的未定式 和 同样适用
（2）满足条件的前提下，洛必达法则在一个题中可以多次使用，即
令 ′ = 0，解得 1 = −1, 2 = 3
（3）列表讨论：
x
(, 1)
1
( 1,3)
3
f (x)
+
导数在实际生活中的应用教学课件
数值模拟与仿真
数值模拟
导数可以用于数值模拟中的偏微分方程求解，例如在物理学、化学和生物学 等领域中，利用导数求解偏微分方程可以模拟自然现象的规律。
计算机仿真
导数可以用于计算机仿真中的参数优化和模型验证，例如在金融、交通和生 态等领域中，利用导数进行参数优化和模型验证可以提高仿真结果的准确性 和可靠性。
2023
《导数在实际生活中的应 用教学课件》
目录
• 导数概述 • 导数在物理中的应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程中的应用 • 导数的进一步应用
01
导数概述
导数的定义
1 2
定义
导数是函数值随自变量变化的速度，即函数在 某一点的导数表示函数在这一点变化率的大小 。
数学表达
如果函数y = f(x)在x = x0处可导，则称f'(x0)为 函数f(x)在x0处的导数。
稳定性
在船舶设计中，导数可以帮助分析船体的稳定性。例如，通过分析船体的重心以 及浮力的变化，利用导数可以确定最优的船体设计以实现稳定的航行。
05
导数的进一步应用
最优控制与决策
最优控制
导数可以用于求解最优控制问题，例如在工程、经济和金融 等领域中的最优控制策略，以实现系统性能的最优。
决策分析
导数可以用于决策分析中的最优选择问题，例如在风险评估 和预测分析中，利用导数求解最优投资组合或最优路径选择 等。
边际成本与边际收益
边际成本
导数可以用来描述成本的变化率，即边际成本。在经济学中 ，边际成本是指增加一单位产量所增加的成本。通过导数， 我们可以分析不同生产规模下的边际成本，从而优化生产决 策。
边际收益
与边际成本相对应，导数也可以用来描述收益的变化率，即 边际收益。在经济学中，边际收益是指增加一单位产量所增 加的收益。通过导数，我们可以分析不同生产规模下的边际 收益，从而优化销售决策。
高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.1实际问题中导数的意义课件北师大版选修11
题型二
题型三
题型四
反思根据导数的实际意义,在物理学中,除了我们所熟悉的位移、 速度与时间的关系,功、功率与时间的关系,还应了解质量关于体 积的导数为密度,电荷量关于时间的导数为电流强度等.因此,在解 释某点处的导数的物理意义时,应结合这些导数的实际意义进行求 解.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型四
导数在日常生活中的意义 【例3】 日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯净度 的提高,所需净化费用也不断增加,已知将1吨水净化到纯净度为x% 5 284 c ( x ) = 时所需费用(单位:元)为 (80<x<100). 100-������ (1)求c'(x); (2)求c'(90),c'(98),并解释它们的实际意义. 分析:(1)利用导数的求导法则求出c'(x);(2)分别将x=90,98代入,即 可求出c'(90),c'(98),又c'(x)是净化费用的瞬时变化率,从而可知 c'(90),c'(98)的实际意义.
4.2.1
实际问题中导数的意义
1.利用实际问题巩固和加强对导数概念的理解. 2.理解瞬时速度、边际成本等概念,并能利用导数解决有关实际 问题.
实际问题中导数的意义 在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理解的量.在 物理学中,速度是路程关于时间的导数,线密度是质量关于线长的导 数,功率是功关于时间的导数,加速度是速度关于时间的导数;在经 济学中,边际成本是生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)当 x 从 10 件提高到 20 件时,总成本 C 从 C(10)=2 675 元 变到 C(20)=3 350 元. 此时总成本的平均改变量为
高中数学第四章导数应用2导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义实用111数学
关于时间 x 的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实
际意义；
(2)计算第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说
明它们的意义．
2021/12/12
第七页，共三十页。
[思路点拨] (1)平均变化率即为ΔΔxy.
(2)可利用导数公式求出 y′，再分别求当 x＝2,6 时的导数值．
[精解详析] (1)由题意得 f(0)＝15，f(1)＝9，
2021/12/12
第十四页，共三十页。
(2)f′(x)＝1x0＋
2 ，于是 x
f′(1)＝2110
(g/h)，f′(4)＝75
(g/h)，
f′(1)和 f′(4)分别表示在第 1 小时和第 4 小时这个人每小时生产
产品2110 g 和75 g.
2021/12/12
第十五页，共三十页。
[一点通] 工作效率即产量对时间 t 的导数．解决该类问题时要正确表示 出工作时间与产品数量之间的函数关系式，然后利用相应的求导公 式及法则解决．
表示从 2 到 3 这一小时内，原油温度平均每小时降低 2℃. －6<－2，说明原油温度在开始的 1 小时比以后 1 小时的温度 下降的多． (2)y′＝2x－7，当 x＝2 时，y′＝－3， 当 x＝6 时，y′＝5. 在第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 与 5. 这说明 x＝2 h 时原油温度大约以 3℃/h 的速率下降；x＝6 h 时， 原油温度大约以 5℃/h 的速率上升．
∴当 x 从 0 变到 1 时，原油温度平均变化率为
f11－－0f0＝－6(℃/h)，
表示从 0 到 1 这一小时内，原油温度平均每小时降低 6℃.
又 f(2)＝5，f(3)＝3，