动态规划基础

状态转移方程： f[i,j]=max{f[i-1,j],f[i-1,j-1]} +a[i,j] （2<=i<=n,1<=j<=i）
样例程序
随堂练习：
利用另外一种递推方法解决“数字三角形”问题
按三角形的行划分阶段，若行数为 n，则可把 问题看做一个n-1个阶段的决策问题。先求出 第n-1阶段(第n-1行上各点)到第n行的的最大 和，再依次求出第n-2阶段、第n-3阶段……第 1阶段(起始点)各决策点至第n行的最佳路径。 设：f[i,j]为从第i阶段中的点j至第n行的最大的 数字和； 则: f[n,j]=a[n,j] 1<=j<=n f[i,j]=max{a[i,j]+f[i+1,j],a[i,j]+f[i+1,j+1]} 1<=j<态规划算法和贪心算法区别： 1）在动态规划算法中，以自底向上的方式来利用最优子结 构，也就是说，首先找到子问题的最优解，解决子问题，然 后找到问题的一个最优解。 2）在贪心算法中，以自顶向下的方式使用最优子结构，也 就是说，贪心算法会先做出选择，在当时看起来是最优的选 择，然后再求解一个结果子问题，而不是先求解子问题的最 优解，然后再做出选择。 两者的不同点： 1 贪心算法作出的每步贪心决策都无法改变，因为贪心策略 是由上一步的最优解推导下一步的最优解，而上一部之前的 最优解则不作保留。 2 动态规划算法的全局最优解中一定包含某个局部最优解， 但不一定包含前一个局部最优解，因此需要记录之前的所有 局部最优解；
动态规划的重要性：
涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的NOI几 乎都至少有一道题目需要用动态规划的方法来解决 。
什么是动态规划？
动态规划是解决多阶段决策问题的一 种方法。
多阶段决策问题
如果一类活动过程可以分为若干个互相
联系的阶段，在每一个阶段都需作出决 策(采取措施)，一个阶段的决策确定以 后，常常影响到下一个阶段的决策，从 而就完全确定了一个过程的活动路线， 则称它为多阶段决策问题。
下一阶段的状态 决策
上一阶段的状 态
实现过程：
（1）D1，D2是第一次输入的结点。他们到E都只有 一种费用，在D1框上面标5，D2框上面标2。目前无 法定下，那一个点将在全程最优策略的路径上。第二 阶段计算中，5，2都应分别参加计算。 （2）C1，C2，C3是第二次输入结点，他们到D1， D2各有两种费用。此时应计算C1，C2，C3分别到E 的最少费用。 C1的决策路径是 min{（C1D1），（C1D2）}。计算 结果是C1+D1+E，在C1框上面标为8。 同理C2的决策路径计算结果是C2+D2+E，在C2框上 面标为7。 同理C3的决策路径计算结果是C3+D2+E，在C3框上 面标为12。 此时也无法定下第一，二阶段的城市那二个将在整体 的最优决策路径上。
动态规划问题的一般解题步骤
┌───┐┌───┐┌───┐ 初始状态→│决策１│→│决策２│→…→│决策ｎ│→结束状态
└───┘└───┘└───┘
1、判断问题是否具有最优子结构性质，若不具备则 不能用动态规划。 2、把问题分成若干个子问题（分阶段）。分治？？ 3、建立状态转移方程（递推公式）。 4、找出边界条件。（可以顺推可以逆推）递推？？ 5、将已知边界值带入方程。 6、递推求解。
例题：数字三角形（IOI1994） [问题描述] 如下所示为一个数字三角形： 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 请编一个程序计算从顶至底的某处的一条路径，使该路径所经过 的数字的总和最大。 ● 每一步可沿直线向下或右斜线向下走； ● 1＜三角形行数≤100； ● 三角形中的数字为整数0，1，……，99； [问题输入] 输入文件tringle.in，其中第一行为一个自然数，表示数字三角形 的行数n，接下来的n行表示一个数字三角形。 [问题输出] 输出文件tringle.out，仅有一行包含一个整数，表示要求的最大 总和。
目的是得到一个最优解（方案）
动态规划的实质是分治思想和解决冗余 （记忆化算法），因此，动态规划是一种将问题分解 为更小的、相似的子问题，并存储子问题的解而避免 计算重复的子问题，以解决最优化问题的算法策略。 这类问题会有多种可能的解，每个解都有一个值，而 动态规划找出其中最优（最大或最小）解。若存在多 个最优解的话，它只取其中的一个。
[输入样例] 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 [输出样例] 30
方法1：穷举？？
方法2：贪心？？ 方法3： 动态规划？？
算法分析：我们假设从顶至数字三角形的某一位置的所有路径中， 所经过的数字的总和最大的那条路径，我们称之为该位置的最大 路径。由于问题规定每一步只能沿直线向下或沿斜线向右下走， 若要走到某一位置，则其前一位置必为其左上方或正上方两个位 置之一，由此可知，当前位置的最优路径必与其左上方或正上方 两个位置的最优路径有关，且来自于其中更优的一个。 阶段：每一行数据 状态：每一个位置路径和 决策：取最大路径 我们可以用一个二维数组a记录数字三角形中的数，a[i,j]表示数 字三角形中第i行第j列的数，f[i,j]为 第i行第j列上点到起点的最 大和。
2 1 1 3 3 2
动态规划的适用条件 ：
(2).无后效性 动态规划的某阶段的状态一旦确定，则此后 过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。也就是说， “未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完 整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未 来的演变。具体地说，如果一个问题被划分各个阶段之 后，阶段 i 中的状态只能由阶段 i+1 中的状态通过状态 转移方程得来，与其他状态没有关系，特别是与未发生 的状态。
MOD 4余数最小问题
如图，已知一个有向图，求一条从最左边的点走到最右 边点的方案（只能从左往右走），使得所经过的权值 和除以4的余数最小。
2
1
1
3
3
2
分析
设所有点从左至右编号为1…4，MIN（i）表示 前i个点的最优值，很容易得出一个方程： Min(i)=min{(Min(i-1)+num[i-1,1]) mod 4, Min(I1)+num[i-1,2]) mod 4} 通过这个方程可以求出一条路径为（2+3+1）MOD 4=2 但最优值实际上是 （2+1+1）MOD 4=0。 为什么会出错呢？
过河卒：描述 Description
棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向下、 或者向右。同时在棋盘上C点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃 一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河 卒”。 棋盘用坐标表示，A点(0, 0)、B点(n, m)(n, m为不超过20的整数)，同样马 的位置坐标是需要给出的。C<>A,C<>B,现在要求你计算出卒从A点能够 到达B点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马 走一步。
对比样例：
7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 如果我不给出一个点只能走到下或者右下 这个限制条件，我们可以从这一层的一个 点走到下一层的任意一个点，求解方法？ 为什么加上一个条件后，就变成了动态规划呢？？
贪心可以保证一次最优，而动规可以保证整体最优。 贪心是局部的最优解，动规是整体的最优解。
动态规划的适用条件 ：
必须满足以下两个条件 (1)状态必须满足最优化原理； 动态规划的最优化原理是无论过去的状态和决策如何，对 前面的决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构 成最优策略。可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致 整个问题的全局最优。在上例中例题1最短路径问题中， A到E的最优路径上的任一点到终点E的路径也必然是该 点到终点E的一条最优路径，满足最优化原理。即：问题 的最优解包含了其中一个子问题的最优解。
应用动态规划要注意阶段的划分是关键，必须依据题 意分析，寻求合理的划分阶段(子问题)方法。而每个 子问题是一个比原问题简单得多的优化问题。而且每 个子问题的求解中，均利用它的一个后部子问题的最 优化结果，直到最后一个子问题所得最优解，它就是 原问题的最优解。 记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序， 但是每求解一个状态，就将它的解保存下来，以后再 次遇到这个状态的时候，就不必重新求解了。这种方 法综合了搜索和动态规划两方面的优点，因而还是很 有实用价值的。
实现过程：
（4）第四次输入结点为A，决策输出 结点可能为B1，B2，B3。同理可得 决策路径为 A：AB2，费用5+14=19，路径 A+B2+C1+D1+E。
在上例的多阶段决策问题中，各个阶段采 取的决策，一般来说是与时间有关的，决 策依赖于当前状态，又随即引起状态的转 移，一个决策序列就是在变化的状态中产 生出来的，故有“动态”的含义，称这种 解决多阶段决策最优化问题的方法为动态 规划方法。
动态规划和一般递推的不同点？
1、递推的边界条件一般很明显，而动态规划的边界条件比较隐蔽， 容易被忽视； 2、递推的数学性一般较强，而动态规划的数学性相对较弱； 3、递推一般不划分阶段，而动态规划一般有较为明显的阶段； 4、动态规划往往是用来求一个最优值，而一般的递推往往是用来 计数或是求一个值。
动态规划和一般递推的相同点？
实现过程：
（3）第三次输入结点为B1，B2，B3，而决策输 出结点可能为C1，C2，C3。仿前计算可得Bl， B2，B3的决策路径为如下情况。 Bl:B1C1费用 12+8=20， 路径:B1+C1+D1+E B2:B2C1费用 6+8=14， 路径:B2+C1+D1+E B3:B2C2费用 12+7=19， 路径:B3+C2+D2+E 此时也无法定下第一，二，三阶段的城市那三个 将在整体的最优决策路径上。