反比例函数的性质教学课件
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反比例函数的图像和性质课件
曲线运动问题
通过给定物体的速度和运 动轨迹的曲率半径，利用 反比例关系求解物体在不 同位置的速度。
浓度问题建模与求解
溶液稀释问题
通过给定溶液的初始浓度 和稀释后的体积，利用反 比例关系求解稀释后的浓 度。
溶液混合问题
通过给定两种不同浓度的 溶液的体积和浓度，利用 反比例关系求解混合后的 浓度。
物质溶解问题
通过给定三角形的面积和底边长度，利用反比例关系求解高。
平行四边形面积问题
03
通过给定平行四边形的面积和一组对边的长度，利用反比例关
系求解另一组对边的长度。
速度问题建模与求解
01
02
03
匀速直线运动问题
通过给定物体的速度和运 动时间，利用反比例关系 求解物体运动的距离。
变速直线运动问题
通过给定物体的加速度和 运动时间，利用反比例关 系求解物体在不同时间点 的速度。
在第一象限和第三象限内，随着 $x$ 的增大 ，$y$ 值逐渐减小。
函数图像关于原点对称。
函数值变化规律
01
当 $k < 0$ 时
在第二象限和第四象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐增大。
无论 $k$ 取何值，反比例函数 在其定义域内总是连续的，且在 其定义域内没有极值点。
02
03
04
函数图像关于原点对称。
2
反比例型复合函数图像
反比例型复合函数的图像形状和位置取 决于 $f(x)$ 的性质和取值范围。一般来 说，其图像可能不再是双曲线，但仍然 具有一些反比例函数的特性。
3 反比例型复合函数性质
反比例型复合函数具有一些特殊的性质 ，如单调性、奇偶性等，这些性质与 $f(x)$ 的性质和取值范围密切相关。在 实际应用中，需要根据具体情况进行分 析和判断。
反比例函数的图象与性质(说课课件)
在数学建模和实际问题解决中，有时需要将幂函数和反比例函数结合起来，以更好地描述实 际问题。
THANKS
谢谢
在实际生活中的应用
价格与销售量的关系
在市场经济中，价格与销售量通常成反比关系，价格上涨时，销售量通常会减少；反之，价格下降时，销售量通 常会增加。
人口密度与城市规模的关系
一般来说，大城市的人口密度较低，而小城市的人口密度较高。这是因为城市规模越大，人均占有的空间资源越 多，人口密度就越低。
05
CHAPTER
解析法
通过解析函数表达式，确定函数 图像在坐标系中的位置和形状。
描点法
选取一系列x值，计算对应的y值 ，然后在坐标系上描出对应的点 ，通过连接各点形成图像。
图像的特性分析
无限接近x轴与y轴
随着x的增大或减小，y值逐渐趋近于0，但永远不会等于0。
单调性
在各自象限内，随着x的增大或减小，y值分别单调递减或递增。
反比例函数的图象与性质（说 课课件)
目录
CONTENTS
• 反比例函数的概念 • 反比例函数的图像分析 • 反比例函数的性质研究 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
01
CHAPTER
反比例函数的概念
反比例函数的定义
01
反比例函数是指形如$f(x)
=
frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的
对称性
图像关于原点对称。
图像的变化规律
k值影响
随着k值的增大或减小，图像分别向右 上或左下方向移动。
渐近线
增减性
在第一象限和第三象限内，随着x的增 大，y值分别减小和增大；在第二象限 和第四象限内，随着x的增大，y值分 别增大和减小。
THANKS
谢谢
在实际生活中的应用
价格与销售量的关系
在市场经济中，价格与销售量通常成反比关系，价格上涨时，销售量通常会减少；反之，价格下降时，销售量通 常会增加。
人口密度与城市规模的关系
一般来说，大城市的人口密度较低，而小城市的人口密度较高。这是因为城市规模越大，人均占有的空间资源越 多，人口密度就越低。
05
CHAPTER
解析法
通过解析函数表达式，确定函数 图像在坐标系中的位置和形状。
描点法
选取一系列x值，计算对应的y值 ，然后在坐标系上描出对应的点 ，通过连接各点形成图像。
图像的特性分析
无限接近x轴与y轴
随着x的增大或减小，y值逐渐趋近于0，但永远不会等于0。
单调性
在各自象限内，随着x的增大或减小，y值分别单调递减或递增。
反比例函数的图象与性质（说 课课件)
目录
CONTENTS
• 反比例函数的概念 • 反比例函数的图像分析 • 反比例函数的性质研究 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
01
CHAPTER
反比例函数的概念
反比例函数的定义
01
反比例函数是指形如$f(x)
=
frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的
对称性
图像关于原点对称。
图像的变化规律
k值影响
随着k值的增大或减小，图像分别向右 上或左下方向移动。
渐近线
增减性
在第一象限和第三象限内，随着x的增 大，y值分别减小和增大；在第二象限 和第四象限内，随着x的增大，y值分 别增大和减小。
教学课件：第1课时-反比例函数
Fra bibliotek学习技巧
数形结合
利用数形结合的方法，通 过图像来理解反比例函数 的性质和变化规律。
归纳总结
对反比例函数的图像、性 质、应用进行归纳总结， 形成完整的知识体系。
善于类比
通过与其他函数的类比， 加深对反比例函数的理解。
学习反比例函数的注意事项
注意定义域和值域
与其他知识的结合
反比例函数的定义域和值域是有限的， 需要注意这一点在解题中的应用。
解析式与几何意义的区别
01
解析式是函数的一种数学表达形 式，通过解析式可以计算出任意 点的函数值，但不能直观地看出 函数的图形。
02
几何意义则可以直观地展示函数 的图形，但无法直接通过图形计 算出任意点的函数值。
解析式与几何意义的综合应用
在解决实际问题时，需要将解析式与几何意义结合起来，通过解析式计算出函数 值，再结合几何意义理解函数的性质和变化规律。
然而，在研究函数的图像和性质时，可以通过绘制反比例函 数的图像来了解其与二次函数的差异。例如，反比例函数的 图像是关于原点对称的，而二次函数的图像则取决于a的符号 和值。
与幂函数的联系
幂函数是形如y=x^n的函数，其中n是实数。当n<0时， 幂函数可以转化为反比例函数的形式。
例如，当n=-1时，幂函数y=1/x可以转化为反比例函数的 形式。此外，幂函数和反比例函数在图像和性质方面也有 一些相似之处。例如，当n<0时，幂函数的图像也是关于 原点对称的。
在经济中的应用
供需关系
在经济学中，商品的价格与供应量、 需求量之间存在反比例关系。当供应 量增加时，价格下降；反之，当供应 量减少时，价格上升。
投资回报
投资回报与投资风险之间也存在反比 例关系。随着投资风险的增加，投资 回报率通常会相应降低。
数形结合
利用数形结合的方法，通 过图像来理解反比例函数 的性质和变化规律。
归纳总结
对反比例函数的图像、性 质、应用进行归纳总结， 形成完整的知识体系。
善于类比
通过与其他函数的类比， 加深对反比例函数的理解。
学习反比例函数的注意事项
注意定义域和值域
与其他知识的结合
反比例函数的定义域和值域是有限的， 需要注意这一点在解题中的应用。
解析式与几何意义的区别
01
解析式是函数的一种数学表达形 式，通过解析式可以计算出任意 点的函数值，但不能直观地看出 函数的图形。
02
几何意义则可以直观地展示函数 的图形，但无法直接通过图形计 算出任意点的函数值。
解析式与几何意义的综合应用
在解决实际问题时，需要将解析式与几何意义结合起来，通过解析式计算出函数 值，再结合几何意义理解函数的性质和变化规律。
然而，在研究函数的图像和性质时，可以通过绘制反比例函 数的图像来了解其与二次函数的差异。例如，反比例函数的 图像是关于原点对称的，而二次函数的图像则取决于a的符号 和值。
与幂函数的联系
幂函数是形如y=x^n的函数，其中n是实数。当n<0时， 幂函数可以转化为反比例函数的形式。
例如，当n=-1时，幂函数y=1/x可以转化为反比例函数的 形式。此外，幂函数和反比例函数在图像和性质方面也有 一些相似之处。例如，当n<0时，幂函数的图像也是关于 原点对称的。
在经济中的应用
供需关系
在经济学中，商品的价格与供应量、 需求量之间存在反比例关系。当供应 量增加时，价格下降；反之，当供应 量减少时，价格上升。
投资回报
投资回报与投资风险之间也存在反比 例关系。随着投资风险的增加，投资 回报率通常会相应降低。
反比例函数性质课件
如何求解析式
通过已知条件，我们可以通过求解常数k来 得到反比例函数的解析式。
解析式的说明与应用
反比例函数的解析式体现了函数的性质与规 律，可以应用于计算和解决实际问题。
反比例函数的应用
1
反比例函数在实际问题中的应用
反比例函数常常用于描述具有反比关系的实际问题，例如速度和时间的关系。
2
求解实际问渐进线的性质
反比例函数的图像有两条渐进 线：y轴和x轴。
对称轴的性质
反比例函数的对称轴是y轴， 即对于任意一点(x, y)，都有(-x, y)也在函数图像上。
单调性与零点
反比例函数在其定义域内是严 格递减的。它的零点是其中一 个特殊点，当x等于k时，y等 于0。
反比例函数的解析式
通过反比例函数的解析式，我们可以根据已知条件求解未知变量，从而解决实际问题。
练习与总结
1 练习题目的介绍和讲解
通过一些练习题目，我们巩固学习了解到的反比例函数的性质与应用。
2 总结反比例函数的性质和应用
通过本课件的学习，我们了解了反比例函数的定义、图像特点、基本性质、解析式和应 用方面的知识。
反比例函数性质ppt课件
欢迎来到这个反比例函数性质的PPT课件！在这个课件中，我们将讨论反比 例函数的定义、图像特点、基本性质、解析式以及实际应用等内容。让我们 一起探索这个有趣而重要的数学概念吧！
什么是反比例函数
定义
反比例函数是一种形如y=k/x的函数，其中k 为常数且x不等于0。
图像特点
反比例函数的图像是一个曲线，经过第一象 限和第三象限，并以原点为渐进线中心。
反比例函数图象的性质课件
反比例函数的解题方法
1 画图法
通过画反比例函数的图象来解决问题。
2 代数法
根据函数的定义式，直接求出函数的性质。
总结
反比例函数是一种很特殊的函数，在数学和物理中有着广泛的应用。通过这 个ppt课件，希望大家能够更好地了解和掌握反比例函数的概念、图象、性质、 应用以及解题方法。
比例函数的图象是一条经过原点的直线， 而反比例函数的Biblioteka 象则不是。反比例函数的图象
双曲线
反比例函数的图象通常是两个分离的曲线，形状 类似于两个平移后的、面积相等的矩形。
反比例函数在极坐标系下的图象
在极坐标系下，反比例函数的图象是一条经过极 点，关于x轴和y轴对称的双曲线。
反比例函数的性质
1
垂直渐近线
反比例函数的应用
电阻的串联与并联
在电学中，电阻的串联与并联问题可以被转换成长度为反比例函数的两条水平线段。
倒数函数
倒数函数是反比例函数的一种特殊情况，常被用于处理比例关系。
反比例函数的变形与推广
抛物线
抛物线也可以被看作一种反比例函数，其中 y=k/x²。
哈勃定律
哈勃定律描述了宇宙中不断扩张的现象，其中宇 宙膨胀速度与附近物体距离的函数就是反比例函 数。
2
反比例函数的图象也有一条垂直于x
轴的渐近线，其方程为x=0，因为在
定义域中x不能等于0。
3
单调性
4
反比例函数在定义域的两侧均为单调 函数，其中一侧增加，另一侧则减少。
水平渐近线
反比例函数的图象总是会与x轴越来 越接近，但永远不会与其相交。因此， 它有一条水平渐近线。
对称中心
反比例函数的图象和其关于原点的对 称图象共同构成一个几何体。这个几 何体的对称中心就是垂直渐近线和水 平渐近线的交点。
反比例函数的图像和性质ppt课件
增大而增大.
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
6
2
y=
x
6
4
y=
4
x
2
–6
–4
–2 O
–2
y
y
y=
4
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
4
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试
y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
6
2
y=
x
6
4
y=
4
x
2
–6
–4
–2 O
–2
y
y
y=
4
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
4
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试
y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较
反比例函数的图象和性质课件
反比例函数的图象和性质 ppt课件
反比例函数的图象和性质ppt课件介绍了反比例函数的定义、性质、图象以及 应用。通过课件，你将了解反比例函数的基本概念和特点，并掌握其在实际 问题中的应用。
I. 反比例函数的定义及性质
定义
反比例函数是一种特殊的函 数关系，其变量之间的比例 关系是相反的。
解析式
反比例函数的解析式一般为y = k/x，其中k为常数。
练习题演练
通过练习题的演练，加深对反比例函数的理解，并提高解决实际问题的能力。
IV. 总结与思考
特点回顾
反比例函数具有对称轴、渐近线等特点，是一种重要的函数类型。
图象对实际问题的帮助
反比例函数的图象可以帮助我们理解和解决实际问题，提供定性和定量的分析。
进一步思考
通过深入思考和探索，我们可以将反比例函数应用于更复杂的优化问题中。
反比例函数的图象可以通过平移、 伸缩等变换得到不同的形态。
反比例函数的图象包括关键点， 如顶点、渐近线和交点。
III. 反比例函数的应用
与正比例函数的关系
反比例函数和正比例函数是互为倒数的关系，它们在实际问题中经常同时出现。
实际问题中的应用
反比例函数在经济、物理和工程等领域中有广泛的应用，例如弹簧的伸长和台阶的高度与数 量关系。
定义域和值域
反比例函数的定义域为除数 不为0的实数集合，值域为不 等于0的实数集合。
单调性
反比例函数在定义域内通常是单调递减或单调增 函数。
渐近线
反比例函数在x轴和y轴上都有渐近线，分别为y = 0和x = 0。
II. 反比例函数的图象
基本形态
变形
特征点
反比例函数的图象通常为双曲线， 具有一个对称轴。
反比例函数的图象和性质ppt课件介绍了反比例函数的定义、性质、图象以及 应用。通过课件，你将了解反比例函数的基本概念和特点，并掌握其在实际 问题中的应用。
I. 反比例函数的定义及性质
定义
反比例函数是一种特殊的函 数关系，其变量之间的比例 关系是相反的。
解析式
反比例函数的解析式一般为y = k/x，其中k为常数。
练习题演练
通过练习题的演练，加深对反比例函数的理解，并提高解决实际问题的能力。
IV. 总结与思考
特点回顾
反比例函数具有对称轴、渐近线等特点，是一种重要的函数类型。
图象对实际问题的帮助
反比例函数的图象可以帮助我们理解和解决实际问题，提供定性和定量的分析。
进一步思考
通过深入思考和探索，我们可以将反比例函数应用于更复杂的优化问题中。
反比例函数的图象可以通过平移、 伸缩等变换得到不同的形态。
反比例函数的图象包括关键点， 如顶点、渐近线和交点。
III. 反比例函数的应用
与正比例函数的关系
反比例函数和正比例函数是互为倒数的关系，它们在实际问题中经常同时出现。
实际问题中的应用
反比例函数在经济、物理和工程等领域中有广泛的应用，例如弹簧的伸长和台阶的高度与数 量关系。
定义域和值域
反比例函数的定义域为除数 不为0的实数集合，值域为不 等于0的实数集合。
单调性
反比例函数在定义域内通常是单调递减或单调增 函数。
渐近线
反比例函数在x轴和y轴上都有渐近线，分别为y = 0和x = 0。
II. 反比例函数的图象
基本形态
变形
特征点
反比例函数的图象通常为双曲线， 具有一个对称轴。
反比例函数图像和性质教学课件
幂函数和反比例函数在性质上有一些相似之处，例如它们 都是连续的、可微的、有界但无界的。然而，它们的导数 和积分有不同的形式和性质。
THANK YOU
反比例函数图像和性质教学 课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像绘制 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用举例 • 反比例函数与其他知识点的关联
01
反比例函数简介
反比例函数的定义
1 2
反比例函数
形如 (f(x) = frac{k}{x}) (其中 (k neq 0)) 的函数 被称为反比例函数。
反比例函数的渐近线
反比例函数的图像没有界限，但可以无限接近两条渐近线，分别是 (y = 0) 和 (x = 0)。
反比例函数的应用
在物理学、工程学和其他科学领域中，反比例函数有广泛的应用，例如电阻、电容和电感 之间的关系。
02
反比例函数的图像绘 制
使用数学软件绘制反比例函数图像
软件选择
选择适合的数学软件，如 GeoGebra、Desmos等，这些
运动与减肥的关系
在减肥过程中，运动量与减肥效果之 间存在反比关系，即当运动量增大时 ，减肥效果不一定更明显，需要合理 控制饮食和运动量。
05
反比例函数与其他知 识点的关联
与一次函数的关联
一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，且k≠0。当b=0时，一次函数退化为正比例函数 ，其图像是一条过原点的直线。反比例函数与正比例函数在形式上相似，只是自变量x的次数为-1。 因此，反比例函数的图像也位于坐标轴的两侧，并随着x的增大而趋近于无穷远。
一次函数和反比例函数在图像上都是单调的，但方向相反。一次函数随着x的增大而增大或减小，而 反比例函数则随着x的增大而减小或增大。
THANK YOU
反比例函数图像和性质教学 课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像绘制 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用举例 • 反比例函数与其他知识点的关联
01
反比例函数简介
反比例函数的定义
1 2
反比例函数
形如 (f(x) = frac{k}{x}) (其中 (k neq 0)) 的函数 被称为反比例函数。
反比例函数的渐近线
反比例函数的图像没有界限，但可以无限接近两条渐近线，分别是 (y = 0) 和 (x = 0)。
反比例函数的应用
在物理学、工程学和其他科学领域中，反比例函数有广泛的应用，例如电阻、电容和电感 之间的关系。
02
反比例函数的图像绘 制
使用数学软件绘制反比例函数图像
软件选择
选择适合的数学软件，如 GeoGebra、Desmos等，这些
运动与减肥的关系
在减肥过程中，运动量与减肥效果之 间存在反比关系，即当运动量增大时 ，减肥效果不一定更明显，需要合理 控制饮食和运动量。
05
反比例函数与其他知 识点的关联
与一次函数的关联
一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，且k≠0。当b=0时，一次函数退化为正比例函数 ，其图像是一条过原点的直线。反比例函数与正比例函数在形式上相似，只是自变量x的次数为-1。 因此，反比例函数的图像也位于坐标轴的两侧，并随着x的增大而趋近于无穷远。
一次函数和反比例函数在图像上都是单调的，但方向相反。一次函数随着x的增大而增大或减小，而 反比例函数则随着x的增大而减小或增大。
反比例函数的图象和性质课件
02
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
《反比例函数的图像和性质》PPT教学课件(第2课时)
∵-3<-1,∴y1>y2.
反比例函数中比例系数的几何意义
如图所示,点A在反比例函数 y
3
x
(x >0)的图像上,AB⊥x轴于
B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?
回答问题:
(1)矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?
(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与比例系数之间
反比例函数的图像和性质
第2课时
学习目标
1 通过对反比例函数图像进行比较和归纳，得到反比
例函数的性质,并能灵活运用函数的图象和性质解
决问题. （重点）
2 理解反比例函数的比例系数的几何意义，并会
应用其解决问题. （难点）
知识讲解
6
6
y
y
观察上节课我们画出的反比例函数
与
的
x
x
图像及表达式，探究下列问题：
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.
例1
反比例函数 y
k
x
的图像如图所示.
(1)判断k为正数还是负数.
(2)如果A(-3,y1)和B(-1, y2)为这个函
数图像上的两点,那么y1与y2的大小
关系是怎样的?
解:(1)∵反比例函数
限,∴k>0.
y
k
的图像在第一、三象
x
(2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小.
是否有等量关系?
(3)你能求出矩形OBAC的面积吗?
(4)求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?
解:设点A的坐标为(x,y),则x y=3.
∴S矩形OBAC= x y=3.
拓展思考:
反比例函数中比例系数的几何意义
如图所示,点A在反比例函数 y
3
x
(x >0)的图像上,AB⊥x轴于
B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?
回答问题:
(1)矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?
(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与比例系数之间
反比例函数的图像和性质
第2课时
学习目标
1 通过对反比例函数图像进行比较和归纳，得到反比
例函数的性质,并能灵活运用函数的图象和性质解
决问题. （重点）
2 理解反比例函数的比例系数的几何意义，并会
应用其解决问题. （难点）
知识讲解
6
6
y
y
观察上节课我们画出的反比例函数
与
的
x
x
图像及表达式，探究下列问题：
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.
例1
反比例函数 y
k
x
的图像如图所示.
(1)判断k为正数还是负数.
(2)如果A(-3,y1)和B(-1, y2)为这个函
数图像上的两点,那么y1与y2的大小
关系是怎样的?
解:(1)∵反比例函数
限,∴k>0.
y
k
的图像在第一、三象
x
(2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小.
是否有等量关系?
(3)你能求出矩形OBAC的面积吗?
(4)求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?
解:设点A的坐标为(x,y),则x y=3.
∴S矩形OBAC= x y=3.
拓展思考:
《反比例函数的图象和性质》课件
《反比例函数的图象和性质》
新知探究 知识点1：反比例函数图象和性质的综合
例3 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变
化？A(2，6)Fra bibliotek第一象限
反比例函数
函数位于第
一，三象限
在每一个象限内，
y随x的增大而减小
解：（1）因为点 A（2，6）在第一象限 ,所以这个函数的
解析：∵k＝﹣12＜0，∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴y2＜0＜y1．
6
2.如图，正比例函数y＝kx与函数y＝
的图象交于A，
B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝__________．
12
解析：连接OC，设AC交x轴于点N，BC交y
轴于M点，∴S△AON＝S△OBM ＝3.
>0的
> 0 的解集.
课堂小结
画法
列表、描点、连线
形状
双曲线
图象
反
比
例
函
数
图象位置
性质
增减性
k 的几何意义
对接中考
1.已知点A（x1，y1）,B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣
12
的图象上．若x1＜0＜x
,则（
2
A．y1＜0＜y2
C．y1＜y2＜0
）
B
B．y2＜0＜y1
D．y2＜y1＜0
S△OAE =5，
S四边形BECD =5
S阴影=1
随堂练习
1.已知点 A(x1，3)，B(x2，6)都在反比例函数 =
新知探究 知识点1：反比例函数图象和性质的综合
例3 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变
化？A(2，6)Fra bibliotek第一象限
反比例函数
函数位于第
一，三象限
在每一个象限内，
y随x的增大而减小
解：（1）因为点 A（2，6）在第一象限 ,所以这个函数的
解析：∵k＝﹣12＜0，∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴y2＜0＜y1．
6
2.如图，正比例函数y＝kx与函数y＝
的图象交于A，
B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝__________．
12
解析：连接OC，设AC交x轴于点N，BC交y
轴于M点，∴S△AON＝S△OBM ＝3.
>0的
> 0 的解集.
课堂小结
画法
列表、描点、连线
形状
双曲线
图象
反
比
例
函
数
图象位置
性质
增减性
k 的几何意义
对接中考
1.已知点A（x1，y1）,B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣
12
的图象上．若x1＜0＜x
,则（
2
A．y1＜0＜y2
C．y1＜y2＜0
）
B
B．y2＜0＜y1
D．y2＜y1＜0
S△OAE =5，
S四边形BECD =5
S阴影=1
随堂练习
1.已知点 A(x1，3)，B(x2，6)都在反比例函数 =
《反比例函数——反比例函数的图象与性质》数学教学PPT课件(4篇)
知识点
1 反比例函数的图象
图象的画法：
(1)反比例函数的图象是双曲线；
(2)画反比例函数的图象要经过“列表、描点、连线”
这三个步骤．
知1－讲
(1)双曲线的两端是无限延伸的，画的时候要“出头”；
(2)画双曲线时，取的点越密集，描出的图象就越准确，
但计算量会越大，故一般在原点的两侧各取3～5个点
即可；
(3)连线时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用
平滑的曲线连接．注意：两个分支不连接．
知1－讲
我们来画反比例函数
y
6
x
的图象．
(1)列表：
x
…
－6
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
6
…
y
6
…
x
－6
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1
…
知1－讲
(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在下图所
示的直角坐标系中描出相应的点．
列各点在此函数图象上的是(
k
x
的图象上，则下
)
A．(2，4)
B．(－1，－8)
C．(－2，－4)
D．(4，－2)
（来自《典中点》）
知1－练
2 反比例函数
y
2
x
的图象在(
)
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第二、三象限
D．第二、四象限
（来自《典中点》）
知1－练
3 已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为2×104
第六章
反比例函数
反比例函数的图象与性质
反比例函数的性质课件
无零点
反比例函数没有自变量为零 的函数值，因为分母不可能 为零。
单调性
随着自变量增加，函数值逐 渐减小，反比例函数呈现出 单调递减的趋势。
零点个数和互异性
反比例函数只有一个零点， 且方程的解唯一，不会存在 多个相等的函数值。
反比例函数的变换
1
平移变换
通过改变函数的常数项 k，可以使反比例函数的图像上下平移。
总结与提高
反比例函数的性质总结
无零点、单调递减、零点唯一等是反比例函数的重要性质。
反比例函数的应用提高
通过多做实际问题的练习，提高反比例函数的应用能力。
结语
感谢观看本课件，希望你对反比例函数的性质和应用有更深入的了解。继续探索更多反比例函数的应用 吧！
反比例函数的性质
反比例函数是数学中的一种特殊函数。它具有独特的奥秘吧！
什么是反比例函数
定义
反比例函数是一种具有形如 y = k/x （k≠0）的函数形式的函数。
图像
反比例函数的图像呈现出一条斜率逐渐减小的曲线，通过原点并延伸到两个方向。
反比例函数的基本性质
2
压缩与伸缩变换
改变 k 的绝对值，可以使反比例函数的图像在 x 轴方向上压缩或伸缩。
3
翻转变换
改变 k 的正负号，可以使反比例函数的图像在 y 轴方向上翻转。
反比例函数的应用
例题演练
通过解答一些实际问题的例题，加深对反比例 函数的应用理解。
常见的实际问题
反比例函数在许多实际问题中具有广泛的应用， 如物质浓度、电阻与电流关系等。
反比例函数的性质PPT课件
点向两坐标轴作垂线，形成 的两个矩形面积__相__等___。
问题探究：反比例函数中的面积问题
由反比例函数y= k 图象x 上一点A（a，b）
x
向两坐标轴作垂线，分别交两轴于M、N，
形成△AMO和△ANO，则：S△AMO=
k 2
y
S =k △ANO
B
2
MN
O
x
即：S△AMO= S = △ANO
k 2
规律总结：
反比例函数的图象关于原点对称；
规律总结：
反比例函数的图象关于原点对称； 反比例函数的图象关于直线y=x对称；
规律总结：
反比例函数的图象关于原点对称； 反比例函数的图象关于直线y=x对称； 反比例函数的图象关于直线y=-x对称；
巩固练习：
正比例函数y=kx与反比例函数 y m ，在
问题探究：反比例函数的对称性
反比例函数 y 24 ，经过下列每组点吗？每
x
组点有什么特点？你还能说出具有这样特点的 点吗？是否存在什么规律？讨论一下吧！
1、(4-4，，6-)6、)、(-4(6-，6，-64-)4) 2、2、(2(42，4，1)1、)、(-(2114，，，-2-41) 3、(3-3，，8-)8、)、(-3(8-，8，-83-)3) 4、4、(2(，2，121)2、)、(-(2112，2，，-1-2)
1、反比例函数的对称性 反比例函数关于原点对称，关于直线y=x
对称，关于直线y=-x对称。
2、反比例函数中的面积问题
（1）S矩形AMON k
（2）S△AMO= S = △ANO
k 2
（3）S△PMN= 2 k
（4）反比例函数与一次函数交点中的
面积问题。
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-4 -5 -6 -7 -8
A1 2 3 4 5 6 7 8 x
重点难点 细解读
y
8
7
6
5P
4
S1=S2=S3
3S
2 1
1 S2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O
S3 -1
-2
R
-3
12
-4
-5
-6
-7 -8
y=k x
y
8
7
6
5
4
3
A
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O
y
8 7 6 5 4 3 2 1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
1 2 3 4 5 6 7 8x
对称性
位置特点
美丽曲线 慢欣赏
美丽的双曲线
如果你是坐标轴，我便是那双曲线； 今生有缘同平面，漫漫长路却难见。 心情变化有大小，折绕对称为你现； 只因你我共相守，千古情意永不变！
几何画板
重点难点 细解读
y=6 x
请思考问题：
在每一个象限内，随 着x值的增大，y的值 是怎样变化的？
在每一象限内，y的值随x的 值的增大而减小.
重点难点 细解读
y = k（k >0） x
y
8 7 6 5 4 3 2 1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3
-4 -5 -6 -7 -8
4
Байду номын сангаас
A3
-5
2
-6
1
-7
B O -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8x
-1
-8
-2
-3
跳出 使用反比例函数k的几何意义时，要特别考
-4 -5
误区 虑图象所在的象限，注意k的取值范围.
-6 -7
-8
应用能力 巧提高
三、反比例函数 y = 4 与正比例函数 y =kx（k ≠0）交
x
y
m<1
随着x的增大而增大，则m的取值范围是_______.
易误易混 精辨析
四、已知反比例函数 y = - 3 . x
（1）图象经过_第__二__、__四__象限
（2）若点A（-3，y1），B（-1.5，y2）在此图像上，则y1__<_____y2
（3）若点C（1.5，y1），D（3，y2）在此图像上，则y1___<____y2
足为点B．若矩形PBOA的面积为6，则k的值为__-_6___．
5 4
3
P
2A
1
y = mx 二、直线
y = n (n =m ≠0) 与双曲线
-8
-7
-6
-5 -4 y
-B3 -2
-1 O -1
8
12
x
7
-2
在第二象限交于点A，AB⊥x轴于点B，△OAB的
6 5
-3
-4
面积等于1，则 m =n =__-_2__.
1 2 3 4 5 6 7 8x
y = k（k <0） x
y
8 7 6 5 4 3 2 1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3
-4 -5 -6 -7 -8
1 2 3 4 5 6 7 8x
反比例函数的增减性
当k>0时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而增大.
x
过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.求矩形PBOA的面积.
y
解：∵点P是反比例函数 y = 5 上的一点， 8
x
7
依题意有：mn=5,PB=∣m∣,PA=∣n∣
6 5
∴S矩形PBOA=PB•PA
4
B3
P
=∣m∣∣n∣
2 1
=∣mn∣ =5
O -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3
x
于A、D两点，AB⊥x轴.
y
（1）当点C在原点时，求△ABC的面积；
8
7
（2）当点C在y轴上运动时，求△ABC的面积； 6
-6
-7
曲线分别位于
-8
y
第一、三象限
8
当K<0时，两支 曲线分别位于 第二、四象限
y=4 x
y =- 4 x
7
6 5
y =- 2
4 3
x
2
y =- 6 x
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2
-3
1 2 3 4 5 6 7 8x
-4 -5 -6 -7
注意 -8
反比例函数图象的位置由k的符号来决定；反过来， 由反比例函数图象所在的位置可以推断出k的符号.
义务教育课程标准实验教科书 （北师大版）九年级上册第六章第三节
反比例函数的图像与性质 第二课时
茂名市博雅中学 吴丹媚
2016.11.15
美丽曲线 慢欣赏
y
8 7 6 5 4 3 2 1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3
-4 -5 -6 -7 -8
1 2 3 4 5 6 7 8x
中心对称图形 对称中心 原点 轴对称图形 两条对称轴 直线y=x和y=-x
反比例函数的图像无限接近坐标轴，但永远 不会与坐标轴相交
重点难点 细解读
y
8
7 6 5
y=2
4
x
3
2
y=6 x
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2
1 2 3 4 5 6 7 8x
-3
-4 -5
当K>0时，两支
-1
1 2 3 4 5 6 7 8x
Q
B
-2
-3
-4
-5
3 4 5 6 7 8x
-6
-7
-8
k的几何意义
过双曲线上任一点作x轴、y轴
的垂线，所得的矩形面积相等，
都等于∣k∣
易误易混 精辨析
一、（2016•张家界）如图，点P是反比例函数 y = k
图
y
8
x
7
象的一点，PA垂直于y轴，垂足为点A，PB垂直于x轴，垂 6
（4）若点E（-1.5，y1），F（3，y2）在此图像上，则y y1__>_____y2
（5）若点P（x1,y1）,Q（x2,y2）在此图像上,
8 7
且x1>x2,比较y1与y2大小
解：当0>x1>x2时，y1>y2; 当x1>x2>0时，y1>y2; 当x1>0>x2时，y1<y2 .
6
5
Q
4
3 y2
应用能力 巧提高
一、（2016•兰州）反比例函数是 y = 2
x
的图象在（ B ）
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、三象限
D.第二、四象限
二、（2016•柳州）在反比例函数 y = 5 图像的每一分支上， x
y随着x的增大而__减__小___（增大或减小）.
三、（2016•兰州）双曲线 y = m -1 在每一个象限内，函数
2
x2 1 x1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-1
-2 y1 P
-3
跳出 点在同一象限时，可以利用反比例函数的增减 -4
误区
性解答；点在不同象限，数形结合考虑更全面. -5
-6
-7
-8
重点难点 细解读
如图，在反比例函数 y = 5 的图像上任取一点P（m，n），
A1 2 3 4 5 6 7 8 x
重点难点 细解读
y
8
7
6
5P
4
S1=S2=S3
3S
2 1
1 S2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O
S3 -1
-2
R
-3
12
-4
-5
-6
-7 -8
y=k x
y
8
7
6
5
4
3
A
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O
y
8 7 6 5 4 3 2 1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
1 2 3 4 5 6 7 8x
对称性
位置特点
美丽曲线 慢欣赏
美丽的双曲线
如果你是坐标轴，我便是那双曲线； 今生有缘同平面，漫漫长路却难见。 心情变化有大小，折绕对称为你现； 只因你我共相守，千古情意永不变！
几何画板
重点难点 细解读
y=6 x
请思考问题：
在每一个象限内，随 着x值的增大，y的值 是怎样变化的？
在每一象限内，y的值随x的 值的增大而减小.
重点难点 细解读
y = k（k >0） x
y
8 7 6 5 4 3 2 1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3
-4 -5 -6 -7 -8
4
Байду номын сангаас
A3
-5
2
-6
1
-7
B O -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8x
-1
-8
-2
-3
跳出 使用反比例函数k的几何意义时，要特别考
-4 -5
误区 虑图象所在的象限，注意k的取值范围.
-6 -7
-8
应用能力 巧提高
三、反比例函数 y = 4 与正比例函数 y =kx（k ≠0）交
x
y
m<1
随着x的增大而增大，则m的取值范围是_______.
易误易混 精辨析
四、已知反比例函数 y = - 3 . x
（1）图象经过_第__二__、__四__象限
（2）若点A（-3，y1），B（-1.5，y2）在此图像上，则y1__<_____y2
（3）若点C（1.5，y1），D（3，y2）在此图像上，则y1___<____y2
足为点B．若矩形PBOA的面积为6，则k的值为__-_6___．
5 4
3
P
2A
1
y = mx 二、直线
y = n (n =m ≠0) 与双曲线
-8
-7
-6
-5 -4 y
-B3 -2
-1 O -1
8
12
x
7
-2
在第二象限交于点A，AB⊥x轴于点B，△OAB的
6 5
-3
-4
面积等于1，则 m =n =__-_2__.
1 2 3 4 5 6 7 8x
y = k（k <0） x
y
8 7 6 5 4 3 2 1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3
-4 -5 -6 -7 -8
1 2 3 4 5 6 7 8x
反比例函数的增减性
当k>0时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而增大.
x
过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.求矩形PBOA的面积.
y
解：∵点P是反比例函数 y = 5 上的一点， 8
x
7
依题意有：mn=5,PB=∣m∣,PA=∣n∣
6 5
∴S矩形PBOA=PB•PA
4
B3
P
=∣m∣∣n∣
2 1
=∣mn∣ =5
O -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3
x
于A、D两点，AB⊥x轴.
y
（1）当点C在原点时，求△ABC的面积；
8
7
（2）当点C在y轴上运动时，求△ABC的面积； 6
-6
-7
曲线分别位于
-8
y
第一、三象限
8
当K<0时，两支 曲线分别位于 第二、四象限
y=4 x
y =- 4 x
7
6 5
y =- 2
4 3
x
2
y =- 6 x
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2
-3
1 2 3 4 5 6 7 8x
-4 -5 -6 -7
注意 -8
反比例函数图象的位置由k的符号来决定；反过来， 由反比例函数图象所在的位置可以推断出k的符号.
义务教育课程标准实验教科书 （北师大版）九年级上册第六章第三节
反比例函数的图像与性质 第二课时
茂名市博雅中学 吴丹媚
2016.11.15
美丽曲线 慢欣赏
y
8 7 6 5 4 3 2 1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3
-4 -5 -6 -7 -8
1 2 3 4 5 6 7 8x
中心对称图形 对称中心 原点 轴对称图形 两条对称轴 直线y=x和y=-x
反比例函数的图像无限接近坐标轴，但永远 不会与坐标轴相交
重点难点 细解读
y
8
7 6 5
y=2
4
x
3
2
y=6 x
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2
1 2 3 4 5 6 7 8x
-3
-4 -5
当K>0时，两支
-1
1 2 3 4 5 6 7 8x
Q
B
-2
-3
-4
-5
3 4 5 6 7 8x
-6
-7
-8
k的几何意义
过双曲线上任一点作x轴、y轴
的垂线，所得的矩形面积相等，
都等于∣k∣
易误易混 精辨析
一、（2016•张家界）如图，点P是反比例函数 y = k
图
y
8
x
7
象的一点，PA垂直于y轴，垂足为点A，PB垂直于x轴，垂 6
（4）若点E（-1.5，y1），F（3，y2）在此图像上，则y y1__>_____y2
（5）若点P（x1,y1）,Q（x2,y2）在此图像上,
8 7
且x1>x2,比较y1与y2大小
解：当0>x1>x2时，y1>y2; 当x1>x2>0时，y1>y2; 当x1>0>x2时，y1<y2 .
6
5
Q
4
3 y2
应用能力 巧提高
一、（2016•兰州）反比例函数是 y = 2
x
的图象在（ B ）
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、三象限
D.第二、四象限
二、（2016•柳州）在反比例函数 y = 5 图像的每一分支上， x
y随着x的增大而__减__小___（增大或减小）.
三、（2016•兰州）双曲线 y = m -1 在每一个象限内，函数
2
x2 1 x1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-1
-2 y1 P
-3
跳出 点在同一象限时，可以利用反比例函数的增减 -4
误区
性解答；点在不同象限，数形结合考虑更全面. -5
-6
-7
-8
重点难点 细解读
如图，在反比例函数 y = 5 的图像上任取一点P（m，n），