高考数学一轮复习 7.2一元二次不等式及其解法课件
2025届高中数学一轮复习课件《一元二次不等式的解法》ppt
高考一轮总复习•数学
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对点练 3 解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
解：由题意知，Δ＝a2－4.
①当 a2－4＞0，即 a＞2 或 a＜－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a22－4，∴
原不等式的解集为x a－
2a2－4≤x≤a＋
a2－4 2
.
②若 Δ＝a2－4＝0，则 a＝±2.
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第16页
解：(1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤43，
所以原不等式的解集为x－2≤x≤43
.
(2)原不等式等价于xx22－－xx－－22＞≤04， ⇔xx22－－xx－－26＞≤00， ⇔xx－－23xx＋＋12＞≤00， ⇔
逆向思维，－1,2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
b(x－1)＋c＞2ax 的解集是( )
A．{x|0＜x＜3}
B．{x|x＜0 或 x＞3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜3}
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第30页
解析：由 a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得 ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0. ①
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第二章 不等式
第3讲 二次函数与一元二次不等式 第2课时 一元二次不等式的解法
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的 联系.2.会解一元二次不等式和分式不等式.3.了解较简单的不等式恒成立问题的解法．
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当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1
7-2一元二次不等式及其解法 课件【共102张PPT】
则原不等式的解集是x2<x<1a
；
当a＝12时，原不等式的解集是∅；
当a>12时，1a<2，则原不等式的解集是x1a<x<2
.
(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)<0，解得x>2，即原不等式的解集是{x|x>2}．
(3)当a<0时，原不等式可以化为a(x－2)x－1a<0，
根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)x－1a>0， 由于1a<2，故原不等式的解集是
角度Ⅱ.含参二次不等式的解法 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a∈R)．
[解] 原不等式可化为(ax－1)(x－2)<0. (1)当a>0时，原不等式可以化为a(x－2) x－1a <0，根据不等式的性质，这个不等 式等价于(x－2)·x－1a<0. 因为方程(x－2)x－1a＝0的两个根分别是2，1a， 所以当0<a<12时，2<1a，
k1－k2或x>1－
1－k2 k
；
当k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当k＜－1时，不等式的解集为R.
解/题/感/悟(小提示，大智慧) 对于含参二次不等式，应注意参数出现的位置．二次项系数出现参数，需要讨 论系数和零的大小；如果可以通过因式分解法求得两个根，根里面含参，那么就需 要对根的大小关系进行讨论；如不能因式分解求根，则需要对判别式进行讨论．总 之我们一定要关注参数出现的位置，往往既要讨论二次项系数，同时还需要讨论根 的大小！
(1)解析：由不等式x(1－2x)＞0，得不等式x(2x－1)＜0，解得0＜x＜12. (2)解析：当a＜0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为 x－1a (x－2)>0，解得x>2或 x<1a；当a＝0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为x－2＞0，解得x＞2.
高考数学一轮复习 72一元二次不等式及其解法课件 理
基础梳理 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2＋ bx＋c＞0(a＞0)或 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)求出相应的一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图象与 x 轴的点确定一元二次不等式的解集．
•
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•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题
【问题研究】 含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青 睐，且由于新课标对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与 导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题 趋势.对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法主要有：分离参 数法和函数性质法. 【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化， 使之转化为函数的最值问题.
高考一元二次不等式及其解法 课件(共51张PPT)
(4)根据对应二次函数的图象,写出不等
式的解集.
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第六章
不等式与推理证明
例1
解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋3>0; (2)－3x2－2x＋8≥0;
(3)12x2－ax>a2(a∈R).
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第六章
不等式与推理证明
【思路分析】
首先将二次项系数转化
为正数,再看二次三项式能否因式分解, 若能,则可得方程的两根,大于号取两边, 小于号取中间;若不能,则再看“Δ”,利
法二比较简单.
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第六章
不等式与推理证明
【解】
(1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立,
若 m＝0,显然－1<0; 若 m≠0,
m<0 则 ⇒－4<m<0. 2 Δ＝m ＋4m<0
所以－4<m≤0.
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第六章
不等式与推理证明
(2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立,就是 12 3 要使 m(x－ ) ＋ m－6<0 在 x∈[1,3]上恒 2 4 成立. 有以下两种方法： 12 3 法一：令 g(x)＝m(x－ ) ＋ m－6,x∈[1,3]. 2 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7
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第六章
不等式与推理证明
－∞，－1 ∪(1,＋∞). ∴不等式的解集为 2
－∞，－1 ∪(1,＋∞) 答案： 2
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第六章
不等式与推理证明
5.已知(ax－1)(x－1)>0的解集是{x|x<1 或x>2},则实数a的值为________.
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法课件(理)
b(a≠0)的形式．当 a＞0 时，解集为
；当 a＜0 时，解集为
．若
关于 x 的不等式 ax>b 的解集是 R，则实数 a，b 满足的条件是
．
3．一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，
称为___Байду номын сангаас______不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的
类型二 一元二次不等式的解法
解下列不等式：
(1)x2－7x＋12＞0;
(2)－x2－2x＋3≥0；
(3)x2－2x＋1＜0;
(4)x2－2x＋2＞0.
解：(1)方程 x2－7x＋12＝0 的解为 x1＝3，x2＝4. 而 y＝x2－7x＋12 的图象开口向上，可得原不等式 x2－7x
＋12＞0 的解集是{x|x＜3 或 x＞4}．
有两相等实根 x1＝x2＝－2ba
①
②
{x|x1＜x＜x2}
∅
无实根 R ③
4.分式不等式解法
(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为 0， 左边化为gf（（xx））的形式．
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
gf（（xx））＞0 ⇔ f(x)g(x)＞0；
gf（（xx））＜0 ⇔ f(x)g(x)＜0；
于号取 ，小于号取 ”求解集．
(4)一元二次不等式的解：
函数、方程与不等式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法PPT课件
Δ=0
Δ<0
有两相等实 数根x1=x2= b
2a
没有实数根
_{_x_∈__R_|_x_≠__ b}
_R_
2a
在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中，如果二次项系数a<0，则可先 根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解.
3.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程用程序框图表 示为
5.某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是 y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元， 则生产者不亏本时的最低产量是_______. 【解析】要使生产者不亏本，则应满足25x≥3 000+20x0.1x2， 整理得x2+50x-30 000≥0，解得x≥150或x≤-200(舍去)， 故最低产量是150台. 答案：150台
{x|x>x2或x<x1}
R
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2)，则必有a>0.( ) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞)，则方程 ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( ) (3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2+bx+c>0的解集为R.( )
一元二次方 程
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
高中数学一轮复习课件：一元二次不等式及其解法
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∴由根与系数关系得11＋×22＝＝－b a 解得ab＝＝－2 3 ，
∴不等式 bx2＋ax＋1>0 可化为 2x2－3x＋1>0，
∴x>1
或
1 x<2.
∴不等式的解集为{x|x>1 或 x<12}．
第六模块 不等式
第十五页，编辑于星期日：二十三点 四分。
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第六模块 不等式
第二十九页，编辑于星期日：二十三点 四分。
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解法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称 轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
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4．若不等式x－ax1<1 的解集为{x|x<1 或 x>2}，则 a
等于
A．2 B．－2
()
1 C.2
D．－12
第六模块 不等式
第十二页，编辑于星期日：二十三点 四分。
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解析：x－ax1<1⇔[(a－1)x＋1]·(x－1)<0， ∵不等式的解集为{x|x<1 或 x>2}， ∴1,2 是方程[(a－1)x＋1]·(x－1)＝0 的两根，且 a －1<0，解得 a＝12.故选 C. 答案：C
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解析：(1)当 a＝1 时，－1<0，x∈R，适合；当 a＝－
高考数学一轮复习 专题7.2 一元二次不等式及其解法(讲
专题7.2 一元二次不等式及其解法【考纲解读】内容要求备注A B C集合一元二次不等式√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划√基本不等式√【直击考点】题组一常识题1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．【解析】根据题意，得3000＋20x－0.1x2≤25x，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.因为x∈N，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．3. 若关于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是______________．【解析】易知m≠0，Δ＝[－(1－m)]2－4m2<0，整理得－3m2－2m＋1<0，即3m2＋2m－1>0，解得m<－1或m>13，所以m的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞.4．已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是 ______________.题组二 常错题5．不等式x (2－x )>0的解集为________．【解析】由不等式x (2－x )＞0，得不等式x (x －2)＜0，则0＜x ＜2. 6．不等式(ax －1)(x －2)＜0(a ≤0)的解集是________．【解析】当a <0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)>0，解得x ＜1a或x >2；当a ＝0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为x －2＞0，解得x ＞2.7．不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x ≤1.题组三 常考题8． 设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝________________．【解析】集合A ＝(1，3)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.9． 不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【解析】因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，则m 的取值范围是 ________． 【解析】要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0， 所以m 的取值范围为－4＜m ≤0.【知识清单】考点1 一元二次不等式的解法对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅考点2 一元二次不等式恒成立问题由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式20ax bx c>＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式20axbx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值． 考点3 一元二次不等式的应用构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.一元二次不等式及其解法主要有两种常见的考查方式：一是解一元二次不等式，往往是比较简单的，是一些问题的基础；二是与恒成立问题相结合，这一般都要与一元二次方程和一元二次函数相结合，也就是常说的“三个二次”问题.【重点难点突破】考点1 一元二次不等式的解法【1-1】不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，则______,a b == .【答案】a =－4，b =－9【解析】Q 不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，12,4∴--为方程220ax bx +-=的两根，则根据根与系数关系可得1122(),(2)()44b a a-+-=--⋅-=-，4,9a b ∴=-=-. 【1-2】已知不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则不等式022<++a bx x 的解集为 .【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x解为211<<-x ； 【1-3】已知函数22,1,()45,1,x x f x x x x ≤⎧=⎨-+>⎩若()1f a ≥，则实数a 的取值范围为 .【答案】[)0,+∞【解析】1()121a a f a ≤⎧≥⇒⎨≥⎩或21451a a a >⎧⎨-+≥⎩，∴10a a ≤⎧⎨≥⎩或1a x R >⎧⎨∈⎩，∴01a ≤≤或1a >，∴0a ≥.【1-4】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a<－4或a>4. 【1-5】解不等式2221x ax a -≤-+【思想方法】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【温馨提醒】注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；当0∆>时，需要计算相应二次方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二次不等式，需要针对开口方向、判别式的符号、根的大小分类讨论. 考点2 一元二次不等式恒成立问题【2-1】不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 【答案】[－1,4]【解析】x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A. 【2-2】若不等式的解集是R ，则m 的范围是 .【答案】【2-3】若不等式对满足的所有都成立，则x 的取值范围是 .【答案】【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立所以只需即，所以x 的范围是.【2-4】若不等式2230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围应为 . 【答案】11a ≥【解析】记2()23f x x x a =-+-，因为(0),(4)f f 不同时为0，所以仅需(0)011(4)0f a f ≤⎧⇒≥⎨≤⎩. 【2-5】在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是 . 【答案】1322a -<< 【解析】根据定义可得不等式()()1x a x a -⊗+<为()[1()]1x a x a --+<即2(1)10x x a a -+-+>，此不等式对任意实数x都成立，所以214[(1)1]04430(21)(23)0a a a a a a ∆=--+<⇒--<⇒+-<，从中解得1322a -<<.【思想方法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方． 【温馨提醒】二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在x 轴上方或者下方，借助数形结合思想或者分类讨论思想求解.考点3 一元二次不等式的应用【3-1】有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________． 【答案】(8]403，【3-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系：20.10.01s x x 甲＝＋，20.050.05s x x 乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【思想方法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【温馨提醒】仔细分析已知条件，将实际问题转化为数学模型．考点4 不等式性质的应用【易错试题常警惕】1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．。
高考数学导航一轮复习 一元二次不等式及其解法课件 新人教A
有两相异实根 x1，x2(x1<x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
b 2a
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1 或x>x2}
{x|x≠x1}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
没有实 数根
{x|x∈R}
∅
基础知识梳理
当a<0时，ax2＋bx＋c>0与ax2＋ bx＋c<0的解集如何？
三基能力强化
3．设p：x2－x－20>0，q：1－ x2<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A
三基能力强化
4．(教材习题改编)已知函数f(x) ＝－3x2＋5x－2，则使函数值大于0的 x的取值范围是________．
答案：{x|23<x<1}
课堂互动讲练
2．对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图象 在给定的区间上全部在x轴上方，恒 小于0就是相应的二次函数的图象在 给定的区间上全部在x轴下方．
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例3 已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－ 1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取 值范围．
【思路点拨】 可以从函数的角 度进行考虑，转化为函数求最值问 题，也可以从方程的角度考虑，可转 化为对方程根的讨论．
(2)引进数学符号，用不等式表示 不等关系．
(3)解不等式． (4)回归实际问题．
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高考检阅
(本题满分8分)2008年8月8日， 第29届奥运会在北京举行，某超市 从2008年1月1日开始代销某种奥运 会纪念品，记2008年1月1日为x＝ 1,1月2日为x＝2，依次类推，经过 10天的销售，超市得到日
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知识梳理
1.不等式ax>b:若a>0,则解集为①
x
x
b
a;若a<0,则解集为 ;
x
x
b a
若a=0,则当b≥0时,解集为② ⌀ ,当b<0时,解集为③ R . 2.一元一次不等式组(α<β): xx的解αβ, 集为{x|x>β};
5.分式不等式:(1) f (≥x)0⇔⑩
f (x) g(x) 0
g
(
x)
.
0
g(x)
(2) f (x>)0⇔ f(x)·g(x)>0 . g(x)
1.不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为 ( )
答案 B 由根与系数的关系得 1 =-2+1,- c =-2,得a=-1,c=-2,∴f(x)=-x2-x+2
1-1
x x
的αβ解, 集为{x|x<α};
的xx解集αβ,为{x|α<x<β};
x x
的α解, 集为⌀.
β
3.对于一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0),Δ=b2-4ac,x1、x2是方程ax2+bx+c
=0(a≠0)的两个实根,且x2<x1(当存在两个互不相等的实根时).
a
a
(经检验知满足题意),∴f(-x)=-x2+x+2,其图象开口向下,顶点为 12 ,.故94 选B.
2.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的值的集合是 ( ) A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4} 答案 D a=0时,满足条件;a≠0时,由题意知a>0且Δ=a2-4a≤0,得0<a≤4, 所以0≤a≤4,故选D.
当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};
当0<a<1时,原不等式的解集为 x 1;
x
1 a
当a=1时,原不等式的解集为⌀;
当a>1时,原不等式的解集为 x 1a.
x
1
一元二次不等式的解法 (1)解一元二次不等式主要有两种方法:图象法和因式分解法.不等式的解 集要写成集合或区间的形式. (2)解含参数的一元二次不等式时,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次 序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行讨论;其次根据相应一元二次 方程的根是否存在,即Δ的符号进行讨论;最后在根存在时,根据根的大小进 行讨论.
23
∴a+b=-14.
典例题组
一元二次不等式的解法 典例1 (2014首师大大兴附中检测)解下列不等式: (1)19x-3x2≥6;(2)8x-1≤16x2; (3)0<x2-x-2≤4;(4)ax2-(a+1)x+1<0. 解析 (1)解法一:原不等式可化为3x2-19x+6≤0.
函数y=3x2-19x+6的图象开口向上且与x轴有两个交点 13 ,和0(6,0).
解得- 1 ≤x<1或1<x≤3,故选D.
2
4.若不等式ax2+bx+2>0的解集为
x
,则1 a+xb=1
23
.
答案 -14
解析 x1=- 12 ,x2=13 是方程ax2+bx+2=0的两根,
则
2
a
b a
解1 12得1 ,13 , (经检验ba 知21满2,足题意).
(1)当a>0时,若Δ>0,则解集为④ {x|x>x1或x<x2} ;若Δ=0,则解集为⑤
x
x
R且;若x Δ<02b,a则 解集为⑥
R
.
(2)当a<0时,若Δ>0,则解集为⑦ {x|x2<x<x1} ;若Δ=0,则解集为⑧ ⌀ ;若Δ<0,则解集为⑨ ⌀ .
4.如果一元n次不等式a0xn+a1xn-1+…+an>0(an∈R,a0≠0,n∈N*,n≥3)可以转 化为f(x)=a0(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(其中x1<x2<…<xn)的形式,那么求解时一 般先在数轴上标区间(-∞,x1)、(x1,x2)、…、(xn,+∞),a0>0时,由于f(x)的值 在上述区间自右至左依次为+、-、+、-、…,所以正值区间为f(x)>0的解 集.
如图所示,由数轴标根法知,原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}.
(4)原不等式可变形为(ax-1)(x-1)<0,
当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};
当a≠0时,原不等式可变形为a x (x1a-1 )<0.
若a<0,则 x (x1a-1)>0,∴x< 或1a x>1.
3.不等式 (xx≥15)22的解集是 (
)
A. 3,
1 2
B.
1 2Leabharlann ,3C. 12 ,1∪ (1,3]
D. ∪ 12(1,1,3]
答案 D 不等式可化为 2x(≤2x051,x)2 3
即 (2x≤10)(,x 3)
(x 1)2
若a>0,则 x (x1a-1)<0,
∴当a>1时,原不等式的解集为 x |;1a
x
1
当a=1时,原不等式的解集为⌀;
当0<a<1时,原不等式的解集为 x |.1
x
1 a
综上,当a<0时,原不等式的解集为 x x;
1 a
或x
1
∴x∈R,∴原不等式的解集为R .
(3)原不等式等价于
x2 x2
⇔ x
x
2 2
⇔ 0,
4
⇔ xx 22
x x
2 6
0, 0
(x 2)(x 1) 0, (x 3)(x 2) 0
x 2或x 1,
2 x 3.
所以原不等式的解集为 x 13.
x
6
解法二:原不等式可化为3x2-19x+6≤0,
即(3x-1)(x-6)≤0,所以 x (x13-6)≤0,
所以原不等式的解集为 x 13.
x
6
(2)8x-1≤16x2⇔16x2-8x+1≥0⇔(4x-1)2≥0,