必修4拔高课件马长胜 向量与三角函数的综合(习题课)
江苏省新马高级中学高中数学必修四启发性学案：1.3.1三角函数的图像和性质(1)
第一章 三角函数1.3.2 三角函数的图象和性质（1）主备人：张俊 做题人：赵海 审核人：刘主任一．学习目标:1．能借助正弦线画出正弦函数的图象;2．掌握“五点法”作图的方法;3．在正弦函数图象上能通过诱导公式画出余弦函数的图象；二．学习重、难点：1．重点：能准确、快速画出正、余弦函数的图象（五点作图法）；2．难点：借助三角函数线画出函数[]()π2,0sin ∈=x x y 的图象。
三．课堂活动：活动一 掌握正弦函数、余弦函数的图像及画法1. 几何法： 利用单位圆中的三角函数线画出[]()π2,0sin ∈=x x y 的图象思考感悟：2. 五点法：（1） 在直角坐标系中画出sin ,[0,2]y x x π=∈的图像列表： 作图：思考：①()R x x y ∈=sin 的图象与[]()π2,0sin ∈=x x y 的图象有怎样的关系？②当x 从0变到2π时，x sin 的值增大还是减小？ ③对应于3π=x ，x sin 有多少个值？ ○4对应于23sin =x ，x 有多少个？并写出x 的值。
（2） 在直角坐标系中画出x y cos =的图像思考：①x y cos =的图像与x y sin =的图象又怎样的关系？②余弦函数中起着关键作用的五个点是 。
思考感悟：例1.用“五点法”作出下列函数的图象．(1) y ＝sin x －1，x ∈[0,2π] (2) y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]（3）cos 2,y x x R =∈ （4）sin(2)4y x π=-思考感悟： 例2.不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-7sin π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-5sin π； (2)74cos π与85cos π； (3))250sin( 与() 260sin ； (4)815cosπ与914cos π.思考感悟：四．小结反思：五．巩固练习：1．下列函数的图象相同的是________．(填序号)①y ＝cos x 与y ＝cos(π＋x )；②y ＝sin(x －π2)与y ＝sin(π2－x )； ③y ＝sin x 与y ＝sin(－x )；④y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x .2．不求值，比较各组中三角函数值的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)； (2)cos(－13π5)与cos 11π5.3.用“五点法”画出下列函数的简图。
2018学年高中数学必修4课件：第一章 三角函数 1.2.3.1 精品
＝cos(180°＋60°)＋sin(180°＋45°)
＝－cos 60°－sin 45°＝－1＋2
2 .
(3)原式＝
1＋2sin－70°＋3670°＋2×360°
＝
1c－os27s0in°－70s°inco7s07°0°＝
sin 70°－cos 70°2 cos 70°－sin 70°
学业分层测评（五） 点击图标进入…
【答案】
1 (1)2
2 (2) 2
(3)1
教材整理 2 诱导公式(二) 阅读教材 P18“公式二”的有关内容，完成下列问题． 终边关于 x 轴对称的角的诱导公式(公式二)： sin(－α)＝__－__si_n_α__； cos(－α)＝__c_o_s_α__； tan(－α)＝__－__ta_n__α_.
＝tanπ＋π3
＝tan3π＝ 3.
【答案】
(1)－
2 2
(2)－
3 2
(3) 3
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
高一数学人必修四课件第一章三角函数章末小结与测评
三角函数的定义
特殊角的三角函数值
正弦、余弦、正切等函数的定义及其 在各象限的取值情况。
0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度 的三角函数值。
三角函数的图像
正弦函数、余弦函数、正切函数的图 像及其性质，如周期性、振幅、相位 等。
周期性、奇偶性与单调性
01
02
03
三角函数的周期性
正弦函数、余弦函数的周 期为2π，正切函数的周期 为π。
04
三角函数在实际问 题中建模与求解
利用三角函数解决物理问题举例
简谐振动
在物理学中，简谐振动是一种周期性运动，其位移与时间的 关系可以用三角函数来描述。通过三角函数模型，可以求解 振动的振幅、周期、频率等物理量。
交流电
交流电是一种大小和方向都随时间作周期性变化的电流，其 变化规律可以用正弦或余弦函数来表示。利用三角函数模型 ，可以分析交流电的最大值、有效值、相位等电学量。
05
章节测评及反思
重点难点回顾与总结
三角函数的定义和性质
回顾了正弦、余弦、正切等三角函数的定义，以及它们的周期性 、奇偶性、增减性等性质。
三角函数的图像和变换
总结了三角函数在坐标系中的图像特点，以及如何通过平移、伸缩 等变换得到不同形式的三角函数图像。
三角恒等式的证明和应用
梳理了三角恒等式的基本形式和证明方法，以及它们在三角函数化 简、求值等问题中的应用。
学生对三角恒等式的应用不够熟练，难以灵活运用恒等式 解决问题。纠正方法是多做不同类型的三角恒等式题目， 提高熟练度和灵活运用能力。
下一步学习计划和目标设定
01
深入学习三角函数的性质和应用
通过更多的练习和案例学习，深入掌握三角函数的性质和应用，提高解
高中数学必修四人教版课件 第三章 三角恒等变换 313
【训练1】 求下列各式的值：
类型二 给值求值问题(互动探究)
类型三 给值求角问题
规律方法 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函 数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角.其中 确定角的范围是关键的一.二倍角的余弦公式的运用
高中数学必修四人教版 课件 第三章 三角恒等变
换 313
2020年5月17日星期日
1.倍角公式
自主预习
2sin cos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α
2.倍角公式常用变形
cos α
sin α
1±sin 2α
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) √ √ √
×
答案 C
答案 B
类型一 给角求值问题 【例1】 求下列各式的值：
规律方法 此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式 较为简单，而(4)小题分式一般先通分，再考虑结合三角函数 公式的逆用从而使问题得解.而(5)小题通过观察角度的关系 ，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问 题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察 式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运 用公式及其变形，从而使问题迎刃而解.
答案 A
答案 A
答案 D
人教A版高一数学必修四第二章 2.4.1向量在平面几何中的应用课件 (共12张PPT)
平面几何中的向量方法
向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
C B
解：设 ABa,ADb，则 B C b ,D a A ,A C a b ;D a B b
22
A2B B2C C2 D D2 A 2(ab)
A 2 C B 2 D a b 2 a b 2
a 2 2 a b b 2 a 2 2 a b b 2 2 a 2 b 2 2 a 2 b 2
uuur uuur 由于 A R与 A共C 线，故设
r rn (a rb r),n R
又因为 uEuR ur与uE共uB ur线，
所以设uEuR urmuEuB urm(ar1br)
D
F
C
2
因为u A u u R r u A u u E r u E u R u r E R
T
所因 以此 rn r(a r12 brb r) m(1 arb r 12m br)(a rA1b r)
3
3
3
故AT=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦 大海也就终止了呼吸。漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。如果我没有，我就一定要，我一定要��
人教高中数学必修四平面几何中的向量方法教学讲课文档
第十一页，共19页。
AR=RT=TC即R,T为AC的三等分点 ，我们只要证出
ARRTTC1AC AR 向 与 AC量 共线语 ，我A们言 R设13： AARC m3AC
D
F
C
向量AR还可以怎么构造E R
T
呢？
A
B
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解：设 A B a,A D b,则 A C ab
第七页，共19页。
设计问题 深化提高
例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模
型。 D BABAD,ACABAD ,
如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两 条邻边长度之间的关系吗？
思考：
长方形对角线的长度与两 条邻边长度之间有何关系 ？
猜想：平行四边形相似关系？
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例1、已知：平行四边形ABCD。
第五页，共19页。
学生探索 尝试解决
在ABC中，E，F为ＡＢ，ＢＣ的中点．
求证：ＥＦ／／ＡＥ ＣＦ 且＝ １ＡＣ 证明： ２
C
EFEBBF1AB1BC
F
22
1(ABBC )1AC
2
2
A E
B 又EF与AC不共线
EF//AC且EF 1 AC 2
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平面几何中的向量方法
欧氏几何的论证严谨优雅，给人以极大的美感 和享受，但有较大的思考难度，对人的智力形
人教高中数学必修四平面几何中的向量方法教学课件PPT
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回顾双基 温故知新
1.向量加（减）法的法则
A
BA AC BC
B
C B— CBA AC
第二页，共19页。
向量加（减）法的法则
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1-3 第二课时 精品
学案·新知自解
1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式五、六． 2．掌握六组诱导公式并能灵活运用．
诱导公式五、六
[化解疑难] 准确记忆六组诱导公式 (1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的 关系． (2)这六组诱导公式可归纳为“k·90°±α(k∈Z)”的三角函数值与 α 的三角函 数值之间的关系．当 k 为偶数时得角 α 的同名三角函数值，当 k 为奇数时得角 α
[归纳升华] 角的转化方法
(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数．若 转化之后的正角大于 360°，再利用诱导公式一，化为 0°到 360°间的角的三角函数．
(2)当化成的角是 90°到 180°间的角时，再利用 180°－α 的诱导公式化为 0°到 90°间的角的三角函数．
＝1－c2os2θ＝sin22θ＝右边．∴原式成立．
练案·学业达标
点击进入W0°到 360°间的角时，则利用 360°－α 及－α 的诱导公式化 为 0°到 90°间的角的三角函数．
1．(1)sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5°
B．cos 5°
C．0
D．2sin 5°
(2)已知 sin 10°＝k，则 cos 620°的值等于( )
教案·课堂探究
给角求值问题 自主练透型
(1)已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是( )
1－m2 A. m
B. 1－m2
C．－1－mm2
D．－ 1－m2
(2)已知 sinπ3 －α＝12，求 cosπ6 ＋α的值．
解析： sin 239°tan 149° ＝sin (180°＋59°)tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°) ＝－sin(90°－31°)(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°) ＝sin 31°＝ 1－cos231°＝ 1－m2. (2)cosπ6 ＋α＝cosπ2 －π3 －α ＝sinπ3 －α＝12. 答案： (1)B
高B数学必修四课件向量的应用
1) + 3*2 = 4。
已知向量AB = (2,1)，AC = (1,3)，若向量AD = AB + λAC，且AD ⊥ AB，求实数λ
的值。
根据题意，有AD = AB + λAC = (2+λ, 1+3λ)。由于 AD ⊥ AB，根据向量垂直的 充要条件，有AD · AB = 0， 即(2+λ)*2 + (1+3λ)*1 = 0 。解这个方程得到λ = -1。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
向量的基本概念和性质
向量是具有大小和方向的量，可以进 行加、减、数乘等运算，满足一定的 运算律。
向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，向量可以用有 序数对表示，即向量的坐标表示。通 过向量的坐标可以进行向量的加、减 、数乘等运算。
向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘运算统称为 向量的线性运算，是向量运算的基础 。
，以及计算物体的位移、速度变化量等。
空间向量在解决实际问题中的应用
03
空间向量在实际问题中的应用包括机器人路径规划、3D打印技
术、航空航天技术等。
04
向量在几何中的应用
利用向量证明平行或垂直关系
1 2
向量共线定理
如果两个向量平行，则它们之间存在一个实数使 得一个向量等于另一个向量的数乘。
向量垂直的充要条件
拓展延伸：向量在其他领域应用
物理中的应用
在物理学中，向量被广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量。例如，力的合成与分解、运动的合成与分解等问题 都可以通过向量的运算来解决。
北师大版高中数学必修四学练测课后拔高提能练：第3章 三角恒等变形 §2 2.2
第三章 三角恒等变形 §2 两角和与差的三角函数 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数课后拔高提能练一、选择题1．sin θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－cos θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为( )A ．22 B ．－22 C ．1D ．－1解析：选B sin θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－cos θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－θ－π4＝－sin π4＝－22.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰三角形解析：选B 由sin A sin B <cos A cos B ，得cos(A ＋B )>0，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )<0，∴C 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则tan α＝( )A ．－1B ．0C ．12D ．1解析：选A ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，∴sin π6cos α－cos π6sin α＝cos π6cos α－sin π6sin α， ∴1－32sin α＝3－12cos α. 易知cos α≠0，∴tan α＝－1.4．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )A ．31010B ．1010C ．510D ．515解析：选B 由题意知，sin ∠BEC ＝15，cos ∠BEC ＝25，又∠CED ＝π4－∠BEC ，所以sin ∠CED ＝sin π4cos ∠BEC －cos π4sin ∠BEC ＝22×25－22×15＝1010.二、填空题5．已知θ是第二象限角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－35，则cos θ＝________.解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－35，θ是第二象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－45.∴cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3cos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3sin π3＝－45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝－4＋3310.答案：－4＋33106．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：由sin α＋cos β＝1，两边平方得sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝1，① 由cos α＋sin β＝0，两边平方得cos 2α＋2cos αsin β＋sin 2β＝0，② ①＋②可得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，所以sin(α＋β)＝－12. 答案：－127．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝817，π6<θ<π2，则cos θ＝________.解析：∵π6<θ<π2，∴0<θ－π6<π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1517，∴cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6·cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6·sin π6＝1517×32－817×12＝153－834. 答案：153－834三、解答题8．已知α，β都是锐角，cos α·cos β－sin α·sin β＝－1114，cos α＝17，求cos β. 解：由已知条件得，cos(α＋β)＝－1114， 又α、β都是锐角， ∴sin(α＋β)＝5314. 由cos α＝17，得sin α＝437. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437 ＝4914×7＝12. 9．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)． (1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝ 3. 又∵θ∈[0，π]，所以θ＝π3.(2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)， 所以|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2 ＝8＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ－32cos θ＝8＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.又∵θ∈[0，π]，∴θ－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，∴|2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4. 又∵|2a －b |<m 恒成立，所以m >4.由Ruize收集整理。
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5
→ ＝(sinα，1)，OB → ＝(cosα， 已知 O 为坐标原点，向量OA
→ ＝(－sinα，2)，点 P 满足AB → ＝BP →. 0)，OC π π → → (1) 记函数 f(α)＝PB· CA，α∈(－ ， )，讨论函数 f(α)的单 8 2 调性，并求其值域； → ＋OB → |的值． (2)若 O，P，C 三点共线，求|OA
. 2; • D .1
0
）
解析： a OA, b OB , OC c CA a c , CB b c
O、A、C、B四点共圆 由余弦定理AB 3 AB | c |max 2 R 2 0 sin120
O
A B
C
1 例 4 [2011· 全国卷] 设向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝1，a· b＝－ ， 〈a 2 －c，b－c〉＝60° ，则|c|的最大值等于( ) A．2 B. 3 C. 2 D．1
→ ＝(cosα－sinα，－1)，设OP → ＝(x，y)， 【解】 (1)AB → ＝(x－cosα，y)． 则BP → ＝BP → 得 x＝2cosα－sinα，y＝－1， 由AB → ＝(2cosα－sinα，－1)． 故OP → ＝(sinα－cosα，1)，CA → ＝(2sinα，－1)， PB
【点评】 本题以向量的数量积、夹角为命题形式，将向量与解三角形知识有机结 合，考查正弦、余弦定理的应用．解答本题的关键在于将向量 a，b，c 的起点平移至同 一点 O，根据题设条件，得到 A，O，B，C 四点共圆，体现了数形结合思想的自然联想 与应用．
1、(2012 年高考陕西卷)设向量 a＝(1，cos θ)与 b＝]， 8 8 π 2 因为 sin(2α＋4)∈(－ 2 ，1]， 故函数 f(α)的值域为[－ 2，1)． → ＝(2cosα－sinα， → ＝(－sinα， (2)OP －1)， OC 2)， 由 O， P，C 三点共线可得(－1)×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)， 4 2sinαcosα 2tanα 24 得 tanα＝3，sin2α＝ 2 . 2 ＝ 2 ＝ 25 sin α＋cos α 1＋tan α 74 → → 2 |OA＋OB|＝ sinα＋cosα ＋1＝ 2＋sin2α＝ 5 .
2014年4月27马长胜
例1、
例2（2009·全国设a、b、c是单
位向量，且a·b=0,则（a-c）·（b-c）的最小
值为 1 2.
解析 ∵a·b=0,且a,b,c均为单位向量， ∴｜a+b｜= 2 ,|c|=1.
∴(a-c)·（b-c）=a·b-(a+b)·c+c2.
设a+b与c的夹角为θ , 则（a-c）·（b-c）=1-|a+b|·|c|·cos θ =1- 2 cos θ . 故(a-c)·（b-c）的最小值为1- 2 . 坐标法A（1,0）B（0，1）C（cosβ,sinβ）
O
B
7．已知 2a－b＝(－1， 3)，c＝(1， 3)，且 a· c＝3，|b| ＝4，则 b 与 c 的夹角为________．
解析：(2a－b)· c＝2a· c－b· c＝(－1， 3)· (1， 3)＝2. b· c 4 1 ∵a· c＝3，∴b· c＝4.∴cos〈b，c〉＝ ＝ ＝ . |b||c| 4×2 2 故〈b，c〉＝60° .
讲评 这类试题的难度一般不大，但解题时要细心， 要正确利用向量的相关知识，特别是向量中的共线、 垂直 关系.
26 、向量a, b满足： |b|=1,<a,b-a>=1200 , 求| a|的最大值
解析： a OA, b OB , BA a b, OAB 60
0
A
1 2 3 | a |max 2 R 0 sin 60 3
→· → ＝ (sinα－ cosα， 1)· f(α)＝ PB CA (2sinα，－1)＝ 2sin2α π －2sinαcosα－1＝－(sin2α＋cos2α)＝－ 2sin(2α＋ )，又 4 π π π 5π α∈(－8，2)，故 0<2α＋4< 4 ， π π π π 当 0<2α＋4≤2，即－8<α≤8时，f(α)单调递减； π π 5π π π 当 <2α＋ < ，即 <α< 时，f(α)单调递增． 2 4 4 8 2 π π 故函数 f(α)的单调递增区间为(8，2)，
答案：60°
【解析】 A 设向量 a，b，c 的起点为 O，终点分别为 A，B，C， 由已知条件得，∠AOB＝120° ，∠ACB＝60° ，则点 C 在△AOB 的外接圆 上，当 OC 经过圆心时，|c|最大，在△AOB 中，求得 AB＝ 3，由正弦 3 定理得△AOB 外接圆的直径是 ＝2， c的最大值是 2，故选 A. sin120°
(2009 安徽)
2
3 1 (cos ,sin ) x(1, 0) y( , ) 2 2
1 例4（11• 年全国）设向量a,b,c满足 a b 1, a b 2, a c, b c A.2; • B . 3; • C
60 , 则 c 的最大值等于（•