分式方程讲义与习题
分式知识点总结和练习题讲义
分式知识点总结和题型归纳 第一部分 分式的运算 （一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义:一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =）【例1】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<0B A ）分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）【例1】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.【例2】解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x题型五：考查分式的值为1，-1的条件 分式值为1：分子分母值相等（A=B ）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例1】若22||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为思维拓展练习题：1、若a>b>0,2a ＋2b －6ab=0,则a ba b +=- 2、一组按规律排列的分式：25811234,,,,b b b b a aa a --（ab ≠0），则第n 个分式为3、已知2310x x -+=，求221x x +的值。
分式方程(知识点+典型例题)完美打印版
考点4 分式方程的特殊解问题【例7】若关于x 的方程2222=-++-xm x x 的解为正数，求m 的取值范围？【例8】已知关于x 的分式方程21a x ++=1的解是非正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a≤-1B ．a≤-1且a≠-2C ．a≤1且a≠-2D ．a≤1【例9】如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是3-和xx--21，且点A ，B 到原点的距离相等，求x 的值.【课堂练习】 1、分式方程0131-x 2=+-x 的解为（ ）[来源Com] A ．x=3 B ．x=﹣5 C ．x=5 D ．无解2、关于x 的分式方程=1的解为正数，则字母a 的取值范围为（ ）A. a≥﹣1B. a ＞﹣1C. a≤﹣1D. a ＜﹣1 3、若分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和-2 D 、3 4、关于x 的分式方程1mx +=-1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞-1 B ．m ＞-1且m≠0 C ．m≥-1D ．m≥-1且m≠05、方程201x xx +=+的根是 。
6、分式方程2111x x x +--=3的解是 。
-3xx --21 B ．A ．7、若关于x 的方程15102x mx x-=--无解，则m= 。
8、已知关于x 的分式方程2122=--x a x 的解为非负数，求a 得取值范围。
9、的值求有增根若分式方程m x x m x x ,)2)(1(11+-=--【课后作业】1、解分式方程x x －2＝2＋3x －2，去分母后的结果是( )A ．x ＝2＋3B ．x ＝2(x －2)＋3C ．x(x －2)＝2＋3(x －2)D ．x ＝3(x －2)＋2 2、若分式的值为0，则x 的值是（ ）A. x=3B. x=0C. x=﹣3D. x=﹣43、若3x 与61x -互为相反数，则x 的值为（ ） A.13 B.－13C.1D.－1 4、若方程32x x --=2mx-无解，则m=——————．5、已知x ＝2y ＋33y －2，用x 的代数式表示y ，则y ＝____．6、解方程：（1）x x 332=-； （2）11322x x x -=--- （3）2240x-11x -=-。
分式方程讲义
x2 4x 1 2 ) 2 其中，x=—3” ． x2 x 4 x 4
小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3” ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
20． （8 分）今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也活动起来捐款打井抗 旱，已知第一天捐款 4800 元，第二天捐款 6000 元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多 50 人，且两天人 均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
180 180 x 2 (1 ) ， x 1.5 x 3 解这个方程为 x 182 ，经检验，x=182 是所列方程的根，即前前一小时的速度为 182．
由题意得： 22 、 解 ： 设 该 市 去 年 居 民 用 气 的 价 格 为 x 元 / m ³ ， 则 今 年 的 价 格 为 (1+25%)x 元 / m ³． „„„„„„„„„„„„„„„„„„1 分 96 90 10 ． 根据题意，得 „„„„„„„„„4 分 x (1 25%) x 7
3
本节小结：
解分式方程的步骤(1).去分母(2).解整式方程(3).把整式方程的根代入最简公分母或原分式方
程.若结果为零,则是增根,舍去
解分式方程应用的步骤和注意事项
列分式方程解的一般步骤题为： ①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数； ②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺 各个量之间的关系； ③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； ④解方程并检验； ⑤写出答案．
18、 （1） x 1 为增根，此题无解； （2） x
2 19、解：原式计算的结果等于 x 4 ， „„„„„„„„„„„„„6 分
精品 八年级下数学讲义+练习题--分式
B.
1 或0 3
C. 2或0
D. 或0
1 5
8.甲乙两人相距 k 千米，他们同时乘摩托车出发。若同向而行，则 r 小时后并行；若相向而 行，则 t 小时后相遇，则较快者的速度与较慢者速度之比是（ ） D.
r t r t 二、填空题：
A.
B.
r r t
C.
rk rk
rk rk
八年级下数学讲义
20.已知 a、b、c 为实数，
ab 1 bc 1 ca 1 abc 的值。 ， ， ，求分式 a b 6 b c 8 c a 10 ab bc ca
1 1 1 b a 21.已知 a、b 均为正数，且 ，求 的值。 a b ab a b
2
1 12 1 f( ) ； 2 2 11 2
( ) 1 1 1 1 1 2 表示当 x= 时 y 的值， 即 f( )= ； ……那么 f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+… 5 2 2 1 ( 1 )2 2 3 2
1 )= n 三、综合题：
+f(n)+f(
（结果用含 n 的代数式表示） ．
9.当 x＝__________时，分式 10.若
x2－x－6 的值为零． （1－x） （x－3）
1 1 3 的值为 ，则 2 的值为 6 2 x 3x 5 4x 6x 3 2x 2 11.若分式 2 的值为正整数，则整数 x 的值为 x 1
2
1
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12.如果分式
八年级下数学讲义
讲义 01 分式及分式方程
一、选择题： xa 1.分式 中，当 x a 时，下列结论正确的是（ 3x 1
第06讲分式方程(讲义)(原卷版)-2024年中考数学一轮复习讲义
第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。
(完整word版)分式方程例题讲解
分式方程(二）【知识要点】1。
分式方程的概念以及解法；2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1。
分式方程主要是看分母是否有未知数；2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程；方程两边同乘以最简公分母。
3。
解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系，恰当地设末知数.（一)分式方程题型分析题型一:用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 (1）xx 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根。
题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程 （1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示:(1)换元法，设y x x=+1；（2)裂项法，61167++=++x x x 。
【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值。
【例5】若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围.提示:032>-=a x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1)d c b a ,,,是已知数;（2)0≠+d c。
题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程： （1）021211=-++-xxx x ；（2）3423-=--x x x ；（3)22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x xx xx5）2123524245--+=--x x x x（6)41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程：（1）bxa211+=)2(a b ≠；（2))(11b a xbb x a a ≠+=+。
初中数学专题复习分式方程精讲精练(含答案)
分式方程【基础知识精讲】(1)理解分式方程的定义，会解可化为一元一次方程的分式方程，了解产生增根的原因，并会验根；(2)列出分式方程，解简单的应用题；(3)重点：把分式方程转化为整式方程求解的化归思想及具体的解题方法；(4)难点：①了解产生增根的原因，并有针对性地验根．②应用题分析题意列方程．【重点难点解析】1．分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 例如：23=x ，x x 332=-，都叫分式方程；而3221+=-x x ，0)321(41=+x ，尽管方程中的某些项含有分母，但分母中不含有未知数，因此，它们仍然是整式方程，而不是分式方程．由此看来，分母中是否含有未知数是区分整式方程和分式方程的一个显著标志．2．分式方程的解法步骤(1)在方程的两边都乘以最简公分母，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去；(4)得出结论，写答句．3．分式方程为什么会产生增根解分式方程时，为什么会产生增根呢?造成增根的原因是我们在方程的两边同乘以零造成的．根据等式的性质，等式的两边可以同时乘以(或除以)同一个非零数，等式仍然成立，这个性质是我们解方程的重要依据． 不过，值得注意的是：如果对一个不等式的两边同乘以零，这个不等式也就变成等式了．例如，4≠5，如果在两边同乘以零，就有0×4＝5×0，这样，不等式就变成等式．因此，在解方程的过程中，如果在方程的两边同乘以零，就会产生增根． 如方程1412112-=-++x x x ，当x ＝1时，方程两边同乘以(x ＋1)·(x －1)，就无异于在方程的两边同乘以零，使原来不可能成立的式子013=+x 而成立了，这样一来，增根x ＝1也就产生了，这就是增根产生的原因．我们再来看刚才的例题，原方程是1412112-=-++x x x ，移项，通分得：01)1(32=--x x ，即013=+x ． 大家都明白，一个分式的值为零，必须是在分式有意义的条件下，分子的值为零，显然13+x 的值不可能等于零，也就是说，无论什么数，都不能使上面的等式成立，因此，原方程无解．4．验根的方法(1)由于产生增根的原因是在方程的两边同乘了“隐形”的零－—最简公分母，因此，要判明是否是增根，只要把解出的根代入最简公分母、看它的值是否为零就行了．如果待验的根，使最简公分母的值为零，那么就是增根；如果不为零，就不是增根．这种方法比较简便，但只能检查是否为增根，不能检查解方程过程中是否有运算错误．(2)当然我们也可以将解出的根代入原方程检验．若使原方程的分母为零，则是增根；若分母不为零，则不是增根．这种方法可以检查解方程过程中有无错误，但运算量较大．A ．重点、难点提示含有字母系数的一元一次方程的解法。
精品 八年级数学上册 分式方程及应用题同步讲义+同步练习
分式方程及应用题知识点：1.分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程步骤：(1)去分母： 将 抓化为 (2) (3)3.増根：在方程变形时，产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的増根。
4.列方程解应用题的基本步骤：例1.解下列分式方程： (1)6272332+=++x x (2)2236111x x x +=+-- (3)163104245--+=--x x x x例2.已知关于x 的方程323-=--x mx x 的解为正数，求m 的取值范围。
例3.若关于x 的方程211333x x kx x x x ++-=--有增根,求增根和k 的值.例4.解方程：1211)10)(9(1...)1(1)1(1=++++++-x x x x x x例5.已知1=abc ，求证：1111=++++++++cac cbc b b ab a a .例6.李某承包了40亩菜地和15亩水田,根据市场信息,冬季瓜菜需求量大,他准备把水田改造为菜地,使改完后水田占菜地的10%,问应把多少水田改为菜地?例7.某人骑自行车比步行每小时快8千米,坐汽车比骑自行车每小时快16千米,此人从A 地出发,先步行4千米,然后乘坐汽车10千米就到在B 地,他又骑自行车从B 地返回A 地,结果往返所用的时间相等,求此人步行的速度.例8.今年我市遇到百年一遇的大旱,全市人民齐心协力积极抗旱.某校师生也活动起来捐款打井抗旱,已知第一天捐款4800元,第二天捐款6000元,第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人,且两天人均捐款数相等,那么两天共参加捐款的人数是多少？例9.周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一路程所用时间之比为2:3．(1)直接写出甲、乙两组行进速度之比．(2)当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A 处，且A 处离山顶的路程尚有1.2 km ，试求山脚到山顶的路程．例10.某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格,每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元.今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器,5月份的用气量比去年12月份少10m3,5月份的燃气费是90元.求该市今年居民用气的价格.例11.某商店在“端午节”到来之际,以2400元购进一批盒装粽子,节日期间每盒按进价增加20%作为售价,售出了50盒;节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子,整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．例12.北京奥运会开幕前,某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用32000元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.该商场两次共购进这种运动服多少套？例13.某公司投资某个工程项目,现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目.公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元.根据以上信息，从节约资金的角度考虑,公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？课堂练习：1.解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( )A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1) C.解这个整式方程,得x=1B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6 D.原方程的解为x=12.某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达,后来由于把速度加快20%，结果于下午4时到达,求原计划行军的速度.设原计划行军的速度为xkm/h ，，则可列方程（ ）A.1%206060++=x xB.1%206060-+=x xC.1%2016060++=）（x xD.1%2016060-+=）（x x3.一件工程甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（ ） A.a ＋b B.b a 11+ C.b a +1 D.b a ab+4.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ） A ．8 B.7 C ．6 D ．55.已知122432+--=--+x Bx A x x x ,其中A 、B 为常数，则4A-B 的值为（ ） A.7 B.9 C.13 D.5 6.若解分式方程21x x +-21m x x ++=1x x+产生增根，则m 的值是（ ） A.－1或－2 B.－1或2 C.1或2 D.1或－27.若方程212x ax +=--的解是最小的正整数，则a 的值为_______8.若方程87178=----x x x 有增根，则增根是9.若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a =10.已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为______ 11.轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是 千米/时． 12.解分式方程: (1)1132422x x +=-- (2)21212339x x x -=+-- (3))2)(1(311+-=--x x x x13.若方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围。
分式与分式方程辅导讲义
分式与分式方程【知识框架】【知识点&例题】知识点一：分式的基本概念一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子B A 叫做分式，为分子，为分母。
知识点二：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C••=A B A，C B C÷÷=A B A ，其中、、是整式，。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B B AB B --=--=--=AAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意这个限制条件和隐含条件B ≠0。
知识点三：分式的乘除法法则分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：db c a d c b a ••=•分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为cc ••=•=÷bd a d b a d c b a 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
式子n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛巩固练习：1.若分式的值为0，则x 的值为 .2.当= 时，分式的值为零.3.计算x xy y xy y xy y x xy y22222222++-÷+-+4.先化简，再求值：其中.242x x --x 26(1)(3)x x x x ----2291333x x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭13x =5.先化简，再求值：，其中．6、先化简，再求值：，其中7、解下列方程：（1）（2）（3） （4）532224x x x x -⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭3x 22144(1)1a a a a a-+-÷--1a =-3522x x =-223444x x x x =--+22093x x x +=-+35012x x -=+9、在年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的倍，求这两种车的速度。
分式和分式方程 专题复习讲义(含答案)
分式和分式方程 专题复习讲义中考考点知识梳理： 一、分式1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质 （1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则（1） ;;bc adc d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯（2）);()(为整数n b a ba n nn =（3）;c b a c b c a ±=± （4）bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
考点典例一、分式的值【例1】当x= 时，分式x－22x＋5的值为0．【答案】2. 【解析】试题分析：∵x－22x＋5的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2. 考点：分式.【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件. 【举一反三】1.使分式11x-有意义的x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【答案】A．考点：分式有意义的条件．2.若分式211xx-+的值为0，则x＝【答案】1 【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，211xx-+＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解. 答案为1.考点：分式方程的解法 考点典例 二、分式的化简【例2】化简2(1)1a a a -+-的结果是（ ） A ．11a - B ．11a -- C ．211a a -- D ．211a a --- 【答案】A ． 【解析】试题分析：原式=22(1)1a a a ---=11a -，故选A ．考点：分式的加减法．【点睛】观察所给式子，能够发现是异分母的分式减法。
第一部分--分式方程知识点与练习
第一部分 分式方程知识点与练习重要知识点：1.分式的分子分母乘于或除于同一个不为0的数，则分式的值不变。
2.分式化简：（练习题第二种题型）（1）.分式的加减A.同分母加减：两个分式直接加减B.异分母加减：异分母分式的加减运算，首先观察每个分式是否最简分式，能约分 的先约分（怎么约分要知道），使分式简化，然后再通分（怎么通分要知道），通分的过程中也要约去分子与分母的公因式，这样可使运算简化。
（2）.分式的乘除首先要看清楚是乘还是除（如果是除，被除的那个分式的分子与分母要颠倒位置），然后观察每个分式是否是最简分式，能约分的先约分，使分式简化，最后再乘除，乘除的过程中也要注意约去分子与分母的公因式。
3.整数指数幂公式（m,n 都是整数）（第三种题型）：n n nnm n m n n n mnn m nm n m b a b a a a a b a ab a a a a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷===•-+)()(4.解分式方程的一般步骤（第四种题型）:1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;2.解这个整式方程;3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是0,使最简公分母为0的根是原方程的增根（你现在知道什么叫增根了吗？，思考一下增根的意义！）,必须舍去. 5.解分式方程应用题（第五种题型）解分式方程应用题的一般步骤：捉住一句话来列方程，对于同一个人或物来说一般是捉“原来”跟“现在”的关系，对于不同的人或物来说一般是或者捉“A ”和“B ”的差别。
练习题第一种题型：基础型1.下列等式：①= −；②=；③= −； ④= −中，成立的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 2.约分：（1）；（2） 3.通分：（1），；（2），．第二种题型：分式化简4.计算:1121222+-÷++-a aa a a a5.计算:)242(2222---•+a a a a a a .6.计算:mn m nm -+2÷(m+n)·(m 2-n 2).第三种题型：幂的计算7.判断正误: (1)y x xy x x y y x y x y y x x+=÷+=+•+÷+2122.() (2)33632)(z y x z y x +=+.( ) (3)246223)(z y x z y x =.( ) (4)n nn a b a b 2422)(-=-(n 为正整数).( )(5)69323278)32(ab a b -=-.( ) 第四种题型：解分式方程8.分式方程523=的解是________．9 10第五种题型：分式方程应用题11.甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度．12.某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？13.A 、B 两地相距18公里，甲工程队要在A 、B 两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A 、B 两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？1.A2.（1） （2）3.（1），（2），4.解：原式=a a a a a a a a a a a a a 1)1(1)1()1)(1(1)1()1()1)(1(22=-+•+-+=+-÷+-+ 5.解：原式=24)2(22--⨯+a a a a a =a. 6.解：mnm n m -+2÷(m+n)·(m 2-n 2)=n m n m m n m +•-+1)(·(m+n)(m-n)=m n m +. 7.(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ 8.X=29．解： 2x =．10．无解 11. 256km/h. 12. 30000元 13. 3。
第十五章 第3讲 分式方程 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教八年级数学上册
第3讲分式方程【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式方程分式方程的概念√分式方程的解法√分式方程的增根及根的讨论√分式方程的应用√分式方程及其解法分式方程分式方程的曾根及根的讨论分式方程的应用1【知识精讲】一、分式方程的概念分式方程：分母中含有未知数的方程二、分式方程的解法1.能化简的先化简2.方程两边同乘以最简公分母，化成整式方程3.解整式方程4.验根注意：解分式方程时，方程两边同时乘以最简公分母时，最简公分母有可能为零，这样就产生了增根因此分式方程一定要检验分式方程检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为零则整式方程的解就是原方程的解，否则，这个解不是原方程的解【经典例题】【例1】下些列方程中是分式方程的是（）A.111324x x ---=C .124111x x x x x ---=---B.21205x x -= D.()0x ax ab a b-=≠【例2】下列方程不是分式方程的是（）A.63x x= B.1051x x =- C.2321xx =- D.336x x =-【例3】分式方程312x x=+的解是__________【例4】分式方程23222x x x -=+-的解是__________【例5】若分式方程x aa x+=无解，则a 的取值是__________【例6】解方程16252736x x x x x x x x +++++=+++++【例7】解分式方程11222x x x-+=--，可知方程的解为（）A.2B.4C.3D..无解【例8】关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（）A.1m >- B.1m >-且0m ≠ C.1m <- D.1m <-且2m ≠-【例9】关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是1x c =，22x c=，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是（）A.a ，2aB.1a -，21a - C.a ，21a - D.a ，11a a +-【例10】解方程：121032342423161943898745x x x x x x x x ----+=+----【例11】解方程：22226124044444y y y y y y y y 2+--+=++-+-【例12】若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解【例13】解关于x的方程：121n nx n x n+=+-+-，其中n是整数【例14】观察下列方程及其解的特征：（1）12xx+=的解是121x x==（2）152xx+=的解是12x=，212x=（3）1103xx+=的解是13x=，213x=解答下列问题：（1）请猜想：方程1265xx+=的解为__________（2）请猜想：关于x的方程1xx+=__________的解为1x a=，21xa=（0a≠）；（3）解分式方程2131462a axx a++ +=-2【知识精讲】一、分式方程的增根增根：使分式方程的分母为零的未知数的值，是分式方程去分母后化成的整式方程的根1.由增根求参数的值（1）将原方程化成整式方程（2）确定增根（3）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值2.由分式方程根的情况，求参数的取值范围（1）将原方程化成整式方程（2）把参数看成常数求解（3）根据根的情况，确定参数的取值范围（注意要排除增根时参数的值）二、分式方程的无解分式方程无解有两种情况：（1）把分式方程化成整式方程后，整式方程无解．（2）把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为零，是增根．【经典例题】【例15】若方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则它的增根是（）A ．0B ．1 C.1- D.1或1-【例16】已知分式方程3321ax x x ++=+有增根，求a 的值【例17】若解分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，则m 的值是（）A.1-或2-B.1-或2C.1或2D.1或2-【例18】若分式方程111x m xx x x +=--+有增根1x =，则m 的值为多少？【例19】当a 为何值时，分式方程13-5-2(-2)(-5)x x ax x x x +++=出现增根2x =（）A.5a =B.10a = C.10a =- D.15a =-【例20】若1x =是方程23-1-2(-1)(-2)x x mx x x x +++=的增根，则m =__________【例21】m 为何值时，关于x 的方程23242mx x x x 2+=--+会产生增根（）A 、4-B 、6C 、4-或6D 、4或6-【例22】已知关于x 的方程233x mx x -=--有一个正数解，求m 的取值范围【例23】当a 为何值时，关于x 的方程421(1)x ax x x x ++=--有解？【例24】若方程2141224k xx x x -=-+--会产生增根，则（）A.2k =±B.2k =C.2k =- D.k 为任意实数【例25】当m 为何值时，关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实根？【例26】解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m =__________3【知识精讲】列分式方程解实际问题步骤：审题—-设未知数—-列方程—-解方程—-检验—-解答注意：检验时要从方程本身和实际问题两个方面进行检验【经典例题】【例27】甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）A.Sa b+B.S avb- C.S ava b-+D.2Sa b+【例28】甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程．已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的23，求甲、乙两队单独完成各需多少天？【例29】轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中用相同的时间顺流航行40千米，逆流航行70千米．求这艘轮船在静水中的速度和水流的速度．【例30】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【例31】甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城，已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，结果两辆车同时到达C城，求两辆车的速度各是多少？【例32】某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该种图书畅销，第二次购书时，每本书的批发价（即进价）已比第一次提高了20%，他用1500元所购得的该种图书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的四折售完剩余的书．试问：该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？【例33】甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以a千米/小时的速度行走，另一半时间以b千米/时的速度行走；而乙用a千米/小时的速度走了一半的路程，另一半路程以b千米/时的速度行走（a，b均大于0，且a b），则（）A.甲先到达B地 C.乙先到达B地B.甲乙同时到达B地 D.甲乙谁先到达B地不确定【随堂练习】【习题1】方程2131x x =+的解是__________【习题2】方程11422x x +=-的一个根是4，则另一个根是__________【习题3】使关于x 的方程2224222x a a x x+-=--产生增根的a 的值是（）A.2B.2-C.2±D.与a 无关【习题4】若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为__________【习题5】当k 的值为__________时,221x k x x x x-=--只有一个实数解【习题6】当a 取何值时，解关于x 的方程()()21222121x x x ax x x x x -++-=-+-+无增根？【课后作业】【作业1】解方程：2233111x x x x +-=-+-【作业2】解方程：222111132567124x x x x x x x ++=+++++++【作业3】解方程：18272938x x x x x x x x +++++=+++++【作业4】已知关于x 的方程11m m x x -=-有实数根，求m 的取值范围【作业5】解关于x 的方程2111x k x x x x -=--+不会产生增根，则k 的值为（）A.2B.1C.不为2±的数D.无法确定【作业6】解方程1223111111++=+++x x x【作业7】解方程11112 10(1)(2)(2)(3)(9)(10)x x x x x x x+++⋯+= +++++++【作业8】解关于x的方程122a xb xb x a x+++=++【作业9】解方程2222 232253 232253 x x x xx x x x++-+=--+-。
第3讲 分式方程(题型精讲)(原卷版)
第3讲分式方程（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：分式方程的定义题型二：解分式方程题型三：根据分式方程的解求参数题型四：分式方程无解问题题型五：分式方程的实际应用第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程.知识点二：增根1、使分式方程分母为零的未知数的值即为增根;分式方程的增根有两个特征:(1)增根使最简公分母为零;(2)增根是分式方程化成的整式方程的根.2、增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根——增根．3、验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所求的根代入最简公分母或原方程各分母，若最简公分母的值为零或原方程分母的值为零，则该根就是增根．知识点三：分式方程的基本解法解分式方程的一般步骤:(1)去分母,把分式方程转化为整式方程; (2)解这个整式方程,求得方程的根;(3)检验,把解得整式方程的根代入最简公分母,若最简公分母为零,则它不是原方程的根,而是方程的增根,必须舍去;若最简公分母不为零,则它是原分式方程的根. 知识点四：分式方程的实际应用解分式方程的实际问题与解整式方程的实际问题类似,不同的是要注意检验: (1)检验所求的解是否为所列分式方程的解; (2)检验所求的解是否符合实际.第二部分：课前自我评估测试1．（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）方程211x =+的解的情况是（ ） A ．=0xB ．=1xC ．=2xD ．无解2．（2022·全国·八年级专题练习）下列分式方程的解是x =0的是（ ） A ．111x x -=-+ B ．4102xx --=+ C ．2111x x x+-= D ．371x x x+-= 3．（2022·云南·弥勒市朋普中学八年级阶段练习）甲、乙两班同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，如果设乙班每小时种x 棵树，则可以列出方程______． 4．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中） 412x =- 5．（2022·陕西渭南·八年级期末）解方程：22322x x x+-=--第三部分：典型例题剖析 题型一：分式方程的定义典型例题例题1．（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）关于x 的方程①212x x x-=；②3521143x x x +--=；③4220x x -=；④21102x -=．其中是分式方程是（ ） A ．①②③B ．①②C ．①③D ．①②④例题2．（2022·山东济宁·八年级期末）下列方程中不是分式方程的是（ ） A ．231x =+ B ．131x x =- C ．22x= D ．2211x x x =--同类题型归类练1．（2022·甘肃庆阳·八年级期末）下列关于x 的方程是分式方程的是（ ） A ．2356x x++= B ．323x x-=C ．137x x -=+ D ．351x =2．（2022·山东枣庄·八年级阶段练习）下列方程①4x x y y -=+，②15x=，③13x x π-=-，④11=-x a b 中，是关于x 的分式方程的有（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．4题型二：解分式方程典型例题例题1．（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当=x ________时，分式87x x --与分式17x-互为相反数． 例题2．（2022·山东青岛·八年级期中）解分式方程 (1)31144x x x-+=-- (2)214111x x x +-=--例题3．（2022·甘肃天水·八年级期末）（1）解方程11121x xx x -=-++ （2）化简21211x x x x --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭例题4．（2022·辽宁·丹东第九中学八年级期末）（1）先化简，再求值：2226911x x x x x -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，请从1、2、3中选取的一个合适的数作为x 的值； （2）解方程：32122x x x =---．例题5．（2022·河北·邢台市第八中学八年级阶段练习）已知，关于x 的分式方程=12+35a b xx x ---． (1)当=1a ，=0b 时，求分式方程的解； (2)当=1a 时，求b 为何值时分式方程=12+35a b xx x ---无解； (3)若3a b =，且a 、b 为正整数，当分式方程=12+35a b xx x ---的解为整数时，求b 的值．同类题型归类练1．（2022·湖南·永州市剑桥学校八年级阶段练习）如果方程1211n m m x+=+=，，那么2x n +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·福建·厦门市松柏中学九年级期中）解方程： (1)22410x x --= (2)4233x x x -=--3．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）解方程： (1)3612x x =-+ (2)32177x x x-=--4．（2022·海南·儋州川绵中学八年级期末）（1）解方程111xx x +=-； （2）先化简，再求值：2221x x xx x +⋅-，其中2x =．5．（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级阶段练习）解方程 (1)232112x x x+=--； (2)228224x x x x x +-=+--．6．（2022·山东·济宁北湖省级旅游度假区石桥镇中学八年级阶段练习）已知关于x 的方程2322x mx x +=-- (1)当m 取何值时，此方程的解为3x =； (2)当m 取何值时，此方程会产生增根； (3)当此方程的解是正数时，求m 的取值范围．7．（2022·河南·桐柏县思源实验学校八年级阶段练习）复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用于遮住了原题目的一部分，如图：(1)求被手遮住部分的代数式，并将其化简； (2)原代数式的值能等于3吗？请说明理由．题型三：根据分式方程的解求参数典型例题例题1．（2022·广东梅雁东山学校八年级期末）若关于x 的方程233a xx x +=--有增根，则a 的值是（ ） A ．3B ．﹣3C ．1D ．﹣1例题2．（2022·上海市国和中学八年级期中）已知关于x 的分式方程644m xx x+=--有增根，则m ＝_____．例题3．（2022·湖南·永州市剑桥学校八年级阶段练习）如果方程12111k x x--=--的解是正数，那么k 的取值范围为______．例题4．（2022·浙江温州·七年级阶段练习）若分式方程()43912-=a x 的解是x ＝6，则a ＝______．例题5．（2022·全国·九年级专题练习）在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程2331x kx x k x ++=+-的解，求实数k 的取值范围.例题6．（2022·广东·深圳实验学校（业务勿保）八年级期末）阅读：对于两个不等的非零实数a 、b ，若分式x a x b x(-)(-)的值为零，则x a =或x b =．又因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程ab x a b x +=+有两个解，分别为1x a =，2x b =． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程Px q x+=的两个解分别为12x =-、23x =，则p ＝______，q ＝______； (2)方程78x x+=的两个解中较大的一个为______； (3)关于x 的方程+22221n n x n x -+=-的两个解分别为1x ，2x （12x x <），求12212x x -的值．（用含有字母n 式表示）同类题型归类练1．（2022·辽宁·丹东市第十九中学八年级期末）若关于x 的方程33211ax x x x +=-++有增根=1x -，则23a -的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．62．（2022·山东省淄博第五中学九年级阶段练习）关于x 的分式方程12122a x x-+=--的解为正数，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＜5B ．a ＞5C ．a ＜5且a ≠3D ．a ＜5且a ≠23．（2022·四川成都·八年级期末）已知关于x 的方程2233x kx x--=--的解为6x =，则k 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．64．（2022·陕西·西北工业大学咸阳启迪中学九年级开学考试）关于x 的方程244x ax x -=++有增根，则a 的值为______．5．（2022·甘肃·临泽县第三中学九年级期中）已知关于x 的分式方程326+133x mxx x--=---有增根，则m 的值为_____6．（2022·河南·商水县平店乡第一初级中学八年级阶段练习）已知关于x 的方程：12x x +-＝2mxx -﹣3．(1)当方程的解为正整数时，求整数m 的值； (2)当方程的解为正数时，求m 的取值范围．题型四：分式方程无解问题典型例题例题1．（2022·福建·泉州市第六中学八年级期中）若关于x 的分式方程7311ax x x+=---无解，则实数a 的值为（ ） A ．7B ．3或7C ．3或7-D ．7±例题2．（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级阶段练习）若关于x 的分式方程3x x -﹣2＝3mxx -无解，则m 的值为_____． 例题3．（2022·贵州省三穗中学八年级期末）若关于x 的方程1122mx x=---无解，则m =_____________ ．例题4．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）关于x 的方程234393ax x x x -=--+无解，则=a ______．例题5．（2022·湖南·永州市剑桥学校八年级阶段练习）方程233x m x x -=--会产生增根；求m 的值．例题6．（2022·山东青岛·八年级期中）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：1322x x+=--. （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x =，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？同类题型归类练1．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）若关于x 的方程4233x mx x +=+--无解，则m 的值是___________________．2．（2022·浙江·余姚市兰江中学七年级期末）若关于x 的方程21201mx x x x +-=--无解，则m ＝_____．3．（2022·安徽·亳州市黉学英才中学七年级阶段练习）关于x 的分式方程713x a x x+-=-无解，则a =______．4．（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）若关于x 的方程2134416x m m x x ++=-+-无解，求m的值．5．（2022·河南周口·八年级阶段练习）已知关于x的方程211(1)(2)2mxx x x x-=--++（1）已知4m=，求方程的解；（2）若该方程无解，试求m的值；6．（2022·江苏·八年级专题练习）已知关于x的分式方程512x ax x+-=-．(1)若分式方程的根是5x=，求a的值；(2)若分式方程有增根，求a的值；(3)若分式方程无解；求a的值的．题型五：分式方程的实际应用典型例题例题1．（2022·山东·济南育秀中学九年级阶段练习）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与雕像的腰部以下a的高度比=雕像的腰部以下a与全身b的高度比，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（结果保留两位小数）_____m．例题2．（2022·吉林·长春市第八十七中学九年级期中）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，求原计划平均每天生产药品的箱数．例题3．（2022·全国·九年级专题练习）北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？例题4．（2022·上海奉贤·九年级阶段练习）某药店购进一批防护面罩和95N 口罩，购进防护面罩花费1500元，95N 口罩花费1200元，其中防护面罩的单价比95N 口罩的单价多2元，购进95N 口罩比防护面罩多100个．那么该药店购进的防护面罩和95N 口罩的单价各是多少元？例题5．（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级阶段练习）永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：(方案一)甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成； (方案二)乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；(方案三)若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工． (1)请你求出完成这项工程的规定时间；(2)如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案?说明理由．同类题型归类练1．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级期中）随着晋商博物院的开放，学校组织学生们去距离学校6千米的晋商博物馆参观，一部分同学步行先走，过了15分钟后，其余同学骑自行车出发，结果他们同时到达．已知骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，求步行的速度和骑自行车的速度各是多少，设步行的速度为x千米/时，根据题意，列出的方程为______．2．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）一艘轮船在静水中的最大航速为40千米/时，它沿江以最大航速顺流航行70千米所用时间，与以最大航速逆流航行30千米所用时间相等．求江水的流速为多少千米/时．3．（2022·北京昌平·八年级期中）列方程解应用题2022年北京市教育委员会印发《关于推进“互联网+基础教育”的工作方案》的通知．《方案》中指出：双师课堂是在空中课堂基础上的深化，将传统单师授课模式变革为名师团队支持下新型教学场景．某校为响应国家号召，利用暑期在各班安装能够进行双师教学的电脑．该校南楼安装的48台由甲队完成，北楼安装的30台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装3台，且两队同时开工，恰好同时完成任务．甲、乙两队每天各安装能够进行双师教学多少台？4．（2022·重庆一中九年级阶段练习）某山区突发森林大火，在这场与山火的拉锯战中，“以火灭火”的方式助力了阶段性胜利时刻的到来．浴火后的山区，一半青山一半黄，为了还山区一抹绿，志愿者协会组织开展“迎国庆植树活动”，计划种植黄桷树和香樟这两种树．(1)该协会计划种植黄桷树和香樟共5000棵，其中黄桷树的数量比香樟的数量的2倍少1000棵，求计划种植黄桷树多少棵？(2)在实际种植过程中，为了加快进度，将参与活动的志愿者分成甲、乙两组，甲组负责种植香樟，乙组负责种植黄桷树，其中乙组每小时种植的树苗比甲组多50棵，最终两个小组同时完成任务，求乙组每小时种植的数量．5．（2022·湖南·长沙市长郡外国语实验中学八年级开学考试）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，天心区某学校八年级一班班主任计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．在某百货店用500元购买甲种品牌奖品的数量比购买乙种品牌奖品的数量多30件，已知乙种品牌奖品的销售单价是甲种品牌奖品销售单价的2.5倍．(1)求甲、乙两种品牌奖品的销售单价各是多少元？(2)若该学校八年级二班班主任在该百货店共需购买甲、乙两种品牌的奖品共60件，且总购买金额不超过900元，求甲种品牌奖品的数量至少是多少件？第四部分：中考真题感悟1．（2022·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（）A．2000020000(115%)10x x⨯-=-B．2000020000(115%) 10x x⨯-=-C．2000020000(115%)10x x⨯-=+D．2000020000(115%) 10x x⨯-=+2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶x km，根据题意，所列方程正确的是（）A．60x﹣601.5x＝3060B．601.5x﹣60x＝3060C．60x﹣601.5x＝30 D．601.5x﹣60x＝303．（2022·辽宁阜新·中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（）A．3030201.2x x-=B．30301.220x x-=-C．3030201.2x x-=D．30301.220x x-=-4．（2022·江苏淮安·中考真题）方程3102x-=-的解是______．5．（2022·辽宁鞍山·中考真题）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为_________．6．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程111(1)x ax x x x++=++的解为负数，则a的取值范围是__________．7．（2022·贵州铜仁·中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？8．（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用．少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）。
【精品】分式方程讲义
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分式方程
主讲教师：傲德
重难点易错点辨析
题一：解方程：
考点：分式方程的解法
题二：若x=1是方程的增根，则m的值为．
考点：分式方程的增根
金题精讲
题一：(1)若关于x的方程有增根，求a的值．
(2)当a为何值时，方程无解．
考点：解分式方程
题二：阅读材料，并回答问题．
方程的解为
方程的解为
方程的解为
(1)观察上述方程，则关于x的方程的解是；
(2)根据上述规律，则关于x的方程的解是；
(3)在解方程时，可转化为的形式，请按要求写出变形求解过程．
考点：分式方程的增根
题三：甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
(1)问乙单独整理多少分钟完工？
(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
考点：解分式方程的灵活运用
思维拓展
题一：已知：，且b+=23，求a、b、c的值．
考点：等比设k
分式方程
讲义参照答案
重难点易错点辨析
题一：x= 1/2；x= 2增根．题二：3．
金题精讲
题一：(1)a= 6或8；(2) a=0，a= 1/3．题二：(1)5，1/5；(2)a，1/a；(3)2或2/3．题三：(1)80；
(2)25．
思维拓展
题一：4.3，8.4，7.6．
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分式方程知识点及练习(学)
八年级数学下册 分式方程【分式方程的概念】分式的中含有的方程叫做分式方程【分式方程的解法】（1）基本思想：把分式方程转化成为整式方程。
（2）步骤：<1> 去分母：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程。
<2> 解这个整式方程。
<3> 验根：把求出的整式方程的根代入最简公分母。
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
解分式方程要检验，方法是将求出来的未知数的值代入，看它是不是 ，如果是，说明它是，要舍去。
练习1、分式方程1111112-=+--x x x 去分母时，两边都乘以 2、下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ）A ．xx ππ= B ．6510-=x x C ．4132=+x x D ．n x m n x =-π 3．如果11-x 与11+x 互为相反数，则x ＝． 4．方程xx 3403440=-的解是． 5．当x=时，分式x x --424的值与45--x x 的值相等． 6．若分式方程52)1()(2-=--x a a x 的解为x=3，则a 的值为． 7．如果方程xx x --=+-21321有增根，那么增根是． 8.某煤厂原计划x 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为（）A ．31202120-=-x xB ．32120120-+=x xC ．31202120-=+xx D ．32120120--=x x 9.若关于x 的方程1011m x x x --=--有增根，则m 的值是 （ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1二、解下列分式方程132+=x x 13132=-+--x x x 21111x x =--43122x x x -=--11322x x x-=---【拓展】1、如果26910x x ++=，那么9x的值是（ ） A 、6 B 、-6 C 、-3 D 、32、已知12x x +=，221x x+的值3、若分式2211111x x x ++--与的值相等，求x 的值列分式方程——基本步骤：① 审—仔细审题，找出等量关系。
15.3分式方程(解析版)
八年级上册数学《第十五章分式》15.3分式方程◆1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．【方法总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π是常数)．◆1、解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.◆2、“去分母法”解分式方程的步骤（1）在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；（4）写出原方程的解.简记为：“一化二解三检验”.◆3、检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解.◆4、分式方程的增根增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．◆列分式方程解应用题的一般步骤：1.审清题意；2.设出未知数；3.找相等关系；4.列出方程；5.解这个分式方程；6.检验(包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)；7.作答.【例题1】（2022秋•西丰县期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+2=1B．x+1=2C．2x＝x﹣5D．x﹣4y＝1【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；B、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；D、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程．解题技巧提炼分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．【变式1-1】（2022秋•绥中县期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+2=1B．+1=2C．3x＝x﹣5D．2x﹣y＝1【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可．【解答】解：A．该方程是一元一次方程，不符合题意；B．该方程是分式方程，符合题意；C．该方程是一元一次方程，不符合题意；D．该方程是二元一次方程，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键．【变式1-2】（2023春•渠县校级期末）下列各式中为分式方程的是（）A．+1B．1r1=12K3C．r23=5D．1+=0【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【解答】解：A、+1不是方程，故本选项错误；B、方程1r1=12K3的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确；C、方程r23=5分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；D、方程1+=0的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【变式1-3】（2023春•苏家屯区期中）在①x2﹣x+1，②1−3＝a+4，③2+5x＝6，④2K3=1中，其中关于x的分式方程的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程．【解答】解：①x2﹣x+1是分式，不是分式方程；②1−3＝a+4是关于a的分式方程；③2+5x＝6是一元一次方程；④2K3=1是关于x的分式方程，故关于x的分式方程只有一个．故选：A．【点评】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键．【变式1-4】（2023春•宜宾月考）在方程1r1=3K2，3+1=2，3−2=0，=1中，分式方程有个．【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【解答】解：在方程1r1=3K2，3+1=2，3−2=0，=1中，分式方程有1r1=3K2，3+1=2，=1，一共有3个．故答案为：3．【点评】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【变式1-5】下列方程：①3−7=2，②=3，③4K13−r12=54，④+=5，⑤1r2+1＝0中，关于x的分式方程有（填写序号）：．【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．【解答】解：方程①3−7=2、②=3、③4K13−r12=54、④+=5的分母中都不含未知数，不是分式方程，⑤1r2+1＝0的分母中含有未知数，是分式方程，所以分式方程有⑤．故答案为：⑤．【点评】本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫分式方程）是解此题的关键．【例题2】（2022春•濮阳期末）解分式方程K3=53−−2去分母变形正确的是（）A．x＝5﹣2（x﹣3）B．x＝﹣5﹣2（x﹣3）C．x＝5﹣2（3﹣x）D．﹣x＝﹣5+2（3﹣x）【分析】根据等式的基本性质解决此题．【解答】解：K3=53−−2去分母，得x＝﹣5﹣2（x﹣3）．故选：B．【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键．【变式1-1】关于x的分式方程K5=1，下列说法正确的是（）A．方程的解是x＝m+5B．m＞﹣5时，方程的解是正数C．m＜﹣5时，方程的解为负数D．无法确定【分析】先按照一般步骤解方程，用含有m的代数式表示x，然后根据x的取值讨论m的范围，即可作出判断．【解答】解：方程两边都乘以x﹣5，去分母得：m＝x﹣5，解得：x＝m+5，∴当x﹣5≠0，把x＝m+5代入得：m+5﹣5≠0，即m≠0，方程有解，故选项A错误；当x＞0且x≠5，即m+5＞0，解得：m＞﹣5，则当m＞﹣5且m≠0时，方程的解为正数，故选项B错误；当x＜0，即m+5＜0，解得：m＜﹣5，则m＜﹣5时，方程的解为负数，故选项C正确；显然选项D错误．故选：C．【点评】本题在判断方程的解是正数时，容易忽视m≠0的条件．【变式1-2】（2022春•南岸区期末）解分式方程K1K2=1−1的过程如下：解：方程两边都乘x（x﹣2），得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1①去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1②解这个方程，得x＝1③检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④以上解答过程中，开始出错的一步是（）A．①B．②C．③D．④【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：K1K2=1−1，方程两边都乘x（x﹣2），得：x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）①，以上解答过程中，开始出错的一步是：①，故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．【变式1-3】（2023•高新区校级模拟）解分式方程2K1+21−2=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A．x+2＝3B．x﹣2＝3C．x+2＝3（2x﹣1）D．x﹣2＝3（2x﹣1）【分析】首先根据2K1+21−2=3，可得：2K1−22K1=3，然后方程两边同时乘（2x﹣1），判断出去分母化为一元一次方程，正确的是哪个即可．【解答】解：∵2K1+21−2=3，∴2K1−22K1=3，方程两边同时乘（2x﹣1），可得：x﹣2＝3（2x﹣1）．故选：D．【点评】此题主要考查了解分式方程，解答此题的关键是要明确等式的性质的应用．【变式1-4】（2023秋•昌黎县期中）分式31−与2互为相反数，则x的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，可得关于x的分式方程，解分式方程即可．【解答】解：由题意得31−+2=0，去分母3x+2（1﹣x）＝0，解得x＝﹣2．经检验得x＝﹣2是原方程的解．故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义及解分式方程，记忆解分式方程的步骤是解题关键．结果要检验．【变式1-5】（2023秋•长沙期中）解分式方程：（1）1r2+1K4=0；（2）K2r2−1=162−4．【分析】（1）先去分母，方程两边同乘以（m+2）（m﹣4）得到m﹣4+m＝2＝0，解得m＝1，然后检验：把m＝1代入（m+2）（m﹣4）进行计算即可得到原方程的解；（2）方程两边同乘以（x﹣2）（x+2）得到（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝16，解得x＝﹣2，然后进行检验得到x＝﹣2是原方程的增根，于是原方程无解．【解答】解：（1）方程两边同乘以（m+2）（m﹣4）得，m﹣4+m+2＝0，经检验m＝1是原方程的解，所以原方程的解为m＝3；（2）方程两边同乘以（x﹣2）（x+2）得，（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝16，解得x＝﹣2，经检验x＝﹣2是原方程的增根，所以原方程无解．【点评】本题考查了解分式方程：解分式方程的基本步骤为①找出最简公分母，去分母，把分式方程转化为一元一次方程；②解一元一次方程；③检验；④确定分式方程的解．【变式1-6】（2023秋•武冈市期中）解方程：（1）2K2−22−=1；（2）r1K1−42−1−1＝0．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2x+2＝x﹣2，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x+1﹣4﹣x2+1＝0，解得：x＝1，经检验，x＝1不是原方程的解，方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意不要忘了检验．【变式1-7】（2023秋•宁远县期中）解方程：（1）2=3r1；（2）3r2+4K2=162−4．【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：（1）2=3r1，2（x+1）＝3x，检验：当x＝2时，x（x+1）≠0，∴x＝2是原方程的根；（2）3r2+4K2=162−4，3（x﹣2）+4（x+2）＝16，解得：x＝2，检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝2是原方程的增根，∴原方程无解．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．【例题3】（2022秋•仁寿县校级月考）若42−4=−1，则2=（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2【分析】根据用换元法解分式方程即可．【解答】解：设1=a，则12=a2，原方程可变形为4a2﹣4a＝﹣1，所以4a2﹣4a+1＝0，所以（2a﹣1）2＝0，解得a=12，所以x＝2，经检验，x＝2是原方程的根．所以2=1．故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法解分式方程是解题的关键．【变式3-1】（2023春•万源市校级期末）用换元法解方程2−12−2−12=3时，设2−12=y，则原方程可化为（）A．y−1−3＝0B．y−4−3＝0C．y−1+3＝0D．y−4+3＝0【分析】把y=2−12代入原方程，移项即可得到答案．【解答】解：设2−12=y，则原方程可化为：y−1=3，即y−1−3＝0，故选：A．【点评】本题主要考查换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．【变式3-2】（2023春•松江区期末）解方程K1−2K1=3时，设K1=y，则原方程可化为关于y的整式方程是（）A．y−2=3B．y2﹣2y＝3C．y2﹣3y﹣2＝0D．y2+3y﹣2＝0【分析】先将K1=y代入原方程，通过去分母，将原方程化为关于y的整式方程．【解答】解：解方程K1−2K1=3时，设K1=y，则原方程可化为−2=3去分母，得y2﹣2＝3y即y2﹣3y﹣2＝0故选：C．【点评】本题主要考查了换元法解分式方程，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，有时需要通过变形才能换元．【变式3-3】（2023春•虹口区期末）用换元法解分式方程时K1−2K1+1=0，如果设K1=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A．y2+y﹣2＝0B．y2﹣2y+1＝0C．2y2﹣y+1＝0D．2y2﹣y﹣1＝0【分析】先换元，再化成整式方程．【解答】解：设K1=y，则：y−2+1＝0．∴y2+y﹣2＝0．故选：A．【点评】本题考查换元法，确定新未知数与方程中代数式的关系是求解本题的关键．【变式3-4】（2022秋•湘潭县期末）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：K1−4K1=0．解：设y=K1，则原方程化为：y−4=0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣2．经检验：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y−4=0的解．当y＝2时，K1=2，解得：x＝﹣1；当y＝﹣2时，K1=−2，解得：x=13．经检验：x1＝﹣1或x2=13都是原分式方程的解．∴原分式方程的解为x1＝﹣1或x2=13．上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：（1）若在方程K14−K1=0中，设y=K1，则原方程可化为：；（2）若在方程K1r1−4r4K1=0中，设y=K1r1，则原方程可化为：；（3）模仿上述换元法解方程：K1r2−3K1−1＝0．【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；（2）将所设的y代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设=K1r2，将原方程化为−1=0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．【解答】解：（1）将=K1代入原方程，则原方程化为4−1=0．故答案为：4−1=0；（2）将=K1r1代入方程，则原方程可化为−4=0．故答案为：−4=0；（3）原方程化为：K1r2−r2K1=0，设=K1r2，则原方程化为：−1=0，方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，经检验：y＝±1都是方程−1=0的解，当y＝1时，K1r2=1，该方程无解，当y＝﹣1时，K1r2=−1，解得：=−12，经检验：=−12是原分式方程的解，∴原分式方程的解为=−12．【点评】本题考查了分式方程的解法，掌握换元法解分式方程是关键．【变式3-5】在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（K1）2﹣4（K1）+4＝0．学生甲：老师，原方程可整理为2(K1)2−4K1+4＝0，再去分母，行得通吗？老师：很好，当然可以这样做．再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？学生乙：老师，我发现K1是整体出现的！老师：很好，我们把K1看成一个整体，用y 表示，即可设K1=y ，那么原方程就变为y 2﹣4y +4＝0．全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y ﹣2）2＝0老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y 2﹣4y +4＝0的根是y ＝2，那么就有K1=2学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x ＝2，再验根就可以了！老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法．全体同学：OK ，换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程（组）：（1）（2）2−4K1+1＝0；（2+4r=3−1r=1．【分析】（1）设2K1=，则原方程变形为：y 2﹣2y +1＝0，求得y 的值，继而可得关于x 的方程，即可求得x 的值；（2）设1K =u ，1r=v ，将原方程组转化为关于u 、v 的方程组求得u 、v 的值，继而可得关于x 、y 的方程组，解方程组可得．【解答】解：（1）设2K1=，则原方程变形为：y 2﹣2y +1＝0，即（y﹣1）2＝0，故y＝1，则：2K1=1，解得：x＝﹣1，经检验：x＝﹣1是原方程的解．（2）设1K=u，1r=v，则原方程组化为：6+4=39−=1，解得：=16=12，所以+=2−=6，解得：=4=−2，经检验，=4=−2是原方程组的解．【点评】本题主要考查换元法解方程或方程组，解方程或方程组是基本技能，要熟练掌握其基本步骤和方法，将合适的整体设为新元是换元法的关键．【例题4】（2022春•盐城期末）若x＝4是分式方程K2=1K3的根，则a的值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】将x＝4代入分式方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求得答案．【解答】解：将x＝4代入分式方程可得，K24=1，解得：a＝6，故选：D．【点评】本题主要考查分式方程及其算法，关键在于正确运算解答答案．【变式4-1】（2023•淄博）已知x＝1是方程2−−1K2=3的解，那么实数m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【分析】将x＝1代入原方程即可求出m的值．【解答】解：将x＝1代入方程，得：2−1−11−2=3，解得：m＝2．故选：B．【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x＝1代入原方程中得到关于m的方程．【变式4-2】（2023•武侯区校级模拟）已知x＝1是分式方程2B+3K=34的解，则a的值为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3【分析】把x＝1代入分式方程2B+3K=34就得到关于a的方程，从而求出a的值．【解答】解：把x＝1代入分式方程2B+3K=34得：2r3K1=34，去分母得：8a+12＝3a﹣3，解得：a＝﹣3，∵a﹣1＝﹣4≠0，∴a的值为﹣3．故选：D．【点评】考查了分式方程的解，本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．【变式4-3】（2023•锦江区模拟）若关于x的分式方程K2−K12−=3的解为x＝3，则m的值为（）A．1B．2C．3D．5【分析】根据题意可得：把x＝3代入方程K2−K12−=3中得：3−2−3−12−3=3，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：把x＝3代入方程K2−K12−=3中得：3−2−3−12−3=3，∴m+2＝3，解得：m＝1，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的意义是解题的关键．【变式4-4】（2023•驻马店二模）若关于x的分式方程r K1=2的解是2，则m的值为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】将x＝2代入原方程解答即可．【解答】解：∵关于x的分式方程r K1=2的解是2，∴r22−1=2，∴m＝﹣4．故选：A．【点评】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的意义是解题的关键．【变式4-5】已知方程1K1=r1的解为x＝2，求K1−12−的值．【分析】先把x＝2代入即可得出a的值，再化简K1−12−，把a的值代入即可得出K1−12−的值．【解答】解：把x＝2代入1K1=r1得，a＝3，∴原式=22−−12−=(r1)(K1)oK1)=r1，当a＝3时，原式=r1=43．【点评】本题考查了分式方程的解，以及分式的化简求值，把分式化简是解题的关键．【变式4-6】（2022秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程2r4=与分式方程32=1K1的解相同，求m2﹣2m的值．【分析】先求出分式方程的解，再把x的值代入2r4=，求出m，再把m的值代入m2﹣2m计算．【解答】解：32=1K1，3（x﹣1）＝2x，解得x＝3，检验：当x＝3时，2x（x﹣1）≠0，∴x＝3是此方程的解；把x＝3代入2r4=，得23+4=3，解得m=67；把m=67代入m2﹣2m=(67)2−2×67=−4849．【点评】本题考查了分式方程解，熟练掌握分式方程解的步骤是解题关键．【例题5】（2023春•雁塔区校级期末）若关于x的分式方程K2−K12−=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣5B．m＞﹣5且m≠﹣1C．m＞﹣3D．m＞﹣3且m≠﹣1【分析】先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意义即可．【解答】解：K2−K12−=3，m+（x﹣1）＝3（x﹣2），m+x﹣1＝3x﹣6，m﹣1+6＝3x﹣x，2x＝m+5，=r52，∵分式方程的解为正数，即=r52＞0，∴m＞﹣5，又∵使分式方程有意义，x﹣2≠0，∴r52−2≠0，∴m≠﹣1，综上：m＞﹣5且m≠﹣1．故选：B．【点评】本题考查了分式方程，掌握使分式方程解大于零且分式方程有意义是解题的关键．【变式5-1】（2023春•莲池区校级期末）若关于x的分式方程2K K2=13的解为非负数，则实数a的取值范围是（）A．≥23B．a≤23C．≥23且a≠4D．a≤23且a≠﹣4【分析】表示出分式方程的解，由解为非负数确定出a的范围即可．【解答】解：去分母得：6x﹣3a＝x﹣2，解得：x=3K25，由分式方程的解为非负数，得到3K25≥0，且3K25≠2，解得：a≥23且a≠4．故选：C．【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对分式方程增根的讨论是解题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）若关于x的方程r1−2r1=1的解为负数，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＜3C．m＜2且3m≠1D．m＜3且m≠2【分析】先银分式方程求得解为x＝m﹣3，再根据方程银为负数和分式有意义条件列不等式求解即可．【解答】解：r1−2r1=1，m﹣2＝x+1，x＝m﹣3，∵原方程解为负数，∴m﹣3＜0，∴m＜3，∵x+1≠0，∴m﹣3+1≠0，∴m≠2，∴m＜3且m≠2，故选：D．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键．【变式5-3】（2023秋•渝中区校级期中）若整数a使关于x≥−8−2有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程K3+33−=−1的解满足y＜7，则所有满足条件的整数a的值之和为（）A．8B．6C．10D．7【分析】分别解不等式组和分式方程，确定a的取值范围，进而求解即可．≥−8−2的解集是﹣1≤x＜r86，∵该不等式组有且只有3个整数解，∴1＜r86≤2，解得﹣2＜a≤4．分式方程K3+33−=−1的解是y＝6﹣a（y≠3），∵y＜7，即6﹣a＜7，解得a＞﹣1，且a≠3．综上，﹣1＜a≤4（a为整数），且a≠3，∴a＝0，1，2，4，∴0+1+2+4＝7．故选：D．【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式组等，熟练掌握它们的解法是本题的关键．【变式5-4】（2022秋•芝罘区期中）已知关于x的分式方程2K4−1=K2的解为非负数，求k的取值范围．【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案．【解答】解：2K4−1=K2，去分母得：k﹣2x+4＝2x，解得：x=r44，∵x﹣2≠0，∴r44≥0且r44−2≠0，解得：k≥﹣4且k≠4．所以k的取值范围为：k≥﹣4且k≠4．【点评】本题考查分式方程的解，正确进行分式的计算是解题关键．【变式5-5】若关于x的方程K4−3=K4的解不小于2，求a的取值范围．【分析】根据解分式方程，可得关于a的表达式，根据解不等式，可得答案．【解答】解：两边都乘（x﹣4），得x﹣3（x﹣4）＝a，解得x=12−2≠4，由关于x的方程K4−3=K4的解不小于2，得12−2≥2，解得a≤8，a的取值范围是a≤8且a≠4．【点评】本题考查了分式方程的解，利用方程的解不小于2得出不等式是解题关键．【变式5-6】（2022秋•石家庄期末）若关于x的分式方程K2=2−2−的解为正数，求满足条件的正整数m的值．【分析】根据分式方程的一般解法得到方程K2=2−2−的解为x＝4﹣m；由于该方程的解为正数，则x ＞0，由于要使方程有意义，则x≠2，至此可得4﹣m＞0且4﹣m≠2；根据所得的方程，求出m的值，结合题意m为正整数，可得m的值，至此可得答案．【解答】解：∵K2=2−2−，∴K2=2+K2，K K2=2，x﹣m＝2（x﹣2），解得x＝4﹣m．∵原分式方程的解为正数，∴x＞0且x≠2，即4﹣m＞0且4﹣m≠2，∴m的取值范围为m＜4且m≠2．∵m为正整数，∴m的值为1，3．【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是求出m的范围，本题属于中等题型．【例题6】（2022秋•益阳期末）已知关于x的方程K3+3=K43−有增根，则k为多少？【分析】有增根是原方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是3，然后代入化成整式方程的方程中，求得k的值．【解答】解：∵关于x的方程K3+3=K43−有增根，∴x﹣3＝0，则x＝3，∵原方程可化为4x＝13﹣k，将增根x＝3代入得k＝1．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-1】（2022秋•芝罘区期末）若关于x的分式方程1K2=2−+1有增根，则m为（）A．﹣1B．1C．2D．﹣1或2【分析】增根就是分母为零的x值，所以对分式方程去分母，得m＝x﹣3，将增根x＝2代入即可解得m 值．【解答】解：分式方程去分母，得：1＝﹣m+2﹣x，∴m＝x﹣3，∵方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，将x＝2代入m＝x﹣3中，得：m＝2﹣3＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查分式方程的解，解答的关键是理解分式方程有增根的原因．【变式6-2】（2023秋•慈利县期中）若关于x的分式方程2K4=3−K4有增根，则m的值是（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x﹣4＝0，得到x＝4．【解答】解：分式方程2K4=3−K4两边同时乘x﹣4去分母，得2＝3（x﹣4）﹣m，由分式方程的最简公分母是x﹣4，∴分式方程的增根是x＝4．把x＝4代入2＝3（x﹣4）﹣m，∴m＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-3】（2022秋•武冈市期末）关于x的方程：B+1K1−21−=1．若这个方程有增根，求a的值．【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值代入整式方程求解即可．【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0，解得：x＝1，将x＝1代入整式方程得：a﹣1＝﹣4，解得：a＝﹣3，综上，a的值为﹣3．【点评】此题考查了分式方程的增根，解题的关键是确定增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-4】（2022秋•娄星区校级期中）若关于x的分式方程r1−r12+=r1有增根，求m的值．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘x（x+1），得x2﹣（m+1）＝（x+1）（x+1）∵原方程增根为x＝0或x＝﹣1，∴把x＝0代入整式方程，得m＝﹣2，把x＝﹣1代入整式方程，得m＝0．【点评】本题考查了整式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-5】（2023春•宜宾月考）已知关于x的方程K3−1=(K3)(K4)．（1）m为何值时，这个方程的解是5？（2）m为何值时，这个方程有增根？【分析】（1）把x＝5代入，然后解关于m的方程即可；（2）去分母化为整式方程，再求出方程有增根时x的值，代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：（1）∵方程的解是5，∴把x＝5代入K3−1=(K3)(K4)，得55−3−1=(5−3)(5−4)，解得m＝3；（2）K3−1=(K3)(K4)，两边都乘以（x﹣3）（x﹣4），得x（x﹣4）﹣（x﹣3）（x﹣4）＝m，整理得3x﹣12＝m，∵方程有增根，∴x＝3或x＝4，当x＝3时，m＝3×3﹣12＝﹣3，当x＝4时，m＝3×4﹣12＝0，∴m的值为﹣3或0．【点评】本题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，熟练掌握当分母等于0时分式方程有增根是解答本题关键．【例题7】（2022秋•泰山区校级期末）若关于x的分式方程K3+33−=2无解，则a的值为（）A．1B．1或12C．﹣1或12D．以上都不是【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可．【解答】解：K3+33−=2，分式方程两边同乘以（3﹣x）得：﹣x+3a＝2a（3﹣x），（2a﹣1）x＝3a，要使原分式方程无解，则有以下两种情况：当2a﹣1＝0时，即=12，整式方程无解，原分式方程无解，当2a﹣1≠0时，则=32K1，令最简公分母为0，即x﹣3＝0，解得x＝3，∴当32K1=3，即a＝1时，原分式方程产生增根，无解，综上所述可得：a＝1或12时，原分式方程无解．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的解，掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是关键．【变式7-1】（2023秋•海阳市期中）若分式方程2+1−B K2=12−无解，则k的值为（）A．±1B．2C．1或2D．﹣1或2【分析】先去分母，方程两边同时乘x﹣2，解方程把x的值用k表示出来，然后根据各个选项中的k值，进行判断方程有解无解，从而得到正确的答案．【解答】解：2+1−B K2=12−，去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，2x﹣kx＝2，（2﹣k）x＝2，∵分式方程2+1−B K2=12−无解，∴x﹣2＝0，x＝2，2﹣k＝0，k＝2，当k＝1时，原方程为：2+1−K2=12−，2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，2x﹣4+1﹣x+1＝0，x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，∴k＝1时，原方程无解；综上可知：分式方程2+1−B K2=12−无解时，k的值为1或2，故选：C．【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程有解和无解的判断方法．【变式7-2】（2023•洪雅县模拟）若关于x的方程2=2r1无解，则m的值为（）A．0B．4或6C．4D．0或4【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当m﹣4＝0时，当m﹣4≠0时，x＝0或2x+1＝0，进行计算即可．【解答】解：2=2r1，方程两边同乘x（2x+1）得：2（2x+1）＝mx，整理得：（m﹣4）x＝2，∵原方程无解，∴当m﹣4＝0时，即m＝4，当m﹣4≠0时，x＝0或2x+1＝0，此时，=2K4，解得：x＝0或=−12，当x＝0时，=2K4=0无解，当=−12时，=2K4=−12，解得：m＝0．综上，m的值为0或4．故选：D．【点评】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式7-3】（2022秋•岱岳区期末）关于x的分式方程7K1+5=2K1K1无解，则m的值为．【分析】解分式方程，用含m的代数式表示出x，根据方程无解即可判断．【解答】解：去分母，得7x+5（x﹣1）＝2m﹣1，整理，得6x＝m+2，解得x=r26，∵方程无解，则x＝1，r26=1，解得m＝4．故答案为：m＝4．【点评】本题考查了分式方程，正确记忆无解的条件是分母等于0是解题关键．【变式7-4】（2023春•灌云县期末）已知关于x的分式方程K K2−5=1．（1）若分式方程有增根，求a的值；（2）若分式方程无解，求a的值．【分析】（2）原方程整理得（a+3）x＝10，由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，得到x＝0或x＝2，分两种情况分别求解即可；（3）由（2）可知，（a+3）x＝10，分a+3＝0和a+3≠0两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）两边都乘以x（x﹣2）得，x（x﹣a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），整理得，（a+3）x＝10，由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x＝2，把x＝0代入（a+3）x＝10，a的值不存在，把x＝2代入2（a+3）＝10，解得a＝2，综上可知，a＝2；（2）由（1）可知，（a+3）x＝10，当a+3＝0时，方程无解，即a＝﹣3，当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知a＝2，综上可知，a＝﹣3或a＝2．【点评】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．【变式7-5】（2023秋•冷水滩区期中）已知关于x的方程3+K1=B+2−．（1）当a＝6，b＝1时求分式方程的解；（2）当a＝6时，求b为何值时，分式方程3+K1=B+2−无解．。
第6讲分式方程(讲义)原卷版
第6讲分式方程模块一：分式方程及其解法知识精讲1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．例题解析例1．（1）下列方程中，是分式方程的为（ ）A ．12x -=B 1= C 10-= D 1= （2）在3253x +=；11(1)(1)432x x ++-=；21x-=；2371x x x ++=-；1(37)x x -中，分式方程有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例2．（1）用换元法解分式方程251x x +21x x+-+1=0，如果设21x x +=y ，那么原方程可以化为（ ） A ．2+y y -5=0B ．2y -5y+1=0C ．25y y 10++=D ．25y 10y +-=（2）.用换元法解方程221165380x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1y x x =+，则方程变为( )A ．265380y y +-=B ．265400y y +-=C ．265260y y +-=D ．265500y y +-=例3.分式方程2227381x x x x x +=+--的最简公分母是____________． 例4.直接写出下列分式方程的根：（1）11211x x x -=---：_________________；（2）11111x x x -=---：_________________；（3）2121x x -=-：_________________；（4）2111x x -=-：_________________．例5.解方程： （1）3363142x x -=-+； （2）43252x xx x =++； （3）23312222x x x x x ++=--+-．例6.解方程：（1）2213211x x x x -=+--； （2）24221422x x x x =++--+；（3）23211214124x x x x++=+--．例7.已知关于x 的方程22312x m x x x +-=-+-有增根，求m 的值．例8.已知关于x 的方程7155x m xx x--=---无解，求m 的值．例9.已知关于x 的方程301a xx +-=+的根是负数，求a 的取值范围．例10.解方程：（1）2220383x x x x+-=+；（2）2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例11.解方程：（1）225(16(1)1711x xx x+++=++）；（2）2216104()933x xx x+=-．例12.解方程组：（1）413538x y x yx y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩；（2）132013251xyxy⎧+=⎪-⎪⎨⎪-=-⎪-⎩．例13.解方程组：（1）253489156x x x x+=+++++；（2）11212736x xx x x x++-=-++++．例14.解方程：226205x x +-=+．例15.a 为何值时，关于x 的方程211a a x +=+无解?例16.已知关于x 的方程222022x x x k x x x x-+++=--只有一个解，求k 的值及这个解．例17.解关于x 的方程：22112()3()1x x x x+-+=例18.解关于x 的方程()()450b x a xa b b x a x+-=-+≠+-．例19.已知方程22222(1)21()x ax a a x a +-++=+有实数根，求实数a 的取值范围．模块二 分式方程应用题知识精讲1、列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系” （1）利用题目中的关键语句寻找相等关系； （2）利用公式、定理寻找相等关系； （3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．例题解析例1.要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为x 天的方程是（）．A ．2213x xx -+=+B ．233xx =+C ．2213x xx ++=+D ．213xx x +=+ 例2.某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15 个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x 个零件，那么下列根据题意 列出的方程中，错误的是（ ）A ．8030080615x x-+=- B ．30080615x -=-C ．80(6)8030015x x -+=-D ．8015300806x x-=--例 3.甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成．两队单独工作各需多少天完成?例4.登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?例5.甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速度各是多少?例6.甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、乙两车的速度各是多少?例7.某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需 货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5 个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?随堂检测1.已知方程：（1）2412x x -=-；（2）221x x =-；（3）11x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（4）32x -=， 其中是分式方程的有_____________． 2.当x 取何值时，分式方程1112x x x +=--的最简公分母的值等于0? 3.分式方程22228(2)331112x x x x x x +-+=-+，如果设2221x xy x +=-，那么原方程可以化为关 于y 的整式方程为 ． 4.解方程：（1）26531111x x x x =++--+； （2）22161242x x x x +-=--+；（3）243455121760x x x x x x --+=---+．5.解方程：221313x x x x ++=+．6.解方程组311332412463324x y x y x y y x⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩7.若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，求m 的值．8.甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．9.某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市 政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年 完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩， 求原计划平均每年的绿化面积．10.解方程：221114(4)12()12433x x x -=-++．11.解方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+----．12.已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a ．13.已知：关于x 的方程227()72120a a x x a x x+--++=只有一个实数根，求a ．。
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分式方程讲义与练习题分式方程【基础知识精讲】1、分式方程概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程的重要特征是①是方程；②分母中含有未知数．在此之前我们学过的方程，分母中都不含有未知数，都是整式方程．2、解分式方程的基本思路——转化解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程．这种转化的具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，归纳如下：如：解方程：方程两边都乘以(x＋3)(2x－7)得2(2x－7)=3(x＋3)4x－14=3x＋9x=233、分式方程的解法（1）去分母：方程两边同乘以各分母的最简公分母，将分式方程转化整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，确定原方程的解．即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是零，说明此根是原方程的根；若结果是零，说明此根是原方程的增根，必须舍去．验根的方法有两种，一是代入到所乘的最简公分母中，看公分母的值是否为零.若不为零，是原方程的根.若为零，不是原方程的根，叫原方程的增根.二是分别代入到原方程的左边和右边，若左边与右边的值相等，则是原方程的根，若左右不等或一边分母为零，则不是原方程的根.（4）写出方程的解．解分式方程的一般步骤列表如下：4、分式方程的增根及产生增根的原因将适合所化的整式方程，但不适合原分式方程的根叫做分式方程的增根．在解分式方程时，必须将其化为整式方程，这样就要在分式方程的两边同乘以恰当的整式，当这个整式的值为0时，就产生了增根．所以同乘以最简公分母时扩大了未知数的范围，因而可能产生增根．因而需要检验．5、列分式方程解应用题的步骤（1）审清题意，找出题目的等量关系；（2）设出未知数，表示其它未知量；（3）根据等量关系，列出分式方程．（4）解分式方程，并验根（这是解分式方程必不可少的步骤）．（5）写出符合题意的答案． 典型例题 例1、解方程：。
分析：本 题方程中分母含有未知数x ，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解，再找最简公分母。
解：将原方程变形：去分母： 检验：注：把求得的未知数的值代入原方程检验，不仅可以检验出是不是增根，还可以检查在解方程过程中计算是否有错误。
练习一 ；填空题1．当x =______时，15xx++的值等于12．2．当x =______时，424x x --的值与54x x --的值相等．3．若11x -与11x +互为相反数，则可得方程___________,解得x =_________.4．若方程212x ax +=--的解是最小的正整数，则a 的值为________.5. 分式方程2131x x =+的解是_________ 6. 若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = ．二、选择题7．下列方程中是分式方程的是（ ）（A ）(0)xx x ππ=≠ （B ）111235x y -= （C ）32x x x π=+ （D ）11132x x +--=-8．解分式方程12133x x x+-=，去分母后所得的方程是（ ）（A ）13(21)3x -+= （B ）13(21)3x x -+= （C ）13(21)9x x -+= （D ）1639x x -+= 9.．化分式方程2213405511x x x--=---为整式方程时，方程两边必须同乘（ ） （A ）22(55)(1)(1)x x x --- （B ）25(1)(1)x x --（C ）25(1)(1)x x -- （D ）5(1)(1)x x +-10．下列说法中错误的是（ ）（A ）分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解（B ）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程 （C ）检验是解分式方程必不可少的步骤（D ）能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解． 11.解分式方程2236111x x x +=+--，下列说法中错误的是（ ） （A ）方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x +-(B)方程两边乘以(1)(1)x x +-，得整式方程2(1)3(1)6x x -++= (C)解这个整式方程，得1x = (D) 原方程的解为1x =12．下列结论中，不正确的是（ ）（A ）方程231x x =+的解是2x = （B ）方程2311x x =+-的解是5x =- C ）方程2122x x x =-++的解是4x = （D ）方程3233x x x =+--的解是3x = 13.关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2三、解答题 14．解方程：（1）512552x x x +=-- （2） 2373226x x +=++ （3）2236111x x x +=+-- （4） 214111x x x +-=--15若关于x 的方程233x kx x =+--无解，求k 的值． 16. 方程2512x x=-的解是 ． 17.当m 取 时，方程323-=--x m x x 会产生增根． 18..已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为 ． 19.在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x 下，则可列关于x 的方程为 ．20．甲、乙制作某种零配件，甲每天比乙多做5个，甲制作75个零件所用的天数与乙制作50个零件的天数相等，则甲、乙每天制作的零件数分别为________________.21．轮船顺水航行46千米和逆水航行34千米所用的时间恰好相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是_________千米/时．二、选择题1.一件工程甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是 （ ） （A ）a ＋b （B ）b a 11+ （C ）b a +1 （D ）ba ab+ 2．工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-xx上述所列方程，正确的有（ ）个A 1B 2C 3D 43．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A ．8 B.7 C ．6 D ．54.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 A ．18%)201(400160=++x x B ．18%)201(160400160=+-+x x Ｃ．18%20160400160=-+xx Ｄ．18%)201(160400400=+-+x x 5.由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3︰2，两队合做6天可以完成．（1）求两队单独完成此项工程各需多少天?（2）此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若 按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?6.面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的．．．．．13%．．．给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？ （1）设购买电视机x 台，依题意填充下列表格： 项目 家电种类 购买数量（台） 原价购买总额（元） 政府补贴返还比例 补贴返还总金额（元） 每台补贴返还金额（元） 冰箱 40 000 13% 电视机15 00013%7. ．解方程： （1）6122x x x +=-+（2）163104245--+=--x x x x8. 铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍．（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?（2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折（“七折”即定价的70﹪）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？9.某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务，求引进新设备前平均每天修路多少米？10.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？11.跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．。