数字信号处理第三章

设x(n)为N点有限长序列，其DFT为:
nk X (k ) x(n )WN n 0 N 1
k=0, 1, …, N-1
反变换（IDFT）为:
1 x(n ) N
nk X ( k ) W N k 0 N 1
n=0, 1, …, N-1
1）、计算一个X(k)值需要N次复数乘法和N-1次复数加法；
X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7)
N 点 2 X2 (2) WN 2 DFT 3 X2 (3) WN
X2 (1)
1 WN
－1 －1 －1 －1
图 3-2 按时间抽取将一个N点DFT分解 为两个N/2点DFT（N=8）
3、运算量分析
利用基2算法计算一个N点FFT共需要(N2/2)+(N/2)=N(N+1)/2
个蝶形运算组成，每个蝶形需要一次复乘、 二次复加，因而 每级运算都需N/2次复乘和N次复加，这样M级运算总共需要： 复数乘： 复数加：
N N mF M 1bN 2 2
nk nk {Re[ x(n)] Re[WN ] Im[x(n)] Im[WN ] n 0 nk nk j(Re[x(n)] Im[ WN ] Im[x(n)] Re[WN ])}
N 1
整个DFT运算总共需要4N2次实数乘法和2N(2N-1)次实数加法。
3.2.2 改善途径
利用系数WＮnk的固有特性，就可减少运算量。
X3 (0)
X1 (0) X1 (1)
x4 (0 )＝ x1 (1 )＝ x(2) x4 (1 )＝ x1 (3 )＝ x(6)
N 点 4 X4 (1) DFT
X4 (0)
0 WN /2
－1
1 WN /2
X1 (2) X1 (3)
－1
图 3-3 N/2点DFT分解为两个N/4点DFT N1=2M-1的序列，经过一次奇偶分解，变为2个长度为N/4的DFT
（4） WNnk的特殊值
N /2 ( k N / 2) k WN 1, WN WN
按时间抽取(Ｄecimation in Time，缩写为DIT）法和按频率 抽取（Decimation in Frequency， 缩写为DIF）法。
3.3 按时间抽取（DIT）的基 -2 FFT算法
第3章 快速傅里叶变换
3.1 引言 3.2 直接计算DFT的问题及改进的途径 3.3 按时间抽取（DIT）的基2-FFT算法
3.4 按频率抽取（DIF）的基2-FFT算法
3.7 利用FFT分析时域连续信号频谱 3.8 FFT的其他应用
3.1 引 言
3.2 直接计算DFT的问题及改进的途径
3.2.1 直接计算DFT的运算量问题
1、DFT的运算量与序列长度N的平方成正比
k W 2、相位因子 n 具有特殊性质
3、算法原理 设序列x(n)长度满足N=2M，M为正整数。按n的奇偶把x(n)分 解为两个N/2点的子序列，利用相位因子的性质计算，得：
k X (k ) X1(k ) WN X 2 (k )
N k X k X 1 k WN X 2 k 2
k X1(k ) WN X 2 (k )
N 1 2
N 1 2
X(k)表达为前后两部分：
k X (k ) X1(k ) WN X 2 (k )
N k X k X 1 k WN X 2 k 2
N k 0,1,, 1 2
一、 DIT基 -2 FFT算法
nk * nk (WN ) WN
（1） WNnk的共轭性
（2） WNnk的周期性
nk ( n N ) k n( k N ) WN WN WN
n ( N k ) ( N n ) k nk WN WN WN
nk nmk nk nk / m （3） WNnk的可约性 WN WmN ,WN WN /m
N 8 时，k 0,1
0 0 0 X 3 (0) x3 (l )WN x ( 0 ) W x ( 1 ) W /4 3 2 3 2 l 0 1
0 x(0) x(4)W20 x(0) x(4)WN
l 0 1 X 3 (1) x3 (l )WN x ( 0 ) W x ( 1 ) W /4 3 2 3 2 l 0 1
x (r)W
r(k
N /2
2 ) N
应用系数的周期性及特殊值：
W
N r k 2 N /2
rk WN /2, W
N k 2 N
k 2N k WN WN WN
N rk k rk X k x1 ( r )WN W x ( r ) W /2 N 2 N /2 2 r 0 r 0
2）、X(k)一共有N个点（k从0取到N-1），整个DFT运算总 共需要N 2次复数乘法及N(N-1)次复数加法。
nk X (k ) x(n )WN n 0
nk nk {Re[ x(n)] j Im[x(n)]}{Re[WN ] j Im[ WN ]} n 0 N 1
N 1
式中：
N 1 4 l 0
lk X 3 (k ) x3 (l )WN /4 N 1 4 l 0
（3-14）
lk X 4 (k ) x4 (l )WN /4
（3-15）
x3 (0 )＝ x1 (0 )＝ x(0) x3 (1 )＝ x1 (2 )＝ x(4)
N 点 4 X3 (1) DFT
k 0,1,,
N 1 4
式中：
X 5 (k )
lk lk x ( l ) W x ( 2 l ) W 5 N /4 2 N /4 l 0 l 0 N 1 4 l 0 N 1 4 l 0
N 1 4
N 1 4
X 6 (k )
lk lk x ( l ) W x ( 2 l 1 ) W 6 N /4 2 N /4
3.3.1 算法原理
1、算法原理
设序列x(n)长度为N，且满足N=2M，M为正整数。按n的奇偶 把x(n)分解为两个N/2点的子序列：
x(2r ) x1 ( r ) x(2r 1) x2 ( r )
则:
N r 0,1,, 1 2
N 1 N 1
X (k ) DFT[ x(n)] x(n)W
N 1 2
k X1(k ) WN X 2 (k )
式中，X1(k)与X2(k)分别是x1(r)及x2(r)的N/2点DFT：
rk rk X 1 (k ) x1 ( r )WN x ( 2 r ) W /2 N /2 r 0 r 0 N 1 2 r 0 N 1 2 r 0 N 1 2 N 1 2
n 0
N 1
nk N

n 0 n为偶数
x(n)W
nk N

n 0 n为奇数
nk x ( n ) W N
2 rk ( 2 r 1) k x(2r )WN x(2r 1)WN r 0 r 0
N 1 2 r 0 N 1 2 r 0
N 1 2
N 1 2
N k 0,1,, 1 2
4、蝶形运算流图
X1 (k ) X1 (k )＋WN X2 (k )
k
X2 (k )
k WN
－1
X1 (k )－WN X2 (k )
k
图 3-1 时间抽取法蝶形运算流图符号
N 0 k 1 2
N=2M的序列，经过一次奇偶分解，变为2个长度为N/2的DFT
（3-13）
lk k lk x3 (l )WN W x ( l ) W /4 N /2 4 N /4 l 0 l 0
N 1 4
N 1 4
X 3 (k ) W
且：
k N /2
X 4 (k )
N k 0,1,, 1 4
N k 0,1,, 1 4
N k X 1 k X 3 (k ) WN / 2 X 4 (k ) 4
N 2 2 M 2
k 2k WN W /2 N
N 0 k 1 4
X2(k)也可进行同样的分解：
k X 2 (k ) X 5 (k ) WN / 2 X 6 (k ) N k X 2 k X 5 (k ) WN / 2 X 6 (k ) 4
rk rk X 2 (k ) x2 ( r )WN x ( 2 r 1 ) W /2 N /2
N 又： X k x1 ( r )W 2 r 0
N 1 2
N r k 2 N /2
W
N N 2 1 k 2 N 2 r 0
N1 2M 1
x1 (0)＝x(0) x1 (1)＝x(2) x1 (2)＝x(4) x1 (3)＝x(6) x2 (0)＝x(1) x2 (1)＝x(3) x2 (2)＝x(5) x2 (3)＝x(7)
X1 (0)
N 点 X1 (2) 2 DFT X1 (3)
0 X2 (0) WN
X1 (1)
≈N2/2次复数乘法和N(N/2-1)+N=N2/2次复数加法。
4、进一步分解
x1 (2l ) x3 (l ) N l 0,1,, 1 4 x1 (2l 1) x4 (l )
2 lk ( 2 l 1) k X 1 (k ) x1 (2l )WN x ( 2 l 1 ) W 1 /2 N /2 l 0 l 0 N 1 4 N 1 4
0 X4 (0) WN
X(2) X(3)
X1 (3)