数值分析 (7-1) 第1章 引言

在科学研究、工程实践和经济管理等工作中， 在科学研究、工程实践和经济管理等工作中，存在大 量的科学计算、数据处理等问题. 量的科学计算、数据处理等问题.应用计算机解决数值计算 问题是理工科研究生应当具备的基本能力. 问题是理工科研究生应当具备的基本能力
§1 . 1
算法
解决某类数学问题的数值方法称为算法 算法. 解决某类数学问题的数值方法称为算法.为使算法能 在计算机上实现， 在计算机上实现，它必须将一个数学问题分解为有限 次的+ 次的+、-、×、÷运算和一些简单的基本函数运算. 运算和一些简单的基本函数运算.
3、截断误差 数学模型常难于直接求解，往往要近似替 截断误差 数学模型常难于直接求解 ， 简化为易于求解的问题， 代，简化为易于求解的问题，这种简化带入误差称为方法误 差或截断误差. 差或截断误差. 4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算 ， 初 舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算， 始参数或中间结果都必须进行四舍五入运算， 始参数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这必然产生舍 入误差. 入误差.
§ 1.2 误差
1.2.1 误差的来源 误差的来源 在运用数学方法解决实际问题的过程中， 在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可 能带来误差. 能带来误差 1、模型误差 在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因 模型误差 在建立数学模型时， 把模型“简单化” 理想化” 素 ， 把模型 “ 简单化 ” ， “ 理想化 ” ， 这时模型就与真实 背景有了差距，即带入了误差. 背景有了差距，即带入了误差. 2、测量误差 数学模型中的已知参数，多数是通过测量得 测量误差 数学模型中的已知参数， 而测量过程受工具、方法、观察者的主观因素、 到 . 而测量过程受工具 、 方法 、 观察者的主观因素 、 不可 预料的随机干扰等影响必然带入误差. 预料的随机干扰等影响必然带入误差. 结束
t k = x t k −1 u k = u k −1 + a k t k ( 1 .6 )
显然P 式是一种简单算法的多次循环. 显然 n(x)=un，而(1.6)式是一种简单算法的多次循环. 对此问题还有一种更好的迭代算法. 对此问题还有一种更好的迭代算法
Pn ( x ) = a n x
n
+ a
n −1 n − 2
n −1 x
n −1
+ L a1x + a
n − 2 n −3
0 0 0
= (a n x
+ a
n −1
x
+ L a1) x + a
0
= (( a n x
+ a
n −1 x n −1
+ L a 2 ) x + a1) x + a
= (L ( a n x + a
) x + L a1) x + a
结束
据泰勒余项公式， 据泰勒余项公式，它的误差应为 R = (−1)
ξ9 9
9!
π ξ ∈ 0, 4
( 1.2)
(π / 4 ) 9 R ≤ = 3 . 13 × 10 − 7 362880
可见结果是相当精确的.实际上结果的六位数字都是正确的 可见结果是相当精确的.实际上结果的六位数字都是正确的. 2算法常表现为一个连续过程的离散化 算法常表现为一个连续过程的离散化 算法常表现为一个连续过程的 例2 计算积分值
第一章
绪论
数值分析是计算数学的一个主要部分，方法解决科 数值分析是计算数学的一个主要部分， 学研究或工程技术问题，一般按如下途径进行： 学研究或工程技术问题，一般按如下途径进行：
实际问题
模型设计
算法设计
程序设计
上机计算
问题的解
结束
其中算法设计是数值分析课程的主要内容. 算法设计是数值分析课程的主要内容 其中算法设计是数值分析课程的主要内容. 数值分析课程研究常见的基本数学问题的数值解法. 数值分析课程研究常见的基本数学问题的数值解法.包含 数值代数(线性方程组的解法、非线性方程的解法、 了数值代数(线性方程组的解法、非线性方程的解法、矩阵求 矩阵特征值计算等) 数值逼近、数值微分与数值积分、 逆、矩阵特征值计算等)、数值逼近、数值微分与数值积分、 的数值解法等. 常微分方程及偏微分方程的数值解法等 常微分方程及偏微分方程的数值解法等.它的基本理论和研究 方法建立在数学理论基础之上，研究对象是数学问题， 方法建立在数学理论基础之上 ， 研究对象是数学问题 ， 因此 它是数学的分支之一. 它是数学的分支之一. 但它又与计算机科学有密切的关系. 但它又与计算机科学有密切的关系.我们在考虑算法时 往往要同时考虑计算机的特性，如计算速度、存贮量、 ，往往要同时考虑计算机的特性，如计算速度、存贮量、 字长等技术指标，考虑程序设计时的可行性和复杂性. 字长等技术指标，考虑程序设计时的可行性和复杂性.如果 我们具备了一定的计算机基础知识和程序设计方法， 我们具备了一定的计算机基础知识和程序设计方法，学习 数值分析的理论和方法就会更深刻、更实际， 数值分析的理论和方法就会更深刻、更实际，选择或设计 的算法也会更合理、更实用. 的算法也会更合理、更实用. 结束
f (xi ) + f ( xi+1) Ti = h 2
I ≈
∑T
i=0
3
i
图1-1 计算有： 计算有 ： I≈0.697 024， 与精确值 ， 与精确值0.693 147比较 ， 可知结果不够精确， 如进一 比较， 可知结果不够精确 ， 比较 步细分区 精度可以提高. 步细分区间，精度可以提高 结束
结束
令
v0 = a n v k = xv k −1 + a n − k
k=1,2, L ,n
(1.7)
显然 Pn(x)=vn . 这两种算法都是将n次多项式化为 个一次多项式来计算 这两种算法都是将 次多项式化为n个一次多项式来计算，这 次多项式化为 个一次多项式来计算， 种化繁为简的方法在数值分析中经常使用 种化繁为简的方法在数值分析中经常使用. 经常使用 下面估计一下以上两种算法的计算量： 下面估计一下以上两种算法的计算量： 第一法：执行 次 每次2次乘法，一次加法， 第一法：执行n次(1.6)式，每次2次乘法，一次加法， 共计 2n 次乘法，n 次加法； 次乘法， 次加法 第二法：执行 每次1次乘法，一次加法， 第二法：执行n 次(1.7)式，每次1次乘法，一次加法， 共计n次乘法 次乘法， 次加法. 共计 次乘法， n 次加法. 结束
结束
的值， 例1 计算 sin x的值， 的值 根据sin 根据sin x 的无穷级数
π x ∈ 0, 4
2 n +1 x3 x5 x 7 n x sin x = x − + − + L + (−1) +L 3! 5! 7! (2n + 1)!
( 1.1)
这是一个无穷级数，我们只能在适当的地方“截断” 这是一个无穷级数，我们只能在适当的地方“截断” 使计算量不太大，而精度又能满足要求. ，使计算量不太大，而精度又能满足要求. 0.5， n=3 如计算 sin 0.5，取n=3 0 .5 3 0 .5 5 0 .5 7 + − = 0 . 479625 sin 0 . 5 ≈ 0 . 5 − 3! 5! 7!
a 的更好的
结束
1 a xk +1 = xk + (k=0,1,2,L) 2 xk 如计算 3，取 x0 =2，有 1 3 xk +1 = xk + 2 xk
(1.8)
(k=0,1,2,L)
计算有： 计算有：x0=2 x1=1.75 75 x2=1.732 142 9 x3=1.732 050 8 … 可见此法收敛速度很快，只算三次得到8位精确数字. 可见此法收敛速度很快，只算三次得到8位精确数字. 迭代法应用时要考虑是否收敛、 迭代法应用时要考虑是否收敛 、 收敛条件及收敛速度等 问题，今后课程将进一步讨论. 问题，今后课程将进一步讨论. 结束
舍入误差的产生往往带有很大的随机性，讨论比较困难， 舍入误差的产生往往带有很大的随机性，讨论比较困难， 的产生往往带有很大的随机性 在问题本身呈病态或算法稳定性不好时， 在问题本身呈病态或算法稳定性不好时，它可能成为计算中 误差的主要部分；至于测量误差， 误差的主要部分；至于测量误差，我们把它作为初始的舍入 误差看待. 误差看待. 误差分析是一门比较艰深的专门学科. 误差分析是一门比较艰深的专门学科.在数值分析中主要 讨论截断误差及舍入误差 但一个训练有素的计算工作者， 截断误差及舍入误差. 讨论 截断误差及舍入误差 . 但一个训练有素的计算工作者 ， 当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来源， 当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来源， 并采取相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改. 并采取相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改
ห้องสมุดไป่ตู้结束
1.1.1 算法的表述形式
算法的表述形式是多种多样的. 算法的表述形式是多种多样的. 1、用数学公式和文字说明描述，这种方式符合人们的理解 用数学公式和文字说明描述， 习惯，和算法的推证相衔接，易于学习接受， 习惯，和算法的推证相衔接，易于学习接受，但离上机应 用距离较大. 用距离较大. 2、用框图描述，这种方式描述计算过程流向清楚，易于编 用框图描述，这种方式描述计算过程流向清楚， 制程序，但对初学者有一个习惯过程. 制程序，但对初学者有一个习惯过程.此外框图描述格式不 很统一，详略难以掌握. 很统一，详略难以掌握. 3、算法描述语言，它是表述算法的一种通用语言。有特 算法描述语言，它是表述算法的一种通用语言。 定的表述程序和语句。 定的表述程序和语句。可以很容易地转化为某种计算机语 同时也具有一定的可读性。 言，同时也具有一定的可读性。 结束