2020届高中数学：函数的奇偶性与周期性、对称性练习题详解

2020届高中数学：函数的奇偶性与
周期性、对称性练习题详解
1．(2017·肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 解：y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x
＋x 2
为非奇非偶函数，y ＝lg x 2
－2与y ＝x sin x 为偶函数．故选B .
2．下列函数不是周期函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝sin|x | D ．y ＝sin(x ＋1) 解：y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋1)的周期T ＝2π，y ＝|sin x |的周期T ＝π，C 项y ＝sin|x |是偶函数，其图由y ＝sin x 去掉y 轴左侧图象，再将y 轴右侧图象对折到左侧得到，故不是周期函数．故选C .
3．(2016·成都检测)设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f (2 016)＋f (2 017)＝(
)
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 解：f (2 016)＝f (3×672)＝f (0)＝0，f (2 017)＝f (3×672＋1)＝f (1)＝1，所以f (2 016)＋f (2 017)＝1.故选C .
4．若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则实数a ＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2 解：因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )， 即x ln(x ＋a ＋x 2)＝－x ln(－x ＋a ＋x 2)，
所以x ＋a ＋x 2＝1
－x ＋a ＋x 2
，得a ＝1.故选C .
5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若对于
x ≥0，都有f (x ＋2)＝－1
f （x ），且当x ∈[0，2)时，f (x )
＝log 2(x ＋1)，则f (－2 017)＋f (2 019)的值为( )
A ．0
B ．－4
C ．－2
D ．2
解：当x ≥0时，f (x ＋2)＝－1
f （x ），所以f (x ＋4)
＝f (x )，即4是f (x )(x ≥0)的一个周期．所以f (－2 017)
＝f (2 017)＝f (1)＝log 22＝1，f (2 019)＝f (3)＝－
1
f （1）＝－1，所以f (－2 017)＋f (2 019)＝0.故选A .
6．(2016·广西五市二联)设定义在R 上的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(0，
1]时，f (x )＝x e x .若a ＝f ⎝⎛⎭⎫20153，b ＝f ⎝⎛⎭⎫20165，c ＝f ⎝⎛⎭⎫20177，则( )
A ．b <c <a
B ．a <b <c
C ．c <a <b
D ．b <a <c
解：因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝f (2＋x )，即f (x )是以2为周期的周期函数．
因为对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．当x ∈(0，1]时，f ′(x )
＝1－x
e x ≥0，即函数
f (x )在(0，1]上单调递增．又a ＝
f ⎝⎛⎭⎫20153＝f ⎝⎛⎭⎫671＋23＝f ⎝⎛⎭⎫53＝f ⎝⎛⎭⎫13，b ＝f ⎝⎛⎭
⎫20165＝f ⎝⎛⎭⎫403＋15＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫45，c ＝f ⎝⎛⎭⎫20177＝f ⎝⎛⎭⎫288＋17＝f ⎝⎛⎭⎫17，且17＜13＜4
5
，所以c ＜a ＜b .故选C . 7．函数f (x )＝ax 2＋b sin x 是定义在[a ，a ＋2]上的偶函数，则a ＋b ＝________.
解：－a ＝a ＋2⇒a ＝－1.f (x )＝－x 2＋b sin x ，由f (x )＝f (－x )⇒2b sin x ＝0对任意x ∈[－1，1]恒成立，则b
＝0.故a ＋b ＝－1.故填－1.
8．(2017·合肥质检)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2， 则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫
294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－3
16＋sin π6
＝516.故填516. 9．函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋
∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0的解集．
解：因为y ＝f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝0.
又因为y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，
所以①0＜x ⎝⎛⎭⎫x －12＜1或②x ⎝⎛⎭⎫x －1
2＜－1， 解①得1－174＜x ＜0或12＜x ＜1＋174
.解②得∅.
所以原不等式的解集是 ⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |1－174＜x ＜0或12＜x ＜
1＋174. 10．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．
(1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．
解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，
所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0. (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，
所以f (－1)＝1
2f (1)＝0.
令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， 所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数． (3)依题意有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，
由(2)知，f (x )是偶函数，所以f (x －1)＜2⇔f (|x －1|)＜f (16)．
又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
所以0＜|x －1|＜16，解得－15＜x ＜17且x ≠1. 所以x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17且x ≠1}．
已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －
4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )
A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)
B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)
C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)
D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)
解：f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，所以T ＝8，又f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.
因为f (x )在[0，2]上是增函数，且f (x )≥0， 所以f (x )在[－2，0]上也是增函数，且f (x )≤0， 又x ∈[2，4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数．
同理f (x )在[4，6]上为减函数且f (x )≤0， 从而可得y ＝f (x )的大致图象如图所示．
因为f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0.所以f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D .
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