2.3.2离散型随机变量的方差

EX＝c×1＝c ＝ × ＝ DX＝（ －c）2×1＝0 ＝（c－ ） ＝（ ＝
四、例题讲解
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 分， 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 罚不中得0分 罚不中得 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球 次的得分 的方差是多少？ 次的得分X的方差是多少 ，则他罚球1次的得分 的方差是多少？ 小结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布， 小结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X P 1 p 0 1－p －
EX = 1 × p + 0 × (1 − p ) = p
服从两点分布， 若 X 服从两点分布，则 DX = p(1 − p )
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 分， 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 罚不中得0分 罚不中得 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球 次；求X的方差。 的方差。 ，他连续罚球3次 的方差 解： (1) X～B（3，0.7） ～ （ ， ）
ξ
P
1 0.4
2 0.2
3 0.2
4 0.1
5 0.1
商场经销一件该商品，采用 期付款 其利润为200 期付款， 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为 期或3期付款 期或5 元，分2期或 期付款，其利润为 期或 期付款，其利润为250元，分4期或 元 期或 期付款，其利润为300元， η 表示经销一件该商品的 期付款，其利润为 元 利润。 利润。 位顾客中， （1）求事件 ：”购买该商品的 位顾客中，至少有 ）求事件A： 购买该商品的3位顾客中 一位采用1期付款 的概率P(A)； 期付款” 一位采用 期付款” 的概率 ； 的分布列及期望E （2）求 η 的分布列及期望 η 。 ）
选修2-3 高二数学 选修
2.3.2离散型随机变 离散型随机变 量的方差
一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望 、
X P
x1
x2
p1
p2
··· ···
xi
pi
··· ···
xn
pn
EX = x1 p1 + x 2 p2 + L + x i pi + L + x n pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平 2、数学期望的性质 、
2
2 np ∑ kC nk p k (1 − p ) n − k =
k =0 n
2n p
2
2
n p
2
2
∑C
k =0
k n
p (1 − p )
k
n−k
=
n p
2
2
第二步得
DX = np(1 − p)
方差的性质
（1）线性变化 ）
平移变化不改变方差， 平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差
D(aX + b ) = a DX
为随机变量X的方差。 = ∑ ( xi − EX )2 pi 为随机变量 的方差。
i =1
n
称 σX =
为随机变量X的标准差。 DX 为随机变量 的标准差。
对方差的几点说明： 对方差的几点说明： （1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量 ） 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小 方差或标准差越小， 取值 偏离于均值的平均程度 方差或标准差越小， 则随机变量偏离于均值的平均程度越小. 则随机变量偏离于均值的平均程度越小 说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值； 说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差 集中的位置是随机变量的均值 或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. 加权平均的度量指标 或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标 （2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？ ）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？ 随机变量的方差是常数， 样本的方差是随着样本 随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本 变化的 因此样本的方差是随机变量. 的不同而变化 的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量 对于简单随机样本，随着样本容量的增加， 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方 差越来越接近总体方差， 差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计 总体方差. 总体方差
E X − EX 愈小，X的值就愈集中于 EX 附近，
表明此射手发挥愈稳定; 反之就愈分散，表明此射 手发挥愈不稳定．
然而在实际中 E X − EX 带有绝对值，在数学运 算上不方便，因而，通常用 E ( X − EX )2来表达随机 变量 X 取值的分散程度或集中程度． 现在我可以确定派谁去了. 现在我可以确定派谁去了 加权平均 据此分析，我可以算得： 2 DX(= ( x1 −)EX(8−1 )2 L+ (+(i9− EX×20pi +(10+ 9)2n×0.EX 024 n )2 p9+ ×0.2 x −9)2 ) .6 + L− ( x − 2 = ) . p E X −EX = 由于 E ( X − EX ) > E (Y − EY ) 乙射击的平均水平没有差别， 甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平 均得分差别不会很大。但甲通常发挥比较稳定， 均得分差别不会很大。但甲通常发挥比较稳定，多 数得分在9环 而乙得分比较分散， 数得分在 环，而乙得分比较分散，近似平均分布 在8－10环。因此乙射击水平更稳定一些，看来甲 － 环 因此乙射击水平更稳定一些， 无话可说了． 无话可说了．
2 2
E(Y −EY)2 = (8−9)2 ×0.1+(9−9)2 ×0.8+(10−9)2 ×0.1= 0.2
X1 P
8 0.2
9 0.6
10 0.2
X2 P
8 0.4
9 0.2
10 0.4
EX 1 = 9, EX 2 = 9
DX 1 = 0.4, DX 2 = 0.8
问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右， 环左右， 问题 ：如果其他对手的射击成绩都在 环左右 应派哪一名选手参赛？ 应派哪一名选手参赛？ 问题3：如果其他对手的射击成绩都在 环左右 环左右， 问题 ：如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？ 应派哪一名选手参赛？
2
（2）方差的几个恒等变形
DX = ∑ ( xi − EX ) 2 pi
n
= EX − ( EX )
2
= E ( X − EX )
i =1
2
2
注：要求方差则先求均值
练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你， 练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能 获得如下信息： 获得如下信息：
甲单位不同职位月工 资X1/元 元 获得相应职位的概 率P1 乙单位不同职位月工 资X2/元 元 获得相应职位的概 率P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 1800 0.2 0.1
X P 0 1
3
2
3
0.3
1 2 C 3 0.7 ⋅ 0.3 2 C 3 0.7 2 ⋅ 0.3
0.7
3
一般地，如果随机变量 服从二项分布 服从二项分布， 一般地，如果随机变量X服从二项分布， 即X～B（n,p），则 ～ （ ），则 ），
EX = np
若 X ~ B ( n , p )，则 DX = np (1 − p )
1800 2200 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：EX 1 = 1400, EX 2 = 1400
DX 1 = 40000, DX 2 = 160000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下， 在两个单位工资的数学期望相等的情况下， 如果认为自己能力很强， 如果认为自己能力很强，应选择工资方差大 的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强， 的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强， 就应选择工资方差小的单位，即甲单位。 就应选择工资方差小的单位，即甲单位。
五、几个常用公式： 几个常用公式：
两个特殊分布的方差
服从两点分布， 若 X 服从两点分布，则 DX = p(1 − p )
若 X ~ B ( n , p )，则 DX = np (1 − p )
证明提示： 证明提示：
n
第一步求
∑k
k =0
n
2
C p (1 − p )
k n k
n−k
= n( n − 1) p + np
问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？ 问题 ：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？ 解：EX 1 = 9, EX 2 = 9
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 表明甲、乙射击的平均水平没有差别， 平均得分差别不会很大。 平均得分差别不会很大。
除平均中靶环数以外， 除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗？ 射击特点的指标吗？ 分别画出 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 的分布列图. X 1 , X 2 的分布列图 P 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 5 6 7 8 9 X2

5.根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的 根据统计， 根据统计 概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财 概率为 ， 产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内， 产保险，参加者需交保险费 元 若在一年以内， 万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元 万元以上财产被盗，保险公司赔偿 元（a>100）， ）， 如何确定， 问a如何确定，可使保险公司期望获利？ 如何确定 可使保险公司期望获利？
离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为 的概率分布为： 一般地，若离散型随机变量 的概率分布为：