多项式除以多项式
多项式除多项式除法长除法
多项式除多项式除法长除法介绍多项式除法是数学中的一个重要概念，它用于将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
多项式除法长除法是一种常用的计算方法，用于解决多项式除法问题。
本文将详细介绍多项式除法长除法的步骤和原理，以及如何应用它来解决实际问题。
多项式除法的定义多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数的过程。
在多项式除法中，被除数是一个多项式，除数是另一个多项式。
多项式是由若干项组成的代数表达式，每一项包含一个系数和一个指数。
多项式除法长除法的步骤多项式除法长除法是一种逐步计算的方法，通过逐步减少被除数的次数，最终得到商和余数。
下面是多项式除法长除法的步骤：1.将被除数和除数按照指数的降序排列。
2.将被除数的最高次项与除数的最高次项进行除法运算，得到商的最高次项。
3.将得到的商的最高次项与除数相乘，得到一个新的多项式。
4.将新的多项式与被除数进行减法运算，得到一个新的被除数。
5.重复步骤2至步骤4，直到新的被除数的次数小于除数的次数。
6.此时，新的被除数即为余数，所有得到的商的系数按照降序排列，即为最终的商。
多项式除法长除法的原理多项式除法长除法的原理基于整数除法的原理。
在整数除法中，我们将被除数除以除数，得到商和余数。
同样，在多项式除法长除法中，我们将被除数除以除数，得到多项式的商和余数。
多项式除法长除法的步骤是逐步减少被除数的次数，每一步都相当于一次整数除法运算。
通过多次整数除法运算，我们可以得到多项式的商和余数。
多项式除法长除法的应用多项式除法长除法在数学和工程领域有广泛的应用。
下面是一些常见的应用场景：1.多项式求导：通过多项式除法长除法，我们可以求得多项式的导数。
将多项式除以x的幂，得到导数的多项式。
2.多项式插值：通过多项式除法长除法，我们可以将已知点的坐标插值为一个多项式。
将已知点的坐标作为被除数，插值多项式的系数作为除数，进行多项式除法长除法运算，得到插值多项式的系数。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算(X2+9X +20)4-(X +4)规范解法x+5x+4 丿F+9X+20~5天+205x+20O'••• (x2+9x + 20) * (x + 4) = x + 5 ・解法步骤说明：(1) 先把被除式X2+9X + 20与除式x+4分别按字母的降幕排列好.(2) 将被除式X2+9A +20的第一项/除以除式x+4的第一项x, =这就是商的第一项.(3) 以商的第一项尤与除式兀+4相乘，得X2+4X.写在A-2+9X +20的下面.(4) 从X2+9X +20减去F+4X,得差5X+20,写在下面，就是彼除式去掉x2+4x后的一部分.(5) 再用5x + 20的第一项5x除以除式的第一项x,得5x*x = 5,这是商的第二项, 写在第一项x的后而，写成代数和的形式.(6) 以商式的第二项5与除式兀+4相乘，得5x + 20,写在上述的差5x + 20的下而.(7) 相减得差0,表示恰好能除尽.(8) 写出运算结果，(，+9尤+ 20)一匕+ 4) = _¥ + 5.例2 计算(6x5一9x4 + 7x2一20x + 3) *(2x2一x — 5)・规范解法3x「3;r'+ 6x-l2 宀x- 56x、-3x“-15十__________~-6/+15/+ 7x2-6f + 3F+15F ______12<- 8十-20工12八6F-30x- 2/+ x +59—2:.(6.v's — 9%4 + 7.v" — 20x + 3)-s-(2x~ — x —5)注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数. 另外，以上两例还可用分离系数法求解.如例2.3 - 3 + 6 ・ 12-1-5 丿6・9+ 0+7 ・ 20 + 36 ・ 3 - 15 __________ ••• （6x 5 一 9x 4 + lx 1 一 20x + 3）令（2x 2 一 x — 5）-6+15+7 -6+3 +15 __________ ‘ 12 - 8 - 20 = 3.V —3x~+6x — 1 ...... •……… ................. 余 12 - 6- 30-2 + 10 + 3 9x _ 2 ・_&什么是综合除法？ 9 - 2由前而的问题4我们知道两个多项式相除可以用 竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊.如：计郭(2x ，+3x — 4)令(x —3)・因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）・还可以再简化・方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写•再注意到，因 除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略.如果再 把代数和中的“ + ”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形 式： -3 2 0 3 -4 :二6 尹二63(-G 21 59 • • ■3 2 0 3 -4 6 18 63 (+将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4）,再将算式（4）中的除数一3换成它的 相反数3,减法就化为了加法，于是得到算式（5）.其中最下而一行前三个数是商式的系数, 末尾一个数是余数.多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1. 例1用综合除法求X 4-3X 3+3X 2-3X + 12除以兀-1的商式和余式.2 6 21 59(3) (4) (5)= 3x 3 -3x 2 +6x-l ..................... 余9x —2・⑴ M+ 6x+21x-3丿2x'+ 0 十 3x- 42 八 6x?6F 十 6宀 18x 2lx- 4 2*63 59" ⑵ 2+6+21 I «3J2 + 0 + 3 - 4 ②- 6 登-18 21-4 丸-63 592 6 21 59 -3/2 0 3-4 7 -6 -18 -63规范解法1-3 3-3 121-21-21-2 1-2 10/.商式=A? -2x2 +x-2 ,余式=10.例2用综合除法证明2疋-15疋+10疋- 9能被x+3整除规范证法这里x + 3 = x-（-3）,所以综合除法中的除数应是一3・（注意被除式按降幕排列.缺项补0.）2 0 -15 10 0 一9-6 18 -9 一3 92 —63 1 —3 0因余数是0,所以2云一15疋+ 10疋_9能被x+3整除.当除式为一次式，而一次项系数不是1时.需要把它变成1以后才能用综合除法…例3求2/+X-7除以Zv + 1的商式和余数.规范解法把2“除以2,化为叫，用综合除法.i 3 3即2宀一3除以22的商式"丐巧，余数仍为巧.3但是,商式H 2工—X ----- >2 当除以2才是所求的商式：余数没有变..1 3 3•••商式丄兀+二，余数=_7二.2 4 4为什么余数不变呢？我们用下而的方法验证一下.1 3这是因为除式除以2,被除式没变，商式扩大了2倍，应3用2X3+X-7除以兀+―,得商式2X2-X +-,余数为一7-,即2 2 4=（22）（宀卜+扌。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除法是数学中的一种计算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式，并得到商式和余式。
本文将介绍多项式除法的基本概念、步骤和示例，并探讨在实际问题中如何应用多项式除法。
1.多项式的基本概念：多项式是由数与变量的乘积相加而成的表达式。
它通常写成形如f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0的形式。
其中，a_n到a_0是多项式的系数，x是多项式的未知数，而n是多项式的次数。
多项式可以表示为单项式的和，而单项式是只有一个项的多项式。
2.多项式除法的步骤：多项式除法的基本步骤可以归纳为以下四个部分。
（1）确定除式和被除式：首先，要确定需要进行除法运算的多项式中的除式和被除式。
被除式是需要被除以的多项式，而除式是用来除以被除式的多项式。
（2）确定商的项数：接下来，需要确定商式的项数。
商式的项数应该比被除式的项数少一个，因为除法运算的结果通常包含一个余式。
（3）进行除法运算：按照一般的除法步骤，从左到右依次进行多项式的除法运算。
首先，将被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
然后，将商式的第一项乘以除式，并将结果减去被除式的第一项。
这个结果成为一个新的被除式，然后继续用这个新的被除式进行下一步的除法运算。
重复这个过程，直到无法再进行除法运算为止。
（4）确定余式：当无法再进行除法运算时，最后得到的结果即为余式。
余式是多项式除法的结果，它是除不尽的部分。
3.多项式除法的示例：为了更好地理解多项式除法，我们来看一个具体的例子。
假设有以下的多项式需要进行除法运算：被除式：f(x)=2x^3-4x^2+3x+9除式：g(x)=x-1我们按照多项式除法的步骤，进行以下计算。
（1）确定除式和被除式：被除式：f(x)=2x^3-4x^2+3x+9除式：g(x)=x-1（2）确定商的项数：被除式有三项，所以商式应有两项。
（3）进行除法运算：a)将被除式的第一项除以除式的第一项：(2x^3)/(x)=2x^2b)将商式的第一项乘以除式，并减去被除式的第一项：(2x^2)(x-1)=2x^3-2x^22x^3-2x^2-(2x^3-4x^2)=2x^3-2x^2-2x^3+4x^2=2x^2+4x^2=6x^2c)得到新的被除式：6x^2+3x+9d)重复上述步骤，直到无法再进行除法运算：(6x^2)/(x)=6x(6x)(x-1)=6x^2-6x6x^2-6x-(6x^2+3x)=6x^2-6x-6x^2-3x=-9x最后得到的余式为-9x。
多项式除以多项式——长除法
与因式分解的关系
验算
例1：(5x2 2x3 1) (1 2x)
注意：被除式按x降幂排列时如有缺 项，要留出空位，也可以采用加零的 办法补足缺项
例2 : (a4 40b4 5a3b 22ab3) (a2 4b2 3ab)
例3：2x2 4x 4除2x4 5x3 x2 2的商
练习
1.求x5 y5除以x y的商 2.(a3 b3 4a2b 2ab2 ) (a b)
例4.(2x4 3x3 10x2 13x 27) (x2 2x 3)
注意：当余式不是零而次数低于除式的次数 时，除法演算就不能继续进行，这说明除式 不能整除被除式
被除式=除式×商式+余式
验算
多项式除以多项式的法则如下：
1.多项式除以多项式，先把被除式、除式都按某 一字母的降幂排列（被除式有缺项要留出空位 或加0）
多项式除以多项式
长除法
两个多项式相除，可以先把这两个多项式都 按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多
位数相除的演算方法，用竖式进行演算
如：(10x x2 4 6x3) (2x 1)
按降幂排列：（6x3 x2 10x 4） (2x 1)
被除式=除式×商式+余式
注意：1.余式为0或次数低于除式的多项式 2.如果余式为0，那么除式能整除被除式
2.用除式的第一项除被除式的第一项，得商式的 第一项
3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下 面（同类项对齐），从被除式减去这个积，得 第一余式
4.把所得余式当作新的被除式，再按上面的方法 继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式 的次数为止。
1.(2x3 9x2 3x 5) (x2 4x 3) 2.(3x4 13x3 x) (x2 4x 3) 3.(2x5 10x 15 7x3 6x4 ) (x2 4 3x) 4.(x4 3x3 2x2 1) (x2 1) 5.(8x4 6x3 13x2 4) (2x2 x 2) 6.(10xy2 7x2 y 2x3 10 y3) (x 2 y)
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算（一）多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x 规范解法∴.5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ． 规范解法∴)52()320796(2245--÷+-+-xxxxxx163323-+-=xxx……………………………余29-x．注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴)52()320796(2245--÷+-+-xxxxxx163323-+-=xxx……………………………余29-x．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+xxx．因为除法只对系数进行，和x无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数． 规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=．为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式的运算是一种基本的数学运算，其步骤与一般的除法类似，只不过这里的除数和被除数都是多项式。
具体步骤如下：首先，我们需要理解多项式。
多项式是包含多个项的数学表达式，每个项都由一个系数和一个变量的幂组成。
例如， 3x2+2x−5 是一个多项式，其中 3x2、2x 和−5 是它的项。
在多项式除以多项式的运算中，我们首先要确定一个除数多项式和一个被除数多项式。
例如，我们选择 3x2+2x−5 作为被除数，选择 x2−3x+2 作为除数。
接下来，进行以下步骤：1.确定可以相除的项：只有当被除数的每一项都能被除数的每一项整除时，才能进行多项式除以多项式的运算。
在这个例子中，被除数的每一项都能被除数的每一项整除。
2.计算商的系数：这是被除数每一项与除数每一相应项的系数相除的结果。
例如，(3x2)÷(x2)=3，因为 3 是 3x2 的系数， x2 是 x2 的系数。
类似地，(2x)÷(x)=2 和(5)÷(1)=5。
将这些结果相加，得到 3+2+5=10，因此，商是 10。
3.计算余数：将商乘以除数，得到结果后减去被除数，得到余数。
在这个例子中，余数是 (10(x2−3x+2))−(3x2+2x−5)=4x−13。
最后，商和余数共同构成了多项式除以多项式的结果。
在这个例子中，结果是10+(4x−13)=4x−3。
需要注意的是，多项式除以多项式的运算和普通除法有一个主要区别：在多项式除法中，余数可以是任何形式的多项式，而不一定是常数。
而在普通的除法中，余数一般是常数。
另外，要注意在进行多项式除以多项式的运算时，我们要把每一个步骤都看作一个整体，然后对它们进行整理和简化。
在上述例子中，步骤是先计算商的系数，再计算余数，最后得到结果。
这些步骤并不是独立的，而是相互关联的。
在进行每一步时，我们都要考虑到下一步的需要和上一步的结果。
例如，在计算商的系数时，我们不仅要得到正确的结果，还要考虑到这个结果会对余数的计算产生影响。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似,现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：(1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ,得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+,写在2092++x x 的下面．(4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面,就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘,得205+x ,写在上述的差205+x 的下面．(7)相减得差0，表示恰好能除尽．（8)写出运算结果,.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出;②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式,而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．因为除法只对系数进行,和x 无关，于是算式（1)就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2)就简化成了算式(30的形式：将算式(3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数,末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式,而一次项系数不是1时,需要把它变成1以后才能用综合除法．．例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2,化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2,被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式;余数没有变． ∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．用723-+x x 除以21+x ,得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ,余数仍为437-．。
多项式除以多项式字母公式
多项式除以多项式字母公式假设有两个多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$，其中 $Q(x)$ 不是零多项式，则有以下的多项式除法字母公式：$$P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$$其中，$D(x)$ 为商多项式，$R(x)$ 为余数多项式，且满足以下条件：- $R(x)$ 的次数小于 $Q(x)$ 的次数；- $Q(x) \cdot D(x)$ 的次数等于或者高于 $P(x)$ 的次数。
使用这个字母公式，可以将多项式除法转化为整数除法的形式，从而方便计算商和余数。
例如，将 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 除以 $Q(x) = x - 2$，则可得：\begin{aligned}P(x) &= Q(x) \cdot D(x) + R(x) \\ &= (x - 2) \cdotD(x) + R(x)\end{aligned}现在要求出 $D(x)$ 和 $R(x)$。
首先，我们可以使用长除法的方法，从高次项到低次项依次计算出 $D(x)$ 的每一项。
首先将 $x$ 除以 $x$，得到 $D(x)$ 的最高次项为 $2x^2$。
然后将 $x - 2$ 乘以 $2x^2$，得到 $2x^3- 4x^2$，将其减去 $P(x)$ 的最高次项 $2x^3$，得到 $x^2$，将 $x$ 除以 $x - 2$，得到 $D(x)$ 的次高项为 $x^2$。
以此类推，可以得到：$$D(x) = 2x^2 + x +2$$接下来，将 $D(x)$ 代入上面的公式，即有：\begin{aligned}R(x) &= P(x) - Q(x) \cdot D(x) \\ &= 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 - (x - 2) \cdot (2x^2 + x +2) \\ &= 7x - 5\end{aligned}因此，多项式 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 可以被 $Q(x) = x - 2$ 整除，商为 $D(x) = 2x^2 + x +2$，余数为 $R(x) = 7x - 5$。
多项式除以多项式
多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐． （2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来． （4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明： （1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法 ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法 ∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．） 因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法． 但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即 323-+x x除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-． 综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
多项式除以多项式例题
多项式除以多项式例题多项式除以多项式是高中数学中的基础概念之一，也是后续学习中的重要基础。
在多项式除法中，被除数是一个高次多项式，除数是一个低次多项式，而商及余数都是多项式。
多项式除法实际上就是对多项式进行分解的过程，也可以理解为对多项式进行因式分解的过程。
我们接下来来看一个多项式除以多项式的例子：将多项式 f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x + 1 除以 g(x) = x^2 -2x + 3。
多项式除法的步骤如下：1. 将被除数的各项按次数从高到低排列，确保各项系数对应次数正确。
2. 将除数的各项按次数从高到低排列，确保各项系数对应次数正确。
3. 如果被除数的次数小于除数的次数，则商为零，余数为被除数的本身，直接求解即可。
4. 如果被除数的次数大于或等于除数的次数，则进行多项式除法运算，具体步骤如下：1. 列出商式，将被除数的最高次项除以除数的最高次项得到商式的首项系数。
2. 将商式的首项和除数相乘，得到一个新的多项式，将该多项式从被除数中减去。
3. 对所得到的新多项式重复以上两个步骤，直到被减数的次数小于除数的次数为止。
4. 最后剩下的部分即为余数。
通过上述步骤，我们可以计算出f(x) ÷ g(x) 的过程如下：(1) 商式的首项系数： 3x / x^2 = 3 / x商式为： q(x) = 3 / x(2) 将商式的首项和除数相乘：(3 / x) * (x^2 - 2x + 3) = 3 - 6x / x + 3 / x化简后，得到：(3x - 6) / x(3) 将被除数和上式相减即可得到余数：f(x) - (3x - 6) = 3x^3 - 5x^2 - x + 7因此，f(x) ÷ g(x) 的商为： q(x) = 3 / x余数为： r(x) = 3x^2 - 5x - 19 / (x^2 - 2x + 3) 需要注意的是，当除数的次数大于被除数的次数时，商为零，余数为被除数本身。
多项式除以多项式.docx
多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（ 4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+ 余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算( x29x 20) ( x 4)规范解法∴( x 29x20)(x 4)x 5.解法步骤说明：（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项 5 与除式x 4 相乘，得 5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果， (x 29x20)( x 4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220 x3) (2x2x 5) ．规范解法∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．注①遇到被除式或除式中缺，用0 位或空出；②余式的次数低于除式的次数．另外，以上两例可用分离系数法求解．如例2．∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．8．什么是合除法由前面的 4我知道两个多式相除可以用式行，但当除式一次式，而且它的首系数 1 ，情况比特殊．如：算 ( 2x33x4)( x 3) ．因除法只系数行，和x 无关，于是算式（1）就可以化成算式（2）．可以再化．方框中的数2、6、21 和余式首系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首系数是1，所以余式的首系数 6、21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首系数也省略，算式（ 2）就化成了算式（30 的形式：将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例 1 用综合除法求x43x33x 23x 12 除以x 1的商式和余式．规范解法∴商式x32x 2x 2 ，余式＝10．例 2用综合除法证明2x515x3 10 x29 能被x 3整除．规范证法这里 x 3x( 3) ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是 0，所以2x515x310 x29 能被x 3 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成 1以后才能用综合除法．．例 3 求2x3x7 除以2x 1 的商式和余数．规范解法把 2x1除以2，化为x1，用综合除法．2但是，商式2x2x3，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了 2 倍，应当除以 2 才是所求的商2式；余数没有变．∴ 商式x21x3，余数73．244为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．用 2x 3x 7 除以 x1 ，得商式 2x2 x3 ，余数为 7 3 ，即2 2 4 ∴2x3x 3x 12x2x3 7 322 42x 1 x 21 x 37 3．2 44即2x3x 3 除以 2x 1的商式x21 x 3 ，余数仍为 73．244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
多项式除以多项式
多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+多项式除法示例余式2例[编辑]编辑计算把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，写成以下这种形式：然后商和余数可以这样计算：.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。
结果写在横线之上(x3÷ x = x2)...将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） (x2·(x−3) = x3−3x2)...从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），结果写在下面。
((x3−12x2)−(x3−3x2) = −12x2+3x2 = −9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。
..把减得的差当作新的被除式，重复前三步（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式）..重复第四步。
这次没什么可以“拿下来”了。
.横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。
算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。
3整除编辑如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除4应用编辑多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用Ra tional root theorem（英语：）得到的。
如果一个次多项式的一个根已知，那么可以使用多项式长除法因式分解为的形式，其中是一个次的多项式。
多项式除以多项式的计算方法
多项式除以多项式的计算方法
1. 嘿，多项式除以多项式，其实就像分苹果一样简单啦！比如说，
(x²+3x+2)÷(x+1)，把“苹果”(x²+3x+2)按照(x+1)这个方式去分呀。
2. 哇哦，你看，在多项式除以多项式中，我们要找到合适的方法，就像给汽车找对钥匙一样关键呢！像(2x²+5x-3)÷(x+3)，咱得一步步来呀。
3. 嘿呀，多项式除以多项式可有趣啦！就好像拼图，要把合适的部分拼到一起，比如(3x²+4x+1)÷(x+2)，得细心地拼哦。
4. 哎呀，你想想，多项式除以多项式其实没那么难呀，这就好比走路一样自然，像(x³-2x-3)÷(x-3)，一步步稳稳地走。
5. 哇，这多项式除以多项式呀，其实就像搭积木一样，要一层一层稳稳地搭，就说(4x³+6x²-2x)÷(2x+1)吧。
6. 嘿，搞懂多项式除以多项式，就像是开锁一样，找到对的方法就开啦！像(5x³-7x²+2x-1)÷(x-1)呢。
7. 哇塞，多项式除以多项式，可真是个有意思的事儿呀，好比玩游戏要闯关，比如(6x⁴-3x³+x²-2x+1)÷(2x-1)。
8. 嘿，多项式除以多项式不难吧？真的就和做一道道有趣的数学题一样呀！就像(3x³-2x²+x)÷(x-1)。
我的观点结论：多项式除以多项式，只要掌握方法，多练习，一点都不可怕，还很有趣呢！。
多项式除以多项式公式
多项式除以多项式公式摘要：1.多项式除以多项式的基本概念2.多项式除以多项式的运算方法3.多项式除以多项式的应用实例4.多项式除以多项式的注意事项正文：一、多项式除以多项式的基本概念多项式除以多项式是指将一个多项式表达式除以另一个多项式表达式。
这里的多项式是指由若干个单项式通过加减运算组合而成的代数式，如f(x)=ax^2+bx+c。
多项式除法是代数学中的一种基本运算，它在解决实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。
二、多项式除以多项式的运算方法多项式除以多项式的运算方法分为以下几个步骤：1.将被除式和除式按照相同的变量和次数进行排列。
2.确定除式的首项，将除式中各项的系数依次除以首项的系数，得到新的除式。
3.将新除式乘以被除式，得到一个新的多项式。
4.将新多项式与被除式相减，得到一个新的差式。
5.重复步骤2 至4，直至差式为零或者达到所需的精度。
6.将除法过程中得到的商式进行合并和简化，得到最终的商式。
三、多项式除以多项式的应用实例假设我们要计算多项式f(x)=ax^2+bx+c 除以多项式g(x)=dx+e 的商式，其中a、b、c、d、e 都是常数，我们可以按照以下步骤进行计算：1.将f(x) 和g(x) 按照相同的变量和次数进行排列，即f(x)=ax^2+bx+c 和g(x)=dx+e。
2.确定g(x) 的首项d，将g(x) 中各项的系数依次除以d，得到新的除式dg(x)/d=x+e/d。
3.将新除式乘以被除式f(x)，得到一个新的多项式h(x)=(ax^2+bx+c)(x+e/d)。
4.将新多项式h(x) 与被除式f(x) 相减，得到一个新的差式f(x)-h(x)=(adx^2+(bd-ae)x+(cd-ce))/d。
5.重复步骤2 至4，直至差式为零或者达到所需的精度。
6.将商式(ax^2+(b-ad)x+(c-ce)/d) 合并和简化，得到最终的商式。
四、多项式除以多项式的注意事项1.在进行多项式除法运算时，要注意变量和次数的对齐，以免出现错误的结果。
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式的法则如下：
1.多项式除以多项式，先把被除式、除式都按某 一字母的降幂排列（被除式有缺项要留出空位 或加0）
2.用除式的第一项除被除式的第一项，得商式的 第一项
3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下 面（同类项对齐），从被除式减去这个积，得 第一余式
4.把所得余式当作新的被除式，再按上面的方法 继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式 的次数为止。
1.(2x3 9 x2 3x 5) ( x2 4 x 3) 2.(3x4 13x3 x) (x2 4x 3) 3.(2x5 10x 15 7 x3 6x4 ) (x2 4 3x) 4.( x4 3x3 2 x2 1) ( x2 1) 5.(8x4 6 x3 13x2 4) (2 x2 x 2) 6.(10 xy 2 7 x2 y 2 x3 10 y3 ) ( x 2 y)
练习
1.求x5y5除以xy的商 2.(34a2b2ab2)(ab)
例 4 . ( 2 x 4 3 x 3 1 0 x 2 1 3 x 2 7 ) ( x 2 2 x 3 )
注意：当余式不是零而次数低于除式的次数 时，除法演算就不能继续进行，这说明除式 不能整除被除式
被除式=除式×商式+余式
验算
例 1 ： (5x22x3 1 )(12x)
注意：被除式按x降幂排列时如有缺 项，要留出空位，也可以采用加零的 办法补足缺项
例 2 : ( a 4 4 0 b 4 5 a 3 b 2 2 a b 3 ) ( a 2 4 b 2 3 a b )
例 3 ： 2 x 2 4 x 4 除 2 x 4 5 x 3 x 2 2 的 商
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式
多项式除以多项式公式(一)
多项式除以多项式公式(一)多项式除以多项式公式1. 多项式除法概述多项式除法是基于多项式的一种运算方式，用于将一个多项式除以另一个多项式，得到商式和余式。
在多项式除法中，被除式除以除式所得的商式和余式均为多项式。
2. 多项式除以一次式多项式除以一次式的公式如下：(ax + b) / (cx + d) = a/c + (bc-ad)/c(cx+d)其中，a、b、c、d为常数，且c不等于0。
示例我们举一个例子来说明多项式除以一次式的公式运算。
假设我们要计算多项式(4x + 2)除以一次式(2x + 1)的商式和余式。
根据上述公式，我们可以计算如下：(4x + 2) / (2x + 1) = 4/2 + (2*1-4)/2(2x+1)= 2 + (-2)/2(2x+1)= 2 - 1/(2x + 1)因此，多项式(4x + 2)除以一次式(2x + 1)的商式为2，余式为-1/(2x + 1)。
3. 多项式除以多项式多项式除以多项式的公式可以通过长除法来实现。
长除法步骤下面列出了多项式除以多项式的长除法步骤： 1. 将除式和被除式按照指数降序排列。
2. 将除式的第一个项与被除式的第一项作除法，得到商项。
3. 用商项乘以除式，并减去得到的乘积结果。
4. 将剩余的多项式进行下一步计算，直到无法再进行除法为止。
示例我们举一个例子来说明多项式除以多项式的长除法步骤。
假设我们要计算多项式(3x^2 + 2x - 1)除以多项式(x + 2)。
根据上述步骤，我们可以进行以下计算：3x - 4x + 2 | 3x^2 + 2x - 1- (3x^2 + 6x)-4x - 1因此，多项式(3x^2 + 2x - 1)除以多项式(x + 2)的商式为3x - 4，余式为-4x - 1。
4. 结论多项式除以多项式公式可以通过多项式除以一次式的公式和长除法步骤实现。
这些公式在多项式运算中具有重要的应用，可用于多项式的化简、因式分解等计算过程。