第7章 放宽条件的回归模型(3)自相关

3 出现自相关时的BLUE估计量 继续利用双变量模型并假定AR(1)过程，可以证明β2的BLUE估计量 由下式给出：
ˆ 2GLS
(x
t 2
n
t
xt 1 )( yt yt 1 )
n
( xt xt 1 ) 2
t 2
C
其中C是一个校正因子，在实际中我们常常忽略它。从而方差方差：
自相关（autocorrelation）和
序列相关（serial correlation）
自相关和序列相关看做同义词
已经曾为习惯，不过也有的学 者喜欢把二者区分开来。例如 延特纳（Tintner）认为：自相 关是一个给定的序列同它自身 滞后若干期的序列的滞后相关； 而序列相关则是两个不同序列 的滞后相关。 在本课程里我们不加区分的使 用这两个术语。
n2
xt2
t 1
n
n 1 x1 xn n xt2 t 1
没有自相关情形下的平常公式：
ˆ var( 2 )
x
2
2 t
相比二者，前者是后者加上另一与ρ和诸xt的样本协方差有关的项。
ˆ ˆ 一般的来说，我们无法告知 var( 2 )是否大于var( 2 ) AR(1) 。当然如果ρ 是零，则两个方程自然相等。 ˆ 容易证明，出现自相关时， 2 仍然是线性的和无偏的，但不是最优 ˆ 的。我们在前面的研究中知道，GLS估计量 2 是有效地。那么在自 相关的情形中，我们能够找到一个BLUE的估计量吗？
在剩下的问题中，假定7、8和10是紧密相关的，我们在多重
共线性问题中探讨；假定4在异方差问题中探讨；假定5在自 相关问题中探讨。 我们在探讨这些问题的时候，遵循下列各式：
1. 明确问题的性质；
2. 分析它的影响； 3. 提出侦测它的方法； 4. 考虑补救的措施。
3 自相关
（5）“编造”的数据。在经验分
析中，许多原始数据是经过“编 造”的。例如，我们用季度数据 的回归中，季度数据是用月度数 据平均得到的，这种平均减下了 数据的波动性，季度数据都比月 度数据更平滑一些。这种平滑性 本身能使干扰项中出现系统性式 样，从而导致了自相关。 数据编造的另一种来源是 “内插”或“外推”。例如人口 普查不会每年进行，这样在两个 普查年份之间的年份数据是通过 “内插”的方法生成的。这些数 据的加工技术，往往给数据带来 原始数据没有的系统性样式。
我们用它来进行估计和假设检验和预测问题。但是，这个模 型是建立在一些简化了的假定基础之上的。这些假定包括：
1. 回归模型对于参数而言是线性的。
2. 各回归元X的值在重复抽样中是固定的。
3. 给定的X，干扰ui的均值为零。 4. 对于给定的X，ui的方差不变或称之为同方差性。 5. 对于给定的X，干扰无自相关。 6. 如果X是随机的，则干扰项与各个X是独立的至少是不相关的。 7. 观测的次数大于回归元的个数。 8. 回归元的取值必须有足够的变异性。
改图清晰的表明，所拟合的回归线大大的歪曲了真回归线：它严重
ˆ 地低估了真斜率系数而高估了真截距项。同时，由于OLS， u i 一般 都靠近拟合线，却远离了真PRF，所以ui的真方差被大大的低估。
为了洞察真δ2被低估的程度，我们另外再做一次抽样试验，这一次仍
然保留原表中的X值和ε值，但假定ρ=0，即无自相关。由此产生的Y 的新样本值见下表。
产生自相关的原因 如左图：a中显示了周期性；b 和c中有一个上升和下降的趋势； d中有二次趋势项；e中则不存 在系统模式，符合经典线性模 型的规定。
（1）惯性。大多数经济时间序列都有一个明显的特点，就是它的惯
性或粘性。GDP、价格指数、生产和就业、失业率都呈现出周期性。 因此，在涉及到时间序列的回归中，相继的观测值很有可能是相互 依赖的。 （2）设定无偏：模型中丢掉了重要的解释变量。例如，我们做牛肉 需求量的回归，正确的模型中应该包含牛肉的价格、消费者的收入 和猪肉的价格三个解释变量。如果处于某种原因，模型中忽略了猪 肉的价格，则猪肉价格的影响都被包含在干扰项ui之中，这样干扰项 ui就有可能反映出一种系统性模式，从而造成了错误的自相关。 （3）设定无偏：不正确的函数表达形式。假设边际成本和产出之间 真实的关系是： 但是我们采取了不正确的函数形式： 这样，干扰项vi等于（产出）2+ui，从而包含了（产出）2对边际成本 的系统影响。在这种错误的函数形式中，vi反映出自相关。
自相关问题一般更常出现于时间序列数据中，时间序列是按照观测
的时间次序排列的。出现在横截面数据中的自相关有时候被称为 “空间自相关”。以表示自相关出现在空间而非时间上。
2 自相关出现时的OLS估计量
回到双变量的模型中，现在我们除了引进自相关外，其他都保留经
典模型的全部假定。ui的产生机制如下，这样使得 E(ui , u j ) 0 。
5. 侦测自相关
（1）图解法 非自相关的假设是针对真实的干扰项ui而言的。但是一般ui我们是不 ˆ 知道的，我们所能够获知的是来自OLS的残差 u i 。虽然ui的估计值 不同于ui，但是对ui的估计值做图像检查往往能够对ui中可能存在的 自相关现象提供一些线索。 将残差对时间描点得到残差的时间顺序图。另一种方法是将标准化 的残差对时间描图，标准化的残差是用残差除以标准误，这样做的 好处是得到了一个无量纲（无单位）的纯数。 根据美国1960-1991年的数据，做工资对生产力的回归，把回归的残 差和标准化的残差描绘在下列的时间顺序图中。
现在假如把X的值固定在1,2,3，……，10。那么，给定这些X值就能
够产生10个Y值，连同表12.1中的u值，一起放到下表中。
利用表中的数据做Y对
X的回归，得到结果如 下：
真的回归线由方程
E(Yt | X t ) 1.0 0.8 X t
给出， 我们把两条回归线放 置在一起加以比较。
经典线性回归模型假定：
假定5：对于给定的X，干扰无自相关
1. 问题的性质
自相关可以定义为按时间（时间序列数据）或空间（横截面数据）
排序的观测值序列的成员之间的相关。在经典线性回归模型中假定 干扰项ui之间不存在自相关。用符号来表示为：
E(uiu j ) 0
简单地说，经典模型假设，任意一次观测的干扰项都不受到其他任
ˆ GLS var( 2 )
2
( xt xt 1 ) 2
t 2 n
D
其中D也是一个在实际中可以忽略的校正因子。 上述估计量是由GLS得到的。在自相关情形下，GLS给出的估计量是
BLUE，同时给出了最小方差。 如果我们忽略了自相关，而使用OLS程序，会出现什么样的结果呢？
xt2 则情
ˆ 为了看到δ2和是 如何被低估的，我们做如下的蒙特卡罗实验。 2
假定在一个双变量的模型中，我们知道了β1=1和β2=0.8，那么这个随
机的PRF是：
Yt 1.0 0.8 X t ut
从而，
E(Yt | X t ) 1.0 0.8 X t
现在假定ui由如下的一阶自回归模式产生：
ut 0.7ut 1 t
其中εt满足所有的OLS假定。进一步我们假定εt是满足均值为零，方
差为常数的标准正态分布。现在给定
将上表中产生的ui描点，得到
左图。该图表明，开始时每一 个相继的ui大于它前面的值， 后来，一般地说，小于它前面 的值。这种情形通常表明一种 正的相关。
9. 回归模型被正确的设定。
10. 回归元之间无多重共线性。 11. 随机干扰项ui是正态分布的。
遗憾的是，我们尚无法对所有的问题都给出令人满意的答案。
接下来的工作中，我们对某些假定给予更多的注意，当然有 些假定我们并不过分的深究，特别是假定1、2、3、6和11中 的问题。 威瑟里尔（Wetherill）指出，实际上在应用经典线性回归模 型时，有两类问题需要注意：（1）关于模型设定及对干扰 项ui的假定问题，诸如假定1、2、3、4、5、9和11；（2）关 于对数据的假定问题，诸如6、7、8和10。 关于对来自干扰和模型设定的假定问题主要有三：
经济类核心课程· 计量经济学
第七章 放宽条件的回归模型（3）
自相关
教师：卢时光
PowerPoint Presentation by Lu Shiguang 2012 All Right Reserved,
Hunan Institute of Engineering
在前面的学习中，我们详尽的考察了经典正态线性回归模型，

4 出现自相关时使用OLS的后果
为了便于分析，我们仍然采用双变量模型，当然我们可以将结果推广到更多
解释变量的情形。

（1）考虑到自相关的OLS估计
前面已将指出，OLS估计量不是BLUE，GLS才是。这样根据OLS得到的置信
区间很可能要比GLS得到的更宽一些。这样我们很有可能宣称一个系数是统 计上不显著的，而事实上它是显著的。
例如，上图中的b2，根据（正确的）GLS， b2落入了拒绝域，我们拒绝β2=0
的假设。但根据（错误的）OLS， b2落入了接受域中，我们不能拒绝β2=0的 假设。
（2）忽视了自相关的OLS估计 ˆ ˆ 如果我们不顾自相关的存在而使用了 2和 var( 2 ) 2 / 况就会变得非常严重。错误将出自多种原因：
根据上表中的数据，得到回归结果，并与前面的结果比较如下：
ρ
=0
ρ
=0.7
现在，因为Y基本上是随机的，所以回归结果跟“真实”结果接近的
多。注意回归的方差已经从0.8114（ ρ=0.7 ）增大到0.9752（ ρ=0 ）， ˆ ˆ 并且 1和 2 的标准误也都增大。这个结果和先前得到的自相关的存 在使得方差被低估的理论分析是一致的。