【精编】2014-2015年山东省日照实验高中高二(上)数学期中试卷和参考答案

2014-2015学年山东省日照实验高中高二（上）期中数学试卷一.选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）例1：给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有（）A．0个 B．2个 C．3个 D．4个2．等差数列{a n}中，a3=2，则该列的前5项的和为（）A．10 B．16 C．20 D．323．（5分）在△ABC中，BC=8，B=60°，C=75°，则AC等于（）A．B．C．D．4．（5分）在△ABC中，BC=5，B=120°，AB=3，则△ABC的周长等于（）A．7 B．58 C．49 D．155．（5分）已知：﹣1＜b＜0，a＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a6．（5分）（理科学生做）设x，y∈R，则xy＞0是|x+y|=|x|+|y|成立的（）A．充分条件，但不是必要条件B．必要条件，但不是充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件．7．已知关于x的不等式（1﹣b）x2+ax≤0；的解集为[﹣1，0]，则a+b的值为（）A．﹣2 B．﹣l C．1 D．38．（5分）数列2，4，8，14，x，32，…中的x等于（）A．19 B．20 C．21 D．229．（5分）如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题10．三个正数a，b，c成等比数列，若a+b+c=1，则b的取值范围为（）A．（0，]B．（﹣∞，]C．[，1]D．（0，1]11．（5分）满足A=45°，c=，a=2的△ABC的个数记为m，则a m的值为（）A．4 B．2 C．1 D．不确定12．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，若数列{a n+1}也是等比数列，则{a n}的前n项和S n等于（）A．2n+1﹣2 B．3n C．2n D．3n﹣113．（5分）若关于x的不等式（1+k2）x≤k4+5的解集是M，则对任意实数k，总有（）A．2∈M，0∉M B．2∉M，0∉M C．2∈M，0∈M D．2∉M，0∈M14．（5分）已知平面区域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．415．（5分）在f（m，n）中，m、n、f（m，n）∈N*，且对任何m，n都有：（i）f（1，1）=1；（ii）f（m，n+1）=f（m，n）+3；（iii）f（m+1，1）=2f（m，1），给出以下三个结论：（1）f（1，5）=13；（2）f（5，1）=16；（3）f（5，6）=26其中正确的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 16．（4分）数列7，77，777，7777，77777，…的通项公式为．17．（4分）在4×□+9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上和．18．（4分）在数列{a n}中，a1=0，a2=2，且a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），则s100=．19．（4分）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的（k∈N*）．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这件事实中提炼出一个不等式组是．三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20．（12分）在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC=，求△ABC的面积S．21．（12分）解不等式：x2+1＜ax+x（a≠0）．22．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n，首项为2，且2，a n，S n成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（理科学生做）若b n=log2a n，c n=，求数列{c n}的前n项和T n．（Ⅲ）（文科学生做）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．23．（12分）通常用a、b、c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示△ABC的外接圆半径．（1）如图，在以O为圆心、直径为8的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=4，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2．24．（12分）经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？25．（14分）已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f（1）=．（1）若n∈N*时，求f（n）的表达式；（2）设a n=f（n），（n∈N*），求证：a1+a2+…a n＜1．（3）设b n=，s n=b1+b2+…+b n，求．2014-2015学年山东省日照实验高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）例1：给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有（）A．0个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：原命题为真．所以逆否命题为真．逆命题为“已知a、b、c、d是实数，若a+c=b+d，则a=b，c=d”，显然错误．所以否命题也错误．故真命题个数为2．故选：B．2．等差数列{a n}中，a3=2，则该列的前5项的和为（）A．10 B．16 C．20 D．32【解答】解：等差数列{a n}中，a3=2，则该列的前5项的和：S5===5a3=10．故选：A．3．（5分）在△ABC中，BC=8，B=60°，C=75°，则AC等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得A=180°﹣B﹣C=45°，再由正弦定理可得，即，解得AC=4，故选：C．4．（5分）在△ABC中，BC=5，B=120°，AB=3，则△ABC的周长等于（）A．7 B．58 C．49 D．15【解答】解：∵在△ABC中，BC=a=5，B=120°，AB=c=3，∴由余弦定理得：AC2=b2=a2+c2﹣2ac•cosB=25+9+15=49，解得：AC=b=7，则△ABC的周长为a+b+c=5+3+7=15．故选：D．5．（5分）已知：﹣1＜b＜0，a＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a【解答】解：∵﹣1＜b＜0，a＜0，∴ab＞0，b＜0＜1．b2＜1．∴ab﹣ab2=ab（1﹣b）＞0，ab2﹣a=a（b2﹣1）＞0．∴ab＞ab2＞a．故选：D．6．（5分）（理科学生做）设x，y∈R，则xy＞0是|x+y|=|x|+|y|成立的（）A．充分条件，但不是必要条件B．必要条件，但不是充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件．【解答】解：由|x+y|=|x|+|y|平方得x2+2xy+y2=x2+2|x||y|+y2，即|xy|=xy，则xy≥0，则xy＞0是|x+y|=|x|+|y|成立充分不必要条件，故选：A．7．已知关于x的不等式（1﹣b）x2+ax≤0；的解集为[﹣1，0]，则a+b的值为（）A．﹣2 B．﹣l C．1 D．3【解答】解：∵关于x的不等式（1﹣b）x2+ax≤0；的解集为[﹣1，0]，∴﹣1，0是一元二次方程（1﹣b）x2+ax=0的两个实数根且1﹣b＞0，∴﹣1+0=，整理得a+b=1．故选：C．8．（5分）数列2，4，8，14，x，32，…中的x等于（）A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：∵4﹣2=2，8﹣4=4，14﹣8=6，∴x﹣14=8，解得x=22．故选：D．9．（5分）如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题【解答】解：¬（p或q）为假命题，则p或q为真命题所以p，q至少有一个为真命题．故选：C．10．三个正数a，b，c成等比数列，若a+b+c=1，则b的取值范围为（）A．（0，]B．（﹣∞，]C．[，1]D．（0，1]【解答】解：由题意可得b2=ac，a+c=1﹣b，因为a，b，c为正数，由基本不等式可得：ac≤，即，化简可得3b2+2b﹣1≤0，解之可得﹣1≤b，又b为正数，故可得0＜b，即b∈（0，]故选：A．11．（5分）满足A=45°，c=，a=2的△ABC的个数记为m，则a m的值为（）A．4 B．2 C．1 D．不确定【解答】解：由正弦定理=得sinC===．∵c＞a，∴C＞A=45°，∴C=60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m=2．∴a m=4．故选：A．12．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，若数列{a n+1}也是等比数列，则{a n}的前n项和S n等于（）A．2n+1﹣2 B．3n C．2n D．3n﹣1【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则可得a n=2•q n﹣1，故a n+1=2•q n﹣1+1，可得a1+1=3，a2+1=2q+1，a3+1=2q2+1，由于数列{a n+1}也是等比数列，故（2q+1）2=3（2q2+1），解之可得q=1，故{a n}的前n项和S n=na1=2n故选：C．13．（5分）若关于x的不等式（1+k2）x≤k4+5的解集是M，则对任意实数k，总有（）A．2∈M，0∉M B．2∉M，0∉M C．2∈M，0∈M D．2∉M，0∈M【解答】解：根据题意，（1+k2）x≤k4+5⇒x≤，而=（1+k2）+﹣2≥2﹣2，则满足x≤恒成立的x的范围是x≤2﹣2，即M={x|x≤2﹣2}，则有2∈M，0∈M；故选：C．14．（5分）已知平面区域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．4【解答】解：依题意，满足已知条件的三角形如下图示：令z=0，可得直线x+my=0的斜率为﹣，结合可行域可知当直线x+my=0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值，而直线AC的斜率为=﹣1，所以﹣=﹣1，解得m=1，故选C．增加网友的解法，相当巧妙值得体会！请看：依题意，1+3m=5+2m＜3+m，或1+3m=3+m＜5+2m，或3+m=5+2m＜1+3m解得m∈空集，或m=1，或m∈空集，所以m=1，选C．评析：此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴，区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解，故此两点处函数值相等，小于第三个顶点处的目标函数值，本题略去了判断最优解取到位置的判断，用三个不等式概括了三种情况，从而解出参数的范围，此方法可以在此类求参数的题中推广，具有一般性！15．（5分）在f（m，n）中，m、n、f（m，n）∈N*，且对任何m，n都有：（i）f（1，1）=1；（ii）f（m，n+1）=f（m，n）+3；（iii）f（m+1，1）=2f（m，1），给出以下三个结论：（1）f（1，5）=13；（2）f（5，1）=16；（3）f（5，6）=26其中正确的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：（1）∵f（1，1）=1，f（m，n+1）=f（m，n）+3，∴f（1，5）=f （1，4）+3=f（1，3）+6=f（1，2）+9=f（1，1）+12=1+12=13，∴（1）正确；（2）∵f（1，1）=1，f（m+1，1）=2f（m，1），∴f（5，1）=2f（4，1）=4f（3，1）=8f（2，1）=16f（1，1）=16×1=16，∴（2）正确；（3）根据题意得，f（5，6）=f（5，5）+3=2f（4，5）+3=4f（3，5）+3=8f（2，5）+3=16f（1，5）+3=16×13+3=211，∴（3）不正确；故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.16．（4分）数列7，77，777，7777，77777，…的通项公式为．【解答】解：由于7=，77=，777=，7777=，77777=…故数列7，77，777，7777，77777，…的通项公式为故答案为17．（4分）在4×□+9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上6和4．【解答】解：设两数为x、y，即4x+9y=60，又=≥，当且仅当，且4x+9y=60，即x=6且y=4时成立，故答案为：6；4．18．（4分）在数列{a n}中，a1=0，a2=2，且a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），则s100=2550．【解答】解：据已知当n为奇数时，a n+2﹣a n=0⇒a n=0，﹣a n=2⇒a n=n，当n为偶数时，a n+2，S100=0+2+4+6+…+100=0+50×=2550．故答案为：255019．（4分）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的（k∈N*）．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这件事实中提炼出一个不等式组是．【解答】解：依题意+＜1，且三次后全部进入，即++≥1，故不等式组为故答案为：三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20．（12分）在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC=，求△ABC的面积S．【解答】解：设AB=c，BC=a，CA=b，则a=，c=5，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即得61=b2+52﹣2×5b•cos120°，化简得b2+5b﹣36=0，解得：b=4或b=﹣9（舍去，因为b＞0），则S=bc•sinA=×5×3×sin120°=5．△ABC21．（12分）解不等式：x2+1＜ax+x（a≠0）．【解答】解：由，整理得：，即，（1）当时，即，即a＞1或﹣1＜a＜0时，（2）当时，即，即0＜a＜1或a＜﹣1时，（3）时，即a=±1时，（x﹣1）2＜0，无解综上所述：当a＞1或﹣1＜a＜0时，解集为{x|}当0＜a＜1或a＜﹣1时，解集为{x|}，a=±1时，解集空集22．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n，首项为2，且2，a n，S n成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（理科学生做）若b n=log2a n，c n=，求数列{c n}的前n项和T n．（Ⅲ）（文科学生做）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由题意知2a n=S n+2，a n＞0，a1=2（1分）∴S n=2a n﹣2，=2a n﹣1﹣2，当n≥2时，S n﹣1两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），整理得：；（4分）∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴（6分）（Ⅱ）（理科）由（Ⅰ）知，∴b n=n，，（7分），…①，…②①﹣②得，（10分）∴，（11分）∴，（12分）（Ⅲ）（文科）由（Ⅰ）知，∴b n=n2n，（7分），…①，…②①﹣②得，（10分）∴，（11分）∴，（12分）23．（12分）通常用a、b、c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示△ABC的外接圆半径．（1）如图，在以O为圆心、直径为8的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=4，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2．【解答】解（1）△ABC的外接圆半径为4，在△ABC中，，∴A=30°（A=150°不合题意）（3分）∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==（5分）∴AB=（6分）（2）证明：法1：由余弦定理得，∵C为钝角∴cosC＜0，∴a2+b2＜c2（9分）又由正弦定理得c=2RsinC＜2R，∴c2＜4R2，∴a2+b2＜4R2（12分）法2：∵，由于∠C是钝角，∠A、∠B都是锐角，得，（8分）cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=，（10分）∴a2b2＜（4R2﹣a2）（4R2﹣b2），∴16R4﹣4R2（a2+b2）＞0，即a2+b2＜4R2．（12分）24．（12分）经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解答】解：由题意有y==≤=（3分）当且仅当v=，即v=30时上式等号成立，此时y max=≈11.3（千辆/小时）（6分）（2）由条件得＞10，整理得v2﹣68v+900＜0，（8分）即（v﹣50）（v﹣18）＜0，∴18＜v＜50（11分）故当v=30千米/小时时车流量最大，且最大车流量为11.3千辆/小时若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在18＜v＜50所表示的范围内．（12分）25．（14分）已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f（1）=．（1）若n∈N*时，求f（n）的表达式；（2）设a n=f（n），（n∈N*），求证：a1+a2+…a n＜1．（3）设b n=，s n=b1+b2+…+b n，求．【解答】解：（1）∵f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），，∴f（n+1）=f（n）f（1），即，∴f（n）为首项为，公比为的等比数列，∴．（2）∵，∴，＜1．（3）∵，∴， ∴，∴，∴．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。