八年级数学下册 19.1.1 变量与函数(第1课时)导学案(新版)新人教版
人教版数学八年级下册 变量(导学案)
第十九章一次函数灵师不挂怀,冒涉道转延。
——韩愈《送灵师》汪村学校钱少华19.1 函数19.1.1 变量与函数第1课时变量一、导学1.导入课题汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h.在这个过程中，哪些量变化，哪些量不变？这些量之间有什么关系？这就是我们今天要学习的“变量”(板书课题).2.学习目标（1）知道常量、变量，会用式子表示两个变量之间的变化关系.（2）通过分析探索生活实例理解常量、变量之间的关系，理解它们的相对性.3.学习重、难点重点：理解变量的实际意义.难点：能判断常量和变量，感知两个变量之间的变化关系.4.自学指导（1）自学内容：P71的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：仔细阅读教材内容，关键词语、重点内容做上记号.（4）自学参考提纲：①指出教材四个问题中的变量和常量.②在同一个问题中，如果存在两个变量，那么这两个变量之间应存在什么关系？③完成P71练习.④上面这些问题中的两个变量都有什么样的关系？⑤在圆的面积S和半径r中，r每取一个值，S都有唯一值与它对应吗？二、自学学生可参考自学参考提纲进行自学.三、助学1.师助生：（1）明了学情：关注学生对同一个问题中的两个变量的相关联系和一一对应关系的理解.（2）差异指导：对个性和共性问题进行分类指导.2.生助生：小组研讨，帮助解决疑难问题.四、强化1.强调常量与变量的意义.2.组织学生交流练习中的问题的答案.3.强调同一问题中的两个变量之间的对应关系.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己本节课的学习收获和存在的疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在本节课学习中的态度、学习方法、学习成果进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时内容是学生的认知由常量到变量的一个飞跃，教学时应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生感知变量存在的意义，体会变量间的相互依存关系和变化规律.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率p与时间t之间的关系，下列说法正的是(C)A.数100和p，t都是变量B.数100和p都是常量C.p和t是变量D.数100和t都是常量2.（10分）圆的周长公式为C=2πr，下列说法正确的是（C）A.常量是2B.变量是C，π，rC.变量是C,rD.常量是2，r3.(15分)在下表中，设x表示乘公共汽车的站数（站），y表示应付的票价(元).上表中的变量(C)A.仅有一个，是站数B.仅有一个，是票价C.有两个，一个是站数，一个是票价D.一个也没有4.(10分)多边形内角和α与边数n之间的关系式是α=180(n-2).5.（10分）小明带着10元钱去文具商店买日记本.已知每本日记本售价2元，则小明剩余的钱数y（元）与所买日记本的本数x（本）之间的关系可表示为y=10-2x.在这个关系式中，x、y是变量，0,-2是常量.二、综合运用(15分)6.(15分)根据条件写出下列关系式：（1）购买50个羽毛球，羽毛球的价y（元）与单价x（元）之间的关系；（2）周长为60cm的等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的关系；（3）矩形的面积为36，矩形的长y与宽x之间的关系.解：（1）y=50x；（2）y=30-12x；（3）y=36x.7.如图，在一个半径为18 cm的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化.（1）在这个变化过程中，自变量、函数各是什么？答案：小圆半、圆环面积.（2）如果挖去的圆半径为x(cm)，那么圆环的面积y(cm2)与x的关系式是y=324π-πx2；（3）当挖去圆的半径由1 cm变化到9 cm时，圆环面的面积由323πcm2变化到243πcm2.三、拓展延伸(15分)8.从甲地到乙地的路程为300km.一辆汽车从甲地到乙地，每小时行驶50km.回答下列问题：（1）汽车行驶1h后，距离乙地 250 km,距离甲地 50 km.(2)设汽车行驶时间为t(h),与乙地的距离为s(km).用含t的式子表示s;其中哪些是变量?哪些是常量?(3)这辆汽车行驶多长时间可到达乙地?解:(2)s=300-50t.其中s,t是变量,300,-50是常量.(3)300÷50=6(h)【素材积累】1、冬天是纯洁的。
人教版数学八年级下册19.1.1 《变量与函数》导学案(无答案)
A .y= B.y= C.y= D.y= ·
6．已知函数自变量的取值范围是 ＜x≤1，下列函数适合的是（）
A． B． D．
7.已知函数y= ,当x=a时的函数值为1，则a的值为（）
A.3B.－1C.－3D.1
8．已知函数式y=－3x－6，当自变量x增加1时，函数值（）
A．一切实数B．x≠0C．x≠0或x≠－2D．x≠0且x≠－2
4．若等腰三角形的周长为60cm，底边长为xcm，一腰长为ycm，则y与x的函数关系式及变量x的取值范围是（）
A．y=60－2x（0<x<60）B．y=60－2x（0<x<30）
C．y= （60－x）（0<x<60）D．y= （60－x）（0<x<30）
情感态度与价值观：
1、体验生活中的数学的应用价值，激发学生学数学、用数学的兴趣。
2、在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心。
3、用数量变化描述自然规律感受“万物皆变”的哲理。
二、学习重难点：
1、理解常量、变量和函数的概念,并能根据具体问题得出相应的函数关系式.
2、理解自变量、函数的关系，确定函数关系式
三、预习感知
常量、变量：在一个变化过程中,发生变化的量叫做；始终保持不变的量叫做；
练习一：1．某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总金额y（元）与学生数n（个）的关系式是,其中的变量是,常量是。
2．计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系式为,其中的变量是，常量是。
八年级下册数学科导学案
主备人：审核组长：
集体备课
备注
课题
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》导学案
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计1
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计1一. 教材分析《变量与函数》是人教版数学八年级下册第19.1.1节的内容，本节课主要介绍变量的概念以及函数的定义。
学生在学习本节课之前，已经掌握了代数基础知识，如代数式、方程等，为本节课的学习打下了基础。
本节课的内容是学生学习更高级数学知识的重要基石，对于培养学生的逻辑思维能力、解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于未知数、代数式等概念有了初步的了解。
但是，学生在学习过程中，可能对于抽象的变量概念、函数的定义及表示方法等方面存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过具体实例来理解抽象概念，提高学生的抽象思维能力。
三. 教学目标1.理解变量的概念，掌握常量与变量的区别。
2.理解函数的定义，掌握函数的表示方法。
3.能够运用变量和函数的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：变量、函数的概念及其表示方法。
2.难点：函数概念的理解，函数表示方法的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入变量和函数的概念，使学生能够更好地理解抽象知识。
2.引导发现法：教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现变量和函数的规律。
3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对变量和函数概念的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的教学课件，帮助学生直观地理解变量和函数的概念。
2.教学实例：准备一些生活实例，用于引导学生学习变量和函数。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如气温、水位等，引导学生思考这些量是如何变化的。
通过观察、讨论，让学生初步理解变量概念。
2.呈现（10分钟）介绍常量与变量的定义，让学生明确常量与变量的区别。
接着，引入函数的定义，讲解函数的表示方法，如解析式、图象等。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，举例说明生活中的一些函数关系，如身高与年龄的关系、商品价格与数量的关系等。
人教版八年级数学下册 第19章 19.1.1 变量与函数(第1课时)说课稿
变量与函数（第1课时）说课尊敬的各位领导和同仁们：大家好，今天我说课的内容是《变量与函数》第二课时。
下面我从教材分析、教法学法、学情分析、教学流程、板书设计、课后反思六个方面进行设计说明。
第一部分：教材分析（一）说教材地位和作用本节课是义务教育课程标准人教版数学八年级下册第十九章一次函数《变量与函数》中第二节课的内容。
变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一次飞跃。
遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则这一部分对于初中生来说是一块新的领域，但涉及的内容又与生活的实际联系非常密切，可以补充大量的实例来充实本课，进而吸引学生的学习兴趣，让学生感受数学在生活中可以广泛的应用到。
所举的实例也都能在认识函数的时候用到，有助于教师帮助学生在现实情境中，感受函数作为刻画现实世界的模型的意义，为下一节课奠定重要基础。
（二）说教学目标综上分析，本课时教学目标制定如下：教学目标：1.了解函数的概念。
2.能结合具体实例概括函数概念。
3.在函数概念形成的过程中体会运动变化与对应的思想。
（三）教学重点和难点【学习重点】概括并理解函数概念中的单值对应关系。
【学习难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量．以及结合实际问题表示自变量的取值范围。
第二部分：教法与学法分析：1.说教法方法与手段：本节课从学生熟悉的实际问题开始，将实际问题“数学化”，有利于学生体会与实验，思考与探索。
在概念教学设计中，注意遵循人们认识事物的规律，从具体到抽象，从特殊到一般，由浅入深。
采用教师引导，学生自主探索、合作交流的教学方式，让学生充分发挥聪明才智，去发现问题，提出问题，进而分析、解决问题，充分调动学生的积极性，培养学生的应用意识。
2.说学法根据本节课的内容特点及学生的心理特征，在学法上，极力倡导了新课程的自主探究、合作交流的学习方法。
通过对学生原有知识水平的分析，创设情境，使数学回到生活，鼓励学生思考问题、发现问题，充分发挥学生的主体作用，让学生成为学习的主人。
八年级数学下册《19.1.1 变量与函数(第1课时)》导学案(新版)新人教版
19.1.1变量与函数一、学习目标1.认识变量、常量2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量重点：了解常量与变量的关系难点：较复杂问题中常量与变量的识别.二．自主学习一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．１．根据题意填写下表：２．在以上这个过程中，变化的量是____ __．不变的量是__________．３．试用含t的式子表示s = 。
三．合作探究1、每张电影票售价为10元，如果第一场售出票150张，第二场售出205张，第三场售出310张．三场电影的票房收入分别为元．设一场电影售票x张，票房收入y元．•用含x的式子表示y为。
y随x的变化（填“要”或“不”）变化。
2、当圆的半径为10cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为20cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为30cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为r时，圆的面积S为；S随r的变化（填“要”或“不”）变化。
3、用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形长度．观察矩形的面积怎样变化．•记录不同的矩形的长度值时计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律：设矩形的长度为xm，面积为Ｓm2．怎样用含有x的式子表示S?因矩形对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10m的一半，即 m．若长为1m，则宽为 =4（m）据矩形面积公式：Ｓ＝ =4（m2）若长为2m，则宽为（m）面积Ｓ＝若长为xm，则宽为5 （m）面积Ｓ＝从以上三个题中可以看出，在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式．结论：在一个变化过程中，数值发生变化的量为，数值始终不变的量为。
注意：常量与变量必须存在于一个变化过程中。
判断一个量是常量还是变量，需这两个方面：四、达标测试１．若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝43Ｒ3．其中变量是_____、•_____，常量是________．2．夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0．7℃，已知山脚下温度是23℃，则温度y与上升高度x之间关系式为__________．3．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，•指出其中的常量与变量，并写出关系式．。
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第十九章一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数【教学目标】知识与技能1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律了解常量、变量的意义.2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.过程与方法体会数形结合的思想．情感、态度与价值观培养学生良好的变化与对应意识【教学重难点】重点：常量与变量的识别.难点：常量与变量的识别.【导学过程】【情景导入】由大量图片“万物皆变”）引入。
【新知探究】探究一、自主探究P71问题（1），汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．①．请同学们根据题意填写下表：t/时 1 2 3 4 5s/千米②．在以上这个过程中，变化的量是 ,不变化的量是_______．③．试用含t的式子表示s： s=________,t的取值范围是 ________ .这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间的变化过程．探究二、自主探究P71问题（2）~~（4），然后完成下列填空在（2）中用含x的式子表示y, 则y＝；在（3）中用含m的式子表示l, 则l ＝；在（4）中用含s的式子表示r,则r＝；探究三、1.概念、在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量．．．．．．为 .有些量的数值是始终不变的，我们称它们为 .2.在P71的五个问题中，（1）中的常量是，变量是；（2）中的常量是，变量是；（3）中的常量是，变量是；（4）中的常量是，变量是；（5）中的常量是，变量是 .【知识梳理】1.什么叫变量？什么叫常量？2.举一个运动变化的例子并指出其变量和常量．3.你认为变化过程中的变量之间会有联系吗？ 【随堂练习】1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q•（元）与他买这种笔记本的本数x 之间的关系是 （ ）A ．Q ＝8xB ．Q ＝8x －50C ．Q ＝50－8xD ．Q ＝8x ＋502．甲、乙两地相距S 千米，某人行完全程所用的时间t （时）与他的速度v （千米/时）满足S=vt ，在这个变化过程中，下列判断中错误的是 （ ）A ．S 是变量B ．t 是变量C ．v 是变量D ．S 是常量3．长方形相邻两边长分别为x 、•y •，面积为100•，•则用含x •的式子表示y •，则y ＝_______，在这个问题中， 常量； 是变量．4．某种报纸的价格是每份0.4元,买x 份报纸的总价为y 元,先填写下表,再用含x 的式子表示y ．x 与y 之间的关系是y＝ ,在这个变化过程中，常量是 ,变量是 ．5.一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t•（小时）表示水箱中的剩水量y （吨），y ＝ ，t 的取值范围是 .6．如图：已知△ABC 中，底边BC ＝15cm ，高AD 可以任意伸缩．写出△ABC 的面积Ｓ随AD 变化关系式，并指出其中常量与变量．7、如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n 盆花，每个图案的花盆总数是S ，求S 与n 之间的关系式.份数/份 1 2 3 4 5 6 7 100总价/元D A A A B Cn ＝1 n ＝2 n ＝3。
人教版八年级下册19.1.1变量与函数(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解变量与函数的基本概念。变量是指数值可变的量，而函数则是一种特殊的关系，描述了一个变量随另一个变量变化而变化的规律。它是数学模型中的重要组成部分，广泛应用于各个领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了函数在描述物体运动中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
举例：在解析式y = f(x)中，x为自变量，y为因变量，自变量是独立变量，而因变量随自变量变化。
（2）掌握函数的定义：使学生掌握函数的定义，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法、图象法）。
举例：给出一个具体函数，如y = 2x + 1，让学生学会用列表法、解析式法和图象法表示。
（3）学会绘制函数图像：培养学生通过描点、连线等方式绘制函数图像的能力。
2.教学难点
（1）函数抽象思维的培养：学生在从具体问题中抽象出函数关系时，可能存在一定的困难。
突破方法：通过生活中的实例，如气温随时间变化、物品价格与数量的关系等，引导学生理解函数的抽象概念。
（2）函数性质的判断：如何判断函数的单调性、奇偶性等性质，是学生学习的难点。
突破方法：通过具体函数的图象和解析式，引导学生观察、分析、归纳函数的性质，如奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
5.提高学生的数学运算能力：在学习函数相关知识的过程中，加强学生的运算训练，提高运算速度和准确性。
本节课将紧紧围绕核心素养目标，结合课本内容，注重培养学生的综合运用能力，为学生的全面发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解变量的概念：强调自变量与因变量的区别，使学生能够准确判断变量之间的关系。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现同学们对变量与函数的概念有了初步的认识，但仍然存在一些理解和应用上的困难。首先，对于变量的概念，尽管我通过生活中的实例进行了讲解，但部分同学在区分自变量和因变量时仍然感到困惑。在今后的教学中，我需要进一步强化变量的定义，并通过更多的实例来帮助同学们理解和掌握。
八年级数学下册19.1.1变量与函数学案(新版)新人教版
19．1 函数19．1.1 变量与函数01 课前预习要点感知1 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量． 预习练习1－1 直角三角形两锐角的度数分别为x 、y ，其关系式为y ＝90－x ，其中变量为x ，y ，常量为90．要点感知2 在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．如果当x ＝a 时，y ＝b ，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值．预习练习2－1 若球的体积为V ，半径为R ，则V ＝43πR 3.其中自变量是R ，V 是R 的函数． 要点感知3 函数自变量的取值范围既要满足函数关系式有意义，又要满足实际问题有意义． 预习练习3－1 甲乙两地相距100 km ，一辆汽车以每小时40 km 的速度从甲地开往乙地，t 小时与乙地相距s km ，s 与t 的函数解析式是s ＝100－40t ；自变量t 的取值范围是0≤t≤2.5. 02 当堂训练知识点1 变量与常量1．圆周长公式C ＝2πR 中，下列说法正确的是(D )A ．π、R 是变量，2为常量B ．R 是变量，2、π、C 为常量C ．C 是变量，2、π、R 为常量D ．C 、R 是变量，2、π为常量2．写出下列各问题中的数量关系，并指出各个关系式中，哪些是常量？哪些是变量？(1)购买单价为5元的钢笔n 支，共花去y 元；(2)全班50名同学，有a 名男同学，b 名女同学；(3)汽车以60 km /h 的速度行驶了t h ，所走过的路程为s km .解：(1)y ＝5n ，y 、n 是变量，5是常量．(2)a ＋b ＝50，a 、b 是变量，50是常量．(3)s ＝60t ，s 、t 是变量，60是常量．知识点2 函数的有关概念3．下列关系式中，一定能称y 是x 的函数的是(B )A ．2x ＝y 2B ．y ＝3x －1C .||y ＝23x D ．y 2＝3x －54．若93号汽油售价7.85元/升，则付款金额y(元)与购买数量x(升)之间的函数关系式为y ＝7.85x ，其中x 是自变量，y 是x 的函数．5．当x ＝2和x ＝－3时，分别求下列函数的函数值．(1)y ＝(x ＋1)(x －2)；(2)y ＝2x 2－3x ＋2.解：(1)当x ＝2时，y ＝(x ＋1)(x －2)＝(2＋1)×(2－2)＝0；当x ＝－3时，y ＝(x ＋1)(x －2)＝(－3＋1)×(－3－2)＝10.(2)当x ＝2时，y ＝2x 2－3x ＋2＝2×22－3×2＋2＝4；当x ＝－3时，y ＝2x 2－3x ＋2＝2×(－3)2－3×(－3)＋2＝29.知识点3 函数的解析式及自变量的取值范围6．(云南中考)函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围为(D ) A ．x ＞2 B ．x ＜2C ．x ≤2D ．x ≠27．正方形的边长为a ，面积为S ，若a 是自变量，则S 与a 之间的函数解析式可表示为(D )A ．S ＝a 4B ．S ＝4aC ．a ＝S 2D ．S ＝a 28．(眉山中考)在函数y ＝x ＋1中，自变量x 的取值范围是全体实数．9．(曲靖中考)如果整数x ＞－3，那么使函数y ＝π－2x 有意义的x 的值是1(只需填一个)．10．某商店进了一批货，每件进价为4元，售价为每件6元，如果售出x 件，售出x 件的总利润为y 元，那么y 与x 的函数关系式为y ＝2x.03 课后作业11．在△ABC 中，它的底边是a ，底边上的高是h ，则三角形面积S ＝12ah ，当a 为定长时，在此函数关系式中(A )A ．S ，h 是变量，12，a 是常量B ．S ，h ，a 是变量，12是常量C ．a ，h 是变量，12，S 是常量D ．S 是变量，12，a ，h 是常量12．(百色中考)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1（x≥0），4x （x<0），当x ＝2时，函数值y 为(A ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．813．(黔南中考)函数y ＝2x －2的自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的是(B )14．若等腰三角形的周长为60 cm ，底边长为x cm ，一腰长为y cm ，则y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围是(D )A ．y ＝60－2x(0<x<60)B ．y ＝60－2x(0<x<30)C ．y ＝12(60－x)(0<x<60)D ．y ＝12(60－x)(0<x <30)15．圆的面积S ＝πr 2中，自变量r 的取值范围是r>0．16．(安顺中考)在函数1－x x ＋2中，自变量x 的取值范围是x ≤1且x≠－2. 17．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的函数解析式；(2)写出自变量t 的取值范围；(3)10小时后，池中还有多少水？解：(1)剩余水的体积Q ＝800立方米－抽掉的水的体积，即Q ＝800－50t.(2)抽完水所需时间为：0＝800－50t，得t＝16，所以0＜t≤16.(3)当t＝10时，即Q＝800－50t＝800－50×10＝300(立方米)．18．圆柱的底面半径是 2 cm，当圆柱的高h(cm)由大到小变化时，圆柱的体积V(cm3)随之发生变化．(1)在这个变化过程中，自变量和自变量的函数各是什么？(2)在这个变化过程中，写出圆柱的体积V与高h之间的关系式？(3)当h由5 cm变化到10 cm时，V是怎样变化的？(4)当h＝7 cm时，V的值等于多少？解：(1)自变量是圆柱的高，自变量的函数是圆柱的体积．(2)体积V与高h之间的关系式V＝π·22h＝4πh.(3)当h＝5 cm时，V＝20π (cm3)；当h＝10 cm时，V＝40π (cm3)．当h越来越大时，V也越来越大．(4)当h＝7 cm时，V＝4π×7＝28π (cm3)．挑战自我19．如图，长方形ABCD中，当点P在边AD(不包括A，D两点)上从A向D移动时，有些线段的长度和三角形的面积始终保持不变，而有些则发生了变化．(1)试分别写出长度变和不变的线段，面积变和不变的三角形；(2)假设长方形的长AD为10 cm，宽AB为4 cm，线段AP的长为x cm，分别写出你所列出的变化的线段PD的长度(y)、△PCD的面积(S)与x之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围．解：(1)长度变化的线段有：AP ，PD ，BP ，PC ； 面积变化的三角形有：△APB，△DCP ； 长度不变的线段有：AB ，BC ，CD ，AD ；面积不变的三角形有：△BPC.(2)根据题意可知：PD ＝AD －AP ，AD ＝10 cm ，AP ＝x cm ， ∴y ＝10－x ，其中0＜x ＜10.根据题意可知：△PCD 的面积为12·DC·PD，∴S ＝12×4×(10－x)＝20－2x.其中0＜x ＜10.。
人教版八年级下册19.1.1 变量与函数(1)教学设计
《19.1.1 变量与函数》教学设计（第1课时）一、内容和内容解析1．内容变量与常量的概念．2．内容解析本课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量．有了变量的概念，便为研究成函数关系的两变量的“运动与对应”关系打下基础．本课从学生身边的常见问题及四个简单的实际问题入手，通过分析问题中数值的变与不变，引出变量与常量的概念，且问题中变量的单值对应关系也为学习函数的定义作了铺垫．二、教学问题诊断分析变量是学生第一次接触，对一个运动变化过程中的两个变量的关系，学生往往只认为是一种确定的数量关系，类似于一元一次方程，没有用运动与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖的变化．三、教学目标1.了解变量与常量的意义，体验在一个过程中常量与变量是相对存在的；2. 在较复杂问题中辨别常量与变量；3. 通过列举同学们身边的事例，激发同学们探究问题的兴趣，体会数学的应用价值，在探索活动中获得成功的体验。
学习重难点：重点：能找出一个变化过程中的变量与常量，难点：体会运动变化过程中量的变化．四、设计理念：1.改变知识的呈现方式，创设良好的游戏，情景氛围，激发学生的学习欲望，理清知识的来龙去脉。
2.改变单纯的学习方式，通过观察，分析，归纳，运用等活动，体验用数学的思维解决问题，增强应用意识，形成数学能力。
3.优化提问设计，给学生充分思考，交流的时空，引导学生自主构建变量与常量的定义。
新课标指出学生是学习的主人，是学习的主体。
本节课的整个教学过程，学生的思维处于活跃状态，学生获得知识的同时，学习能力和学习方法也得到了相应的发展，通过对比，学生主动建构知识，在总结中增强了学习的信心，并体验到了数学来源于生活，服务于生活。
五、设计思路：从学生感兴趣的生活实例入手，自然的创设了愉快的学习氛围，使学生轻松的理解了变量与常量这一比较枯燥的概念，接着通过四个探究，使学生从解析式，表格，图像等三种形式中辨析出变量与常量，在对比中主动观察，分析和讨论，感知理解从初步到深刻，从数字到字母，从特殊到一般，逐步深入。
人教版八年级数学下册导学案19.1.1 变量与函数(第一课时)
“学展练”魅力课堂八年级数学（下）导学案组名：姓名日期: 编制：审核：审批：八年级数学组编号：课题：19.1.1 变量与函数课时：第1 课时
一、学习主题：1．认识变量、常量.
2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.
练的环节（时间： 15分钟 训练方式： 安静、独立、自主完成 ） 分数：
一、基础题:
1．关于l=2πr ，下列说法正确的是（ ）
A ．2为常量，π，l ，r 为变量
B ．2π为常量，l ，r 为变量
C ．2，l 为常量，π，r 为变量
D ．2，r 为常量，π，l 为变量 2．摄氏温度C 与华氏温度F 之间的对应关系为5
(F-32)9
C =
℃，则其中的变量是 ，常量是 。
3．在△ABC 中，它的底边是a ，底边上的高是h ，则三角形的面积 ah S 2
1
=，当底边a 的长一定时，在关系式中的常量是 ，变量是 。
二、发展题：
4.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量。
（1）甲乙两地相距1000千米，一人骑自行车以15千米/小时的速度从甲地前往乙地，用行驶时间t(小时)表示自行车离乙地的距离S(千米)。
（2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系。
三、提高题：
5.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放．试确定瓶子总数y 与层数x 之的关系式．
[思考] 从题意可知： 堆放1层，总数y=1 堆放2层，总数y=1+2 堆放3层，总数y=1+2+3 … …
堆放x 层，总数y=
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！。
八年级数学下册 19.1.1 变量与函数导学案 (新版)新人
一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数1.认识变量、常量.2.学会用一个变量的代数式表示另一个变量.3.认识变量中的自变量与函数.4.进一步理解掌握确定函数关系式.5.会确定自变量的取值范围.自学指导：阅读教材第71页至74页，独立完成下列问题：知识探究(1)一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.①根据题意填写下表：t/时 1 2 3 4 5s/千米60 120 180 240 300②试用含t的式子表示s为s=60t；③在以上这个过程中，不变化的量是60，变化的量是s与t.(2)每张电影票的售价为10元，早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张.①三场电影的票房收入分别是1500元，2050元，3100元.②设一场电影售票x张，票房收入y元，则用含x的式子表示y为y=10x.③在以上这个过程中，不变化的量是10，变化的量是x与y.(3)变量：在一个变化的过程中，数值变化的量；常量：在一个变化的过程中，数值不变的量.(4)一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个变化值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数. (5)对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数有意义的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义.活动1 学生独立完成例1 分别指出下列关系中的变量和常量：(1)圆面积公式S=πr2(s表示面积，r表示半径)；(2)匀速运动公式s=vt(v表示速度，t表示时间，s表示在时间t内所走的路程).解：(1)r、S是变量，π是常量；(2)t、s是变量，v是常量.π是圆周率，是定值，是常量，半径r每取一个值都有唯一的S值和它对应，故S和r是变量.因为是匀速运动，所以速度v是常量，t和s是变量.例2 如图，一个矩形推拉窗高1.5m，则活动窗的通风面积S(m2)与拉开长度b(m)的关系式是S=1.5b.窗高1.5m是一边长，拉开长度b(m)是另一边长，因此通风面积S=1.5b.例3 某火力发电厂，贮存煤1000吨，每天发电用煤50吨，设发电天数为x，该电厂开始发电后，贮存煤量为y(吨).(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)为了保障电厂正常发电，工厂每天将从外地运回煤45吨，请写出按此方案执行时，y与x之间的函数关系式，并求出发电30天时，电厂贮存煤多少吨？解：(1)y=-50x+1000；(2)y=-5x+1000，当x=30时，y=-5×30+1000=850.∴当发电30天时，电厂贮存煤850吨.电厂贮存的煤量与原贮存量，每天发电的用煤量，每天从外地运回的煤量，以及发电天数有关.活动2 跟踪训练1.设圆柱的高h不变，圆柱的体积V与圆柱的底面半径r的关系是V=πr2h，这个式子中常量是π，h，变量是V，r.2.若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝43πＲ3.其中变量是R，V，常量是43，π.找准不变的量，再确定变量.3.下列变量间的关系：①人的身高与年龄；②矩形的周长与面积；③圆的周长与面积；④商品的单价一定，其销售额与销售量，其中是函数关系的有③④.一是明确已知两个变量是什么；二是看两个变量之间是否存在一一对应关系.4.某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12米3，按每立方米a元收费；若超过12米3，则超过部分每立方米按2a元收费，某户居民五月份交水费y(元)与用水量x(米3)(x>12)之间的关系式为y=2ax-12a，若该月交水费20a元，则这个月实际用水16米3.5.若等腰三角形底角度数值为x，则顶角度数值y与x的关系式是y=-2x＋180，变量是x，y，常量是-2，180.6.在△ABC中，它的底边长是a，底边上的高是h，则三角形的面积S=12ah，当底边a的长一定时，在关系式中的常量是12，a，变量是S，h.7.已知水池里有水200m3，每小时向水池里注水20m3，设注水时间为x小时，水池里共有水ym3，用含x的式子表示y，则y=20x+200，其中变量为x，y，常量为20，200.8.人的心跳速度通常与人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数，经过大量试验，有如下的关系：b=0.8(220-a).(1)上述关系中的常量与变量各是什么？(2)正常情况下，一名15岁的学生每分钟心跳的最高次数是多少？解：(1)常量0.8，220，变量a,b； (2)164.9.蓄水池中原有水800m3，每小时从中放出60m3的水.(1)写出池中的剩余水量Q(m3)与放水时间t(h)之间的函数关系式；(2)写出自变量t的取值范围；(3)12h后，池中还有多少水？解：(1)Q＝-60t＋800； (2)0≤t≤403； (3)80m3.实际问题中的函数关系，自变量除了要使函数关系式本身有意义，还要满足实际意义.此题要根据函数Q的取值范围0≤Q≤800来确定自变量t的取值范围.活动3 课堂小结1.常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，因此对它们的差别应紧扣定义及相应的实际背景.2.判断变量之间是否存在函数关系，主要抓住两点：一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与之对应.3.确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意使实际问题有意义.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。
最新八年级下册函数19.1.1变量与函数第1课时常量与变量导学案新人教版【优选】
第十九章 函数19.1 函数19.1.1 变量与函数 第1课时 常量与变量学习目标：1.了解常量与变量的概念，掌握常量与变量之间的联系与区别.2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.重点：能够区分同一个问题中的常量与变量. 难点：用式子表示变量间的关系.一、知识链接1.人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征（属性），如：速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量”： 、 、 .同时用“数”来表明“量”的大小.2.写出路程（s ）、速度（v ）、时间（t ）之间的关系： . 二、新知预习1.小明去文具店购买一些铅笔，已知铅笔的单价为0．2元／支，总价y 元随铅笔支数x 的变化而变化，在这个问题中，变量是________，常量是________.2.圆的面积S 随着半径r 的变化而变化，已知它们的关系为:2r S π=,在这个问题中，常量是 ，变量是 . 3.自主归纳：变量：在一个变化过程中，数值________的量为变量. 常量：在一个变化过程中，数值________的量为常量. 三、自学自测1.指出下列关系式中的常量和变量.（1）长方形的长为2，长方形面积S 与宽x 之间的关系S=2x ；（2）一批香蕉每千克6元，则总金额y （元）与销售量x （千克）之间的关系式为y=6x.2.一名运动员以8米/秒的速度奔跑，写出他奔跑的路程s （米）与时间t （秒）之间的关系式，并指出其中的变量和常量.四、我的疑惑____________________________________________________________ ____________________________________________________________一、要点探究探究点1问题1：小时．（1（2）试用含t（3问题2：售出310（1（2（3）试用含x张数_____问题3：r分别为（1）填空：（2要点归纳：(1)变量是________(2)周长C________；(3)中，其中常量是变式题（1）________.（2）s________,（3）根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论：_________________________.1.若球体体积为V ，半径为R ，则343V R π=，其中变量是________、________，常量是________.2.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)与单价 a （元）的关系式是________，其中变量是________，常量是________.3.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q （升）与5.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y 与层数x 之间的关系式.完成上表，并写出瓶子总数y 与层数x 之间的关系式.。
八年级数学下册第十九章一次函数19.1变量与函数19.1.1变量与函数(二)导学案(新版)新人教版
4、函数 中自变量 的取值范围是.
5、函数 的自变量x的取值范围是
六、独立作业我能行
1、预习课本P75-77页
2、课本P81-82页习题19.1第1---5题及第7题
学习活动
设计意图
七、课后反思：
1、学习目标完成情况反思：
2、掌握重点突破难点情况反思：
3、错题记录及原因分析：
考虑到x 代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0．1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0．1x≤50，x≤500．
因此自变量x的取值范围是： 0≤x≤500
③汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0．1x
学习活动
设计意图
在x＝200时的函数值，将x=200代入y=50-0．1x
学习重点
1、进一步掌握确定函数关系的方法．
2、确定自变量的取值范围．
学习难点
认识函数、领会函数的意义
学具使用
多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考（课前20分钟）
1、阅读课本P 72～74 页，思考下列问题：
（1）什么是自变量？什么是函数？什么是函数值？
（2）什么是函数解析式？
（3）其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：
①下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？
学习活动
设计意图
②在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y， 对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？
初中八年级数学下册19.1变量和函数(第1课时)教案新人教版
学
反
思
变量和函数
课题
变量和函数
课时
第1课时
课型
新授课
作课时间
教学
内容
分析
本节课学习变量和函数的概念。教学目标1.在探究问题的过程中，探索具体问题中的数量关系和变化规律.
2.体会从具体的事例中寻找常量、变量、判断两个变量之间是否满足函数关系的过程.
3.结合实例了解常量、变量的意义，理解函数的概念以及自变量的意义.
板
书
设
计
变量和函数
有些量，它们始终保持不变，我们称之为常量。而有些量，在某一变化过程中，可以取不同数值，我们称之为变量.
函数的定义：某一变化过程中有两个变量x，y，对于变量x每取一个确定的值，
y都有唯一确定的值与之对应.我们称y是x的函数.
【当堂训练】
1.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？
理解
记忆
分析
讨论
继续利用问题引申，探索函数的概念.引 导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了 难点.
作
业
指出下列问题中的变量和常量：
(1)某市的自来水价为4元/t.现要抽取若干户居民调查水费 支出情况，记某户月用 水量为xt，月应交水费为y元．
(4)P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它的坐标记为y，y随x的变化而变化.
2.你能用含自变量的式子表示下列函数，并说出自变量的取值范围吗？
(1)等腰三角形的面积为12，底边长为x，底边上的高为y，y随着x的变化而变化；
(2)把边长为10cm的正方形纸板的四个角都截去一个边长为x的小正方形，做成一个无盖的长方体，该长方体的体积V(单位：cm3)随x( 单位：cm)的变化而变化。
【复习必备】2019八年级数学下册 第19章 一次函数 19.1.1 变量与函数(1)教案 (新版)新人教版
情感态 度与价 值观 教学 重点 教学 难点
引导学生探索实际问题中的数量关系,培养学习数学的兴趣和积极参 与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功 的喜悦,建立自信心.
教学 重点 难点
能判断常量和变量，感知两个变量之间的变化关系.
变量和常量的概念的理解. 教学媒体选择析表
知识点 介绍 讲解 讲解
1
设计
一、新课导入 1、万物皆变（图片欣赏） 2、 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程为 s km， 行驶时间为 t h.在这个过程中，哪些量变化，哪些量不变？ 3、如图，小球在斜坡上滚 动，请观察这一运动变化过 程，你注意到了什么变化？ （师生活动：带领学生观察图片，寻找生活中的变化的事 物，引导学生朝本节课的内容转化） 二、推进新课 知识点：常量与变量 指出下列四个问题中的变量和常量： 1.汽车以 60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程为 skm，行驶 时间为 th. 2.电影 票的售价为 10 元/张.第一场售出 150 张票， 第二场 售出 205 张票，第三场售出 310 张票，三场电影的票房收入各 为多少？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元，y 值随 x 的值变化而变化吗？
变量与函数
课题 课标依据 19.1.1 变量与函数(1) 授课类型 新授
探索简单实例中的数 量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；结 合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。
知识与 技能
知道常量、变量，感受两个变量之间的变化关系.
教学 目标
过程与 方法
通过丰 富的实例，分析变化过程中的常量与变量，经历从实际问题中 得到函数关系式的过程,发展学生的数学应用能力.
学习目标 知识目标 过程与方 法 过程与方 法
八年级数学下册 19.1.1 变量与函数教案 (新版)新人教
变量与函数教学目标知识与技能1.认识变量、常量．2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．过程与方法1.经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．2.逐步感知变量间的关系．情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.认识变量、常量2.用式子表示变量间关系教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量教学方法精心设疑合作交流自主探究教具准备多媒体课件课时安排1课时教学过程活动一组织教学通过学生对一天内气温的感觉引入变化的量，观看幻灯片中随时间的变化温度也随着变化的图像，让学生感受到数学就在我们身边。
活动二问题解决，引入实例1、周末，老师乘车回家。
汽车以每小时60km的速度匀速行驶，行驶时间为t小时，行驶路程为s km。
2、用20m 长的绳子围成矩形，矩形的一边长为 x m，邻边长为y m。
3、计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数为n个，单价 a元。
4、每张电影票的售价是10元，一场电影售出x张票，票房收入为y元。
活动三提出问题，感受特征提问1：分别指出（1）~（4）的变化过程中涉及到哪些量，你能将这些量分为几类？分类的标准是什么？提问2：这些量有什么数量关系？提问3：在（1）~（4）的变化过程中，当一个量发生变化时，另一个量是否也随之发生变化？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？（修改学生认可的关系式）提问4：在（1）~（4）的变化过程中，发生变化的量有限制条件吗？如何限制？活动四适时命名，学生定义变量（variable）：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。
常量（constant）：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
问题1：请指出上面各个变化过程中的常量、变量。
活动五 辨析概念，巩固练习1、填空（1）某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总金额y （元）与学生数n （个）的关系式是 ，其中的变量是 ，常量是 。
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19.1.1 变量与函数
【学习目标】
1.结合实例掌握常量与变量，了解自变量的意义
2.通过实践探索参与变量的发现，以提高分析问题和解决问题的能力. 学习重点：能分清实例中的常量、变量
学习难点：能举例说明常量、变量.
【导入】
【自主学习、合作交流】
变量与常量
1.完成课本P94页的5个问题，并把答案写在下面：
2.什么是变量，什么是常量？并完成P95页的“思考”。
3.分别说出以上5个问题中哪些量是自变量？
4.变量和常量的区别是什么
【知识应用】
根据题意写出适当的式子,并指出其中的变量、常量、自变量。
（1）改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.
（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.
（3）多边形的内角和W与边数n的关系.
解：根据题意列表解答如下
【课堂小结】（谈谈本节课你有什么收获？还有什么困惑）
【当堂检测】
1.在圆的周长R
cπ2
=中，常量与变量分别是( )
(A) 2是常量，c、π、R是变量
(B)2π是常量，c、R是变量
(C) c、2是常量，R是变量
(D)2是常量，c、R是变量
2.指出下列关系式中的常量、变量。
（1）求余角的公式y=900-x中，变量是常量是
（2）在△ABC中，它的底边长是a，底边上的高是h，则三角形的面积S=
2
1
ah，若a 为定长，则此式中变量是，常量是
若h为定长，则此式中变量是，常量是
3.购买一些铅笔,单价为0.2元/枝,总价y元随铅笔枝数x变化,写出y与x的关系式是
其中常量是 ,变量是 ,自变量是
【
课后作业
】
Ⅰ 必做题
1.齿轮每分钟120转，如果n 表示转数，t 表示转动时间，那么用t 表示n 的 关系是 ，其中 为变量， 为常量．
2.学校食堂现存粮食21000kg,平均每天用粮食200 kg ，那么剩余粮食ykg ，食用的天数为x ，其中常量是 ，变量是
3.为了丰富学生的课外活动，八年级（2）班计划购买50元的乒乓球，能购买的总数n （个）与单价a （元）的关系式为 其中常量是 ， 变量是
4.用总长为100m 的篱笆围成一个长方形场地,长方形面积S(m 2
)与一边a(m)之间的关系式为S=a(50-a),那么下列说法中正确的是
A. a 是常量,S 是变量
B. S 是常量,a 是变量
C. 100,50是常量,S,a 是变量
D. 50是常量,S,a 是变量 5.指出下列各关系式中的常量与变量：
(1)正方体的表面积S(cm 2
)与棱长a(cm)之间的关系式S=6a.
(2)某种商品的成本是a 元,售出价y （元）与利润率x 之间的关系式是y=a+ax.
（3）① y=3x+5 ②y=2x 2 -7 ③m=31n-7 ④y=2
4
x π-6x+3
6.已知水池中海油水600m 2
.现每小时抽出50 m 2
.剩余的水的体积V （m 2
）与抽水 时间t(h)之间的关系式是：V=600-50t.指出这个关系式中的变量和常量.
Ⅱ 选做题
7.正方形的边长为3,若边长增加x 则面积增加y,写出y 随x 变化的函数关系式为 ,其中常量是 ， 变量是 自变量
8.一个三角形的底边长是5cm ，高h 是可以任意伸缩，写出面积S 随h 变化的关 系式，并指出其中的常量和变量.
9.以固定的速度v 0（米／秒）向上抛一个小球，小球上升的高度h （米）与小球运 动的时间t （秒）之间的关系式为h= v 0t-4.9t 2
指出这个变化过程中的常量和变量.
【课后反思】 【评价】。