2018高考数学异构异模复习第一章集合与常用逻辑用语1.2.1四种命题及其真假判断课件理

合集下载

(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1_2命题及其关系充分条件与必要条件教师

第一章集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书理苏教版1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( ×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(×)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题.( √)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( √)(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.( √)(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.( √)1.下列命题中为真命题的是________.(填序号)①命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；②命题“若x>1，则x2>1”的否命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题.答案①解析对于①，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.2.(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________________________.答案若x≤y，则x2≤y2解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.3.(教材改编)给出下列命题：①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题； ②命题“如果△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若a >b >0，则3a >3b >0”的逆否命题；④命题“若m >1，则不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 答案 ①②③解析 ①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题为：“若b 2－4ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题. ②命题“如果△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC 为等边三角形，那么AB ＝BC ＝CA ”，由等边三角形的定义可知其为真命题.③原命题“若a >b >0，则3a >3b >0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题.④原命题的逆命题为：“若不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1”，不妨取m ＝2验证，当m ＝2时，有2x 2－6x －1>0，Δ＝(－6)2－4×2×(－1)>0，其解集不为R ，故为假命题.4.(2016·北京改编)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的______________条件. 答案既不充分又不必要解析若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分又不必要条件. 5.在下列三个结论中，正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件. 答案 ①②解析易知①②正确.对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误.题型一命题及其关系例1 (2016·扬州模拟)下列命题：①“若a2<b2，则a<b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中正确的命题是________.(填序号)答案③④解析对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确.思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是__________.(2)(2016·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是______________________________.答案(1)若x≤0，则x2≤0(2)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3解析(2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.题型二充分必要条件的判定例2 (1)(2016·江苏南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)(2)(2016·泰州模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为________.答案(1)必要不充分(2)③解析(1)根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l⊥m”推不出“l⊥α”，但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”，故填必要不充分.(2)因为函数y＝3x在R上为增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错；当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③正确.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.(1)函数f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)(2)(2017·镇江质检)已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，q ：a >0或a <－1，则p 是q 的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)答案 (1)充要 (2)必要不充分解析 (1)f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝0，所以a ＝12，此时f (1)＝13－1＋12＝1，反之也成立，因此填“充要”.(2)关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，则4a 2＋4a ≥0⇒a ≤－1或a ≥0，从而q ⇒p ，反之不成立，故p 是q 的必要不充分条件. 题型三充分必要条件的应用例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]. 引申探究1.若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.2.本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇏P .∴[－2，10][1－m ，1＋m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞).思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.(2016·盐城期中)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3<0}，集合B ＝{x ||x ＋a |<1}.(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)解不等式x 2＋2x －3<0，得－3<x <1，故A ＝(－3，1). 当a ＝3时，由|x ＋3|<1，得－4<x <－2，故B ＝(－4，－2)，所以A ∪B ＝(－4，1).(2)因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. 又集合A ＝(－3，1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1<1或⎩⎪⎨⎪⎧－a －1>－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.1.等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ，q 是两个命题，那么“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的__________条件.(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________.思想方法指导等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.解析 (1)因为“p ∧q 是真命题”等价于“p ，q 都为真命题”，且“綈p 是假命题”等价于“p 是真命题”，所以“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的充分不必要条件. (2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件. 所以{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案 (1)充分不必要 (2)[1，＋∞)1.下列命题中的真命题为________.(填序号) ①若1x ＝1y，则x ＝y ；②若x 2＝1，则x ＝1；④若x <y ，则x 2<y 2. 答案 ①2.(教材改编)命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为________________. 答案若a ≤b ，则2a≤2b－1解析 ∵“a >b ”的否定是“a ≤b ”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则2a≤2b－1”.3.(2016·南京模拟)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________. 答案 1解析原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个. 4.(2015·重庆改编)“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的____________条件.答案充分不必要解析由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的充分不必要条件.5.(2016·山东改编)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的______________条件. 答案充分不必要解析若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交.6.已知集合A ＝{x ∈R |12<2x<8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是__________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x ∈R |12<2x<8}＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.7.设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的________条件. 答案充要解析由Venn 图易知充分性成立.反之，A ∩B ＝∅时，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件.*8.(2015·湖北改编)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则下列说法正确的是________.(填序号)①p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件； ②p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件； ③p 是q 的充分必要条件；④p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件. 答案 ②解析若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件.取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件.9.(2016·无锡模拟)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的__________条件. 答案充要解析设f (x )＝x |x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以f (x )是R 上的增函数，所以“a >b ”是“a |a |>b |b |”的充要条件. 10.有三个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题.其中真命题的序号为____________.答案 ①解析命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.11.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析 ∵x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，又∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数.当x ∈[3，4]时，x －4∈[－1，0]，∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4).故x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，充分性成立.反之，若x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，此时x －4∈[－1，0]，∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)，则当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数.∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，必要性也成立.故“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的充要条件.12.若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________. 答案 [0，2]解析由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 13.若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是___________.答案 [32，＋∞) 解析若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是可得3>2λ，即λ<32. 故所求λ的取值范围是[32，＋∞). *14.下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件.正确的是________.答案 ①④解析由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零，反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，所以③不正确，④正确.15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1).求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)，当n ＝1时也成立.∴a n ＝p n －1(p －1)，n ∈N *. 又a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ， ∴数列{a n }为等比数列.必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1).∵p ≠0，且p ≠1，{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p . ∴p p －1p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1. 综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件.。

2018版高中数学第1章常用逻辑用语 1.1.1 四种命题学案苏教版选修2-1

1．1.1 四种命题[学习目标] 1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义.2.会分析四种命题的相互关系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题．知识点一命题的概念(1)定义：能够判断真假的语句叫做命题．(2)真假命题：命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(3)命题的一般形式：命题的一般形式为“若p，则q”．通常，命题中的p是命题的条件，q是命题的结论．知识点二四种命题及其表示一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，那么，对p和q进行“换位”和“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题：原命题：若p则q；逆命题：将条件和结论“换位”，即若q则p；否命题：条件和结论“换质”，即分别否定；逆否命题：条件和结论“换位”又“换质”，即分别否定，且位置互换．知识点三四种命题的相互关系(1)四种命题的相互关系(2)四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：①原命题为真，它的逆命题不一定为真．②原命题为真，它的否命题不一定为真．③原命题为真，它的逆否命题一定为真．题型一命题及其真假的判定例1 判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．(1)求证5是无理数．(2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(3)你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数．(5)x＋y是有理数，则x、y也都是有理数．(6)60x＋9>4.解(1)祈使句，不是命题．(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．(5)是假命题，如x＝2，y＝－ 2.(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定．反思与感悟判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假．一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．跟踪训练1 下列语句是不是命题，若是命题，试判断其真假．(1)4是集合{1,2,3}的元素；(2)三角函数是函数；(3)2比1大吗？(4)若两条直线不相交，则两条直线平行．解(1)是命题，且是假命题；(2)是陈述句，并且可以判断真假，是命题，且是真命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)是命题，且是假命题．题型二四种命题的关系例2 下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.反思与感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪训练2 下列命题为真命题的是________．(填序号)①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．答案①③④解析①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题．③原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题．正确的命题为①③④.题型三等价命题的应用例3 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假．解原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．反思与感悟因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性．这种证明方法叫做逆否证法，它也是一种间接的证明方法．跟踪训练3 判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4，∵m>0，∴Δ>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．写出原命题的否命题(逆否命题)时出错要写出一个命题的否命题，需既否定条件，又否定结论．对条件和结论要进行正确的否定，如：“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，避免出现因不能正确否定条件和结论而出现错误．例4 写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题、逆否命题．错解原命题的否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y全不为0”；原命题的逆否命题为：“若x，y全不为0，则x2＋y2≠0”．正解原命题的否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”；原命题的逆否命题为：“若x，y不全为0，则x2＋y2≠0”．易错警示1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是________．(填序号)①若a∉A，则b∉B; ②若a∈A，则b∉B；③若b∈B，则a∉A; ④若b∉B，则a∉A.答案②解析命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是______．(填序号)①若A∪B＝B，则A∩B＝A；②若A∩B≠A，则A∪B≠B；③若A∪B≠B，则A∩B≠A；④若A∪B≠B，则A∩B＝A.答案③解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”．3．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________，它是________命题(填“真”或“假”)．答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假4．给出以下命题：①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．答案 ③解析 ①否命题是“若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数”．假命题． ②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”．假命题．③∵Δ＝1＋4m ，m >0时，Δ>0，∴x 2＋x －m ＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真． 5．“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是________命题(填“真”或“假”)．答案若α≠π6，则sin α≠12 假解析逆否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”是假命题．1.写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定非p 和结论q 的否定非q ； (3)按照四种命题的结构写出所求命题．2．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．。

18高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件课件文

解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③
[由题悟法]
充要条件的3种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
[小题纠偏]
1．设a，b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b的方向相同”的________条件．
答案：必要不充分 2．“在△ABC中，若∠C＝90° ，则∠A，∠B都是锐角”
的否命题为：________________．
解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C＝90° ，结论：∠A，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．
2．(2017· 衡阳联考)设p：x2－x－20>0，q：log2(x－5)<2，则p 是q的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ( )
解析：∵x2－x－20>0，∴x>5或x<－4，∴p：x>5或x< －4．∵log2(x－5)<2，∴0<x－5<4，即5<x<9，∴q： 5<x<9，∵{x|5<x<9} {x|x>5或x<－4}，∴p是q的必要不充分条件．故选B．答案：B

2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学案新人教A版选修1_1(含解析)

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.(重点)2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.(难点)3.利用命题真假的等价性解决简单问题.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 四种命题阅读教材P4～P6，完成下列问题.1.四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.2.四种命题的形式原命题：若p，则q.逆命题：若q，则p.否命题：若﹁p，则﹁q.逆否命题：若﹁q，则﹁p.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有的命题没有逆命题.( )(2)四种命题中，原命题是固定的.( )(3)“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.()【解析】(1)只要原命题确定了，它的逆命题就确定了，故(1)错.(2)四种命题中原命题具有相对性，故(2)错.(3)“对顶角相等”的否命题为“若两个角不是对顶角，则这两个角不相等”，故(3)错.【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2 四种命题间的相互关系阅读教材P6～P8，完成下列问题.1.四种命题之间的相互关系2.四种命题的真假关系(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题都没有.( )(2)两个互逆命题的真假性相同.( )(3)命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数有3个.( )【解析】(1)若原命题为假命题，则其逆否命题为假命题，逆命题和否命题可都为假命题，故(1)对.(2)两个互逆命题的真假性无关，故(2)错.(3)原命题和逆否命题正确，否命题和逆命题错误，故(3)错.【答案】(1)√(2)×(3)×[小组合作型]写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x＞10，那么x＞0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.【导学号：97792002】【精彩点拨】根据四种命题的结构写出所求命题.【自主解答】(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线.(2)逆命题：如果x＞0，那么x＞10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.1.写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论；(2)将命题写成“若p，则q”的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.注意：如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变.2.常见词语的否定[再练一题]1.(1)命题“若m＞n，则m－1＞n－2”的逆否命题为________.(2)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：①正数的平方根不等于0；②若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0.【解析】(1)若m－1≤n－2，则m≤n.(2)①逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数.②逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0(x，y∈R)；否命题：若x2＋y2≠0(x，y∈R)，则x，y不全为0；逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0(x，y∈R).把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：(1)正偶数不是素数；(2)平行于同一条直线的两条直线平行.【精彩点拨】把命题改写成“若p，则q”的形式→依据定义写出另外三种命题→判断真假【自主解答】(1)原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题；逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题；逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题.(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题.逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题.否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题.逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题.在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假.[再练一题]2.下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题.其中是真命题的是________.【解析】①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题.所以真命题是①②③.【答案】①②③[探究共研型]探究1 我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？【提示】可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.探究2 根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假，是哪种证明方法的理论基础？【提示】是反证法的理论基础.判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假.【导学号：97792003】【精彩点拨】法一：分析已知命题→写出逆否命题→利用Δ求a的范围→判断命题真假法二：判断原命题真假→判断逆否命题真假【自主解答】法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集.真假判断如下：∵抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，若a<1，则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点.所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.法二先判断原命题的真假.。

高中数学第一章常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)[自主预习·探新知]1．四种命题的概念及表示形式名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”2.四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]四种命题把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：原词语等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个原词语至少有一个至多有n个任意的任意两个所有的能否定词语一个也没有至少有(n＋1)个某一个(确定的)某两个某些不能1．(1)命题“若y ＝kx ，则x 与y 成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A ．若y ≠kx ，则x 与y 成正比例关系B ．若y ≠kx ，则x 与y 成反比例关系C ．若x 与y 不成正比例关系，则y ≠kxD ．若y ≠kx ，则x 与y 不成正比例关系D [条件的否定为y ≠kx ，结论的否定为x 与y 不成比例关系，故选D.] (2)命题“若ab ≠0，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________．若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0 [“ab ≠0”的否定是“ab ＝0”，“a ，b 都不为零”的否定是“a ，b 中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0”．]四种命题的关系及真假判断(1)对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一写出原命题的逆否命题→判断其真假思路二原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析] (1)当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．[规律方法]判断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.[跟踪训练]2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．等价命题的应用1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【导学号：97792010】[思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．[解析](1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．若a≠0，由题意知{a<0Δ＝4a2＋12a≤0，即{a<0－3≤a≤0，∴－3≤a<0综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.[答案][－3,0](2)证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[规律方法] 1.若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．[当堂达标·固双基]1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.【导学号：97792011】若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．。

2018高考数学异构异模复习第一章集合与常用逻辑用语 1.3.2 全称量词与存在量词撬题理

1 2018高考数学异构异模复习考案第一章集合与常用逻辑用语1.3.2 全称量词与存在量词撬题理1.设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n答案 C解析命题p 是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.2．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>nB ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0答案 D解析全称命题的否定为特称命题，因此命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．3．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1) 答案 B解析原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，则－1<a <3.故选B. 4．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析由已知可得m ≥tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4恒成立．设f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实数m 的最小值为1.。

2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第一章

第一章集合与常用逻辑用语1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．1．1 集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________． (2)集合中元素的三个特性：______，______， _______. (3)集合常用的表示方法：________和________． 2．常用数集的符号(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作________；如果a 不是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作________．(2)集合与集合之间的关系：⊆A ，B≠12n 有________个．4．两个集合A 与B 之间的运算5.(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A;②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U＝________；④A∩(∁U A)＝____________；⑤A∪(∁U A)＝____________.(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card＝________________________.自查自纠1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N N*(N＋) Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n-1 2n-24．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④⑤＝(2)①⊇②⊇③A④A⑤＝(3)①A②③U④⑤U(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)-card(A∩B)card(U)-card(A)-card(B)＋card(A∩B)(2016·北京)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝( ) A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}解：易知A∩B＝(2，3)．故选C.(2015·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( ) A．B．(0，1]C．解：因为M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，所以M∪N＝．故选A.(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2-1＜0}，则A∪B＝( ) A．(-1，1) B．(0，1)C．(-1，＋∞) D．(0，＋∞)解：易知A＝(0，＋∞)，B＝{x|-1＜x＜1}，所以A∪B＝(-1，＋∞)．故选C.设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x的值为________．解：当x2＝4时，x＝±2，若x＝2，则不满足集合中的元素的互异性，所以x≠2；若x ＝-2，则A＝{1，4，-4}，B＝{1，4}，满足题意．当x2＝2x时，x＝0或2(舍去)，x＝0满足题意，所以x＝0或-2.故填0或-2.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．解：由log2x≤2，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，由于A⊆B，如图所示，则a＞4.故填(4，＋∞)．类型一集合的概念(1)若集合A ＝{-1，1}，B ＝{0，2}，则集合M ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解：当x ＝-1，y ＝0时，z ＝-1；当x ＝-1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3.故z 的值为-1，1，3，所以所求集合M ＝{-1，1，3}，共有3个元素．故选C .(2)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝-32，当m ＝1时，m ＋2＝3，2m 2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝-32时，m ＋2＝12，2m 2＋m ＝3，综上知，m ＝-32.故填-32.【点拨】(1)用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．(1)已知集合S ＝{x |3x ＋a ＝0，a ∈R }，如果1∈S ，那么a 的值为( )A ．-3B ．-1C ．1D ．3解：因为1∈S ，所以3＋a ＝0，a ＝-3.故选A .(2)已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 017＋b 2 017＝________.解：由已知得ba＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝-1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝-1，所以a2 017＋b2 017＝-1.故填-1.类型二集合间的关系已知集合A ＝{x |x 2-3x -10≤0}．(1)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m -1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若B ＝{x |m -6≤x ≤2m -1}，A ＝B ，求实数m 的取值范围； (3)若B ＝{x |m -6≤x ≤2m -1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2-3x -10≤0}，得A ＝{x |-2≤x ≤5}，(1)若B ⊆A ，则①当B ＝，有m ＋1＞2m -1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m -1，m ＋1≥-2，2m -1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(-∞，3]．(2)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m -6＝-2，2m -1＝5，解得m ∈，即不存在实数m 使得A ＝B .(3)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m -1＞m -6，m -6≤-2，2m -1≥5，解得3≤m ≤4.所以m 的取值范围为．【点拨】本例主要考查了集合间的关系，“当B ⊆A 时，B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．集合A ＝{x |-2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m -1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝，求实数m 的取值范围．解：(1)①当m ＋1>2m -1，即m <2时，B ＝，满足B ⊆A . ②当m ＋1≤2m -1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥-2，2m -1≤5，可得2≤m ≤3.综上，m 的取值范围是(-∞，3]．(2)当x ∈Z 时，A ＝{-2，-1，0，1，2，3，4，5}，所以A 的非空真子集个数为28-2＝254. (3)因为x ∈R ，且A ∩B ＝，所以当B ＝时，即m ＋1＞2m -1，得m ＜2，满足条件；当B ≠时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m -1，m ＋1＞5，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m -1，2m -1＜-2，解得m ＞4.综上，m 的取值范围是(-∞，2)∪(4，＋∞)．类型三集合的运算(1)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )等于( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}解：易知A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以∁U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}．故选D .(2)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩(∁U B )＝________.解：因为U ＝{1，2，3，4}，∁U (A ∪B )＝{4}，所以A ∪B ＝{1，2，3}．又因为B ＝{1，2}，所以{3}⊆A ⊆{1，2，3}．又∁U B ＝{3，4}，所以A ∩(∁U B )＝{3}．故填{3}．(3)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x -m )(x -2)<0}，且A ∩B ＝(-1，n )，则m ＝________，n ＝________.解：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |-5<x <1}，由A ∩B ＝(-1，n )，可知m <1，由B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝-1，n ＝1.故填-1，1.【点拨】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(1)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|⎝ ⎛⎭⎪⎫121-x >1，N ＝{x |-1≤x ≤3}，则N ∩(∁R M )＝( )A ．(1，＋∞)B ．(-∞，-1)C ．D ．(1，3)解：因为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|⎝ ⎛⎭⎪⎫121-x >1＝{x |x >1}，则∁R M ＝{x |x ≤1}，且N ＝{x |-1≤x ≤3}，所以N∩(∁R M)＝．故选C.(2)(2015·唐山模拟)集合M＝{2，log3a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{1}，则M∪N＝( )A．{0，1，2} B．{0，1，3}C．{0，2，3} D．{1，2，3}解：因为M∩N＝{1}，所以log3a＝1，即a＝3，所以b＝1.所以M＝{2，1}，N＝{3，1}，M∪N＝{1，2，3}．故选D.(3)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝，则m的值是________．解：A＝{-2，-1}．由(∁U A)∩B＝，得B⊆A.x2＋(m＋1)x＋m＝(x＋m)(x＋1)，所以当m＝1时，B＝{-1}，合要求，当m≠-1时，B＝{-1，-m}，故只能有m＝2.所以m＝1或2.故填1或2.类型四Venn图及其应用设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M-P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M-(M-P)等于( )A．P B．M∩P C．M∪P D．M解：作出Venn图．当M∩P≠时，由图知，M-P为图中的阴影部分，则M-(M-P)显然是M∩P.当M∩P＝时，M-(M-P)＝M-M＝{x|x∈M，且x∉M}＝＝M∩P.故选B.【点拨】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M-P”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn图将问题简单化．已知集合A＝{-1，0，4}，集合B＝{x|x2-2x-3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．解：B＝{x|x2-2x-3≤0，x∈N}＝{x|-1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}，图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合，该集合为{-1，4}．故填{-1，4}．类型五和集合有关的创新试题在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为，即＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 017∈；②-3∈；③Z ＝∪∪∪∪；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a -b ∈”．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为2 017＝403×5＋2，所以2 017∈，结论①正确；-3＝-1×5＋2，所以-3∈，-3∉，结论②不正确；整数可以分为五“类”，这五“类”的并集就是整数集，即Z ＝∪∪∪∪，结论③正确；若整数a ，b 属于同一“类”，则a ＝5n ＋k ，b ＝5m ＋k ，a -b ＝5(n -m )＋0∈，反之，若a -b ∈，则a ，b 被5除有相同的余数，故a ，b 属于同一“类”，结论④正确，综上知，①③④正确．故选C .【点拨】(1)以集合语言为背景的新信息题，常见的类型有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决新情境下的问题．(2)正确理解创新定义，分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．对任意两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“○×”为：(a ，b ) ○× (c ，d )＝(ac -bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b ) ⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p ，q ∈R ，若(1，2) ○× (p ，q )＝(5，0)，则(1，2)⊕(p ，q )＝( ) A ．(0，-4) B ．(0，2) C ．(4，0)D ．(2，0)解：因为(1，2) ○× (p ，q )＝(p -2q ，2p ＋q )＝(5，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧p -2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝-2，所以(1，2) ⊕(p ，q )＝(1＋p ，2＋q )＝(2，0)．故选D .1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2-x ＋2a -1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a -9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1-4a ＜0，1-4（2a -1）≤0，a ＞4a -9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ＜58或a ≥3.1．(2016·四川)设集合A ＝{x |-2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：由题意，A ∩Z ＝{-2，-1，0，1，2}，则元素的个数为5.故选C . 2．设集合M ＝{-1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( ) A ．{0}B ．{0，1}C ．{-1，1}D ．{-1，0，1}解：因为N ＝{x |0≤x ≤1}，M ＝{-1，0，1}，所以M ∩N ＝{0，1}．故选B .3．(2015·浙江)已知集合P ＝{x |x 2-2x ≥0}，Q ＝{x |1<x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝( )A ．C ．(1，2)D ．解：由题意得∁R P ＝(0，2)，所以(∁R P )∩Q ＝(1，2)．故选C .4．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R|1x ＜1，B ＝{x ∈R |2x ＜1}，则( ) A ．A ⊇BB ．A ＝BC ．A ⊆BD ．A ∩B ＝解：易知A ＝{x |x ＞1或x ＜0}，B ＝{x |x ＜0}，所以B ⊆A .故选A .5．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x -x 2-6}，B ＝{x ∈Z |-1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 解：A ＝{x ∈N |y ＝7x -x 2-6}＝{x ∈N |7x -x 2-6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C .6．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a -b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{-4，-2，0，2，4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：①(-4)＋(-2)＝-6∉A ，不正确；②设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1-n 2∈A ，正确；③令A 1＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，不正确．故选B .7．设集合A ＝{-1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．解：由题意得a ＋2＝3，则a ＝1.此时A ＝{-1，1，3}，B ＝{3，5}，A ∩B ＝{3}，满足题意．故填1.8．(2016·天津)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x -2，x ∈A }, 则A ∩B ＝________. 解：因为A ＝{1，2，3，4}，所以B ＝{1，4，7，10}，则A ∩B ＝{1，4}．故填{1，4}．9．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q -1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n -1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }，当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .解：当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋2x 2＋4x 3，x i ∈M ，i ＝1，2，3}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．10．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2-7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a ＜0}．(1)当a ＝-4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ≤3，当a ＝-4时，B ＝{x |-2＜x ＜2}，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |-2＜x ≤3}． (2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜12或x ＞3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝.①当B ＝，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠，即a ＜0时，B ＝{x |--a ＜x ＜-a }，要使B ⊆∁R A ，只须-a ≤12，解得-14≤a ＜0. 综上可得，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥-14. 11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2-3x ＋2＝0，a ∈R }．(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解：(1)A 是空集，即方程ax 2-3x ＋2＝0无解，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝（-3）2-8a ＜0，所以a ＞98，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞. (2)当a ＝0时，A 中只有一个元素23；当a ≠0时，Δ＝0，得a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43，所以当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43. (3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ＝0或a ≥98.已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2-1＝0，a ∈R ，x∈R }．若A ∪B ＝A ，试求实数a 的取值范围．解：由题意得A ＝{0，-4}，因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，又A 的子集为，{0}，{-4}，{0，-4}．①若B ＝，则Δ<0，即4(a ＋1)2-4(a 2-1)<0，解得a <-1；②若B ＝{0}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1＝0，2（a ＋1）＝0，解得a ＝-1； ③若B ＝{-4}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1＝16，2（a ＋1）＝8，此时a 不存在； ④若B ＝{0，-4}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1＝0，2（a ＋1）＝4，解得a ＝1，综上所述，实数a 的取值范围为(-∞，-1]∪{1}．。

2018高考数学文科异构异模复习考案撬分法课件第一章

i＝1 时，j＝1 符合要求，i＝2 时，j＝2 符合要求；i＝3 时，j＝3 符合要求，所以使关系式(Ai
⊕Aj)⊕Ai＝A0 成立的有序数对(i，j)有(1,1)，(2,2)，(3,3)，共 3 对．
2．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个 6 数是________ ．
)
[解析] (1)由不等式 x2－2x－3≥0 解得 x≥3 或 x≤－1，因此集合 A＝{x|x≤－1 或 x≥3}，又集合 B ＝{x|－2≤x<2}，所以 A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选 A. (2)利用数轴分析求解． ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}， ∴A∪B＝{x|x≤0，或 x≥1}．在数轴上表示，如图所示．
解析集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合 A 中有 5 个元素(即 5 个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合 B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有 25 个元素(即 25 个点)，即图中正方形 ABCD 内及正方形 ABCD 上的整点．集合 A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}中的元素可看作正方形 A1B1C1D1 内及正方形 A1B1C1D1 上除去四个顶点外的整点，共 7×7－4＝45 个．
注意点应分类讨论.
空集的特殊性
在解题中，若未指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如 A⊆B，则有 A＝∅和 A≠∅两种可能，此时
1．思维辨析 (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × ) (2)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( × ) (3)对于任意两个集合 A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √ ) (4)若 A∩B＝A∩C，则 B＝C.( × ) (5)已知集合 M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则 M∩N＝N.( √ ) (6)若全集 U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则∁UP＝{2}．( √ )

18高考数学异构异模复习第一章集合与常用逻辑用语1.2.

导致判断错误的原因是忽略了题目中的隐含条件，从而扩大了 x 的范围．
内部文件，请勿外传
内部文件，请勿外传
[正解] (1)x2＝x＋2⇔x＝± x＋2，故 x2＝x＋2⇒ / x2＝x x＋2.
反例：x＝－1.故说法错误．
2 (2)x x＋2＝x2⇔x＝0 或 x＋2＝x(其中 x 为正实数)，故 x x＋2＝x2⇒ / x ＝x＋2.故说法错误．
内部文件，请勿外传
[错解]
[错因分析] [心得体会]
撬法· 命题法解题法
[考法综述]
充分条件、必要条件是每年高考的常考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属
于容易题．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性综合命题.
命题法典例的( )
[解析]
1 1 (1)当 k＝1 时，l：y＝x＋1，由题意不妨令 A(－1,0)，B(0，1)，则 S△AOB＝ ×1×1＝，所以 2 2
1 充分性成立；当 k＝－1 时，l：y＝－x＋1，也有 S△AOB＝，所以必要性不成立． 2 (2)由韦恩图可知充分性成立．反之，A∩B＝∅，可以取 C＝∁UB，此时 A⊆C 必要性成立．故选 C.
1．思维辨析 (1)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．( × ) (2)设 a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2 且 b>2”的充分条件．( × ) 3 (3)若 α∈(0,2π)则“sinα＝－1”的充要条件是“α＝ π”．( √ ) 2 (4)“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的充分不必要条件是 q”表达的意义相同．( × ) (5)x>1 是 x>2 的必要不充分条件．( √ ) (6)若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件．( √ )

2018届高三(新课标)数学(理)第一章集合与常用逻辑用语

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节集合突破点(一) 集合的基本概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a ∈A ；若b 不属于集合A ，记作b ∉A . (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 2．常用数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN *或N ＋ZQR考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求元素(个数)或已知元素个数求参数[例1]( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98[解析] (1)∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素．本节主要包括3个知识点： 1.集合的基本概念； 2.集合间的基本关系； 3.集合的基本运算.(2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.故a ＝0或98.[答案] (1)C (2)D [方法技巧]求元素(个数)的方法高考中，常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，一般给定一个新定义集合，如“已知集合A ，B ，求集合C ＝{z |z ＝x *y ，x ∈A ，y ∈B }(或集合C 的元素个数)，其中‘*’表示题目设定的某一种运算”．具体的解决方法：根据题目规定的运算“*”，一一列举x ，y 的可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，从而得出z 的所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．元素与集合的关系[例2] (1)设集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6}，若x ∈A ，且x ∉B ，则x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6(2)(2017·成都诊断)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． [解析] (1)因为x ∈A ，且x ∉B ，故x ＝3. (2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.[答案] (1)B (2)－32[方法技巧]利用元素的性质求参数的方法已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法： (1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值． (2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]设集合P ＝{x |x 2－2x ≤0}，m ＝30.5，则下列关系正确的是( ) A ．m P B ．m ∈P C ．m ∉PD ．m ⊆P解析：选C 易知P ＝{x |0≤x ≤2}，而m ＝30.5＝3>2，∴m ∉P ，故选C.2．[考点一]已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8D ．9解析：选D 集合B 中的元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．3．[考点二](2017·杭州模拟)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.4．[考点一]已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N}，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案：(5,6]5．[考点一]若集合A ＝{x ∈R|ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 解析：当a ＝0时，方程无解；当a ≠0时，则Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.故符合题意的a 的值为4.答案：4突破点(二) 集合间的基本关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA B或B A相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅考点贯通抓高考命题的“形”与“神”集合子集个数的判定含有n个元素的集合，其子集的个数为2n；真子集的个数为2n－1(除集合本身)；非空真子集的个数为2n－2(除空集和集合本身，此时n≥1)．[例1]已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[解析]由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的集合C为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，3,4}，共4个．[答案] D[易错提醒](1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万不要忘记．集合间的关系考法(一)[例2]已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．A B B．B AC ．A ⊆BD ．B ＝A[解析] 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，所以A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，所以B A .故选B. [答案] B [方法技巧]判断集合间关系的三种方法(1)列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(2)结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(3)数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．[提醒] 在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．考法(二) 根据集合间的关系求参数[例3] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[解析] ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． [答案] (－∞，3] [易错提醒]将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为()A．3 B．4C．7 D．8解析：选C因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.2．[考点二·考法(一)](2017·长沙模拟)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P解析：选C因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，所以∁R P＝{y|y>1}，又Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁R P⊆Q，故选C.3．[考点二·考法(二)]已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝() A．1 B．0 C．－2 D．－3解析：选C∵A⊆B，∴a＋3＝1，解得a＝－2.故选C.4．[考点二·考法(二)]已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]突破点(三)集合的基本运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 并集集合的A∩B A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 交集集合的补集若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }2.集合的三种基本运算的常见性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A . (2)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求交集或并集[例1] (1)(2016·全国甲卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}(2)(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3[解析] (1)因为B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．(2)∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0，∴x >32，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32.∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32＝⎝⎛⎭⎫32，3. [答案] (1)C (2)D [方法技巧]求集合的交集或并集时，应先化简集合，再利用交集、并集的定义求解．交、并、补的混合运算[例2] (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}[解析] (1)因为∁U B ＝{2,5,8}，所以A ∩∁U B ＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}． (2)∵A ∪B ＝{x |x ≤0}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≤0或x ≥1}， ∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}． [答案] (1)A (2)D[方法技巧]集合混合运算的解题思路进行集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合用不等式形式表示时，可借助数轴求解，对于端点值的取舍，应单独检验．集合的新定义问题[例3] (2017·合肥模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R}，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R}，则A ⊕B 等于( )A.⎝⎛⎦⎤－94，0 B.⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) [解析] 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥－94，B ＝{y |y <0}，所以A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y <－94， A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥0或y <－94. 故选C. [答案] C [方法技巧]解决集合新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．1．[考点一](2016·北京高考)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝()A．{0,1} B．{0,1,2}C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2}解析：选C集合A＝{x|－2<x<2}，集合B＝{－1,0,1,2,3}，所以A∩B＝{－1,0,1}．2．[考点一](2017·长春模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)解析：选C∵A＝(0，＋∞)，B＝(－1,1)，∴A∪B＝(－1，＋∞)．故选C.3．[考点二](2017·贵阳模拟)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁B)＝()RA．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)解析：选B由题意知B＝{x|－1≤x≤3}，所以∁R B＝{x|x<－1或x>3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}，故选B.4．[考点三]定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2}，B＝{1,2}，则A*B中的所有元素之和为()A．5 B．6 C．7 D．9解析：选C∵A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，且A＝{1,2}，B＝{1,2}，∴A*B ＝{1,2,4}，故A*B中的所有元素之和为1＋2＋4＝7.5．[考点二]设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3<x<0}，∁U B＝{x|x≥－1}，阴影部分为A∩(∁U B)，所以A∩(∁U B)＝{x|－1≤x<0}．答案：{x|－1≤x<0}[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国丙卷)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝()A．[2,3]B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)解析：选D由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．故选D.2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B ＝()A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}解析：选A由题意知B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.3．(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3 B．6 C．8 D．10解析：选D列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．4．(2016·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝()A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1， 2}解析：选D∵x2＜9，∴－3＜x＜3，∴B＝{x|－3＜x＜3}．又A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}，故选D.5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝() A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}解析：选A因为x＝n2，所以当n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，所以集合B＝{1,4,9,16}，所以A∩B＝{1,4}．[课时达标检测] 基础送分课时——精练“12＋4”，求准求快不深挖一、选择题1．若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 的真子集的个数是( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．3解析：选D 集合A 中有两个元素，则集合A 的真子集的个数是22－1＝3.选D. 2．若集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1}D ．{0，－1}解析：选C 因为B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }＝{0,1}，所以A ∩B ＝{0,1}．3．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B解析：选C 由题A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B . 4．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1)D ．(－∞，1]解析：选A M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]． 5．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.6．已知全集为整数集Z.若集合A ＝{x |y ＝1－x ，x ∈Z}，B ＝{x |x 2＋2x >0，x ∈Z}，则A ∩(∁Z B )＝( )A ．{－2}B ．{－1}C ．[－2,0]D ．{－2，－1,0}解析：选D 由题可知，集合A ＝{x |x ≤1，x ∈Z}，B ＝{x |x >0或x <－2，x ∈Z}，故A ∩(∁Z B )＝{－2，－1,0}，故选D.7．(2017·成都模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－1<0}，则图中的阴影部分表示的集合为( )A ．(－∞，1]∩(2，＋∞)B ．(－1,0)∪[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选B 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x <1}，所以A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，A ∩B ＝{x |0≤x <1}．故图中阴影部分表示的集合为∁(A ∪B )(A ∩B )＝(－1,0)∪[1,2]．8．设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x ||x |≤1}，B ＝{x |log 2x ≤1}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．(0,1] B ．[－1,1]C ．(1,2]D ．(－∞，－1]∪[1,2]解析：选C 由|x |≤1，得－1≤x ≤1，由log 2x ≤1，得0<x ≤2，所以∁U A ＝{x |x >1或x <－1}，则(∁U A )∩B ＝(1,2]．9．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{2,3}B ．{－1,2,5}C ．{2,3,5}D ．{－1,2,3,5}解析：选D 由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，此时B ＝{2,3，－1}，则A ∪B ＝{－1,2,3,5}；当⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．故A ∪B ＝{－1,2,3,5}．10．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选B 集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >a }，因为A ⊆B ，所以a ≤－1.11．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x <8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )A ．M ∩(∁U N )B ．∁U (M ∩N )C ．∁U (M ∪N )D ．(∁U M )∩N解析：选C 由已知得U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，N ＝{2,6}，M ∩(∁U N )＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M ∩N ＝{2}，∁U (M ∩N )＝{1,3,4,5,6,7}，M ∪N ＝{2,3,5,6}，∁U (M ∪N )＝{1,4,7}，(∁U M )∩N ＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.12．(2017·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N|x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21解析：选D 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，又x ∈N ，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，∴A *B 中的所有元素之和为21.二、填空题13．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N}的元素的个数是________．解析：由定义可知A ×B 中的元素为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)．其中使log x y ∈N 的有(2,2)，(2,4)，(2,8)，(4,4)，共4个．答案：414．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁I B )＝________. 解析：∵集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，∴∁I B ＝{0,1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案：{1}15．集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则A ∩(∁R B )＝________. 解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，∴∁R B ＝{y |y <0或y >2}．∴A ∩(∁R B )＝[－3,0)．答案：[－3,0)16．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎭⎬⎫y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[3，2]．答案：(－∞，－ 3 ]∪[3，2] 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件本节主要包括2个知识点： 1.命题及其关系； 2.充分条件与必要条件.突破点(一)命题及其关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”命题的真假判断[例1]下列命题中为真命题的是()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x<y，则x2<y2[解析]取x＝－1，排除B；取x＝y＝－1，排除C；取x＝－2，y＝－1，排除D.[答案] A[方法技巧]判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．四种命题的关系得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[例2](1)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是()A．若a>b，则a－1≤b－1B．若a>b，则a－1<b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0[解析](1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．[答案](1)C(2)C[方法技巧]1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．(2)若命题有大前提，需保留大前提．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．1．[考点一]下列命题中为真命题的是( ) A ．mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程B ．抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点C ．互相包含的两个集合相等D ．空集是任何集合的真子集解析：选C A 中，当m ＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B 中，当Δ＝4＋4a <0，即a <－1时，抛物线与x 轴无交点，故是假命题；C 是真命题；D 中，空集不是本身的真子集，故是假命题．2．[考点二]命题“若x 2＋y 2＝0，x ，y ∈R ，则x ＝y ＝0”的逆否命题是( ) A ．若x ≠y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2＝0 B ．若x ＝y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0 C ．若x ≠0且y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0 D ．若x ≠0或y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0解析：选D 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x ＝y ＝0知x ＝0且y ＝0，其否定是x ≠0或y ≠0.故原命题的逆否命题是“若x ≠0或y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0”．3．[考点二]命题“若△ABC 有一个内角为π3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC 有一个内角为π3”，它是真命题．故选D.4．[考点二]有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.答案：①②③突破点(二)充分条件与必要条件基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．充分条件与必要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p 2.p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B 考点贯通抓高考命题的“形”与“神”充分条件与必要条件的判断[例1]x，y满足x＋y ＞2，则p是q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2016·天津高考)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( ) A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，∴x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．(2)当x ＝1，y ＝－2时，x ＞y ，但x ＞|y |不成立；若x ＞|y |，因为|y |≥y ，所以x ＞y .所以x ＞y 是x ＞|y |的必要而不充分条件．[答案] (1)A (2)C [方法技巧]充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．充分条件与必要条件的应用[例2] (1)命题“对任意x ∈[1,2)，x ( )A ．a ≥1B ．a >1C ．a ≥4D ．a >4(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[解析] (1)命题可化为∀x ∈[1,2)，a ≥x 2恒成立． ∵x ∈[1,2)，∴x 2∈[1,4)．∴命题为真命题的充要条件为a ≥4.∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a >4，故选D. (2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [答案] (1)D (2)[0,3][方法技巧]根据充分、必要条件求参数的思路方法根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．1．[考点一](2017·长沙四校联考)“x >1”是“log 2(x －1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由log 2(x －1)<0得0<x －1<1，即1<x <2，故“x >1”是“log 2(x －1)<0”的必要不充分条件，选B.2．[考点二]已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]解析：选A 由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，解得x <－1或x >2.因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.3．[考点一](2017·太原模拟)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若cos α≠12，则α≠2k π±π3(k ∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q ⇒/p .所以p 是q 的充分不必要条件．4．[考点二]已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选A 设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1.5．[考点一]已知函数f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析：若f (x )＝13x－1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0， ∴13－x－1＋a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x 1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x －11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，所以f (x )＝13x－1＋12，f (－x ) ＝13－x－1＋12＝－13x －1－12＝－f (x )，故f (x )是奇函数．∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．答案：充要[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x) 在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p，则q是一个假命题，由极值的定义可得若q，则p是一个真命题．故选C.2．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1. 其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4解析：选C∵复数z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝2，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．[课时达标检测]基础送分课时——精练“12＋4”，求准求快不深挖一、选择题1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：选D根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若(2x－1)x＝0，则x＝12或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，则一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．3．“a <0，b <0”的一个必要条件为( ) A ．a ＋b <0 B ．a －b >0 C.ab >1D.ab <－1解析：选A 若a <0，b <0，则一定有a ＋b <0，故选A.4．已知命题p ：“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”，则下列说法正确的是( ) A ．命题p 的逆命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” B ．命题p 的逆命题是“若x <2ab ，则x <a 2＋b 2” C ．命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2，则x <2ab ”解析：选C 命题p 的逆命题是“若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2”，故A ，B 都错误；命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”，故C 正确，D 错误．5．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A f (x )是定义在R 上的奇函数可以推出f (0)＝0，但f (0)＝0不能推出函数f (x )为奇函数，例如f (x )＝x 2.故选A.6．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．7．“a ＝2” 是“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A “a ＝2”可以推出“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不能推出．故“a ＝2”是“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．8．(2017·杭州模拟)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．9．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．10．(2017·烟台诊断)若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(－∞，2]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：选A p：|x|≤2等价于－2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件，所以有[－2,2]⊆(－∞，a]，即a≥2.11．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④解析：选D只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．12．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当k ＝1时，l ：y ＝x ＋1，由题意不妨令A (－1,0)，B (0,1)，则S △AOB ＝12×1×1＝12，所以充分性成立；当k ＝－1时，l ：y ＝－x ＋1，也有S △AOB ＝12，所以必要性不成立．二、填空题13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.答案：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 14．有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b ”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b ”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．答案：②③15．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)16．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词本节主要包括2个知识点：1.简单的逻辑联结词；2.全称量词与存在量词.突破点(一)简单的逻辑联结词基础联通抓主干知识的“源”与“流”命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真简记为“p∧q两真才真，一假则假；p∨q一真则真，两假才假；綈p与p真假相反”．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”含逻辑联结词命题的真假判断[例1](2017·大连模拟)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题的序号是() A．①③B．①④C．②③D．②④[解析]依题意可知，命题p为真命题，命题q为假命题，则綈p为假命题，綈q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题．[答案] C[方法技巧]判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．(2)判断命题真假的步骤根据复合命题的真假求参数[例2] <0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________________．[解析] 由关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1.由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a >1或0<a ≤12，即a ∈⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． [答案] ⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)[方法技巧]根据复合命题真假求参数的步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．。

2018高考数学(文科)异构异模复习考案撬分法习题第一章集合与常用逻辑用语 1-2-1 Word版含答案

．已知，是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行．若，平行于同一平面，则与平行．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面答案解析中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故错误；中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故错误；中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故错误；中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故正确．.若∈，命题“若>，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是( )点击观看解答视频．若方程＋－＝有实根，则>．若方程＋－＝有实根，则≤．若方程＋－＝没有实根，则>．若方程＋－＝没有实根，则≤答案解析∵“>”的否定是“≤”，“方程＋－＝有实根”的否定是“方程＋－＝没有实根”，∴命题“若>，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是“若方程＋－＝没有实根，则≤”．．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线＋＋＝与圆＋＝相切，其中真命题的序号是( )．①②③ ．①②．①③ ．②③答案解析对于命题①，设原球的半径和体积分别为，，变化后的球的半径和体积分别为′，′，则′＝，由球的体积公式可知′＝π′＝π·＝×π＝，所以命题①为真命题；命题②显然为假命题，如两组数据：和，它们的平均数都是，但前者的标准差为，而后者的标准差为；对于命题③，易知圆心到直线的距离＝＝＝，所以直线与圆相切，命题③为真命题．故选.．下面是关于公差>的等差数列{}的四个命题：：数列{}是递增数列；：数列{}是递增数列；：数列是递增数列；：数列{＋}是递增数列．其中的真命题为( )．，．，．，．，答案解析对于，数列{}的公差>，∴数列是递增数列；对于，∵－(＋)＝>，是递增数列；对于，∵(＋)＋－＝(＋)＋(＋)－＝＋，不能确定的正负，上式不一定大于零，该数列不一定是递增数列；同理，对于，也不一定是递增数列．故选..下列命题中，真命题是( )点击观看解答视频．命题“若>，则>”．命题“若＝，则＝”的逆命题．命题“当＝时，－＋＝”的否命题．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题答案解析命题“若>，则>”是假命题，如>且＝时，＝；命题“若＝，则＝”的逆命题为“若＝，则＝”是假命题；命题“当＝时，－＋＝”的否命题为“若≠，则－＋≠”，是假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题．。

2018高考数学异构异模复习第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其关系课件文

2．若集合 A＝{x∈N|x≤ 10}，a＝2 2，则下面结论中正确的是( )
A．{a}⊆A
B．a⊆A
C．{a}∈A
Hale Waihona Puke D．a∉A解析 A＝{x∈N|x≤ 10}＝{0,1,2,3}而 a＝2 2，∴a∉A.
3．已知全集 U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合 A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝( )
C．{2,4,7}
D．{2,5,7}
解析由 U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,3,5,6}，∴∁UA＝{2,4,7}，故选 C.
撬法·命题法解题法
[考法综述] 集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及集合与元素之间的关系及根据集合中元素的特性(特别是集合中元素的互异性)，来确定集合中元素的个数，或求参数的取值范围，属于基础题．
命题法 1 集合的基本概念
典例 1 (1)已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1
B．3
C．5
D．9
(2)若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a＝( )
9
9
A.2
B.8
C．0
D．0 或98
[解析] (1)当 x＝0，y＝0,1,2 时，x－y 的值分别为 0，－1，－2；当 x＝1，y＝0,1,2 时，x－y 的值分
别为 1,0，－1；当 x＝2，y＝0,1,2 时，x－y 的值分别为 2,1,0；∴B＝{－2，－1，0,1,2}．
∴集合 B 中元素的个数是 5 个． (2)集合 A 是方程 ax2－3x＋2＝0 在实数范围内的解集，且 A 中只有一个元素，所以方程 ax2－3x＋2＝

2018高考数学(理科)异构异模复习考案撬分法习题第一章集合与常用逻辑用语 1-1-2 Word版含答案

．设全集＝，＝{＝(－)}，则∁＝()
．(－∞，)．()
．[，＋∞)．(，＋∞)
答案
解析∵＝ (－)，∴－>，即<，∴∁＝{≥}．
．已知集合＝{＝＋，∈}，＝，则∩＝()
．[－]．{－}
．{－}．{－}
答案
解析∵＝＝{－≤<}，又集合为奇数集，∴∩＝{－}，故选.
.已知全集＝，＝{>}，＝{－>}，则∁(∪)＝()
答案
解析∵＝{≥，∈}．
＝{<，∈}＝{－<<，∈}．
∴∩＝{≤<}，即∩＝[)．故选.
．已知集合＝{－}，＝{}，则∪＝()
．{}．{－}
．{－}．{－}
答案
解析＝{－}，＝{}，∪＝{－}，故选.
.设集合＝{－<}，＝{＝，∈[]}，则∩＝()
点击观看解答视频
．[]．()
．[)．()
答案
解析＝{－<}＝{－<<}，＝{＝，∈[]}＝{≤≤}，∴∩＝{－<<}∩{≤≤}＝{≤＜}．
．{<≤}．{≤}
答案
解析易知＝{(－)<}＝{(－)<}＝{<<}，＝{＝ (－)}＝{－>}＝{<}，则∁＝{≥}，阴影部分表示的集合为∩(∁)＝{≤<}．
．已知集合＝{－，－}，＝{(－)(＋)<}，则∩＝( )
．{－}．{}
．{－}．{}
答案
解析因为＝{(－)(＋)<}＝{－<<}，＝{－，－}，故∩＝{－}．选.
．已知全集＝{}，集合＝{}，集合＝{}，则集合∩(∁)＝()
．{}．{}
．{}．{}

2018高考数学异构异模复习第一章集合与常用逻辑用语课时撬分练1.3逻辑联结词全称量词与存在量词理

2018高考数学异构异模复习考案第一章集合与常用逻辑用语课时撬分练1.3逻辑联结词、全称量词与存在量词理时间：45分钟基础组1.[2016·衡水二中期末]已知命题p ：函数y ＝e|x －1|的图象关于直线x ＝1对称，q ：函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则下列命题中的真命题为( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∨(綈q )答案 A解析由函数y ＝e|x －1|的图象可知图象关于直线x ＝1对称，所以命题p 正确；y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝0，所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以命题q 正确，p ∧q 为真命题．故选A.2．[2016·武邑中学猜题]已知命题p ：抛物线y ＝2x 2的准线方程是y ＝－12，命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )的图象关于x ＝1对称，则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q答案 D解析抛物线y ＝2x 2，即x 2＝12y 的准线方程是y ＝－18；当函数f (x ＋1)为偶函数时，函数f (x ＋1)的图象关于直线x ＝0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称(注：将函数f (x )的图象向左平移一个单位长度可得到函数f (x ＋1)的图象)，因此命题p 是假命题，q 是真命题，p ∧q ，p ∧(綈q )，(綈p )∧(綈q )都是假命题，p ∨q 是真命题．故选D.3．[2016·冀州中学仿真]设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列的判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案 C解析函数y ＝sin2x 的最小正周期为2π2＝π，命题p 为假．函数y ＝cos x 的图象关于x ＝k π(k ∈Z )对称，命题q 为假，故选C.4．[2016·武邑中学预测]给定下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数；p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )．则下列命题中的真命题为( )A ．p 1∨p 2B ．p 2∧p 3C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3答案 D解析对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由α＝2k π＋β(k ∈Z )可得cos α＝cos β，但由cos α＝cos β不能得α＝2k π＋β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.5．[2016·衡水二中模拟]下列结论正确的个数是( )①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②若綈p 是q 的必要条件，则p 是綈q 的充分条件；③“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N”的充分不必要条件．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析对于①，易知①是正确的；对于②，由“綈p 是q 的必要条件”知，q 可推知綈p ，则p 可推知綈q (注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，因此p 是綈q 的充分条件，②正确；对于③，由M >N 不能得到⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N，因此③是错误的．故选C.6．[2016·枣强中学期末]已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x<3x，命题q ：∀x ∈(0,1)，log 2x <0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )答案 C解析由指数函数的图象与性质可知，命题p 是假命题，由对数函数的图象与性质可知，命题q 是真命题，则命题“p ∧q ”为假命题，命题“p ∨(綈q )”为假命题，命题“(綈p )∧q ”为真命题，命题“p ∧(綈q )”为假命题，故选C.7．[2016·衡水二中仿真]若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[－6，－2]C ．(2,6)D ．(－6，－2)答案 A解析由题意知，“∀x ∈R 使得x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，则Δ≤0，即m 2－4(2m －3)≤0，所以2≤m ≤6，故选A.8．[2016·枣强中学期中]已知命题p ：∀x 2>x 1,2x2>2x1，则綈p 是( )A ．∀x 2>x 1,2 x 2≤2 x1B ．∃x 2>x 1,2 x 2≤2 x1C ．∀x 2>x 1,2 x2<2x1D ．∃x 2>x 1,2 x2<2x1答案 B解析全称命题的否定为特称命题，因此∀x 2>x 1,2x2>2x1的否定为∃x 2>x 1,2 x2≤2 x1.9．[2016·衡水二中热身]给出下列结论：①命题“若綈p ，则q ”的逆否命题是“若p ，则綈q ”；。

2018高考数学(文科)异构异模复习考案撬分法习题第一章集合与常用逻辑用语1-1-2含答案

A．
C．（1，2)D．
答案 C
解析∵P＝｛x｜x≥2或x≤0}，∴∁RP＝｛x|0<x〈2｝，
∴（∁RP)∩Q＝（1，2）．
4．若集合A＝｛i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B＝{1，－1},则A∩B等于（）
A．｛－i，－1,－i，1}，B＝{1，－1｝，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.
5．设集合M＝{x|x≥0，x∈R｝,N＝｛x｜x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )
A．B．D．(0,1）
答案 B
解析∵M＝｛x|x≥0，x∈R}．
N＝｛x|x2<1，x∈R}＝｛x｜－1<x〈1，x∈R｝．
∴M∩N＝{x｜0≤x〈1}，即M∩N＝｝，则A∩B＝（）
点击观看解答视频
A．B．（1,3)
2．已知全集U＝{1，2,3,4,5,6，7,8｝，集合A＝｛2，3，5，6｝,集合B＝｛1，3，4，6,7},则集合A∩（∁UB）＝（）
A．｛2,5}B．｛3,6｝
C．｛2,5，6}D．{2,3,5,6,8｝
答案 A
解析由已知得∁UB＝{2，5,8},∴A∩（∁UB)＝｛2，5}．
3．已知集合P＝｛x|x2－2x≥0｝，Q＝｛x｜1<x≤2｝，则(∁RP）∩Q＝（）
13．设集合U＝R，A＝{x｜2x（x－2）<1}，B＝{x｜y＝ln (1－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ )
点击观看解答视频
A．{x|x≥1｝B．{x|1≤x<2}
C．{x|0〈x≤1}D．｛x|x≤1}
答案 B
解析易知A＝｛x｜2x（x－2）〈1｝＝｛x|x(x－2）〈0}＝{x｜0<x<2｝，B＝{x|y＝ln (1－x）}＝｛x｜1－x>0｝＝{x｜x〈1}，则∁UB＝{x|x≥1｝，阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝｛x｜1≤x<2｝．

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

命题法四种命题及其关系典例 (1)下列四个命题中：①“若 x2＋y2≠0，则 x，y 不全为零”的否命题；②“正多边形相似” 的逆命题； ③“若 m>0，则 x2＋x－m＝0 有实根”的逆否命题； ④“若 x3＝2，则 x 是无理数”的逆否命题．其中是真命题的是( ) A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④ (2)原命题为“若 z1，z2 互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 [解析] (1)①原命题的否命题为“若 x2＋y2＝0，则 x，y 全为零”，显然是真命题；②原命题的逆命题为“若多边形相似，则这些多边形为正多边形”，显然是假命题；③原命题的逆否命题为“若 x2＋x－m 1 ＝0 没有实根，则 m≤0”，由条件可得 m<－，∴结论 m≤0 成立，是真命题；④原命题是真命题，所以 4 其逆否命题也为真命题．故选 B. (2)先证原命题为真：当 z1， z2 互为共轭复数时，设 z1＝a＋bi(a， b∈R)，则 z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝ a2＋b2， ∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取 z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是 z1，z2 不是共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假．故选 B.
【解题法】
四种命题关系及真假的判断方法
(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性． (2)判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题个命题是假命题，只需举出反例．
为 a>|b|≥0，所以 a2>b2 成立；④是真命题，因为“3≥2”的意思是 3>2 或 3＝2，只要有一个成立就行，
π 3．命题“若 α＝，则 tanα＝1”的逆否命题是( 4 π A．若 α≠ ，则 tanα≠1 4 π B．若 α＝，则 tanα≠1 4 C．若 tanα≠1，则 α≠ π 4 π 4
2．已知下列命题： ①已知集合 A，B，若 a∈A，则 a∈(A∩B)； ②若 A∪B＝B，则 A⊆B； ③若 a>|b|，则 a2>b2； ④3≥2. 其中是真命题的个数是( A．1 C．3
解析故选 C.
)
B．2 D ．4
①是假命题，因为 a∈A⇒ / a∈(A∩B)；②是真命题，因为 A∪B＝B⇔A⊆B；③是真命题，因
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．注意点否命题与命题的否定的区别
如果原命题是“若 p 则 q”，则否命题是“若綈 p，则綈 q”，而命题的否定是“若 p，则綈 q”即只否定结论.
1．思维辨析 (1)“x2＋2x－3<0”是命题．( × ) π π (2)命题“α＝，则 tanα＝1”的否命题是“若 α＝，则 tanα≠1”．( × ) 4 4 (3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( √ ) (4)语句 x2－3x＋2＝0 是命题．( × ) (5)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假没有关系．( × ) (6)命题“如果 p 不成立，则 q 不成立”等价于“如果 q 成立，则 p 成立”．( √ )
)
D．若 tanα≠1，则 α＝
解析
π π 命题“若 α＝，则 tanα＝1”的逆否命题是“若 tanα≠1，则 α≠ ”，故选 C. 4 4
撬法· 命题法解题法
[考法综述]
四种命题关系及其真假判断是高考的热点之一，一是对“若 p，则 q”形式命题的改
写要熟练掌握，二是弄清命题的四种形式之间的真假关系，属容易题．
第一章
集合与常用逻辑用语
第2讲四种命题的关系及其充要条件
考点一
四种命题及其真假判断
撬点· 基础点重难点
1
命题的概念
判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2 四种命题间的相互关系图
的
3
四种命题的真假关系