例题变式教学尝试
初中数学中例题的变式教学
初中数学中例题的变式教学摘要：初中数学教学实践中，例题变式教学不能单纯地寻求“变”而忽视“教学”的目的，最终目标是通过这一教学形式让学生更为牢固且有效地掌握所教的数学基础知识，以及可有效解决实际问题的能力，继而实现灵活多变的运用。
基于此，本文主要分析了初中数学中例题的变式教学。
关键词：初中数学；例题；变式教学引言在初中数学课堂教学中，围绕教材给出的例题，为学生设计一系列的变式题目，有重要的意义。
教师应为例题变式教学制订明确的目标，结合学生的学习基础、学习需求，围绕例题，给予学生一系列层层递进的变式题目，发展学生的数学思维能力，促进学生的持续成长。
1数学例题概述数学例题中应用变式教学，首先教师将例题讲明白，而后让学生仿照例题进行练习，提升学生的数学学习效率，与教师的单纯数学讲授更具意义，具有较大教学典型性。
在开展初中数学例题变式教学活动时，教师需精心选择、设计数学例题，结合教材教学的同时不断深入挖掘课本内容，可以实现一题多变的探究目的，充分激发、调动出学生的数学学习兴趣与能力。
譬在数学教学中进行例题变式教学，可促使学生将实践和理论进行更好地结合，以帮助学生更加灵活地解决相关数学问题，提高学生数学的学习和运用能力[1]。
2变式教学优势例题教学中的变式教学现阶段来看，数学教材给出的例题极具典型性，对学生而言，有良好的潜能开发价值。
在教学过程中，若教师仅沿用传统教学手段，让学生孤立、静止地解答这些习题，学生获得的学习体验，也仅是使用学过的数学知识，解决了一个问题而已。
但如果教师能够指引学生对例题展开深入研究，通过一题多解、一题多变等方式，挖掘题目更为深刻的学习价值，长此以往，学生思维的灵活性与深刻性将会得到质的提升，教学成效会更加显著。
同时，在教学过程中，为学生设计恰当合理的变式题目，也有助于在课堂中营造出民主、活跃、宽松的学习氛围，使学生对数学知识产生一定的亲近感，这有利于减初中生的学习压力，培育学生的创新精神，使学生逐步形成从多视角出发、自主探究数学题目的意识、习惯与能力[2]。
变式教学在初中数学中的应用举例
变式教学在初中数学中的应用举例摘要：变式教学作为一种有效的教学模式，在中学数学教学中十分常见。
本文以初中数学教学为载体，以举例研究为主要方式，从数学概念教学中的变式、一题多解性变式、多题一解性变式及一题多变性变式进行了举例研究。
以期为优化初中数学教学起到一定的参考借鉴意义。
关键词：变式教学；初中数学；应用所谓变式教学是指在教学中从一道母题出发，通过改变母题的条件、问题或改变母题设计的数学情境，重新进行探讨的一种教学方法。
教师在进行课堂教学的时候，必须抓住核心,不断进行变式，多方面、多角度地引导学生理解相关知识。
建构主义的数学学习观认为：数学学习是学习者主动的构建活动，而并非是被动地接受过程，因此我们就不能期望单纯通过“传授”而使学生获得真正的数学知识，与此相反，我们必须肯定学习过程的创造(再创造)性质以及学生的创造性才能。
而此时，变式教学显得尤为重要。
在变式教学中，把学习数学的主动权交给学生，教师成为学生学习活动的促进者，在肯定学生主体地位的前提下，教师又在教学活动中发挥着主导作用。
前苏联教育家苏霍姆林斯基说过：“兴趣的源泉藏在深处”。
灵活运用变式教学，引导学生多角度去审视、探索问题，可激发学生学习数学和思考问题的兴趣，增强数学课堂教学的有效性。
变式是多样的，本文主要针对初中数学教学，从数学概念教学中的变式、一题多解性变式、多题一解性变式及一题多变性变式进行了举例研究：一、数学概念教学中的变式数学概念很多时候都是非常抽象的，怎样使学生对数学概念理解起来通俗易懂呢？不妨尝试对数学概念进行适当的变式，使抽象的概念通俗化，更容易让学生接受。
反思：通过这样的变式训练，可以使学生在理解定义的时候，不仅仅是从定义本身的角度去理解，而是结合具体的问题有针对性的进行理解，学生学习起来不会觉得那么枯燥，而且对定义的理解会更加的透彻。
另一方面，学生以后学习二次函数，反比例函数等函数定义的时候可以以一次函数定义的理解为基础进行类比学习，达到深化知识的效果！二、一题多解性变式一题多解变式训练，即引导学生对同一题目从不同角度、不同方位快速联想及思考问题，探求不同的解答方案，从而拓宽思路，培养思维的敏捷性。
数学教学中的“隔”与“不隔”——浅谈新课程中例题的变式教学
水是为“ 不隔 ”反之就 是“ 。 ， 隔” 由此我想 到了高 中数学课堂教学 ，如果我们 在数 学课堂设计中 ， 能够注意各个环节之 间、
求轨迹上的动点 ，随着已知曲线上 的一
个 动 点 （ 参 数 ） 运 动 而运 动 。而 五 式 点 的
学生仅仅 “ 想学 ” 远远 不够 的 ， 是 还必 须 “ 会
堂 中老 师 明显 的 退 隐 了 ，实 际 上 对 教 师 的 要求 更 高 了。
强化某一知识点 ， 而机械地堆积例题 ， 例
联系松散 自然难免有 在进行单元（ 节） 章 小结或学 期总结复习 题 之间孤独兀立 ， “ ” 隔 的嫌疑。那么在例题教学 中如何做 时， 引导学生对已学 的每个知识点 、 章节内 每 到“ 不隔” 呢 笔者认为对例题进行巧妙 容 加 以综 合 归 纳 ， 意 新 旧知 识 的 联 系 ， 识 注 知 的变式教学 ， 实现数 学课堂 “ 隔 ” 是 不 的 的纵向、 向联 系 ， 出简 明小结 ， 横 写 使知识 系 基本手段。 统化 、 条理化 、 专题化。有选 择性地解一些 各 般 来 讲 ，对 于 一 个 例 题 进 行 变 式 种 类 型 和 档 次 的 习题 ，使 学 生 掌 握 它们 的解 有 以下 三种 方 式 ： 题 规 律和 方 法 ， 以达 到 阶段 性 复 习的 目的 。 基 于 同 一种 知识 背 景 下 的 变 式 。 总之 ， 在搞好新课程教学改革 的同时 ， 要 在 课 堂 中为 了强 化 对 某一 知识 点 的理 解 重视学生非智力因素的培养 ， 树立新理念 ， 建 和应用而使 用的变式。
学 ” “ 人 以 鱼 ， 如 授人 以渔 ” 要 讲 究 正确 、授 不 。
法又可以叫做两点参 数法 ， 其意义是 ： 所 求轨迹上的动点 ，随着已知曲线上 的两 个动点（ 两点参数 ） 的运动而运动。推而 广之 ， 如果你设 了 Ｎ 个参数 ， 只要你找到
初中数学变式教案
初中数学变式教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握基本概念，理解定理和公式，并能够运用它们解决实际问题。
2. 过程与方法：通过变式教学，培养学生观察、分析、归纳和推理的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神，使学生感受到数学的优美和应用价值。
二、教学内容1. 教学知识点：本节课主要涉及的概念、定理和公式。
2. 教学重难点：学生对概念、定理和公式的理解及运用。
三、教学过程1. 导入新课：通过一个实际问题引入本节课的主题，激发学生的兴趣。
2. 知识讲解：讲解基本概念、定理和公式，让学生理解并掌握。
3. 变式训练：设计一系列变式题目，让学生在解答过程中运用所学知识，培养学生观察、分析、归纳和推理的能力。
4. 总结提升：对所学知识进行总结，引导学生发现规律，提高学生的数学思维水平。
5. 课堂练习：布置一些相关的练习题，巩固所学知识。
6. 课后作业：布置一些有一定难度的题目，培养学生的创新能力。
四、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究，提高学生的独立思考能力。
2. 运用多媒体教学手段，直观展示数学概念和问题，提高学生的学习兴趣。
3. 创设生动活泼的课堂氛围，鼓励学生积极参与，培养学生的合作精神。
4. 注重个体差异，因材施教，使每个学生都能在数学学习中获得成功。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习作业：检查学生完成练习和作业的情况，评估学生的掌握程度。
3. 课后反馈：与学生交流，了解学生的学习感受，收集意见和建议。
4. 定期考试：通过考试检验学生的学习成果，为下一步教学提供依据。
六、教学反思在教学过程中，要时刻关注学生的学习情况，根据学生的反馈调整教学节奏和方法。
同时，要注重培养学生的数学思维能力，使学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。
通过变式教学，提高学生的数学素养，为学生的可持续发展奠定基础。
初中数学课本例题变式教学的实践与研究
初中数学课本例题变式教学的实践与研究摘要：课本中的例题是经过反复琢磨、认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性，不少中考题就是以课本例题为素材，通过适当的延伸与拓展而命制的，因此，在学习的过程中我们要立足课本，充分发挥课本例题的作用。
关键词：课本；例题变式中图分类号：G633.66 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-6715（2019）11-145-01变式教学是一种有效的教学策略。
在历年的中考数学试卷中，均有部分试题是由教材中的结论、例题、习题等的变式而成。
中考给我们带来的启示是：初中数学课堂应着眼于学生打好扎实的双基，培养灵活的思维，坚持自主探索、合作交流、动手实践的教学方式。
一、问题的提出实施新课改以来，尽管数学教师花了很多精力通过例题变式对学生进行基础训练和能力培养，但效果并不理想。
教师对课本例题的运用还存在以下问题：1.追求形式的例题变式，变式目的不明。
变式教学的目的是为了让学生通过例题抓住题目本质而举一反三，但现在有的教师在教学中片面追求例题的变式形式、数量，变式目的不明，对变式时机、过程无法有效掌控。
2.缺乏准备的例题变式，变式效果不明。
有的教师由于课前预设不到位，对课内出现的突发情况应变能力不足，于是就根据已有的教学经验和掌握的一些变式方法、原则，通过简单的类比变换例题的一些条件、结论，由于这样的变式具有很强的随意性，要想有明显的教学效果是不太可能的。
3.脱离实际的例题变式，变式需求不明。
变式的目的不仅仅是为了提高学生掌握知识的能力，同时也应满足课堂教学中各层次学生的心智需求。
一个有效的变式是离不开学生民主参与的。
在例题变式中，有的教师对问题的设计无法达成班级大部分学生民主参与的意向，变式问题对学生的后续学习起不到示范作用。
4.偏离本质的例题变式，变式规律不明。
由于对例题中“问题结构”认识不到位，使变式偏离了例题的本质属性，造成学生摸不清解题规律，甚至产生“负迁移”，既浪费了时间，又浪费了精力，达不到变式的目的。
数学例题,如何进行“变式”
数学例题，如何进行“变式”摘要：本文结合笔者在数学课堂的经历，浅谈对数学例题进行“变式”的若干体会。
关键词：数学教学例题“变式”数学“变式”就是在数学教学过程中对数学例题从不同角度、不同层次、不同背景做出有效的变化，而本质特征却不变。
一、从数学问题构成角度看，可得数学例题构成变式1.条件变式条件变式是将原题的一个或多个条件进行变动或延深。
在数学解题中所用知识不离开原题的范围。
它的作用可以让学生接触到同一类型数学题的不同情况，有利于全面地掌握数学知识点。
常见的条件变式如下。
（1）正负号变化。
如求解不等式x2-5x+6>0，可条件变式x2-5x-6>0或-x2-5x+6>0。
（2）范围变化。
如求函数y=x2-2x+3x∈R的值域。
可条件变式将x∈R变为x∈[2，4]或x∈[-2，3]或x∈[-2，0]。
（3）字母与常数变化。
如求解方程x2-x-8=0可条件变式求解方程：①x2-x-a=0；②ax2-x-8=0。
（4）同等元素变化。
它是指在条件变式中，将其中一个已知对象改变为另一个等价的对象，从而达到变通的效果。
例如已知直线y=kx+3与圆x2+y2=4相交于AB两点，以AB为直径的弦恰好经过原点，求k值。
可条件变式将圆更改为与椭圆2x2+y2=4或双曲线2x2-y2=4或抛物线y2=4x。
（5）情景变化。
它是指利用条件创设情景，将数学问题与日常生活中常见的问题联系起来，引起或指引学生进行联想，让学生知道数学与生活是紧密联系，生活中的实际问题都能抽象成数学模型来进行求解。
它的作用是通过创设情景，联系实际的“变式”数学教学来提高学生应用数学的意识和学习数学的兴趣。
如已知抛物线的焦点是F（0，-1），求抛物线的标准方程。
可条件变式为：桥洞是抛物线拱形，当水面宽1米时，桥洞高2米，当水面下降1米后，水面的宽是多少？2.结论变式所谓结论变式，是将数学问题中的结论进行变动或加深。
在数学解题中，所用数学知识仍然不离开原题的范围。
初中数学教材例题的变式教学策略探究
初中数学教材例题的变式教学策略探究1. 引言1.1 研究背景初中数学教材例题是学生学习数学知识的重要工具，通过解题能够帮助学生深入理解数学概念和方法。
在教学中，有时候教材中的例题可能显得单一和呆板，无法激发学生的学习兴趣，也无法帮助学生拓展思维和提高解题能力。
对初中数学教材例题进行变式教学策略探究显得尤为重要。
传统的数学教学模式往往只是单纯地讲解概念和公式，然后让学生通过例题进行机械式的练习。
这种教学方法在一定程度上限制了学生的发散性思维和创造力。
通过对例题进行变式教学，可以让学生在解题过程中灵活运用所学知识，提高解决问题的能力。
变式教学也能够激发学生的兴趣，增加学习的趣味性，促进学生成为主动学习者。
针对初中数学教材例题的变式教学策略探究具有重要的现实意义，能够提高教学质量，激发学生学习的热情，促进学生全面发展。
通过对例题的改编和创新，可以为学生提供更多元化的学习经验，帮助他们更好地理解和应用数学知识。
【研究背景】1.2 研究目的研究目的是为了探究初中数学教材例题的变式教学策略，帮助学生在学习数学的过程中更好地理解和掌握知识点。
通过分析教材中的例题特点，揭示变式教学策略的基本原理，提出基于例题的具体变式教学策略，并探讨实施步骤与方法，以及通过案例分析验证教学效果。
通过这项研究，旨在帮助教师更好地选择和设计例题，提升教学效果，激发学生学习数学的兴趣，促进他们的学习动力和数学素养的提升。
也为教育教学研究领域提供新的思路和方法，促进教育教学改革和提高教学质量。
通过此研究，希望能为未来的教学实践提供有益的参考和借鉴，推动数学教育的发展和进步。
1.3 意义初中数学教材例题的变式教学策略探究具有重要的意义。
通过对例题的变式教学，可以帮助学生更深入地理解数学知识，培养他们的解决问题的能力和创新思维。
变式教学能够激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，从而提升学习效果。
变式教学还可以帮助教师更好地发现学生的学习情况，及时调整教学方法，促进教学质量的提升。
四度六步教学法案例
四度六步教学法案例俗言道，数学使人周密，学好数学的重要性在古人的言语中便有所体现。
在当今的教育体系中，数学更是作为一门基础学科被纳入教学范围，其教学内容与方式也顺应教育要求而不断被精炼与创新。
XX作为一名教学经验丰富的数学教师，首次提出了“四度六步”的初中数学教学法，该教学法因其致力于缓解学生数学学习的焦虑、创建精彩课堂等内涵丰富的主张而广受好评。
笔者希望通过对该教学法的灵活运用，使其不仅能在初中教学中体现价值，还能在其他阶段的教学中实现灵活贯通，更好地彰显其教学价值。
一、“四度六步”教学法简介XX教师所提出的“四度六步”教学法指的是“四度”的教学主张与“六步”的实践架构，其中“四步”包括温度、梯度、深度、宽度，“六步”包括温故、引新、探究、变式、尝试、提升，其目标是为了创建精彩的数学教学课堂[1]。
“四度六步”教学法的提出以众多教学理论为依据，例如维果茨基的最近发展区理论。
该理论提出而儿童的现有发展水平与潜在发展水平之间的差距被称为最近发展区，“四度六步”教学法则主张通过有效的教学，缩短学生现有水平与潜在发展水平之间的距离，帮助学生实现数学能力的有效提升。
除此之外，该教学法还参考了奥苏贝尔的认知理论、建构主义学习理论、“学习金字塔”理论等。
接下来本文将结合“四度六步”教学法，对小学数学计算的相关教学过程进行设计与可行性探索。
二、“四度六步”教学法在小学数学计算教学中的应用本文以人教版四年级上册义务教育数学教科书第四单元三位数乘两位数的先导课为例，对其教学过程进行设计与分析，以体现其中的“四度六步”教学理念。
（一）“六步”1.温故由于“三位数乘两位数”的乘法是在学生“多位数乘一位数”及“两位数乘两位数”的乘法笔算方法的基础上进行教学的，因此，在上课之初，教师应先引领学生回顾先前学习的运算方法，并适当列举“多位数乘一位数”及“两位数乘两位数”的习题让学生独立计算，回顾笔算的原理与步骤，为新知识的学习做好理论与感官上的准备。
数学题变式的常用方法探讨
数学题变式的常用方法探讨数学题是无穷无尽的，搞“题海战术”不仅加重学生的学习负担，而且削弱了基础知识的学习，也影响了学生思维的发展。
数学教学要在发展学生思维能力上下功夫，而一题多解与一题的变式应用这两种形式对于培养学生分析问题和解决问题的能力是有效的。
本文想对数学题变式的常用方法做初步探讨。
题的变式是指对于一道数学题，适当变换条件或结论，变换形式或内容，得到一些新的数学题。
把一道数学题变成新的数学题，所用知识，解题方法都可能引起变化。
通过比较鉴别，会使学生进一步开阔思路，学的灵活；同时有利于巩固基础知识和基本技能的训练，起举一反三的作用。
一题的变式在新课、复习课和习题课都可应用。
1 条件或结论的等价替换在数学命题中，有些命题是等价命题，他们之间可以互相推导，如果将命题的条件（或条件）用等价的条件（或结论）替换，便可得出新命题。
例1：方程（a-b）c2+（c-a）c+（b-c）=0有相等二实根，求证：a、b、c成等差数列。
这个命题可改写成“若（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0，求证：a、b、c成等差数列。
”实际上原题中方程有相等二实根与新题的（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0是等价的。
原题也可这样改变：“设A、B、C为三角形三个内角，且（sinA-sinB）c2+（sinC-sinA）c+（sinB-sinC）=0有相等二实根，求证：sinA、sinB、sinC成等差数列。
”有正弦定理知，在△ABC中，（sinA-sinB）c2+（sinC-sinA）c+（sinB-sinC）=0与（a-b）c2+（c-a）c+（b-c）=0是等价的，sinA、sinB、sinC成等差数列与a、b、c成等差数列是等价的。
例2：设tgα，tgβ是方程c2+ac+a+1=0的二根，求证（α+β）=1这个题条件不变，结论可改成“求证sin（α+β）=cos（α+β）”。
或改成“求证α+β=nπ+，（n为整数）。
我的教育主张——问题解决教学
我的教育主张——问题解决教学参加“龙江骨干教师”培训后，我做了自己从教以来的第一次教学梳理，逐渐意识到教师要有自己的教学主张。
通过吸纳、判断、甄别、实践、反思，形成对教育教学的自我理解，进而内化为自己所秉持的教育教学理念。
特级教师李吉林说：“教师，如果有自己的思想和教育主张，那么，他就可以说，我是一个思想者。
”李老师的话可谓一语中的，教师必须要有自己的教学主张，因为教学主张是教师专业成长的“第三只眼睛”，它能够帮助老师看到内在的、本质的、深刻的教学内涵。
我一直在思考如何提高数学课堂的效率，如何牵动着学生的思维、不断的启发唤醒，如何化被动为主动。
在课堂上，我鼓励学生不断的提问、质疑。
通过设置问题，让学生在解决一个又一个问题的过程中，完成知识的理解、记忆、沉淀，形成解决问题的能力，我想这就是我的教学主张——问题解决教学。
问题解决是美国数学教师协会在上世纪80年代首先提出的。
明确指出“数学课程应围绕问题解决来设计”，“必须把问题解决作为学校数学教育的核心”。
由教师引导,让学生思考、讨论、再思考,对数学问题进行解决、拓展、提升，培养学生获取新知的能力和创新的精神。
一、“问题解决教学”的理论基础1、问题观.创新始于“问题”问题是数学的中心，是思维的引擎，他决定着课堂教学进程方向。
数学教学过程是一个提出问题、分析问题和再提出问题，不断解决问题的过程。
苏联教育科学院院土马赫穆托夫的《问题教学》理论与实践告诉我们：如何创建问题情境、对话设计，如何构建“问题解决教学”。
教师在教学中不断地设置问题，学生在解决问题中成就感不断增强，促进了学生的创新的愿望。
2、主体观。
问题解决教学以学生为主体，让学生独立思考、理解、独立归纳升华、并掌握运用。
学生认识到成为一个自我控制的学习者的重要性，并学会自身的心理调试，面对困境能够积极寻求解决方案。
3、建构观。
建构主义的学习理论认为，学习过程是学生积极地建构知识的过程。
而问题解决教学恰恰是把学习任务抛锚在较大的任务或问题中，让学生在问题解决过程中始终具有自主权。
数学中的例题变式教学-最新资料
数学中的例题变式教学苏霍姆林斯基认为：“掌握知识和获得实际技能是在教师的指导下进行的复杂的认识活动，而激发学生的学习兴趣，引起求知欲望则是推动学生进行这一活动的主要动力。
”在教学中，如果课上得令学生感兴趣，那么就意味着学生在学习和思考的同时，还感到愉快和感动。
因此，教师应充分利用教材中的例题，引发学生思考，透过现象寻本质，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，这就是例题“变式”教学的目的。
所谓“变式”，就是教师有明确的教学指向，有微观的教学计划，对例题进行合理转化或拓展。
换言之，在例题教学中，教师灵活变换问题中的条件和结论，转化问题的内容和形式，配置实际应用的各种环境，促使学生掌握数学对象的本质属性。
这是一种重要的思想方法，又是一种行之有效的教学方式。
一、创新问题情境，培养观察能力投石激浪，不失为一种教学策略。
一个恰当而又引人入胜的问题，往往可以激起思维的涟漪，鼓起探索的风帆。
在“中位线”的教学中，笔者曾引入变式教学，利用变式引导学生积极参与知识形成的过程，通过创设问题情景，让学生自己去发现、去创造，以多样化的变式培养学生的观察、分析以及概括能力。
例1已知：如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是菱形。
（证明略）变题1：已知：连接菱形ABCD各边的中点E、F、G、H。
证明：四边形EFGH是矩形。
变题2：已知：连接矩形ABCD各边的中点E、F、G、H。
证明：四边形EFGH是矩形。
变题3：已知：连接正方形ABCD各边的中点E、F、G、H。
证明：四边形EFGH是矩形。
在例题变式的教学中，由于课本上例题的解题过程已经很详尽，方法已经十分清晰，因此，我们不能把重点放在对例题的讲解上，而是要灵活地运用例题，精心设置疑点，激发学生的学习灵感，拓宽思维的视角。
二、变更题型的内容，培养应变能力单调的题型，往往形成单一的刺激，容易造成思维定势，产生厌倦的情绪。
变式训练在高中数学解题教学中的实践探究
变式训练在高中数学解题教学中的实践探究贾㊀涛(广东省佛山市三水区三水中学㊀５２８１００)摘㊀要:数学科目是中小学阶段的主要科目ꎬ也是学业课程的基础科目ꎬ数学科目主要讲究的是逻辑思维和分析方法ꎬ数学科目的主要学科目标是培育学生的独立思考能力和分析解决问题的能力.数学科目的学习最重要的就是解题方法和技巧的掌握ꎬ尤其是在高中阶段ꎬ数学题目的难度和解题的复杂程度都大大增加ꎬ需要借助一些解题方法来帮助进行解题.本文具体介绍数学解题思路当中的一种ꎬ即变式训练ꎬ通过对于一些相关的数学题目的具体分析ꎬ来探讨变式训练在高中数学解题中的实践和应用ꎬ从而帮助学生提高对于数学科目的认识ꎬ增强对于题目的熟练程度ꎬ培育数学学科思维.关键词:变式训练ꎻ高中数学ꎻ解题实践探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)１５－００５０－０３收稿日期:２０２２－０２－２５作者简介:贾涛(１９８１.８－)ꎬ男ꎬ河南省新乡人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀数学是构成初中课程条目的最主要部分ꎬ也正是因为这样ꎬ才调动了学生们对于数学学习的热情ꎬ因此提升数学质量对提高初中教学水平提高必不可缺.结合学生不同的能力和水平ꎬ制定出更加具备针对性和实践性的教学内容和教学方法ꎬ才能便于学生更好的理解数学教学的知识内容ꎬ从而获得最大程度的上的收获.１数学解题教学中现存的问题１.１学生主观原因学生自学能力差ꎬ不能找出问题的重点和难点ꎬ对于自身的掌握状况不清晰ꎬ不能明确哪一部分内容明确或者是不足ꎻ课堂缺少解题的积极性ꎬ缺乏积极思考的动力ꎬ不擅长主动学习ꎬ总是被动的盲目跟着老师ꎬ不能够独立思考ꎻ加之数学本身的学科特点ꎬ大多是较为抽象的公式和定理ꎬ不便于学生的思考ꎬ而且繁琐大量的计算过程需要强大的计算能力和细心的检查ꎬ每一步都是必须要求严格ꎬ否则容易出错.１.２老师教学方式老师是教授知识的主体之一ꎬ是影响知识传授程度的主要因素ꎬ老师的教学观念和态度对学生的兴趣有很大的影响ꎻ现代社会教育体制改革倡导教学互动ꎬ以学生为主体ꎬ但有的老师长期采用单一枯燥的教学模式ꎬ缺乏创新ꎬ缺少课堂氛围ꎬ导致课堂变得乏味㊁疲惫ꎬ慢慢积累会让学生脱离数学课堂ꎬ失去对于数学学习的兴趣和动力ꎬ最终导致数学成绩的下降ꎬ教育质量降低.２变式教学的基本原则变式教学是在已有经验基础上ꎬ进行的创造与创新ꎬ其有利于破解思维定势的消极影响ꎬ能够在知识系统的形成过程中进行思维创造ꎬ有利于思维发散与概括能力的提升ꎬ提升思维的变通性ꎬ拓展思维０５的宽度与深刻性ꎬ促进思维的发展.２.１针对性原则习题变式教学ꎬ不同于习题课的教学ꎬ它贯穿于新授课㊁习题课和复习课ꎬ与新授课㊁习题课和复习课并存ꎬ一般情况下不单独成课.因此对于不同的授课ꎬ对习题的变式也应不同.例如:新授课的习题变式应服务于本节课的教学目的ꎻ习题课的习题变式应以本章节内容为主ꎬ适当渗透一些数学思想和数学方法.复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法还要进行纵向与横向的联系ꎬ同时变式习题要紧扣考纲.在习题变式教学时ꎬ要根据教学目标和学生的学习现状ꎬ切忌随意性和盲目性.２.２可行性原则选择课本习题进行变式ꎬ不要 变 得过于简单ꎬ过于简单的变式题ꎬ会让学生认为是简单的 重复劳动 ꎬ影响学生思维的质量ꎻ难度 变 大的变式习题易挫伤学生的学习积极性ꎬ使学生难以获得成功的喜悦ꎬ长此以往ꎬ将使学生丧失信心ꎬ因此ꎬ在选择课本习题变式时ꎬ要变得有 度 .２.３参与性原则在习题变式教学中ꎬ教师要让学生主动参与ꎬ不要总是教师 变 ꎬ学生 练 .要鼓励学生大胆的 变 ꎬ培养学生的创新意识和创新精神.３变式训练实践应用变式训练是高中一种重要的教学手段ꎬ对与学生纠错起到重要作用.学生做题出错ꎬ代表着学生存在问题ꎬ根据问题产生的针对性训练ꎬ能够帮助学生有效解决存在的问题ꎬ从知识㊁技巧出发的变式训练最终会沦为机械刷题ꎬ从能力和思维出发的变式训练才能彻底解决学生问题.３.１能力层面分析分析学生的错题ꎬ首先要分析学生知识和考试技能方面的问题ꎬ但是ꎬ不能分析到这里就结束.在学生知识和技能分析基础上ꎬ还应该分析学生的学科素养和思维方面的缺陷ꎬ甚至是学习习惯和方法问题ꎬ这才是学生出错的根本原因.虽然这些问题解决起来难度大㊁周期长ꎬ但是只要解决了这些问题ꎬ学生才能有效避免类似错误.３.２精选变式训练并不是所有的变式训练都能从根本上解决素养和思维的问题.这需要教师进行认真研究ꎬ反复挑选才能最终确定.另外ꎬ变式训练不仅仅限于试题ꎬ还可以进行实验㊁写作㊁项目学习等多种训练方式.并且ꎬ这种训练短期很难奏效ꎬ需要长期坚持不懈.３.３例题分析例㊀已知ａ１＝１ꎬａｎ＝２ａｎ－１＋１(ｎȡ２)ꎬ求ａｎ.解析㊀设ａｎ＋λ＝２(ａｎ－１＋λ)ꎬ不难求出λ＝１ꎬ所以原式可变形为ａｎ＋１＝２(ａｎ－１＋１)ꎬ令ｂｎ＝ａｎ＋１ꎬʑｂｎ＝２ｂｎ－１(ｎȡ２)ʑｂｎ{}是以２为首项ꎬ以２为公比的等比数列.后面易得.这种做法要记住这种类型是朝着构造等比数列ꎬ但是ａｎ＋λ这个待定系数是算的ꎬ而不用死记ꎬ当然如果用处只是少记这个系数的话ꎬ那么也没有必要去强调.变式１㊀已知ａ１＝１ꎬａｎ＝３ａｎ－１＋２ｎ(ｎȡ２)ꎬ求ａｎ.解析㊀例题中的待定系数法ꎬａｎ＝Ａａｎ－１＋Ｂ中的Ｂ是常数ꎬ而现在这里是个含ｎ的式子ꎬ尝试着用例题中的待定系数法的方法.设ａｎ＋λ＝３(ａｎ－１＋λ)ꎬ不难求出λ＝２ｎ－１ꎬ所以原式可变形为ａｎ＋２ｎ－１＝３(ａｎ－１＋２ｎ－１).如果令ｂｎ＝ａｎ＋２ｎ－１ꎬ则ｂｎ－１＝ａｎ－１＋２ｎ－２ꎬ无法构造成等比数列.但是请不要放弃.两边加上相同的系数λ是不行的ꎬ那如果加上不同的系数呢?对于右边的ａｎ－１如果我们将它的λ的系数变为１２ꎬ好像就可以.但是右边的１２是个分数ꎬ我们还可以怎么改下会更好呢?不难想到ꎬ将左边的ａｎ的λ系数改为２.于是ꎬ设ａｎ＋２λ＝３(ａｎ－１＋λ)ꎬ不难求出λ＝２ｎꎬ所以原式可变形为ａｎ＋２ｎ＋１＝３(ａｎ－１＋２ｎ)ꎬ令１５ｂｎ＝ａｎ＋２ｎ＋１ꎬʑｂｎ＝３ｂｎ－１(ｎȡ２)ʑｂｎ{}是以５为首项ꎬ以３为公比的等比数列.后面易得.沿着上面的思路ꎬ我们不难看出构造不成功的时候ꎬ如果我们能将不成功的地方修改下ꎬ距离成功就会很近了.做完这道新题后ꎬ我们不要这么轻易把它放过ꎬ我们再回头看这道题.我们在构造时ꎬ左边加了２λꎬ右边加了λ.那么右边这个２是怎么来的呢?很可能是题目中的哪个元素呢?可能是２ｎ中的２!如果是２ｎ中的２ꎬ那么我们是不是可以猜想ａｎ＝Ａａｎ－１＋Ｂ ｑｎ(Ａʂ１ꎬＢʂ０ꎬＡʂｑ)ꎬ都可以用类似方法做呢?练习㊀已知ａ１＝１ꎬａｎ＝２ａｎ－１＋３ｎ(ｎȡ２)ꎬ求ａｎ.㊀解析㊀设ａｎ＋３λ＝２(ａｎ－１＋λ)ꎬ不难求出λ＝－３ｎꎬ所以原式可变形为ａｎ－３ｎ＋１＝２(ａｎ－１－３ｎ)ꎬ令ｂｎ＝ａｎ－３ｎ＋１ꎬʑｂｎ＝２ｂｎ－１(ｎȡ２)ʑｂｎ{}是以－８为首项ꎬ以２为公比的等比数列.后面易得.经过证明后ꎬ大家又得到了一种新的求数列的通项的类型.这个新类型是在我们之前的待定系数法的基础上ꎬ大家进行了转变ꎬ虽然例题两边同时加λ的方法不行ꎬ但是经过观察ꎬ调整下系数后ꎬ是可以得到我们想要的结果ꎬ这就是变式训练想要得到的效果.下面我们用上面的思路来研究下其它类型的题目.变式２㊀已知ａ１＝１ꎬａｎ＝２ａｎ－１＋ｎ(ｎȡ２)ꎬ求ａｎ.解析㊀设ａｎ＋λ＋１＝２(ａｎ－１＋λ)ꎬ不难求出λ＝ｎ＋１ꎬ所以原式可变形为ａｎ＋ｎ＋２＝２(ａｎ－１＋ｎ＋１)ꎬ令ｂｎ＝ａｎ＋ｎ＋２ꎬʑｂｎ＝２ｂｎ－１(ｎȡ２)ʑｂｎ{}是以４为首项ꎬ以２为公比的等比数列.后面易得.以上两个变式与例题中的知识背景是有类似的ꎬ因表达方式的不同ꎬ学生在解题的过程中对题意的理解可能出现偏差ꎬ但只要能够抓住题目重点内容以及相应知识点ꎬ明白题目的深层含义ꎬ这种问题便迎刃而解了.采用变式题组可以很好地利用同一框架结构将知识结构进行体系化处理.借助变式ꎬ通过特殊到一般㊁抽象概括㊁总结规律㊁推广应用等活动ꎬ不仅可以使学生弄清以上基本规律的来龙去脉ꎬ还能将相应类型的题型进行归纳总结ꎬ有利于今后学生对同类问题的识别与对应解题方法的提取.用这种方式进行解题教学ꎬ可防止学生对所学的基础知识和已掌握的基本技能陷于低化ꎬ故在教学中可借变式帮助学生进行发散性思维的训练.３.４深层讲解和指导针对性训练之后ꎬ教师要根据学生训练情况进行深层次讲解和指导ꎬ引导学生研究和分析训练内容和过程ꎬ不断纠正学生思维偏差.其次ꎬ学生要正确对待变式训练ꎬ在训练中要学会研究和思考ꎬ这是思维提升和素养提升的途径.明确数学知识的本质内容ꎬ才能加深对于数学知识的理解ꎬ更好的促进数学知识点的灵活应用ꎬ增强数学学习的连贯性和一致性ꎬ从而进一步去帮助学生培养良好的数学思维ꎬ提高数学学习的能力.参考文献:[１]韦军湘.论述变式训练对于高中数学解题教学的思路培养[Ｊ].广西中医学院学报ꎬ２０１９ꎬ３６(０１):４０－４２＋９６.[２]刘庆谊.变式训练教学法在高中数学解题教学中的应用[Ｊ].卫生职业教育ꎬ２０１８ꎬ３８(４):３－７ꎬ２１.[３]黄伟业ꎬ贾洪全ꎬ袁育霞ꎬ闫洪杰ꎬ徐明.变式训练的优势和发展特点的探讨[Ｊ].通化师范学院学报ꎬ２０１８ꎬ３３(２２):６５－６６.[４]朱剑平.高中数学解题教学与学生探究能力的培养分析[Ｊ].科学导报ꎬ２０２０ꎬ３６(１):６２－６３.[责任编辑:李㊀璟]２５。
变式,例题教学的催化剂——“求一个数是另一个数的几分之几”教学心得
个 数 的几 分 之 几 ” 有 了较 深 刻 的理 解 ， 但 是 要 达 到 全 部 学 生 都
能掌握还有一定的距离 ， 所 以在 接 下 去 的 “ 试一试” 例题教学 中 。 笔 者 再 次 启 用 了变 式 教 学 。 这 一 次 的变 式 ， 笔 者 把 它 分为 两 个 层 次 ： 第一层次 ， 把 原 题 问题 中 的 两 个 量 互 换 ， 这 样 让 学 生 进 一 步 认识到单位“ １ ” 的变 化 引 起 了所 填 分 数 分母 的变 化 ， 再 次 说 明 确
探究 ， 学生明 白： 原来单位… １ ’ 的份 数 变 了 ， 所 填 分 数 的分 母 就 会
的有 效 性 是 提 高 教 学 质 量 的 关 键 。 在实际教学中 ， 我 们 经 常 看 到 例题教学 时 ， 老师按照课本一 题一题讲 ， 讲完一题接下 题 ， 这 样 的例 题 教 学是 低 效 的 。 没 有 重 点 ， 没有 目的， 就题论题 ， 浅 尝 辄
所谓 变 式 ， 就 是 不 断 变 换 问 题 中 的 条 件 和 结论 ， 时 时 转 换 问 题 的 形式 和 内 容 ， 使 题 目 内容 ， 形 式 不 拘 一 格 。变 式 教 学 能 丰 富
题 目的内涵 。 激发学生的求知欲望 ． 有利于培养学生 的创新意识
和发 散思 维 能力 ， 使 学 生 形 成 良好 的 思 维 品质 。 变式 教 学 能够 让 学生 尽 可 能多 的参 与到 教 学 活 动 中来 ， 每 次变 式 都 能 紧 紧抓 住 、 时 时牵 动 学 生 的心 。 本 课 教学 中 ，笔 者 首 先 呈 现 课 本 例 题 的 原 型 ，通 过 观 察 发
止 。忽 略 了对 解 题 思 维 起 点 的追 问 和对 题 目相 关 知 识 和 方 法 进
关于初中数学例题变式教学的实践与认识
关于初中数学例题变式教学的实践与认识摘要：随着新课改的深入实施，教师的工作任务有所变化，从帮助学生“掌握理论知识”向“促进学生全面发展”转变。
在初中教育课程中，数学学科具有不可代替的地位，它承担着培养学生创造、发散等学习思维能力的重任。
因此，教师要时刻谨记“素质教育核心理念”，不断创新教学观念、教学方法。
如何在数学教学活动中有效培养学生的学习思维、能力？教师首先需要选择合适的教学方法，例如“例题变式教学法”。
关键词：初中数学；例题变式；教学实践引言：与传统的“灌输式教学法”相比，“例题变式教学法”更考验学生的逆向思维、发散思维等能力。
“例题变式教学法”就是指通过一道经典的课本例题进行变形，以此令学生的数学思维能力得到锻炼。
在此之间，教师要时刻谨记“一题多变”原则，这是保证“例题变式教学法”取得良好效果的重要前提。
一、坚持一题多变原则，锻炼学生学习思维数学学科主要以数学概念、结论为基础，然后通过经典例题去展现对应的知识点。
由此可见，“例题”在数学学科中具有非常重要的意义。
一般来说，教师在教学过程中都会以课本例题为基础，然后以此展开教学。
为了可以让学生灵活运用所学知识、掌握更多解题技巧，所以教师在讲解课本例题之时，要时刻谨记“一题多变原则”。
“一题多变原则”也就是依托书本例题进行变形，通过改变题目的条件、结论等内容，将其转变成全新的题型，但又与书本例题有千丝万缕的关系。
借此方式，学生可以认识更多题型、解题技巧，这无疑有利于帮助他们夯实所学知识，并且令他们的学习思维、能力得到锻炼。
以教材第87页例题4为例，首先，教师先帮助学生掌握这道习题，并且引申其中所涉及到的知识点，例如“角平分线的性质”等等。
随后，教师便可以围绕这道习题进行变形。
从课本例题到变式1，主要减少了两个已知条件：直径AB、弦AC的长度。
同时，还改变了需要求解的结论；从课本例题到变式2，只是变化了需要求解的结论。
虽然这两道变式例题只是减少或者增加了一两个条件，但整道题目却发生了巨大的变化。
讲解例题主要用到的教法是什么
讲解例题主要用到的教法是什么一、一题多解，引导学生悟解法。
这里面包含两层意思：1、本题还有哪些解法，即一题多解，并总结比较它们的应用特点及优劣。
2、哪些题可借助于本法，即一法多用。
这样做可以开阔学生解题思路，培养思维的灵活性，从而增强教学效果，提高学生的解题能力。
二、变式训练法，适当变换例题的已知条件或者结论。
“变式训练”这种方法是培养学生良好的思维品质的良好素材，尤其是培养学生思维的深刻性、广阔性、独创性、敏捷性有极其重要的意义，同时也是差生转化的好方法，特别是由于思维品质的差异而造成的差异所导致的“差生”的转化，对于“减负”也有重要意义。
学生的知识背景、思维方式、情感体验往往和成人不同，而其表达方式可能又不准确，这就难免有“错”。
变式训练有时候就是从学生易错处中去变形，让学生先错，以达到以后不错的目的。
例题教学若能从此切入，进行解后反思，则往往能找到“病根”，进而对症下药，常能收到事半功倍的效果！如果我们的例题教学能抓住这一契机，并就此展开讨论、反思，无疑比讲十道、百道乃至更多的例题来巩固法则要好得多，而这一点恰恰容易被我们所忽视。
三、逐层深入，分解题目引导学生分析。
例题教学应重视学生的审题能力。
现在很多学生拿到数学题，尤其是稍为复杂一点的题型，就感到无从下手，其原因就在于学生不会审题，不会分析己知条件和未知条件的联系。
在例题教学中，我们教师不应直接去讲例题，而是让学生先分析、先解题，进而引导学生消化例题、学习例题、准备怎样的分解，才能引导学生积极尝试，又能引导学生积极学习课本，发挥课本例题的示范作用呢？总之，在例题教学时，既要重视通过分析，探求解题思路，也要重视解完例题后的巩固，使例题教学得到完善。
这样，学生不仅能牢固地掌握基础知识和解决问题的基本方法和基本技能，而且能把分析问题和解决问题的能力提高到一个新的层次，从而取得了较好的教学效果。
不定积分凑微分法的变式教学探讨
不定积分凑微分法的变式教学探讨在高等数学的课程中，一元函数不定积分的计算是微积分计算中的重要内容之一，是学习定积分、微分方程、多元函数积分学的基础.不定积分的求解方法主要有：直接积分法、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法、分部积分法四种.其中，凑微分法应用极其广泛，在换元积分法和分部积分法中，凑微分均是核心，是学生学习的重点和难点[1]，下面我们将对凑微分的教学方法进行进一步的探索.凑微分法的基本原理为：设f（u）具有原函数F（u），即F′（u）=f （u），∫f（u）du=F（u）+C.如果u是中间变量，u=φ（x）且设φ（x）可微，那么根据复合函数微分法，有dF[φ（x）]=f[φ（x）]φ′（x）dx.从而根据不定积分的定义得：∫f[φ（x）]·φ′（x）dx=F[φ（x）]+C=∫f（u）du（u=φ（x））.在实际教学中，学生往往对用凑微分原理解题理解困难.因此为了让学生能准确且更快地掌握凑微分，我们对第一类换元法中第一步把被积函数分解成因子乘积的形式进行强调再随之解题.由于同学们对基本初等函数的不定积分公式掌握得相对牢固，因此我们只要先把复合函数变形成积分表中的基本初等函数再来解不定积分的话就会容易很多.现在我们通过以下几个例题对这种方法进行详细的阐述.由于凑微分方式灵活多样，单单依靠几个常见的凑微分习题并不能给学生足够的启示，因此在讲解过程中我们将方法归结为三种，更便于学生掌握.一、被积函数可化成若干个因子的乘积，研究其中的复合函数，进行凑微分例1求不定积分∫2xex2dx.分析被积函数直接是几个因子乘积的形式，且其中有一个是常数.常数因子可以不用考虑，因为常数可以直接提到不定积分的前面.剩下一个基本初等函数x，一个复合函数ex2.我们只研究复合函数，引入中间变量把复合函数变成基本初等函数，即令x2=u，则ex2=eu，那么原题当中的积分变量就由x变成了u，为了保证变量的统一，剩下的2xdx需要凑成du.而我们发现du恰好等于2xdx，故解题过程如下.解∫2xex2dx=∫ex2dx2=∫eudu=eu+C=ex2+C.例2求不定积分∫cosxsin2xdx.分析被积函数是乘积的形式，且其中一个是基本初等函数cosx，另一个是复合函数sin2x.我们只研究复合函数，引入中间变量把复合函数变成基本初等函数.即令sinx=u，则sin2x=u2，那么原题当中的积分变量就由x变为u了，为了保证变量的统一，剩下的cosxdx要凑成du.而我们发现du恰好等于cosxdx.解∫cosxsin2xdx=∫sin2xdsinx=13sin3x+C.例3求不定积分∫sinxxdx.分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.被积函数可写为sinx乘1x，其中只有sinx为复合函数，故令x=u，则sinx=sinu，剩下的1xdx需要凑成du.解∫sinxxdx=2∫sinxdx=-2cosx+C.对于凑微分解题，刚开始的时候老师可以和同学们强调上述解法，也就是把被积函数写成几个因子乘積的形式，接下来研究是复合函数的那个因子，剩下的因子和dx凑成du.等学生熟练了之后再引入公式，他们接受起来就会容易很多，从而避免了对凑微分公式的死记硬背.对于简单的被积函数可以这么做，但是对于复杂的被积函数，也就是被积函数当中不止一个复合函数的，应该怎么做呢？先来看如下两个例题.例4求不定积分∫（arctanx）3x（1+x）dx.分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.（arctanx）3乘1x乘11+x.写成乘法之后，被积函数虽然是三个因子乘积的形式，但是只有（arctanx）3是复合函数.而1x是基本初等函数，11+x是简单函数.故研究（arctanx）3，但是这个函数是由三层函数复合而成的，故我们要引入两个中间变量把它逐步变成基本初等函数.但是这里需要注意的是要从内到外依次改变积分变量.解∫（arctanx）3x（1+x）dx=∫（arctanx）3·1x·11+xdx=2∫（arctanx）3·11+xdx=2∫（arctanx）3darctanx=12（arctanx）4+C.例5求不定积分∫ln2t anxcosxsinxdx.分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.被积函数可写为ln2tanx乘1cosx乘1sinx.这三个函数均为复合函数，那么我们应该选取哪个复合函数进行研究呢？这里我们归纳总结，遵循一个原则：选取复合层数最多的，也就是最复杂的那个复合函数进行研究.这里选取ln2tanx进行研究.这个复合函数是由三层函数复合而成的，和例4一样，根据从内到外的原则，分别用凑微分将其解出.具体过程如下：∫ln2tanxcosxsinxdx=∫ln2tanx·1cosx·1sinxdx=∫ln2tanx·1tanxdtanx=∫ln2tanxdlnt anx=13ln3tanx+C.由此可见，在用凑微分解不定积分的时候，将被积函数转化成乘积的形式再来求解，学生更容易掌握，且避免了传统的对公式的死记硬背的方法.针对被积函数的形式和特点，我们归纳出以下几种选择方法和技巧.1.被积函数只有一个复合函数时，引入中间变量，将复合函数变成我们熟悉的基本初等函数，再来求解.如：∫（4x+3）2dx=14∫（4x+3）2d（4x+3）=112（4x+3）3+C.2.被积函数是几个函数相乘时，只需研究其中的复合函数.如例1，例2.3.被积函数是几个函数相乘除时，将被积函数统一写成相乘的形式，再来研究它们之中的那个复合函数.如例3，例4.4.被积函数为多个复合函数相乘的时候，选择复合层数最多的也就是最复杂的那个复合函数进行研究.需注意的是由内而外分别进行凑微分.如例5.二、变量代换法中的凑微分变量代换法主要用于被积函数中含有根式的情况，我们解题时一个重要的思路就是将未知向已知转化，故解决此类问题的首要任务是用变量代换将根式化成整式，化成我们熟悉的形式，再来求解.在化成整式后的求解过程中，凑微分又是一个主要的解题思路.例6求不定积分∫1x+3xdx.分析令3x=t，则x=t3，dx=3t2dt，于是原积分可化为∫1x+3xdx=∫1t3+t·3t2dt=3∫tt2+1dt.到这一步为止，又变成了我们熟悉的形式，故将除法写成乘法的形式，研究被积函数当中的复合函数，再来求解.解∫1x+3xdx=∫1t3+t·3t2dt=3∫tt2+1dt=3∫1t2+1·tdt=32∫1t2+1d（t2+1）=32ln （t2+1）+C，最后将变量t换成3x即可.三、分部积分法中的凑微分分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式的不定积分，分部积分法关键是凑微分，将f（x）拆分成uv′.如求∫xcosxdx.设u=x，dv=cosxdx=d （sinx），∫xcosxdx=∫xd（sinx）=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C，则容易求解.在实际教学中我们总结出一个比较实用的方法：对拆分成乘积的两个函数求导数，若求导后函数类型发生变化则选此函数为u，若类型没有发生变化则选此函数为v′，两个函数类型均未发生变化则任选一个作为u即可，从而總结一个口诀“三指动，反对不动”，即三角函数、指数函数可以作为v′，反三角函数、对数函数不能作为v′.例7求不定积分∫excosxdx.分析被积函数为excosx，而（ex）′=ex，（cosx）′=-sinx，求导后函数的类型均没有发生改变，仍为指数函数和三角函数.故根据上文总结，可任选一个函数作为v′.这里不妨取ex为v′.解∫excosxdx=∫cosxdex=excosx-∫exd（cosx）=excosx+∫exsinxdx=excosx+exsinx-∫exdsinx=excosx+exsinx-∫excosxd x，再将式子中的∫excosxdx移项、合并，即可得∫excosxdx=12ex（sinx+cosx）+C.此种方法实用性较强，但在各方面亦具有一定的局限性.如求解不定积分∫x2exdx，被积函数为x2和ex，（x2）′=2x，（ex）′=ex.求导后的函数类型没有发生变化，故可任意选取一个函数为u，但通过求解发现并非如此.解法1∫x2exdx=13∫exd（x3）=13x3ex-13∫x3exdx=13x3ex-112∫exd（x4）（陷入无限循环）.解法2∫x2exdx=∫x2d（ex）=x2ex-2∫xexdx=x2ex-2∫xd（ex）=x2ex-2xex+2∫exdx=x2ex-2xex+2ex+C（简单明了）.为了解决此类缺陷，我们再给出一个选取u及v′的简单方法：将被积函数化成两个函数相乘的形式，按照“反对幂指三”或者“反对幂三指”的顺序，优先选取u.如求解不定积分∫x2lnxdx，被积函数为幂函数和对数函数的乘积，故应选取对数函数lnx为u，即可解出.分析分部积分法中选取u的两种方法，各有利弊.第一种方法利用凑微分，使学生的发散思维得以拓展，但对于某些题目不能应用.第二种方法简洁且应用广泛，但在一定程度上限制了同学们发散思维的培养.因此在实际教学过程中，教师应当将上述两种方法相互结合、补充，使教学效果最大化.综上，在不定积分的求解中，凑微分方法非常重要，学生应该领略凑微分的精髓，从而体会微积分的系统性，感受微积分的魅力.。
高中数学习题课的教学活动的实践探索
高中数学习题课的教学活动的实践探索张雪峰㊀李㊀萌(江苏省连云港市新浦中学㊀２２２０００)摘㊀要:中学数学复习是高中数学教学的重要环节ꎬ在集体备课活动中要敢于探索ꎬ敢于实践ꎬ根据学生的学习实际安排合适的复习内容和学习方法ꎬ让学生根据自己的学习实际去组织学习和练习.关键词:数学复习ꎻ集体备课ꎻ时间探索中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)１５－０００４－０２收稿日期:２０２１－０２－２５作者简介:张雪峰(１９７９.１１－)ꎬ江苏省连云港人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.李萌(１９８２.１２－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高中数学复习课的教学是高中数学教学的重要内容和环节ꎬ在教学中ꎬ可以发挥集体的智慧去提高教学效果ꎬ特别是在高中数学复习中.组织和安排好集体教学实践活动可以提高教学的效果.㊀㊀一㊁精心安排好习题课的教学问题是数学的心脏 ꎬ习题教学是高中数学课堂教学的重要环节ꎬ怎样进行习题课教学?怎样真正培养学生分析问题㊁解决问题的能力?怎样把习题课教学功能切实发挥出来?这些都是数学教师一直思考的问题ꎬ优选恰当的例题ꎬ进行适度的变式ꎬ采用多样的教学手段ꎬ让习题教学功能发挥到最大.例１㊀(问题信息源)如图１ꎬ已知扇形ＯＰＱ是半径为１ꎬ圆心角为π３的扇形ꎬＣ是扇形弧上的动点ꎬＡＢＣＤ是扇形内接矩形.记øＣＯＰ＝αꎬ求当角α取何值时ꎬ矩形ＡＢＣＤ的面积最大?并求出这个最大面积.这是课本上一道例题ꎬ集体备课时ꎬ教师们集思广益ꎬ改变视角设计变式题:变式１㊀已知扇形ＯＰＱ是半径为Ｒꎬ圆心角为π３的扇形.如图１ꎬＣ是扇形弧上的点ꎬＡＢＣＤ是扇形的内接矩形.记øＣＯＰ＝αꎬ矩形ＡＢＣＤ的面积记为Ｓ(α)ꎬ求Ｓ(α)的最大值.变式２㊀如图２ꎬＣꎬＢ是扇形弧上的两动点(ＰＢ＝ＱＣ)ꎬＡＢＣＤ是扇形的内接矩形.记øＣＯＢ＝θꎬ矩形ＡＢＣＤ的面积记为Ｔ(θ)ꎬ求Ｔ(θ)的最大值.变式３㊀要想在一块圆心角为θ(０<θ<π)ꎬ半径为Ｒ的扇形铁板中截出一块面积最大的矩形ＡＢＣＤꎬ应怎样截取?并求出此时的矩形面积.学生在解题过程中遇到的困难主要表现在:(１)理解困难ꎬ对题意不理解或是不易发现隐含条件ꎻ(２)构造困难ꎬ不会将题中的条件转化为数学信息ꎬ列出相应的数学表达式ꎻ(３)运算困难ꎬ速度慢而且准确率低ꎬ常常出现半途而废的现象ꎻ(４)判断困难ꎬ对概念理解不清ꎬ解题结果不会检验.究其原因ꎬ学生没有掌握题目本质ꎬ很多学生是 记题型ꎬ背套路 .所以ꎬ充分发挥集体智慧ꎬ挖掘题目内涵ꎬ以题目为载体构建知识体系ꎬ锻炼学生的数学理解能力和数学思维能力ꎬ真正学以致用.㊀㊀二㊁数学复习课的备课实践复习课是数学教学中必不可少的一种课型ꎬ数学复习课不同于新授课ꎬ它是站在 整体 的高度上ꎬ对所学的某章或某节内容的概念㊁方法㊁思想的再理解和再提高ꎬ是学生综合能力的再提升的过程.在实际教学中ꎬ数学复习课存在课堂形式单一ꎬ教学效果不明显等问题.数学复习课常常出现两种偏向:一种是以题海代复习ꎬ学生听得晕头转向ꎻ另一种是整理干巴巴的知识点ꎬ学生听得枯燥乏味.因此集体备课时ꎬ需要在复习课的准度㊁深度和难度的定位上下足功夫ꎬ提高复习课的教学效率.１.研究学情ꎬ定位复习的 准度数学复习课教学的第一步是要研究学情ꎬ弄清楚学生在学习一个阶段之后ꎬ存在什么样的问题ꎬ清楚问题所在ꎬ才能有针对性地进行复习ꎬ才能恰当地切入复习点ꎬ起到复习课应有的作用和功能.４Copyright©博看网 . All Rights Reserved.笔者所在的高三数学理科备课组ꎬ在进行 函数与导数 专题复习时ꎬ把学生平时遇到的问题一一归纳:(１)函数与导数含了太多的知识点ꎬ导数的概念及几何意义㊁函数与不等式方程的基础知识㊁导数研究函数的性质等ꎬ对学生来说ꎬ这些知识在脑子里是杂乱无章的ꎬ所以复习的第一步是整理知识点ꎬ将它们归纳梳理ꎬ形成系统的知识网络ꎻ(２)用导数求解切线问题ꎬ学生总是将 曲线在某点处的切线 与 曲线过某点的切线 混淆ꎻ(３)用导数研究函数的单调性以及函数的最值问题ꎬ这是学生必须掌握的ꎬ但碰到含参数的函数ꎬ学生还是会频频出错ꎻ(４)明确函数的极值与导数对应的方程ｆᶄ(ｘ)＝０的根之间的关系ꎬ即ｆᶄ(ｘ０)＝０是ｘ０为极值点的必要而不充分条件ꎬ这一步骤的检验常被学生忽略ꎬ导致结果错误ꎻ(５)学生的分类讨论有待加强ꎻ数形结合的意识和能力需大力培养ꎻ运算能力要高度重视.２.钻研考纲ꎬ定位复习的 深度备课中ꎬ教师们要结合考纲ꎬ注重落实学生的基础知识ꎬ还要清晰地把握重要知识的再现ꎬ一方面确定复习课的主线ꎬ一方面明确复习的深度.在 函数与导数 专题复习中ꎬ通过集体商议ꎬ把这个专题细化为四个小专题:(１)导数的几何意义与切线问题(曲线在某一点处的切线问题)ꎻ(２)用导数研究函数性质的问题ꎻ(３)不等式恒成立问题(分离参数将其转化为函数的最值问题)ꎻ(４)导数的实际应用问题.根据这四个小专题ꎬ将复习课的题型总结为:求切线方程㊁用导数研究函数的单调性(着重是含参数的函数)㊁用导数求函数的极值与最值㊁用导数研究不等式㊁用导数研究方程㊁导数实际应用等六种类型.数学复习课以学生的问题为出发点ꎬ生成教学资源ꎬ我们不能苛求一节复习课教学功能的全面性ꎬ但是我们追求复习课功能的最大化ꎬ将复习课的课程目标分解到各节数学课ꎬ实现复习课提炼与迁移的教学功能.㊀㊀三㊁精选例题ꎬ定位复习的 难度选择有代表性的题目ꎬ通过教材例题㊁习题的变式拓展ꎬ使问题深化ꎬ从中提炼数学思想和解题方法ꎬ研究高考题的命题思路ꎬ准确把握复习的难度.例题的选择处理考虑知识点的覆盖面ꎬ考虑所蕴含的数学思想方法ꎬ还要考虑学生的思维参与度.教师应改变对集体备课无所谓的想法ꎬ不能以应付的态度对待集体备课ꎬ而应该全身心地投入.集体备课是一个经验的交流㊁沟通和分享的过程ꎬ讨论交流㊁信息整合是建构主义学习中不可或缺的过程ꎬ与新课程共同成长的数学教师ꎬ必须学会合作学习ꎬ实现彼此专业知识和共同建构教师合作文化ꎬ在不断总结自己的经验ꎬ吸纳他人意见的过程中ꎬ建构自己的知识体系ꎬ实现自己的专业发展.例２㊀(高三周末练习)已知对任意实数ｘꎬ二次函数ｆ(ｘ)＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ恒非负ꎬ若ａ<ｂꎬ则Ｍ＝ａ＋ｂ＋ｃｂ－ａ的最小值为.(这道填空题分值４分ꎬ但学生完成情况非常不好ꎬ平均得分１.８７分ꎬ不少数学老师也觉得此题有难度)鲍老师(高三年级备课组组长):学生对这道题感觉十分棘手ꎬ因为平时经常接触到的是已知两个变量来求某一函数的最值ꎬ而这道题涉及三个变量.第一步应该是减少变量个数ꎬ重新审视一下题目ꎬ我发现二次函数ｆ(ｘ)＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ恒非负ꎬ这表明ｂ>ａ>０和ｂ２－４ａｃɤ０ꎬ而由Ｍ＝ａ＋ｂ＋ｃｂ－ａ的特点ꎬ感觉消去ｃ较为合理.由条件知ｂ>ａ>０且ｂ２－４ａｃɤ０ꎬ即ｃȡｂ２４ａꎬ得Ｍ＝ａ＋ｂ＋ｃｂ－ａȡａ＋ｂ＋ｂ２４ａｂ－ａȡ１＋ｂａ＋ｂ２４ａ２ｂａ－１.令ｂａ＝ｔꎬｔ>１ꎬ则Ｍȡ１＋ｔ＋１４ｔ２ｔ－１＝ｔ－１４＋９４(ｔ－１)＋３２ȡ２ｔ－１４９４(ｔ－１)＋３２＝３ꎬ当且仅当ｔ＝４ꎬ即ｂ＝４ａꎬｃ＝４ａ时ꎬＭ取得最小值３.在实际教学中ꎬ这种解法是常规解法ꎬ但计算量太大ꎬ我发现Ｍ＝ａ＋ｂ＋ｃｂ－ａ的分子恰好是由ｆ(ｘ)＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的赋值而来的ꎬ于是尝试凑配ꎬ因为ｆ(ｘ)非负ꎬ故Ｍ＝ａ＋ｂ＋ｃｂ－ａ＝４ａ－２ｂ＋ｃ＋３(ｂ－ａ)ｂ－ａ＝ｆ(－２)ｂ－ａ＋３ȡ０＋３＝３ꎬ当且仅当ｆ(－２)＝０ꎬ即ｆ(ｘ)＝ａ(ｘ＋２)２ꎬ也即ｂ＝４ａꎬｃ＝４ａ时ꎬＭ取得最小值３.通过挖掘隐含条件ꎬ给出更简洁更准确的解答ꎬ让所有教师眼前一亮.像这样教师积极参与ꎬ特别是青年教师敢于讲出自己的观点ꎬ这在集体备课中要加以肯定和赞扬ꎬ只有老教师与青年教师相互促进㊁知识互补ꎬ才能实实在在地发挥集体备课的作用.通过集体备课为年轻教师创造一个良好的学习氛围ꎬ让中老年教师在集体合作中吸纳新的教育思想㊁教学观念ꎬ把生动的传统教学经历补充到了集体备课之中ꎬ从而达到促进教师的成长㊁个人资源的整合㊁资源共享的目的.社会互依理论启发我们:教师团队合作一方面可以使教师在相互交往中ꎬ汲取自身所需要的养分ꎬ发挥自身的优势ꎬ补充自己的不足ꎻ另一方面ꎬ可以通过相互的交流与互动ꎬ促使教师产生团体动力ꎬ发挥集体优势ꎬ进而提高教学质量ꎬ促进自身的专业发展.㊀㊀参考文献:[１]林伟ꎬ罗朝举ꎬ陈峥嵘. 思意数学 习题课教学模式的构建与实践[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０２０(１１):２４－２９.[责任编辑:李㊀璟]５Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
初中数学例题变式教学探究
初中数学例题变式教学探究例题、习题教学是数学教学的重要组成部分，在目前的例题、习题教学中，由于教学任务紧，教学内容多，教师往往把例题草率处理，这样做使得学生偏重记忆一些方法和发展一些具体技能，而不是高层次的数学思考。
《数学新课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。
因此，在例题、习题教学中，当学生获得某种基本解法后，教师应引导学生发掘例、习题的潜在因素，通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种途径，强化学生对知识和方法的理解，帮助他们对问题进行多角度、多层次的思考。
1.精选范例在精选范例的环节中，教师的活动表现在：选择符合上述要求的题目，为学生创设优良的探索氛围。
学生的活动表现在：自主审题为实施解法变式、题目变式和主动探索、尝试发现作好感情准备。
2.解法变式通过对范例实施解法变式，追求一题多解，解法优化，培养学生思维的广阔性和灵活性。
在解法变式环节中，教师的活动表现在：⑴引导点拨。
⑵评价鼓励。
学生的活动表现在：⑴自主探索解法，求得问题解决。
⑵求新求异，多角度思考问题。
⑶相互交流，相互启发，扩大探索成果。
⑷自主总结各种解法的规律与技巧，形成解题技能。
3.方法应用总结范例的解题规律、方法，并能把它运用到其它题目的解决过程，使解题方法得到迁移，形成技能技巧。
在方法应用的环节中，教师的活动表现在：⑴设计方法训练变式题组或引导学生通过对范例的变式而得到方法训练题组。
⑵引导学生运用解决范例的方法解答变式训练题组，并对学生给予引导和点拨。
学生的活动表现在：自主解答变式训练题目，使方法得以迁移，形成技能技巧。
4.题目变式通过师生对范例的共同探索（包括条件变化、结论变化、等价变化、逆向探索、图形变化推广拓广等），获得题目的一类或几类变式，从而培养、锻炼学生的探索创新能力。
在探索变式环节中，教师的活动表现在：⑴诱导启发、激发学生的探索创新欲望。
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外一些条件的形式 ， 使问题得以深化 ， 从而使得学生 对 问题本质的理解加深 。 变式 （ ４ ） 已知抛物线 ＝ ８ 与直线ｙ ＝ ｋ Ｘ ＋ ３ 没 有公 共点 ， 求 的取值范围。 变式 （ ５ ） 已知抛物线／＝ ８ 与 圆（ — ｏ ） ＋ ： ２ 没有 公共点 ， 求０ 的取值范 围。
二、 实 施 变式 教 学 的 三 部 曲 １ ． 课 前 的 自学 、 预习
时， 乙单独完成需要１ ２ 小 时。现在 由甲先单独做３ ／ １ ， 时， 然后 乙再加入一起做 ， 总共需 要多长 时间完成？ 变式 （ ２ ） 一 项任务 ， 如果 甲单独 完成 需要 ２ ０ 小 时， 乙单独完成需要 １ ２ 小时。现在 由甲先单独做３ Ｊ Ｊ ， 时， 然后 乙再加入一起做 ， 那么需要多长时间后 可以 完成总任务的２ ／ ３ ７ 变式 （ ３ ） 一 项任 务 ， 如果 甲单 独完成 需要 ２ ０ ｓ Ｊ ＇ ， 时， 甲、 乙合 作完成需要７ ． ５ Ｊ ｂ 时。 现在由 甲先单独做 ５ 小时 ， 然后 乙再加入一起做 ， 那么还需要 多长 时间 完成这项任务？
３ ． 结 合 实 际 的 变 式
课题教学是老师与学生之间进行正面沟通的主 要渠道 ， 也是学生接受知识 ， 实现变式教学的重要途 径。 学生经过 了课前 的预习阶段 ， 对于所讲 内容 已有 初步 了解 ， 此 时就需要老师发挥其引导作用 ， 抓住重 点 问题 ， 以 自己的思维模式进行 知识 的传送 。 此过程 中老师针对学生的疑问 ， 应当不厌其烦 的一一解答 ， 甚至应该鼓励学生多提 出疑 问。因为初中学生从心 理或者心态上来讲 ， 对于教师多少有些畏惧或胆怯 ， 教 师 在 课 堂答 疑过 程 中更 不 能 对 学 生 的 疑 问加 以否 定或批评 ， 这样不仅打击其 自信心 ， 更会对其学 习思 维造成极大阻碍。
３ ． 变式 习题 练 习
结合实际是将抽象 问题形象化的体现 ，通常转 为 日常生活 中可见的问题 。此过程要求教师有丰富 的生活经验和数学应用意识 。通过联系实际来提高 学生的应用数学意识和学 习兴趣 。 变式 （ ６ ） 一只 高脚 酒杯 的轴截 面是抛 物线 的一 部分 ， 它的解析式方程为 ， 在杯 内放一个球形玻璃小 球， 问多大的玻璃小球才能触及杯底。
三 例 题 变 式 教 学探 究
看到一道例题在其本质保 留不变 的情况下 ，还可 以 有如此多形式转变 ，由此也可见数学教学 的灵活性 和趣味性。实践证 明， 在数学教学过程 中， 掌握科学 合理的教学方法 和手段 ，其效率要远高于 “ 题海 战 术” ， 而且还 可以减轻学生的负担 ， 提高其 主动学 习
４ ． 变 换条 件 和 结 论
变换条件和结论是将原题 的条件和结论变动和 加深 ， 但知识点不离开原题的范围。 变式 （ ７ ） 是否存在 同时满足 下列 条件 的抛 物线 Ａ ． 准线是 （ ） ． 顶点在轴上 Ｃ ． 原点 到此抛物线上 的动点 的最小距离是（ ） 。 若有求 出， 若无说 明理
０
思 路 方 法
关键词 ： 例题 ； 变式教学 ； 学习效率
一
单独完成需要 １ ２ Ｌ Ｉ ＇ ， 时 ，那么两人一起完成需要多长
时间？ 变式 （ １ ） 一 项任 务 ， 如 果 甲单 独 完 成 需 要 ２ 的重 要性
数学教学 中的“ 变式教学 ” 是指教师有 目的 、 有 计划地对例题进行形式上的转化 ，而例题的本质特 征仍然得到保 留并没有改变 ，变换 的只是问题中的 条件或者结论 ，配合实际的应用环境 ，达到灵活教 学， 使学生掌握例题本质的一种教学方式。 在数学教学 中研究和应用变式 ，通过不 同条件 的变换 ， 可 以突出例题 的本质特征而排除无关特征 ， 让学生学会去伪存真 ， 全面认识事物 ， 从而提高数 学 教学的质量 。 另外 ， 将变式教学与主体教学有机结合 起来 ， 可 以充分挖掘学生的潜能 ， 养成 良好的 自学能 力 、探索能力及学 习习惯 ，进而培养学生的创新 意 识。 因此 ， 例题 变式教学很好地体现 了灵活而务实的 教学理念 ， 具有鲜明的时代意义 。
由。 以上 是 数 学 教 学 中例 题 变 式 的具 体 应 用 ，可 以
老师在讲 完一个例题之后 ，此阶段 是学生熟悉 和巩 固的阶段 ， 对于老师讲 授的知识 ， 有可能仅仅是 表面的理解和一时的明白 ， 需要趁热打铁 ， 以同类 型 的例题来巩 固。老师可针对例题本质特征保留之后 进行例题变式 ，转化成一道看似新的例题来 让学 生 做， 从而加深其印象 ， 也可以在课外习题册中找相应 的“ 变式例题 ” 来， 以作业的形式布置 给学生 ， 强化其 接受 的效果 。此过程找相同的变式习题需要老师来 完成 ，因为学生对习题的本质 以及变式的理解肯定 没有老师理解的透彻。
２ ． 改 变背 景 的 变式
例： 在 抛物线／＝ ｓ ｘ ￣求一点Ｂ （ ， ｙ ） ， 使它 到点Ａ
（ ２ ． ０ ） 的距 离 最 短 。 改变背景是指某些条件 固定不变 ，通过改变另
在普通的数学教学 中， 课前 的预 习， 对例题的探 索等准备工作都是必不可少的 ，对于变式教学 同样 需要如此。 预 习过程 中最重要 的是深入了解 ， 要善于 提 出问题 ， 并加 以归纳和总结 。教师的职责在 于“ 授 业、 解惑” ， 因此学生有疑问时经过老师的解答 ， 能使 其豁然开朗 ， 加深 印象 。 另外 ， 通过课前的全面预习 ， 可 以提 高 学 生 的 自学 能 力 和 实 践 能 力 ，促 进 课 题 授 课 的效率和质量。