浙江省杭州高级中学2014届高三高考最后一次模拟考试数学(理)试题及答案

浙江省杭州高级中学2014届高三高考最后一次模拟考试
数学（理）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知全集U ＝R ，集合}2{2x x y x A -==，}R ,2{∈==x y y B x ，则=B A C R )( （ ）
A ．{}2x x >
B ．{}01x x <≤
C ．{12}x x <≤
D ．{}
0x x <
2. 已知i 为虚数单位，复数i z +=1，z 为其共轭复数，则z
z
z 22-等于 ( )
A. i --1
B. i -1
C. i +-1
D. i +1
3．设函数f
(x )＝x 2－ax ＋b (a ，b ∈R)，则“f
(x )＝0在区间[1，2]有两个不同的实根”是
“2＜a ＜4”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”。

下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行
于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是 （ ）
A ．①②
B ．① ④
C ．①③
D ．③④
5．将函数)32sin(π+=x y 的图象经怎样平移后所得的图象关于点)0,12
(π
-中心对称（ ）
A ．向左平移12
π
B ．向左平移6π
C ．向右平移
12
π
D ．向右平移
6
π
6．如果函数)(x f y =图象上任意一点的坐标),(y x 都满足方程y x y x lg lg )lg(+=+，那么正确的选项是 （ ） A ．)(x f y =是区间),1(+∞上的减函数，且4≤+y x B ．)(x f y =是区间),1(+∞上的增函数，且4≤+y x C ．)(x f y =是区间),1(+∞上的减函数，且4≥+y x D ．)(x f y =是区间),1(+∞上的增函数，且4≥+y x
二、填空
题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．
11. 如果5
2
))(1(a x x x -++（a 为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含4x 项的系数为 .
12. 已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤-≥+01112y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为 .
13．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何
体的体积等于 cm 3
14．双曲线C ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F )0,(c ，以原点为圆心，c 为半径的圆与双曲线在
第二象限的交点为A ，若此圆在A 点处的切线的斜率为
3
3
，则双曲线C 的离心率为 俯视图
(第13题图)
15．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有 个．
16．我校社团将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比
赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为
2
3
，且各局比赛胜负互不影响.设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，则随机变量ξ的数学期望为 ．
17．若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2
(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a
的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. (本题满分14分)如图，在△ABC 中，3
3
2sin
=
∠ABC ，AB=2，点D 在线段AC 上，且AD=2DC ，BD 3
3
4=
（1）求BC 的长； （2）求△DBC 的面积
19．(本题满分14分)在数列}{n a 中，10231=a ，)(1024
1
1111*1N n a a n n ∈=+-++ （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设)(*
2N k a k b k k ∈⋅=，记数列}{k b 的前k 项和为k B ，求k B 的最大值和相应k 的值.
20. (本题满分15分)如图四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足
为G ，G 在AD 上且AG 3
1
=GD ，GC BG ⊥，2==GC GB ，E 是BC 的中点，四面体P －BCG
的体积为3
8.
（1）求直线DP 到平面PBG 所成角的正弦值； （2）在棱PC 上是否存在一点F ，使异面直线
DF 与GC 所成的角为︒60，若存在，确定 点F 的位置，若不存在，说明理由.
A
C
D
P
A
B
E
C
D
G
21. (本题满分15分)已知椭圆C 两焦点坐标分别为1(F ,2F ，且经过点1
)2
P ． (1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 已知点(0,1)A -，直线l 与椭圆C 交于两点,M N ．若△AMN 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l 的方程．
杭州高级中学高三2014年高考模拟考试
数学（理）答题卷
一、选择题：
二、填空题（本大题共6小题，每小题4 分，共24分）：
11．；12．
13．；14．
15．；16.
17．；
三、解答题：
18. (本题满分14分)
A
D
B C
19. (本题满分14分)
20. (本题满分15分)
P
A
B E
C D
G
21. (本题满分15分)
22. (本题满分14分)
杭州高级中学高三2014年高考模拟考试数学答案一、选择题：
二、填空题（本大题共6小题，每小题4 分，共24分）：
11．-5 ；12． 1 ; 13．20 ；141
15．120 ；16.
81; 17．(]5
,3,
2
⎡⎫
-∞-+∞⎪
⎢⎣⎭；
18.
19.答案：（1）11024
-=
n
a n ； （2）)121024
(-⋅=k
k k b ，由0≥k b 得10≤k ，故9B 或10B 最大，且最大值为1981. 20.
21.
设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)Q x y ，则1222
122841
4441km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
22.
只要)(x f '的最小值大于k 即可，所以k 的范围为4
1-<k .………………………………7分 （3）)()12()(22a a x a x x f +++-='(1)()x a x a =---.
因为1->a ，所以01>+a ，
当1≥a 时，0)(≥'x f 对[]1,0∈x 成立，()f x 在[0,1]上单调递增，
所以当1=x 时，)(x f 取得最大值61)1(2-=a f ; 当10<<a 时，在),0(a x ∈，0)(>'x f ，)(x f 单调递增，在)1,(a x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 调递减，
所以当a x =时，)(x f 取得最大值232
131)(a a a f +=; 0=a 时，在)1,0(∈x ，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，
所以当0=x 时，)(x f 取得最大值0)0(=f ;………………….10分
当01<<-a 时，在)1,0(+∈a x ，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，在)1,1(+∈a x ，0)(>'x f ，)(x f 单调递增,
当66-=a 时，)(x f 在1,0==x x 处都取得最大值0．。