高中数学北师大版必修1练习：2.4.1 二次函数的图像

4.1 二次函数的图像
课后篇巩固提升
1.将函数y=x 2-2x 的图像向右平移2个单位,再向下平移1个单位后所得图像的解析式为( )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-3)2
C.y=(x-3)2-2
D.y=(x-3)2+2
解析:函数y=x 2-2x=(x-1)2-1的图像函数y=(x-3)2-1的图像
函数y=(x-3)2-2的图像.故选C .
★答案☆:C
2.已知二次函数y=x 2+bx+c 图像的顶点是(-1,-3),则b 与c 的值是( )
A.b=2,c=2
B.b=2,c=-2
C.b=-2,c=2
D.b=-2,c=-2
解析:顶点横坐标x=-b 2
=-1,得b=2.
纵坐标
y=4c -b 24×1=-3,得c=-2.
★答案☆:B
3.已知
y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图像如图所示,则点M (a ,bc )在( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 解析:由题图可知a>0,-b 2a >0,c<0,∴b<0,∴bc>0.故点M (a ,bc )在第一象限.
★答案☆:A
4.已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0),它们在同一坐标系中的大致图像是( )
解析:若a>0,则y=ax+c 为增函数,y=ax 2+bx+c
的图像开口向上,故排除A;若a<0,则排除C;若c>0,可
知B 中图像相矛盾;D 中图像相吻合.综上知,D 中图像是正确的.
★答案☆:D
5.导学号85104037二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示,下列结论:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a ,其中正确结论的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:由图像可得,当x=1时,y=a+b+c<0,当x=-1时,y=a-b+c>0.
∵-b 2a =-1,∴b=2a. 由b=2a 可知,a ,b 同号,
∴ab>0.
又∵f (0)=c>0,
∴abc>0.
★答案☆:A
6.
函数y=x 2
,y=13x 2,y=2x 2的图像大致如右图所示,则图中从里向外的三条抛物线对应的函数依次是 .
解析:根据“二次项的系数的绝对值越大,抛物线开口越小,抛物线就越接近y 轴;二次项系数的绝对值越小,抛物线的开口就越大,抛物线就越远离y 轴”这一规律来判定,易知对应的函数由里向外依次是y=2x 2,y=x 2,y=13x 2. ★答案☆:y=2x 2,y=x 2,y=13x 2
7.已知二次函数y=(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图像全部在x 轴上方,则m 的取值范围是 . 解析:要使函数图像全部在x 轴上方,则m 需满足{m +5>0,4m (m+5)-4(m+1)24(m+5)
>0,解不等式组得m>13. ★答案☆:m>13
8.已知函数f (x )=ax 2+bx+1(a ,b 为实数,a ≠0,x ∈R ),若f (-1)=0,且函数f (x )的值域为[0,+∞),则f (-8)=
.
解析:因为f (-1)=0,所以a-b+1=0.
因为f (x )的值域为[0,+∞),
所以{a >0,Δ=b 2-4a =0. 所以b 2-4(b-1)=0.解得b=2,a=1.
所以f (x )=(x+1)2,
所以f (-8)=(-8+1)2=49.
★答案☆:49
9.已知二次函数的图像如图,求其解析式及顶点M 的坐标.
解:设二次函数
y=ax 2+bx+c (a ≠0). 由图像过点A (-1,0),B (-3,0),C (0,-3),
得{a -b +c =0,9a -3b +c =0,c =-3,解得{a =-1,
b =-4,
c =-3.
所以二次函数的解析式为y=-x 2-4x-3,其顶点为M (-2,1).
10.导学号85104038(拓展探究)抛物线经过点(2,-3),它与x 轴交点的横坐标是-1和3.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标;
(3)画出草图;
(4)观察图像,x 取何值时,函数值y 小于零?x 取何值时,y 随x 的增大而减小?
解:(1)设抛物线的解析式为y=a (x+1)(x-3),把(2,-3)代入,得-3=a (2+1)(2-3),∴a=1.
∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x 2-2x-3.
(2)y=x 2-2x-3=(x-1)2-4.由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).
(3)抛物线的草图如图所示.
(4)由图像可知,当x∈(-1,3)时,函数值y小于零;当x∈(-∞,1]时,y随x的增大而减小.。